5 三角函数的应用-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

'.CD=AC·sin∠CAD=30· sin60°=15√3(m),AD=AC· cos∠CAD=30·cos60°=15(m). ∴.在Rt△CDB中，BD= √BC-CD=√J702-(153)2= 65(m). .∴.AB=BD-AD=65-15=50(m). '.A,B两个凉亭之间的距离为50m B (第10题) 方法归纳 构造含有特殊角的直角三角形 解斜三角形时，若三角形中存 在特殊角或是特殊角的和、差，则 通常添加辅助线来构造含有特殊 角的直角三角形.添加辅助线的方 法通常有两种，一种是在三角形内 作高，将三角形分成两个直角三角 形：另一种是在三角形外作高，构 造两个有一条公共直角边的直角 三角形.无论采用哪种添加方法， 其原则都是所构造的直角三角形 中至少有一个三角形含有特殊角， 并且能使问题顺利得到解决. 11.(1),∠A=90,∠D=60°， ∴.∠E=90°-60°=30 .∠BCD=90°， .∠BCE=90° ∠E=30°，BC=√5， ∴.BE=2BC=2√5. ∴.AE=AB+BE=45+2√5=6√5」 .在Rt△ADE中，AD=AE· tan E63x =6。 (2)延长AB与DC相交于点E. .'∠ABC=∠BCD=135°， ..∠EBC=∠ECB=45 ..BE=CE,∠BEC=90°. 设BE=CE=x(x>O),则易得BC= 2x,AE=9+x,DE=3+x. 在Rt△ADE中，∠BEC=90°， tan A= 1 2 “AE2,即3+2=1 9+7=2,解得x=3 .BC=3√2，AE=12,DE=6. .在Rt△ADE中，AD= √AE+DE=√122+6=65. 5三角函数的应用 1.C2.120√5 3.如图. 由题意，得DB∥AECO, ∴.∠DBC=∠BO=36.9°，∠EAC= ∠AC0=30°. 在Rt△ACO中，AC=24m, .AO= 7AC=12m,0 √AC2-AO7=12√5m. .在Rt△BCO中，BO=CO· tan∠BCO≈125×0.75=9√5(m). .AB=B0-AO=9W5-12≈ 3.6(m). '.无人机从点A到点B的上升高度 AB约为3.6m. D-369y7B E-- C==二二一一一一 (第3题) 4.C解析：如图，过点A作AH⊥ BC于点H.由题意，得∠BAC 180°-80°-25°=75°.：∠ABC= 45,∠AHB=90°，∴.∠BAH=45 ∴.∠CAH=∠BAC-∠BAH= 75°-45°=30°.在Rt△ABH中， ∠B=45,AB=3√2km, ∴.AH=BH=3km.在Rt△ACH 中，：∠CAH=30°，∴.CH m∠CAH·AH-5×3=5(m. 3 ∴.BC=BH+CH=(3+√5)km 北 80 →东 B (第4题) 6 5.169.6解析：如图，过点A作 AG⊥EF,垂足为G,过点D作DH⊥ EF,垂足为H,则易得AB=GF, AG=BF=210cm,∠GAB=90°.在 Rt△DBC中，∠DCB=42°，CD= 50cm,'.DB=CD·sin42°≈50X 0.67=33.5(cm.AD=15cm, ∴.GF=AB=AD+DB=15+ 33.5=48.5(cm.∠EAD=120°， ∴.∠EAG=∠EAD-∠GAB=30°， 在Rt△EAG中，EG=AG·tan30°= 210×3 =70W3(cm),'.EF=EG+ 3 GF=70√3+48.5≈169.6(cm). G B (第5题) 6.如图，过点B作BF⊥AD于点F. 在Rt△ABF中， i=2:3, ∴.可设BF=2km,则AF=5km. .BF2AF2=AB2, .(2k)2+(W5k)2=(207)2. ∴.k=20. ∴.BF=2×20=40(m). 延长BC,DE交于点H,则易得 DH⊥CH,四边形BFDH为矩形. ∴.DH=BF=40m. 在Rt△CDH中， 'tan∠DCH= DH CH' DH ·.CH=tan ZDCH 40 =tan60= 40W3 3(m). 在Rt△CEH中， “m∠CH-8品 ·EH=CH·tan∠ECH=4OE, 3 tan37°≈40W3 3 ×3=103(m). 4 .DE=DH-EH=(40-10√3)m. '.古树DE的高度约为(40一10W3)m. B C37 H 2:3 0 (第6题) 7.如图，过点C作CG⊥AB于点G, 过点D作DH⊥AB于点H,则易得 四边形CDHG是矩形， .GH=CD=10 m,CG=DH 在Rt△ACG中，∠1=45°， ∴.易得CG=AG. ..可设CG=AG=DH=xm. 在Rt△BCG中， :∠2=52， ,∴.BG=CG·tan52°≈1.3.xm. 在Rt△BDH中， ∠3=65， ∴.BH=DH·tan65≈2.lxm. .'GH=BH-BG=2.1z-1.3= 0.8.xm. 0.8x=10. .x=12.5. .AB=BG+AG=1.3×12.5+ 12.5≈29(m). ∴.大楼的高度AB约为29m. B D E (第7题) 8.如图，过点A作AH⊥DE,垂足 为H 设EH=xm. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°， ∴.AH=EH·tan∠AEH=xm. .CE=80m, .CH=CE+EH=(80+x)m. 在Rt△ACH中，∠ACH=30°， x3 .tan∠ACH=cH80+x=s. .x=40W5+40. .∴.AH=EH=(40√3+40)m. 在Rt△AHD中，∠ADH=45, .DH= AH an∠ADi=(40W5+40)m. ∴.EF=EH+DH-DF=(8O3+ 70)m. ,'.隧道EF的长度为(80W3+70)m 530 54 46 C E H FD (第8题) 方法归纳 解不可直接求解的 双直角三角形的技巧 解双直角三角形的通常方法 是添加辅助线构造矩形与直角三 角形，设某未知线段，并利用矩形 的性质、锐角三角函数或线段的和 差关系表示其他未知线段，进而利 用锐角三角函数或线段的和差关 系列方程解决问题」 6 利用三角函数测高 1.9.5 2.如图，延长DF与AB相交于点G. 根据题意，可得四边形GAEF和四边 形FECD是矩形，∠GDB=22°， ∠GFB=31°，∠DGB=90. .AG=EF=CD=1.7 m,DF= CE=32 m. 在Rt△FGB中，tan∠GFB GB GE GB .GF= tan 31 在Rt△DGB中，tan∠GDB GB GD .GD= GB tan 22 .GF+DF-GD. tan 31+DF=_GB GB tan 22. .GB≈38.4m. .'.AB=AG+GB≈40m. 7 '.世纪钟建筑AB的高度约为40m B G E (第2题) 3.A 4.58解析：设CD=xm.DE= 35m,∴.CE=CD+DE=(x+ 35)m.在Rt△BCD中，∠BDC=45°， .BC=CD·tan45°=xm.在 Rt△CBE中，∠BEC=31°，∴.BC= CE·tan31°≈0.6(x+35)m.∴.x= 0.6(x+35),解得x=52.5..CD 2m在Rt△ACD中，∠ADC 6,.AC=CD·tan6°≈52.5X 0.1=5.25(m).∴.AB=BC+AC= 52.5+5.25≈58(m)..桥塔AB的 高度约为58m. 5.8.7解析：如图，过点D作DF AE于点F,延长DC交AB于点G, 则易得DF=AG,AF=GD.由题意， 得在Rt△CBG中，tan∠CBG=S, 3 .∠CBG=30.·CG=2BC= 2米，BG=BC·cos∠CBG=4X 5=2B(米)..AF=GD=CG+ CD=2+1.5=3.5(米)，DF=AG= AB+BG=23+23=43(米).在 Rt△DFE中，EF=DF·tam∠EDF≈ 45×3=35(米)，.AE=EF+ 4 AF=3√5+3.5≈8.7（米），即旗杆 AE的高度约为8.7米. F------ 7 D Ab (第5题) 6.由题意，得四边形FGAB和四边 形NHAG为矩形， ∴.FG=AB=AD+BD=4+10=拔尖特训·数学（北师版）九年级下 ,三角函 5 自基础进阶 1.如图，有一信号塔CD,小红站在点F处，测得 信号塔顶D的仰角为28°，小红向前走了40m, 到达点E处，测得信号塔顶D的仰角为56°，则 信号塔的高度CD用三角函数表示为( ) A.40sin28°m B.40tan28°m C.40sin56°m D.40tan58°m ) 信号塔 60730 56 28 E -----B (第1题) (第2题) 2.(2025·内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端 A,B之间的距离不易测量，某科技小组需要 用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行 至距湖面90m的，点C处，从点C测得点A的 俯角为60°，测得点B的俯角为30°(A,B,C 三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A,B 之间的距离为 m(结果保留根号). 3.(2025·广安)如图，O,C是同一水平线上的 两点，无人机从点O竖直上升到点A,在点A 测得点C的俯角为30°，A,C两，点之间的距 离为24m.无人机继续竖直上升到点B,在 点B测得点C的俯角为36.9°.求无人机从 点A到点B的上升高度AB(点O,A,B,C 在同一平面内，结果精确到0.1m,参考数据： sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈ 0.75,3≈1.73). 36.97B (第3题)》 12 数的应用 ●“答案与解析”见P6 幻素能攀升 4.某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A为 出发点，途中设置两个检查点，分别为B和 C,行进路线为A→B→C→A.点B在点A 的南偏东25°方向3√2km处，点C在点A的 北偏东80°方向，∠ABC=45°，则检查点B 和C之间的距离为 () 北 东 (第4题)》 A.(6+6√3)km B.(3+3√5)km C.(3+√3)km D.4.5 km 5.新情境·现实生活投影仪是一种可以将图象 或视频投射到幕布上的设备.如图①所示为 某投影仪投屏的情景，如图②所示为其侧面 结构.已知支撑杆AD与地面FC垂直，且 AD的长为15cm,脚杆CD的长为50cm, AD距墙面EF的水平距离为210cm,投影 仪光源散发器与支撑杆的夹角∠EAD 120°，脚杆CD与地面的夹角∠DCB=42°， 则光源投屏最高点与地面之间的距离EF为 cm(参考数据：sin42°≈0.67， cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，√3≈1.73，结 果精确到0.1cm). ① (第5题) 6.新考法·综合与实践如图，某数学兴趣小组为 了测量古树DE的高度，采用了如下的方法： 先从与古树底端点D在同一水平线上的点 A出发，沿斜面坡度为i=2：√3的斜坡AB 前进20√7m到达点B,再沿水平方向继续 前进一段距离后到达点C.在点C处测得古 树DE的顶端点E的俯角为37°，底端点D 的俯角为60°，求古树DE的高度参考数据： sin37°≈ 5,C0s37°≈ ，计算结 5,tan37°≈3 果保留根号· 3 2:3 (第6题) 7.(2025·威海)小明同学计划测量小河对面一 幢大楼的高度AB.测量方案如图所示：先从 自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰 角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的 度数.然后在点C正下方点D处，测得大楼 顶部点B的仰角∠3的度数.若∠1=45°， ∠2=52°，∠3=65°，CD=10m,求大楼的高 第一章直角三角形的边角关系 度AB(结果精确到1m,参考数据：sin52°≈ 0.8,cos52°≈0.6，tan52°≈1.3，sin65°≈ 0.9,c0s65°≈0.4，tan65°≈2.1). B D (第7题) 思维拓展 8.★如图，计划在山顶点A的正下方 沿直线CD方向开凿穿山隧道EF. 在点E处测得山顶点A的仰角为 45°，在距点E80m的点C处测得山顶点A 的仰角为30°，在与点F相距10m的点D处 测得山顶点A的仰角为45°，点C,E,F,D 在同一条直线上，求隧道EF的长度 5304 4 FD (第8题) 13