专题特训三 解直角三角形的四种应用类型-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训川三解直角三角形的四种应用类型 >“答案与解析”见P9 类型一 仰角、俯角（测高）问题 (续表) 受暖湿气流影响，今天17：30到夜 1.如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的点E 天气预警 间，码头A附近海域将出现浓雾， 处测得大楼BC楼底点C的俯角为45°，此时 请注意防范 该同学距地面的高度AE为26米，电梯再上升 10米到达点D处，此时测得大楼B℃楼顶点B 请根据以上信息，解答下列问题： 的仰角为37°，求大楼BC的高度（参考数据： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短 sin37°≈0.60，cos37≈0.80，tan37°≈0.75). 距离。 (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔 船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 45 sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25). DC北 →东 (第1题) (第2题) 类型二方向角（定位）问题 2.(2025·烟台)烟台山灯塔被誉为“黄海夜明 珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导 航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数 学兴趣小组开展了实践探究活动 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速 度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 码头A在灯塔B的北偏西14°方向 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏 位置信息 东53°方向的点C处 15:00时，渔船航行至灯塔B东北 方向的点D处 18 第一章直角三角形的边角关系 类型三坡度、坡角（坡坝）问题 类型四测距问题 3.如图，某段路旁有一盏路灯，灯杆 4.(2024·湖南)某数学研究学习小组在老师的 AB的正前方有一斜坡CD,已知斜 指导下，利用课余时间进行测量活动 坡CD的长为4m,坡度i=1:√3， 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 坡角为∠DCF,灯光受灯罩的影响，最远端 测量仪器 皮尺、测角仪、计算器等 的光线BE与地面的夹角∠BEF为28°，最 某休闲广场的水池中有一雕塑， 近端的光线BC恰好与地面交于坡面的底端 其底座的底面为矩形ABCD, C处，且与地面的夹角∠BCF为60°，AD= 其示意图如下： 模型 1m,点A,B,C,D,E,F在同一平面上.求： 抽象 (1)灯杆AB的高度（结果保留根号）. (2)CE的长（结果精确到0.1m,参考数据： sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53， √3≈1.73) ①在水池外取一点E,使得点 活动 C,B,E在同一条直线上；②过 过程 点E作GH⊥CE,并沿EH方 向前进到点F,用皮尺测得EF 的长为4米；③在点F处用测 (第3题) 测绘过程 角仪测得∠CFG=60.3°， 与数据信息 ∠BFG=45°，∠AFG=21.8°； ④用计算器计算，得sin60.3°≈ 0.87,cos60.3°≈0.50，tan60.3°≈ 1.75,sin21.8°≈0.37，c0s218°≈ 0.93,tan21.8°≈0.40 请根据表格中提供的信息，求（结果保留整数）： (1)线段CE和BC的长度： (2)底座的底面ABCD的面积 194.由题意，得∠CAB=∠ACD=90, ∠ABC=30°，CD=60米 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈ 60×2.00=120(米). .在R△ABC中，AB=an30 AC 120≈207.6（米）. 3 ∴.校园西门A与东门B之间的距离 约为207.6米 专题特训三解直角三角形的 四种应用类型 L.如图，过点D作DH⊥BC于点 H,过点E作EG⊥BC于点G. 由题意，得∠BDH=37°，∠CEG= 45°，AE=26米，DE=10米 ∴.易得CG=AE=AC=EG=DH= 26米，DE=HG=10米. 在Rt△BDH中， ,∠BDH=37, ∴.BH=DH·tan37°≈26X0.75= 19.5(米). .BC=CG+HG+BH=26+10+ 19.5=55.5(米). .大楼BC的高度约是55.5米 B D人37°. H G 45 A (第1题) 2.(1)过点B作BE⊥AC于点E 设BE=x海里， 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD= 45,CD=10X号=5（海里）. ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED= BE=x海里 ∴.EC=ED+DC=(x+5)海里， 在Rt△BCE中，EC=BE tanC tan37≈ 0.7万3x(海里. ∷ 3x=x十5，解得x=15. '.渔船在航行过程中到灯塔B的最 短距离约为15海里。 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°， BE=15海里， ∴.AE=BE·tan14°≈15X0.25= 3.75(海里). '.AC=AE+DE+C=3.75+15+ 5=23.75(海里)」 ·23.75÷10=2.375(小时)， 2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30， '.渔船能在17：30之前到达码头A ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到 来前到达码头A. 3.(1)如图，延长BA交CF于点H, 过点D作DG⊥CF于点G,则易得四 边形DGHA为矩形 .GH=AD=1m,DG=AH 斜坡CD的坡度i=1:√， ∴.tan∠DCF= DG1_3 G53' ∴.∠DCF=30° ∴.DG=2CD=2m. 在Rt△CDG中，由勾股定理，得CG √CD2-DG=√42-2=25(m). ∴.CH=CG+GH=(23+1)m. 在Rt△BCH中，∠BCH=60°， :tan∠BCH-CF' BH '.BH=CH·tan∠BCH=(2√3+ 1)×W3=(6+√3)m. .AB=BH-AH=6+√5-2= (4+√5)m. ∴.灯杆AB的高度为(4十√5)m. (2)在Rt△BEH中，∠BEH=28, BH :tan∠BEH= EH BH 6+√3 .EH= tan∠BEH tan28 14.58(m). ∴.CE=EH-CH=14.58-(23+ 9 1)≈10.1(m). .CE的长约为10.1m C GH F (第3题) 4.(1)GH⊥CE,EF的长为4米， ∠CFG=60.3°， ∴.在Rt△CEF中，tan∠CFG= E示≈1.75. CE .CE≈7米 .∠BFG=45, ∴.BE=EF=4米 ∴.BC=CE-BE=3米. (2)如图，过点A作AM⊥GH于 点M ∴.易得AM=BE=4米，AB=ME ∠AFG=21.8°， ∴.在Rt△AMF中，tan∠AFG= AM ME ≈0.40. .MF≈10米. ∴.AB=ME=MF-EF=10-4= 6(米). .底座的底面ABCD的面积为 CB·AB=3×6=18(平方米). G-0 M E (第4题) 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1在Rt△ABC中， :∠G=0mA-器 ∴.设BC=8k(k>0),则AB=17k, 根据勾股定理，得AC=√AB一BC= √(17k)2-(8k)z=15k. AC_15k=15 ·cosA=AB=173=7,anA= BC8k8 AC 15k15