1 二次函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

第二章二次函数 二 山基础进阶 1.下列函数中(x是自变量)，一定属于二次函 数的是 A.y=9 B.y=√x-1 C.y= 1 D.y=ax2+bx+c 2.(2025·广东改编)某公司工业机器人今年 5月的产值达到2500万元，设该公司6,7两 个月产值的月均增长率为x,预计7月的产 值将增至y万元，则y关于x的函数表达 式为 A.y=2500(1+x)2 B.y=2500(1-x)2 C.y=2500(1-2x)2 D.y=2500(1+2x)2 3.(2025·东营广饶期中)若y=(m十1)· xm-2m-1一x十3是关于x的二次函数，则m 的值为 4.如图，长方体的底面是边长为xcm的正方形， 高为6cm.请你分别写出这个长方体的侧面 展开图的面积S(cm)与x的函数表达式， 长方体的体积V(cm3)与x的函数表达式， 各边长之和L(cm)与x的函数表达式，并判 断这些函数的类型 (第4题) 24 函数 ●“答案与解析”见P11 幻素能攀升 5.一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚 动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m) 与滚动时间t(s)的部分对应数据见下表： 时间t/s 3 5 距离s/m 8 18 32 50 已知小球滚动的距离s是时间t的二次函 数，则s与t的函数表达式为 () A.s=2t B.s=2t2+2 C.s=2t2 D.s=2(t-1)2 6.新考法·探究题(2025·兰州)如图，在正方形 ABCD中，AB=2cm,对角线AC,BD相交 于点O,动点P从点O出发沿O→A→B方 向以wW2cm/s的速度运动，同时点Q从点C 出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动.当 点Q到达点D时，P,Q两点同时停止运动. 若运动时间为xs,△CPQ的面积为ycm, 则点P分别在OA,AB上运动时，y与x的 函数关系分别是 A.均为一次函数 B.一次函数、二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数、一次函数 (第6题) 7.已知关于x的函数y=(a2一4)x2+ (a+2)x+3+c. (1)当此函数是关于x的二次函数 时，a满足的条件是 (2)当此函数是关于x的一次函数时，a满 足的条件是 8.根据下列条件分别列出函数表达式，并判断 列出的函数表达式是否为二次函数， (1)有一块长为60m,宽为40m的矩形绿 地.如果计划在它的四周相同的宽度内种植 阔叶草，中间种植郁金香，那么郁金香的种植 面积S(m)是草坪宽度a(m)的函数： (2)某果园有10棵苹果树，平均每一棵树可 以结200个苹果.根据经验估计，每多种一棵 苹果树，平均每棵苹果树就会少结5个苹果， 那么果园结苹果总个数y是增种苹果树数量 x(棵)的函数 9.新情境·现实生活某农户计划利用现有的一 面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水 池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高 为1.5m、长为18m的墙的材料.设图中与 现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm, 即AD=EF=BC=xm(不考虑墙的厚度). (1)求水池的总容积V(m3)与x之间的函数 表达式，并直接写出x的取值范围. (2)若想水池的总容积为36m3,则x的值应 等于多少？ (第9题) 第二章 二次函数 的思维拓展 金 0.数形结合思想某批发商场在春节前以每个 60元的价格购进一批玩偶，计划以每个 80元的价格销售.春节来临之际，为了让顾 客得到实惠，现决定降价销售.已知玩偶销 售量y(个)与每个玩偶的降价x(元)(0< x<20)之间满足一次函数关系，其图象如 图所示 (1)求y与x之间的函数表达式 (2)设商场销售y个玩偶所获得的利润为 w元，求@与x之间的函数表达式. (3)若商场要想获利2600元，且让顾客获 得更大实惠，则应对这种玩偶每个降价多 少元？ ↑y/个 160--2 100 0 x/元 (第10题) 25..∠FCG=90°-45°=45°=∠CFG. ..FG=CG. 设FG=CG=xm. .DG=CG-CD=(x-3)m. 在Rt△EDG中，∠EGD=90°， ∠DEG=22°，EG=EF+FG=(9+ x)m, ∴.DG=EG·tan∠DEG≈0.4(9+ x)m. .x-3=0.4(9+x) .x=11. .DG=11-3=8(m). .DH=DG+GH=8+1.2= 9.2(m). ∴广告牌底部，点D到水平地面的距 离DH约为9.2m. [综合素能提升] 1.C2.B3.B 4.(4,5)解析：过点A作AG⊥ x轴于点G.点B,C的坐标分别是 (1,0),(0,√3)，.OB=1,O℃=√3. ∴.在Rt△OBC中，BC=VOB2+OC √2+(5)2=2.易得∠BC0= 30.在Rt△ABC中，∠BAC 30°，.AB= BC 2-23 tan∠BAC3 :∠ABG+∠CBO=90°，∠BCO+ ∠CBO=90°，'.∠ABG=∠BCO= 30°..AG=AB·sim∠ABG=2W5X 2=5,BG=AB·cos∠ABG= 1 25×号-3.0G-0B+G=1+ 3=4..顶，点A的坐标是(4，√3). 20 5. 6.(1)如图①，过点C作CE⊥AD于 点E 由题意，得AB=CE=10cm,BC= AE=20 cm, .AD=50 cm, .'.ED=AD-AE=50-20=30(cm). 在Rt△CED中，CD=√CE+DE= √102+302=10√10(cm), ∴.可伸缩支撑杆CD的长度为 10√/10cm. (2)如图②，过点D作DF⊥BC,交 BC的延长线于点F,交AD'于点G. 由题意，得AB=FG=10cm,AG= BF,∠AGD=90. 在Rt△ADG中，tana=AG4' DG 3 ∴.设DG=3.xcm(.x>0),则AG= 4.x cm. .'.AD=√WAG2+DG2= √(4x)+(3x)=5.x(cm). .AD=50 cm, .∴.5.x=50,解得x=10. ∴.AG=40cm,DG=30cm. ∴.BF=AG=40cm,DF=DG+ FG=30+10=40(cm). BC=20 cm, ∴.CF=BF-BC=40-20=20(cm). 在Rt△CFD中，CD=√CF2+DF2= √202+402=205(cm), ∴.可伸缩支撑杆CD的长度为 20√5cm. E A →D ① D B -F C ② (第6题) 7.(1)如图，过点C作CF⊥AD,垂 足为F 由题意，得CF∥AB, ∴.∠FCE=∠CEB=30°. :∠DCF=30, ∴.∠DCE=∠DCF+∠FCE=60. ∠AED=75, .∠DEC=180°-∠AED- ∠CEB=75°. ∴.∠CDE=180°-∠DEC ∠DCE=45. 11 (2)如图，过点E作EG⊥CD,垂足 为G. 由题意，得AF=BC=18m. 在Rt△EBC中，BC=18m,∠CEB= 30°， ∴.CE=2BC=36m. 在Rt△CEG中，∠DCE=60°， cG=CE·os60=36X7= 18(m),EG=CE·sim60°=36× 9-1s5m 在Rt△DEG中，∠EDG=45°， EG ∴.DG tan∠EDG=18V3m. ∴.CD=CG+DG=-(18+18√3)m. 在Rt△DFC中，∠DCF=30, DF2CD=(9+95)m .AD=AF+DF=18+9+9W3= (27+9√3)m. ∴.建筑物AD的高度为(27十95)m D G Fb 302C 4b7530 B (第7题) 第二章 二次函数 1二次函数 1.A2.A3.3 4.S=4x×6=24x,是一次函数： V=x2×6=6x2,是二次函数： L=4x×2+6×4=8x+24,是一次 函数 5.C6.D7.(1)a≠士2 (2)a=2 8.(1)郁金香的种植面积S(m)与 草坪宽度a(m)之间的函数表达式为 S=(60-2a)(40-2a)=4a2 200a+2400,是二次函数. (2)果园结苹果总个数y与增种苹果 树数量x(棵)之间的函数表达式为 y=(10+x)(200-5.x)=-5x2+ 150x+2000,是二次函数. 9.(1)AD=EF=BC=z m, .AB=(18-3.x)m .V=1.5.x(18-3.x)=-4.5.x2+ 27x(0<x<6)」 (2)当V=36时，一4.5.x2+27x= 36, 即x2-6x十8=0，解得x=2或x=4. x的值应为2或4. 10.(1)由题意，可设y与x之间的 函数表达式为y=kx十b(k≠0). 将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b, (2k+b=100, (k=20: 得 解得 5k+b=160, b=60. .y与x之间的函数表达式为y= 20x+60(0x20). (2)由题意，得=(80一60一x)· (20x+60)=-20.x2+340x+1200. (3)根据题意，得一20x2十340x十 1200=2600,解得x1=7,x2=10. ,要让顾客获得更大实惠， .x=10. .应对这种玩偶每个降价10元. 2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=士x2的 图象与性质 1.A2.A3.4(2,4)在 1 +.(1)由题意得y=2x·2x=x (x>0). (2)列表如下： 3 2 2 2 3 25 4 9 4 4 (3)如图所示. y 7 6 3 2 1 01234x (第4题) 5.C6.C7.C8.-4<y≤0 x<-1或x>19.1 10.π解析：由题意，易得题图中阴 影部分的面积合起来恰好为半圆O的 面积：圆O的半径为2，∴题图中 1 阴影部分的面积为2元×（②）2=元， 11.如图，作出点B关于y轴的对称 点B',连接AB'交y轴于点P. 点B,B关于y轴对称， .PB=PB' .PA+PB=PA+PB'=AB'. '.此时△PAB的周长最小 B(3,9), .B'(-3,9). 设直线AB'对应的函数表达式为y= kx+b 将B′(-3,9)，A(1,1)代人，得 -3k+b=9, k=一2， 解得 k+b=1, b=3. ∴.直线AB′对应的函数表达式为 y=-2.x+3. .易得点P的坐标为(0,3) .易得S△PAB=S△B'BA一S△BBP 1 1 X6X(9-1)-2 ×6×(9 3)=6. 0八 (第11题) 12.(1)当x=a时，y=-x2=-a2, 则点A的坐标为(a,一a2): 当x=a十1时，y=-x2=-(a十 1)2=-a2-2a-1,则点B的坐标为 (a+1,-a2-2a-1). ,BC与x轴平行， .易得点C的坐标为(-a一1， -a2-2a-1). S=2(a+1+a+1)(-a2+a2+ 2a+1)=2a2+3a+1. (2)由题意，得2a2+3a+1=15. 12 整理，得2a2+3a-14=0,解得a1= 7 -2a=2. a>0, .a=2. (3)当a=2时，点A,B,C的坐标分 别为(2，一4)，(3，一9)，（一3,9） :点D在边BC上， .设点D的坐标为(t,一9)，则 CD=+3. △ACD的面积为7， 1 ·2×(-4+9)×(1+3)=7,解得 = 5 六点D的坐标为（号，-9）小： 第2课时 二次函数y=axr2 和y=ar2+c的图象与性质 1.B 2.A 方法归纳 二次函数y=ax2十k与 y=ax2图象之间的关系 二次函数y=a.x2十k与y= ax2的图象形状相同，只是位置不 同.抛物线y=a.x2十k可由抛物线 y=ax2沿y轴向上（下）平移|个 单位长度得到.当>0时，抛物线 y=Q.x2沿y轴向上平移k个单位 长度得到抛物线y=ax2十k:当 k<0时，抛物线y=ax2沿y轴向 下平移|个单位长度得到抛物线 y=ax2+k. 3.y=2x2+3(0,3)4.> 5.(1)如图所示. (2②)y=一22的图象的开口向下 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0). 1 y=一2x2+3的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0,3). y=一之2-1的图象的开口向下， 对称轴为y轴，顶点坐标为(0，一1).