4 解直角三角形-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

中，mB-裙=号可设AD 5.x(x>0),则AB=3.x.CE⊥AD, .∠CED=∠BAD=90°.又 ∠CDE=∠BDA,∴.△CDEO △m.蛋=需-品= .CE =3 5 2 DE=2x.AE= AD+DE-号在R△ACE中. 3 CE 2x tam∠CAD=AE5-5 22 6.如图，构造Rt△ABC,其中∠C= 90°，∠ABC=30°，延长CB到点D, 使BD=AB,连接AD,则∠D= 2∠ABC=15 设AC=a(a>0),由构造的三角形， 易得BC=√3a,BD=AB=2a. ∴.CD=BD+BC=(2+√3)a. .∴.在Rt△ACD中，tan15°=tanD= AC a CD(2+√3)a =2-√3 ----- (第6题) 4解直角三角形 1.B2.2√/03.65 4.(1)在Rt△ABC中， :∠C=90°，c=10,∠A=30°， ∴.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， 1 a=2c=5,b=c·cosA=10X cos30=10x5≈87. 2 (2)在Rt△ABC中， ∠C=90°，b=4,∠B=72, ∴∠A=90°-∠B=90°-72°=18， b 4 a=tanB-fam72≈1.3，c=snB sin72≈4.2. 4 (3)在Rt△ABC中， .∠C=90°，a=5,c=7, ∴.b=√c2-a=√72-了≈4.9. 'sinA=4=5 c7 ∴.∠A≈46. ∴.∠B=90°-∠A=90°-46°=44°. (4)在Rt△ABC中， ∠C=90°，a=5,b=12, ∴.c=√a2+b2=√52+122=13. .∠A≈23. .∠B=90°-∠A=90°-23°=67. 5.A 6.B解析：如图，过点D作DF⊥ AB,垂足为F.AD平分∠BAC, DE⊥AC,DF⊥AB,∴.易得DE= DF=1.在Rt△BFD中，，sinB= 孺=号BD=.m √BD-DF=1.∴.AF=AB- BF=2.在Rt△AFD中，AD= √AF+DF=√22+1=√5. D (第6题) 1.2 8.3.5解析：由题意，得∠ABC= ∠AB'C'=90°，∠CAC=15°，AC= AC'=4m.在Rt△ABC中，BC= 22msn∠CAB=BC=2E ② 易得∠CAB=45∠CAB= ∠CAC+∠CAB=60°.在Rt△AB'C 3 中，B'C'=AC'·sim60°=4X2 2√3≈3.5(m).∴.此时露在水面上的 渔线B'C'的长度约为3.5m. 9.(1)由题意，得AO⊥CD, .∠AOD=90°. 在Rt△AOD中，∠a=64°，AD= 2m, 5 .'.OD=AD·sin64°≈2×0.90= 1.8(m). AC=AD, .易得CD=2OD=3.6m. (2)如图，过点E作EN⊥AB于点 N,则易得四边形ENBF为矩形， ∠ANE=90°. ∴.EN=BF=3m. 在Rt△ANE中，∠a=64°， .AN 3 3 tan64≈2.05≈1.5(m). 设点E下降到点E',∠E'AM=45°， 过点E'作E'M⊥AB于点M,则易得 四边形E'MBF和四边形NMEE为 矩形，∠AME'=90°. ∴.E'M=BF=3m,EE'=MN. .∠E'AM=45°， .易得AM=3m. ∴.MN=AM-AN=3-1.5= 1.5(m). ∴.EE'=MN=1.5m. .点E下降的高度约为1.5m. A Mp---- B (第9题) 方法归纳 解直角三角形的思路 解直角三角形的思路可概括 为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）， 无斜用切（正切），宁乘勿除，取原 避中”.其含义是当已知条件中有 斜边时，运用正弦或余弦，无斜边 时，就用正切：当所求问题既可用 乘法又可用除法求解时，通常用乘 法，不用除法：当既可用原始数据 又可用中间数据求解时，选用原始 数据，而尽量不用中间数据. 10.如图，过点C作CD⊥AB,交BA 的延长线于点D. 在Rt△CDA中， :AC=30m,∠CAD=180° ∠CAB=180°-120°=60°， '.CD=AC·sin∠CAD=30· sin60°=15√3(m),AD=AC· cos∠CAD=30·cos60°=15(m). ∴.在Rt△CDB中，BD= √BC-CD=√J702-(153)2= 65(m). .∴.AB=BD-AD=65-15=50(m). '.A,B两个凉亭之间的距离为50m B (第10题) 方法归纳 构造含有特殊角的直角三角形 解斜三角形时，若三角形中存 在特殊角或是特殊角的和、差，则 通常添加辅助线来构造含有特殊 角的直角三角形.添加辅助线的方 法通常有两种，一种是在三角形内 作高，将三角形分成两个直角三角 形：另一种是在三角形外作高，构 造两个有一条公共直角边的直角 三角形.无论采用哪种添加方法， 其原则都是所构造的直角三角形 中至少有一个三角形含有特殊角， 并且能使问题顺利得到解决. 11.(1),∠A=90,∠D=60°， ∴.∠E=90°-60°=30 .∠BCD=90°， .∠BCE=90° ∠E=30°，BC=√5， ∴.BE=2BC=2√5. ∴.AE=AB+BE=45+2√5=6√5」 .在Rt△ADE中，AD=AE· tan E63x =6。 (2)延长AB与DC相交于点E. .'∠ABC=∠BCD=135°， ..∠EBC=∠ECB=45 ..BE=CE,∠BEC=90°. 设BE=CE=x(x>O),则易得BC= 2x,AE=9+x,DE=3+x. 在Rt△ADE中，∠BEC=90°， tan A= 1 2 “AE2,即3+2=1 9+7=2,解得x=3 .BC=3√2，AE=12,DE=6. .在Rt△ADE中，AD= √AE+DE=√122+6=65. 5三角函数的应用 1.C2.120√5 3.如图. 由题意，得DB∥AECO, ∴.∠DBC=∠BO=36.9°，∠EAC= ∠AC0=30°. 在Rt△ACO中，AC=24m, .AO= 7AC=12m,0 √AC2-AO7=12√5m. .在Rt△BCO中，BO=CO· tan∠BCO≈125×0.75=9√5(m). .AB=B0-AO=9W5-12≈ 3.6(m). '.无人机从点A到点B的上升高度 AB约为3.6m. D-369y7B E-- C==二二一一一一 (第3题) 4.C解析：如图，过点A作AH⊥ BC于点H.由题意，得∠BAC 180°-80°-25°=75°.：∠ABC= 45,∠AHB=90°，∴.∠BAH=45 ∴.∠CAH=∠BAC-∠BAH= 75°-45°=30°.在Rt△ABH中， ∠B=45,AB=3√2km, ∴.AH=BH=3km.在Rt△ACH 中，：∠CAH=30°，∴.CH m∠CAH·AH-5×3=5(m. 3 ∴.BC=BH+CH=(3+√5)km 北 80 →东 B (第4题) 6 5.169.6解析：如图，过点A作 AG⊥EF,垂足为G,过点D作DH⊥ EF,垂足为H,则易得AB=GF, AG=BF=210cm,∠GAB=90°.在 Rt△DBC中，∠DCB=42°，CD= 50cm,'.DB=CD·sin42°≈50X 0.67=33.5(cm.AD=15cm, ∴.GF=AB=AD+DB=15+ 33.5=48.5(cm.∠EAD=120°， ∴.∠EAG=∠EAD-∠GAB=30°， 在Rt△EAG中，EG=AG·tan30°= 210×3 =70W3(cm),'.EF=EG+ 3 GF=70√3+48.5≈169.6(cm). G B (第5题) 6.如图，过点B作BF⊥AD于点F. 在Rt△ABF中， i=2:3, ∴.可设BF=2km,则AF=5km. .BF2AF2=AB2, .(2k)2+(W5k)2=(207)2. ∴.k=20. ∴.BF=2×20=40(m). 延长BC,DE交于点H,则易得 DH⊥CH,四边形BFDH为矩形. ∴.DH=BF=40m. 在Rt△CDH中， 'tan∠DCH= DH CH' DH ·.CH=tan ZDCH 40 =tan60= 40W3 3(m). 在Rt△CEH中， “m∠CH-8品 ·EH=CH·tan∠ECH=4OE, 3 tan37°≈40W3 3 ×3=103(m). 4 .DE=DH-EH=(40-10√3)m.拔尖特训·数学（北师版）九年级下 4 解直角三角形 “答案与解析”见P5 自基础进阶 幻素能攀升 1.在△ABC中，∠C=90°，AB=4,AC=2,欲5如图，△ABC底边BC上的高为h1,△PQR 求∠A的度数，最合适的解法是 底边QR上的高为h2,则 ( A.计算sinA的值求解 P B.计算cosA的值求解 C.计算tanA的值求解 1256 55 D.先根据sinB求出∠B,再用90°-∠B求解 (第5题) 2如图，在△ABC中，sinB= A.h=h2 4,tan C=3, B.h<h2 C.h>h2 D.以上都有可能 AB=8,则AC的长为 6.(2025·西安雁塔模拟)如图，在△ABC中， AD平分∠BAC,DE⊥AC.若AB=3,DE= 1.sin B ,则线段AD的长为 ( 31 (第2题) (第3题) A.2 3.新情境·现实生活(2025·眉山改编)人字梯 B.5 为现代家庭常用的工具如图，若AB,AC的 C.2√2 长都为2m,测得人字梯两底间的距离BC为 D.23 (第6题) 1.68m,则人字梯与地面的夹角a约为 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= (结果精确到1°). 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是 15,0sA=,D是边AB的中点，过点B作 ∠A,∠B,∠C的对边.根据下列条件解直角 BE⊥CD,交CD的延长线于点E,则DE的 三角形（边长精确到0.1，角度精确到1°）. 长为 (1)c=10,∠A=30° (2)b=4,∠B=72°. (3)a=5,c=7. (4)a=5,b=12. (第7题) (第8题) 8.甲、乙两人约好一起去江边垂钓.如图，钓鱼竿 AC的长为4m,露在水面上的渔线BC的长 为2√2m,把鱼竿AC按逆时针方向转动15° 到AC'的位置，此时露在水面上的渔线BC' 的长度约为 m(结果精确到0.1m, 参考数据：√5≈1.73). 10 第一章直角三角形的边角关系 9.*许多露营爱好者在某研学基地露营，为了遮的思维拓展 阳和防雨，会搭建一种“天幕”，同学们想借此 11.新考法·过程性学习小红遇到这样 机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角 一个问题：如图①，在四边形ABCD 度大小对遮阳宽度的影响.如图，“天幕”侧面 中，∠A=∠C=90°，∠D=60°， 结构示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于 AB=4√3，BC=√3，求AD的长.小红发 地面的支杆AB,用绳子拉直AD后系在树 现，延长AB与DC相交于点E(如图②)， 干EF上的点E处，使得点A,D,E在一条 通过构造Rt△ADE,经过推理和计算能够 直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕” 使问题得到解决 的开合，AC=AD=2m,BF=3m. (1)利用小红的方法求AD的长 (1)天晴时打开“天幕”，若∠α=64°，求遮阳 (2)参照小红的方法，解决问题：如图③，在 宽度CD的长 (2)下雨时收拢“天幕”，若∠a从64°减少到 四边形ABCD中，amA=分∠B=∠C= 45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m, 135°，AB=9,CD=3,求BC和AD的长 参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44， tan64°≈2.05，W2≈1.41). 4 C∠ D ② (第11题) B F (第9题) 10.★如图，在一次课外实践活动中，同学们要测 量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的 距离.现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB 120°，请计算A,B两个凉亭之间的距离， (第10题) 11