专题特训二 构造三角函数模型解决实际问题-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 专题特训二构造三角函数模型解决实际问题 、》“答案与解析”见P8 类型一构造单直角三角形 2.某工厂生产某种多功能儿童车，根 1.某公司推出的护眼台灯的侧面结构如图所示 据需要可变形为如图①所示的滑板 (台灯底座的高度忽略不计)，其中灯柱BC= 车或如图②所示的自行车，已知前 12cm,灯臂CD=25cm,灯罩DE=15cm, 后车轮的半径相同，AD=BD=DE=30cm, BC⊥AB,CD,DE可以分别绕点C,D旋转 CE=40cm,车杆AB与BC所成的∠ABC= 调节一定的角度.经使用发现：当∠DCB 53°，图①中B,E,C三点共线，图②中的座板 130°，且ED∥AB时，台灯光照最佳.求当台 DE与地面保持平行.问：变形前后两轴心 灯光照最佳时，点D到桌面AB的距离（参考 BC的长度有没有发生变化？若没有发生变 数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈ 化，请写出BC的长度；若发生变化，请求出 0.84). 变化的显参考数据：sm53*号cos53 E D 5,tan53°≈ 4 3 (第1题) (第2题 类型二构造“背靠背型”共边双直角三角形 模型示例：如图.若三角形中有已知 角，则可以通过在三角形内作高 类型三构造“母子型”双直角三角形 CD,构造出有公共直角边的两个直 模型示例：如图 角三角形进行求解。 等量关系：CD为公共边，AD十DB=AB. 模型演变： D B 若三角形中有已知角，则可以通过在三角形外作高 BC,构造有公共直角的两个直角三角形进行求解. 等量关系：BC为公共边，AD十DC=AC. 16 第一章直角三角形的边角关系 3.如图，小明家所在的楼房CD后面新建了一栋 类型四 构造“拥抱型”双直角三角形 写字楼AB,某日，小明出去散步，当走到点Q 模型示例：如图①②③. 处时，恰好只能看到写字楼的顶点A,此时的 仰角α=45°，当他继续向前走200m到达点N 处时，观察到写字楼的顶点A的仰角∠AMP= C(F) ① ② ③ 37°，自己住的楼房顶点C的仰角为30°，求写 等量关系：图①，BC=CB;图②，BF+FC+CE= 字楼与小明家所在的楼房之间的距离BD BE;图③，BC+FE=AG (结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60， 4.(2025·成都)在综合与实践活动中 cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√3≈1.732). 某学习小组用无人机测量校园西门 A与东门B之间的距离.如图，无人 机从西门A处垂直上升至点C处，在点C处 M 测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向 飞行60米到达点D处，在点D处测得西门 (第3题) A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B 之间的距离（结果精确到0.1米，参考数据： sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈ 2.00,√3≈1.73). 34 (第4题) 1714(m),NG=AH AD+DB+ BH=4+10+13.5=27.5(m). EG ,在Rt△EFG中，tan∠EFG= FG ,.EG≈14×0.93=13.02(m). 在Rt△MNG中，tan∠MNG MG NG ,'.MG≈27.5×0.4=11(m). ,'.EM=EG-MG=13.02-11= 2.02(m) ∴.校徽EM的高度约为2.02m. 7.(1)由题意，易得∠ABC ∠BDF=∠AFD=∠AFE=9O°， ∠EAF=30°，∠ECD=60°， ∴.四边形ABDF是矩形. ∴.AF=BD,DF=AB=2m. 设DE=xm(x>2),则EF=DE DF=(x-2)m. 在Rt△AFE中， .∠EAF=30, m2a-2=. EF .AF= 5 (x-2)m. DE 同理，可得CD= tan∠ECD 3 3(m),BC= AB 2 am∠BCA- 3 23(m). BD-c+cD-(25+号)m .AF=BD 5(x-2》=25+,解得=6 ∴.DE=6m,即树DE的高度为6m. (2)延长NM交DB的延长线于点 P,则∠NPD=90 由题意，得AM=3m,∠NDP=45°. 易得四边形AMPB为矩形， .'BP=AM=3 m,MP=AB=2 m. 由(1)，易得BC=CD=2√3m, .PD=BP+BC+CD=3+23+ 2/5=(3+4√3)m. .在Rt△NDP中，∠NDP=45°， .∠PND=∠NDP=45 '.NP=PD=(3+4√3)m. .MP=2 m, .∴.MN=NP-MP=3+4√3-2= (1+4√3)m ∴.食堂MN的高度为(1十45)m. 专题特训二构造三角函数 模型解决实际问题 1.如图，过点C作CF∥AB,过点D 作DH⊥AB于点H,交CF于点G. 由题意，可得CF∥ABDE,则DH⊥ CE. BC⊥AB ∴.∠B=∠GHB=∠GCB=90°. ∴.四边形GHBC为矩形 .∴.GH=BC=12cm. ,∠DCF=∠DCB-∠GCB= 130°-90°=40°， .在Rt△GCD中，DG=CD· sin40°≈25X0.64=16(cm). ∴.DH=DG+GH=16+12= 28(cm). ∴.当台灯光照最佳时，点D到桌面 AB的距离约为28cm. E D G AH (第1题) 2.发生变化. 如图①，过点D作DF⊥BE于点F. 由题意知，BD=DE=30cm, .在Rt△BDF中，BF=BD· cos∠ABC≈30X号=18(cm, ∴.易得BE=2BF=36cm .'BC=BE+CE=76 cm. 如图②，过点D作DM⊥BC于点M, 过点E作EN⊥BC于点N. 由题意知，四边形DENM是矩形， .MN=DE=30 cm. 在Rt△DBM中，BM=BD· cos∠ABC≈30X 3 =18(cm), 8 EN=DM=BD·sin∠ABC≈30X 4 =24(cm). .在Rt△CEN中，由勾股定理，可得 CN=√CE2-EN2=32cm. ,'.BC=BM+MN+CN=18+30+ 32=80(cm). .BC的长度发生了变化，增加了 80-76=4(cm). A D ① D/ E ② (第2题)》 3.如图，过点P作PE⊥AB于点E, 交CD于点F. 设CF=xm. a=45°， ∴.易得PF=CF=xm,AE=PE 根据题意，可得PM=200m, .FM=(x+200)m ∠CMP=30°， ∴.在Rt△FM中，FM= tan∠CMP √5.xm. ∴.√5x=x+200,解得x≈273，即 PF=273m. ∠AMP=37, ∴.在Rt△AEM中，tan37°= AE ME AE AE+PM≈0.75. .AE=600m. .EF PE-PF=AE-PF= 600-273=327(m) ∴.写字楼与小明家所在的楼房之间 的距离BD约为327m. (第3题) 4.由题意，得∠CAB=∠ACD=90, ∠ABC=30°，CD=60米 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈ 60×2.00=120(米). .在R△ABC中，AB=an30 AC 120≈207.6（米）. 3 ∴.校园西门A与东门B之间的距离 约为207.6米 专题特训三解直角三角形的 四种应用类型 L.如图，过点D作DH⊥BC于点 H,过点E作EG⊥BC于点G. 由题意，得∠BDH=37°，∠CEG= 45°，AE=26米，DE=10米 ∴.易得CG=AE=AC=EG=DH= 26米，DE=HG=10米. 在Rt△BDH中， ,∠BDH=37, ∴.BH=DH·tan37°≈26X0.75= 19.5(米). .BC=CG+HG+BH=26+10+ 19.5=55.5(米). .大楼BC的高度约是55.5米 B D人37°. H G 45 A (第1题) 2.(1)过点B作BE⊥AC于点E 设BE=x海里， 依题意，得∠EBC=53°，∠EBD= 45,CD=10X号=5（海里）. ∴.∠C=90°-∠EBC=37°，ED= BE=x海里 ∴.EC=ED+DC=(x+5)海里， 在Rt△BCE中，EC=BE tanC tan37≈ 0.7万3x(海里. ∷ 3x=x十5，解得x=15. '.渔船在航行过程中到灯塔B的最 短距离约为15海里。 (2)在Rt△ABE中，∠ABE=14°， BE=15海里， ∴.AE=BE·tan14°≈15X0.25= 3.75(海里). '.AC=AE+DE+C=3.75+15+ 5=23.75(海里)」 ·23.75÷10=2.375(小时)， 2.375小时=142.5分钟， 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30， '.渔船能在17：30之前到达码头A ∴.不改变航行速度，渔船能在浓雾到 来前到达码头A. 3.(1)如图，延长BA交CF于点H, 过点D作DG⊥CF于点G,则易得四 边形DGHA为矩形 .GH=AD=1m,DG=AH 斜坡CD的坡度i=1:√， ∴.tan∠DCF= DG1_3 G53' ∴.∠DCF=30° ∴.DG=2CD=2m. 在Rt△CDG中，由勾股定理，得CG √CD2-DG=√42-2=25(m). ∴.CH=CG+GH=(23+1)m. 在Rt△BCH中，∠BCH=60°， :tan∠BCH-CF' BH '.BH=CH·tan∠BCH=(2√3+ 1)×W3=(6+√3)m. .AB=BH-AH=6+√5-2= (4+√5)m. ∴.灯杆AB的高度为(4十√5)m. (2)在Rt△BEH中，∠BEH=28, BH :tan∠BEH= EH BH 6+√3 .EH= tan∠BEH tan28 14.58(m). ∴.CE=EH-CH=14.58-(23+ 9 1)≈10.1(m). .CE的长约为10.1m C GH F (第3题) 4.(1)GH⊥CE,EF的长为4米， ∠CFG=60.3°， ∴.在Rt△CEF中，tan∠CFG= E示≈1.75. CE .CE≈7米 .∠BFG=45, ∴.BE=EF=4米 ∴.BC=CE-BE=3米. (2)如图，过点A作AM⊥GH于 点M ∴.易得AM=BE=4米，AB=ME ∠AFG=21.8°， ∴.在Rt△AMF中，tan∠AFG= AM ME ≈0.40. .MF≈10米. ∴.AB=ME=MF-EF=10-4= 6(米). .底座的底面ABCD的面积为 CB·AB=3×6=18(平方米). G-0 M E (第4题) 第一章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1在Rt△ABC中， :∠G=0mA-器 ∴.设BC=8k(k>0),则AB=17k, 根据勾股定理，得AC=√AB一BC= √(17k)2-(8k)z=15k. AC_15k=15 ·cosA=AB=173=7,anA= BC8k8 AC 15k15