专题2 利用三角函数解决实际问题的三种模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）

专题2 利用三角函数 模型1“背靠背”型 ●方法指导 B A D 基本图形 AA B y D B 辅助线 de B B E 1.某校“综合与实践”活动小组借助无人机测 量某纪念碑主碑AB的高度.如图，先将无 人机升至距离地面10m高的点C处，测得 主碑最高点A的仰角∠MCA为37°，再将 无人机从点C处竖直向上升高至距离地面 15.8m高的点D处，测得点A的俯角 ∠NDA为45°.已知点A,B,C,D,E在同 一平面内，求纪念碑主碑AB的高度.（结 果精确到0.1m,参考数据：sin37°≈ 0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 45 B 4一本·初中数学9年级下册BS版 解决实际问题的三种模型 模型2 “母抱子”型 ●方法指导 基本 B 图形 ■ B M Bb D AN 辅助 线 E女1 a A DM a△D 2.(2025·天津)综合与实践活动中，要用测角 仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度 (如图1).某学习小组设计了一个方案：如 图2，点A,E,C依次在同一条水平直线 上，CD⊥AC,EF⊥AC,且CD=EF= 1.7m.在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰 角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部B 的仰角为31°，CE=32m.根据该学习小组 测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高 度.（结果取整数，参考数据：tan22°≈0.4， tan31°≈0.6) B 3F22 D y 图1 图2 3.(2025·抚顺新抚区四模)随着传统能源的日益 紧缺，太阳能路灯的应用将会越来越广 泛.一款太阳能路灯实物图如图1所示，某 校兴趣小组测量太阳能路灯高度及灯臂长 度的实践活动示意图如图2所示，其中测 倾器（测量角的仪器）FE的高度为1.5米， 点O,F,N在水平地面的同一直线上.在 点F处安置测倾器，测得电池板顶端点C 的仰角∠CED=45°，在与点F相距1.5米 的点N处安置测倾器，测得灯罩顶端点A 的仰角∠AMD=37°，B为灯臂与路灯立 柱OC的连接点（点A,B,M在一条直线 上)，AC⊥OC,测得OF=9米. (1)求电池板顶端点C离地面的高度； (2)求灯臂AB的长度.（结果精确到 0.1米，参考数据：sm37r≈子60s37 4 tam37≈ 、37 45C】 DE 0 FN 图1 图2 模型3 “拥抱”型 。方法指导 D 基本 图形 B F C E B C(F 辅助 线 B C(F可E 4.某数学兴趣小组在一次课外活动中，测量 徒骇河某河段的宽CD.如图，小组成员选 取桥上两点A,B,点A,E,C在河岸的同 一直线上，且AB1AC已知把-}点 A,E间的距离为80m,在点B处测得BD 与平行于AC的直线间的夹角为30°，在点 E处测得ED与直线AC之间的夹角为 60°，求此河段的宽CD.(结果保留根号) A B 30 60 第一章直角三角形的边角关系5,四边形ABCD内接于⊙O,∴.∠A十∠BCD=180° .∠BCD=120°，.∠A=60°，.∠BOD=120° .OB=OD,OH⊥BD,∴.BH=DH,∠BOH=60° .⊙O的半径为6，.BH=OB·sin∠BOH=6Xsin60°= 6X③ 2 =3/3,∴.BD=2BH=63. 解法2（作直径，将弦构造成直角边）： 如图，作直径DE,连接BE.由圆周角定E 理，得∠A=∠E,∠EBD=90° 0 四边形ABCD内接于⊙O, .∠A+∠BCD=180°. ∠BCD=120°，.∠A=60°，∴.∠E=60° ⊙0的半径为6，.DE=12, ÷BD=DE·sinE=12Xsim60=12x5=65. 2 【变式】A8.C9.D 10.解：(1)证明：如图，连接OA,则OA=OC. .BC是⊙O的直径，.∠BAC=90° ,∠ABE=∠CAE,∠OCA=∠OAC, ∴.∠OAE=∠CAE+∠OAC=∠ABE+∠OCA=90°， .OA⊥AE.OA是⊙O的半径，.AE是⊙O的切线， (2)12√2 11.B12.C13.8x 中考新趋势 1432.40x3号-25 4.(1)③(2)7.68 专题提升 第一章直角三角形的边角关系 专题1求锐角三角函数值常用的四种方法 1c273.)a(②)4c5c65 7.D 7 8 【变式1号9号1o.D11 A 12,解：I)在R△ABC中，∠C=90,amB-,AB=5, ∴.可设AC=3x,BC=4x. .AC2+BC2=AB2,∴.(3.x)2+(4x)2=52, 解得x=-1(舍去)或x=1,.AC=3,BC=4. BD=1,∴.CD=3,.AD=√CD+AC=32. (2)解法1：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ·答 A B- D 5 3 DE5√2 ∴sina=AD3√2101 解法2：如图，过点B作BM⊥AD,交AD的延长线于点M B&'D C M 由(1)，得CD=AC=3,∴.∠ADC=45°，∴.∠BDM=45°. 在Rt△BMD中，BD=1, BM=BD·sin∠BDM=IXE=-Y2 22 ④ BM2_√E Rt△BMA中，sima=ABF5日 专题2利用三角函数解决实际问题的三种模型 1.纪念碑主碑AB的高度约为12.5m 2.世纪钟建筑AB的高度约为40m 3.(1)电池板顶端点C离地面的高度为10.5米 (2)灯臂AB的长度约为1.9米 4.此河段的宽CD为(40√3+30)m 专题3综合与实践 1.(1)最短距离约为15海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A 2.任务一：冬至14° 任务二：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能 热水器 第二章二次函数 专题4二次函数图象的平移与对称 【例1】A【变式1】B【变式2】D【变式3】D 【变式4】<【例2】B【变式1】D 【变式21C【变式3】D【变式4】x=号 专题5二次函数的实际应用 1.(1)40m (2)当FG的长为20m时，△ABC空地改造的总投资最 小，最小总投资为26400元 案10.