6 利用三角函数测高-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 6 利用三角函数测高 “答案与解析”见P7 自基础进阶 幻素能攀升 1.如图，某校数学兴趣小组在点A处用仪器测 3.(2024·深圳)如图，为了测量某电子厂的高 得赛场一宣传气球顶部点E的仰角为21.8°， 度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶点 仪器与气球之间的水平距离AD为20米，且 A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用 距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地 高1.5m的测量仪CD测得顶点A的仰角为 面的高度EC约是 米（结果精确到 53°，则电子厂AB的高度约为参考数据： 0.1米，参考数据：sin21.8°≈0.3714，cos21.8°≈ 0.9285,tan21.8°≈0.4000). sin53°≈ os53,tam53≈)( 4 421.89 B (第1题) 2.(2025·天津)要用测角仪测量天津站附近世 FD 纪钟建筑AB的高度，某学习小组设计了一个 (第3题) A.22.7m B.22.4m 方案.如图，点A,E,C依次在同一条水平直 C.21.2m D.23.0m 线上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF=1.7m. 4.新考法·操作实践题用测角仪测量一座桥的桥 在点D处测得世纪钟建筑顶部点B的仰角为 塔AB的高度，某学习小组设计了一个方案： 22°，在点F处测得世纪钟建筑顶部点B的仰 如图，点C,D,E依次在同一条水平直线上 角为31°，CE=32m.根据该学习小组测得的 DE=35m,EC⊥AB,垂足为C.在点D处 数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整 测得桥塔顶部点B的仰角为45°，测得桥塔 数，参考数据：tan22°≈0.4，tan31°≈0.6). 底部点A的俯角为6°，又在点E处测得桥塔 顶部点B的仰角为31°，则桥塔AB的高度 约为 m(结果取整数，参考数据： tan31°≈0.6，tan6°≈0.1) (第2题) 37D D 4 (第4题) (第5题) 5.(2025·新密模拟)如图，某数学活动小组为 测量学校旗杆AE的高度，沿旗杆正前方 23米处的点B出发，沿斜面坡度i=1:√3 的斜坡BC前进4米到达点C处，在点C处 安置测角仪，测得旗杆顶部点E的仰角为 14 第一章直角三角形的边角关系 37°，量得仪器的高CD为1.5米.已知点A, 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算 B,C,D,E在同一平面内，AE⊥AB,AE∥ 校徽EM的高度（结果精确到0.01m) CD,则旗杆AE的高度约为 米参 考数据：m37”≈号60s37着an37 4 √3≈1.73，结果精确到0.1米· 6.新考法·综合与实践(2025·新疆)某数学兴趣 小组在校园内开展实验，撰写实验报告如下： 思维拓展 实验 测量校徽的高度 7.如图，小明想要测量学校食堂MN 主题 和食堂正前方的树DE的高度，他 实验 测角仪、卷尺等 从食堂楼底点M处出发，向前走 仪器 3m到达点A处，测得树顶端点E的仰角为 1.站在与教学楼底部点A同一水平地面的 30°，他又继续走下台阶到达点C处，测得树 点B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看 顶端点E的仰角为60°，再继续向前走到树 到悬挂的校徽顶部点E(此时F,C,E三点 底端点D处，测得食堂楼顶点N的仰角为 在同一直线上)； 45°.已知点A离地面的高度AB=2m, 2.测量A,D两点和B,D两点间的距离； 实验3.用测角仪测得从眼睛点F处看校徽顶部 ∠BCA=30°，且B,C,D三点在同一条直线 过程点E的仰角∠EFG的度数； 上求： 4.向后退至点H处时，视线恰能看到校徽 (1)树DE的高度： 底部点M(此时N,C,M三点在同一直线 (2)食堂MN的高度（结果保留根号）， 上)，测量B,H两点间的距离； 食 5.用测角仪测得从眼睛点N处看校徽底部 点M的仰角∠MNG的度数 堂 1.AD=4m B C 2.BD=10m (第7题) 实验 测量3.BH=13.5m 图示 数据4.∠EPG=43° 5.∠MNG= 21.8 1.图上所有点均在同一平面内； 2.AE,CD,FB,NH均与地面垂直. 备 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈ 注 0.93,tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68， cos43°≈0.73，tan43°≈0.93 15'.古树DE的高度约为(40一10W3)m. B C37 H 2:3 0 (第6题) 7.如图，过点C作CG⊥AB于点G, 过点D作DH⊥AB于点H,则易得 四边形CDHG是矩形， .GH=CD=10 m,CG=DH 在Rt△ACG中，∠1=45°， ∴.易得CG=AG. ..可设CG=AG=DH=xm. 在Rt△BCG中， :∠2=52， ,∴.BG=CG·tan52°≈1.3.xm. 在Rt△BDH中， ∠3=65， ∴.BH=DH·tan65≈2.lxm. .'GH=BH-BG=2.1z-1.3= 0.8.xm. 0.8x=10. .x=12.5. .AB=BG+AG=1.3×12.5+ 12.5≈29(m). ∴.大楼的高度AB约为29m. B D E (第7题) 8.如图，过点A作AH⊥DE,垂足 为H 设EH=xm. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°， ∴.AH=EH·tan∠AEH=xm. .CE=80m, .CH=CE+EH=(80+x)m. 在Rt△ACH中，∠ACH=30°， x3 .tan∠ACH=cH80+x=s. .x=40W5+40. .∴.AH=EH=(40√3+40)m. 在Rt△AHD中，∠ADH=45, .DH= AH an∠ADi=(40W5+40)m. ∴.EF=EH+DH-DF=(8O3+ 70)m. ,'.隧道EF的长度为(80W3+70)m 530 54 46 C E H FD (第8题) 方法归纳 解不可直接求解的 双直角三角形的技巧 解双直角三角形的通常方法 是添加辅助线构造矩形与直角三 角形，设某未知线段，并利用矩形 的性质、锐角三角函数或线段的和 差关系表示其他未知线段，进而利 用锐角三角函数或线段的和差关 系列方程解决问题」 6 利用三角函数测高 1.9.5 2.如图，延长DF与AB相交于点G. 根据题意，可得四边形GAEF和四边 形FECD是矩形，∠GDB=22°， ∠GFB=31°，∠DGB=90. .AG=EF=CD=1.7 m,DF= CE=32 m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB GB GE GB .GF= tan 31 在Rt△DGB中，tan∠GDB GB GD .GD= GB tan 22 .GF+DF-GD. tan 31+DF=_GB GB tan 22. .GB≈38.4m. .'.AB=AG+GB≈40m. 7 '.世纪钟建筑AB的高度约为40m B G E (第2题) 3.A 4.58解析：设CD=xm.DE= 35m,∴.CE=CD+DE=(x+ 35)m.在Rt△BCD中，∠BDC=45°， .BC=CD·tan45°=xm.在 Rt△CBE中，∠BEC=31°，∴.BC= CE·tan31°≈0.6(x+35)m.∴.x= 0.6(x+35),解得x=52.5..CD 2m在Rt△ACD中，∠ADC 6,.AC=CD·tan6°≈52.5X 0.1=5.25(m).∴.AB=BC+AC= 52.5+5.25≈58(m)..桥塔AB的 高度约为58m. 5.8.7解析：如图，过点D作DF AE于点F,延长DC交AB于点G, 则易得DF=AG,AF=GD.由题意， 得在Rt△CBG中，tan∠CBG=S, 3 .∠CBG=30.·CG=2BC= 2米，BG=BC·cos∠CBG=4X 5=2B(米)..AF=GD=CG+ CD=2+1.5=3.5(米)，DF=AG= AB+BG=23+23=43(米).在 Rt△DFE中，EF=DF·tam∠EDF≈ 45×3=35(米)，.AE=EF+ 4 AF=3√5+3.5≈8.7（米），即旗杆 AE的高度约为8.7米. F------ 7 D Ab (第5题) 6.由题意，得四边形FGAB和四边 形NHAG为矩形， ∴.FG=AB=AD+BD=4+10= 14(m),NG=AH AD+DB+ BH=4+10+13.5=27.5(m). EG ,在Rt△EFG中，tan∠EFG= FG ,.EG≈14×0.93=13.02(m). 在Rt△MNG中，tan∠MNG MG NG ,'.MG≈27.5×0.4=11(m). ,'.EM=EG-MG=13.02-11= 2.02(m) ∴.校徽EM的高度约为2.02m. 7.(1)由题意，易得∠ABC ∠BDF=∠AFD=∠AFE=9O°， ∠EAF=30°，∠ECD=60°， ∴.四边形ABDF是矩形. ∴.AF=BD,DF=AB=2m. 设DE=xm(x>2),则EF=DE DF=(x-2)m. 在Rt△AFE中， .∠EAF=30, m2a-2=. EF .AF= 5 (x-2)m. DE 同理，可得CD= tan∠ECD 3 3(m),BC= AB 2 am∠BCA- 3 23(m). BD-c+cD-(25+号)m .AF=BD 5(x-2》=25+,解得=6 ∴.DE=6m,即树DE的高度为6m. (2)延长NM交DB的延长线于点 P,则∠NPD=90 由题意，得AM=3m,∠NDP=45°. 易得四边形AMPB为矩形， .'BP=AM=3 m,MP=AB=2 m. 由(1)，易得BC=CD=2√3m, .PD=BP+BC+CD=3+23+ 2/5=(3+4√3)m. .在Rt△NDP中，∠NDP=45°， .∠PND=∠NDP=45 '.NP=PD=(3+4√3)m. .MP=2 m, .∴.MN=NP-MP=3+4√3-2= (1+4√3)m ∴.食堂MN的高度为(1十45)m. 专题特训二构造三角函数 模型解决实际问题 1.如图，过点C作CF∥AB,过点D 作DH⊥AB于点H,交CF于点G. 由题意，可得CF∥ABDE,则DH⊥ CE. BC⊥AB ∴.∠B=∠GHB=∠GCB=90°. ∴.四边形GHBC为矩形 .∴.GH=BC=12cm. ,∠DCF=∠DCB-∠GCB= 130°-90°=40°， .在Rt△GCD中，DG=CD· sin40°≈25X0.64=16(cm). ∴.DH=DG+GH=16+12= 28(cm). ∴.当台灯光照最佳时，点D到桌面 AB的距离约为28cm. E D G AH (第1题) 2.发生变化. 如图①，过点D作DF⊥BE于点F. 由题意知，BD=DE=30cm, .在Rt△BDF中，BF=BD· cos∠ABC≈30X号=18(cm, ∴.易得BE=2BF=36cm .'BC=BE+CE=76 cm. 如图②，过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N. 由题意知，四边形DENM是矩形， .MN=DE=30 cm. 在Rt△DBM中，BM=BD· cos∠ABC≈30X 3 =18(cm), 8 EN=DM=BD·sin∠ABC≈30X 4 =24(cm). .在Rt△CEN中，由勾股定理，可得 CN=√CE2-EN2=32cm. ,'.BC=BM+MN+CN=18+30+ 32=80(cm). .BC的长度发生了变化，增加了 80-76=4(cm). A D ① D/ E ② (第2题)》 3.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 交CD于点F. 设CF=xm. a=45°， ∴.易得PF=CF=xm,AE=PE 根据题意，可得PM=200m, .FM=(x+200)m ∠CMP=30°， ∴.在Rt△FM中，FM= tan∠CMP √5.xm. ∴.√5x=x+200,解得x≈273，即 PF=273m. ∠AMP=37, ∴.在Rt△AEM中，tan37°= AE ME AE AE+PM≈0.75. .AE=600m. .EF PE-PF=AE-PF= 600-273=327(m) ∴.写字楼与小明家所在的楼房之间 的距离BD约为327m. (第3题)