3 三角函数的计算&专题特训一 求锐角三角函数值的常见方法-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

2.如图①，当点P在线段AB上时 ,∠PCB=30°，∴.∠BPC=90°. :.CP=BC·cos30°=2x5=5. 2 如图①，当点P'在AB的延长线上 时，∠P'CB=30°，∠ABC=60°， .∠P=30..易得CP'=2CP= 2√5.②当∠A=60时，点P只能在 线段AB上，如图②，.∠PCB=30°， ∠ACB=90,∠A=60,∴.∠B= 30°，∠ACP=60°..易得△PAC为 等边三角形.∴.易得CP=AP BP=AB=2.综上所述，CP的长 为√5或2√3或2. ② (第12题) 13.(1)过点B作BM⊥AC于点M. 由题意，可得∠BAM=30+15°= 45°，AB=40 n mile. ∴.在Rt△ABM中，AM=AB· cos∠BAM=20√2 n mile. ∴.渔船航行202 n mile后距离小岛 B最近. (2)由(1)，得∠BAM=45°， ..∠ABM=45 ∴.∠ABM=∠BAM. ,.∴BM=AM=20W2 n mile. '.MC=20/6 n mile, ·tan∠MBC MC_206 BM20√2 .∴.∠MBC=60 ∴.∠CBG=180°-60°-45°-30° MC 45,BC-sinMBC-40 n mile, ∴.救援队从小岛B出发沿小岛B的 南偏东45°方向航行到达事故地点的 航程最短，最短航程是40√2 n mile. 3三角函数的计算 1.B 2.(1)0.8819(2)55°2 一易错警示 利用计算器计算锐角 三角函数的常见错误 利用计算器计算与锐角三角函 数有关的问题时，常见错误如下： (1)将度、分、秒形式的角度与小数 点形式的角度混淆；(2)计算过程 中多次取近似值或精度不够，导致 结果误差偏大， 3.如图，过点A作AE⊥CD,垂足 为E. 由题意，得四边形ABCE为矩形， .∴.CE=AB=13.20m. 在Rt△ACE中，tam∠CAE=CE AE .AE= CE 13.20 tan∠CAE an23.8≈ 13.20 0.44 =30.0(m) 在Rt△ADE中，coS∠DAE=AE AD AE .AD= 30.0 cos∠DAE c0s36.9≈ 30.0=37.5(m) 0.80 .AD的长约为37.5m. D 4369 723.8-- E 地面 (第3题) 4.A5.1.2 6.(1)由题意，得BM⊥OM :∠BOM=18.17,BM=3米， BM .∴.在Rt△BOM中，OB= sin∠BOM≈ 0.37≈10（米）. 3 .直吊臂OB的长约为10米. (2)如图，记旋转后的点B,M的对应 点为B',M,延长B'M交OM于点 F,过点B作BE⊥B'F于点E,则 ∠BEF=90° 4 由题意，得B'M'=BM=3米，OB′= OB=10米，∠OB'M'=36°. 易知∠BEF=∠EFM=∠BMF=9O°， ·.四边形EFMB为矩形 .BM=EF=3米. 在Rt△B'OF中，B'F=OB'· cos∠OB'M≈10×0.81=8.1（米）. ∴.MF=B'F-B'M=8.1-3= 5.1≈5（米）. .货物M上升了约5米. AB' M' E-B 线0 市“M (第6题) 专题特训一求锐角三角 函数值的常见方法 1.D 2.B解析：如图，把AB向上平移 1个单位长度到DE,连接CE,则 DE∥AB..∠APC=∠EDC.由网 格的特征，得∠DCE=90°，DC= √4+2=25，DE=W32+4=5, &.cos∠APC=cos∠EDC=DE号 2w5 5 A (第2题) 解析：，∠ACB=90, .∠A+∠B=90.CD⊥AB, ∴.∠BCD+∠B=90°.∴.∠BCD= ∠A.,BC=3,AC=4,∴.根据勾股 定理，得AB=√BC2+AC=5. ÷ms∠XD=sA-福-号 8 4.25 5.D解析：过点C作CE⊥AD,交 AD的延长线于点E.,·在Rt△ABD 中，mB-裙=号可设AD 5.x(x>0),则AB=3.x.CE⊥AD, .∠CED=∠BAD=90°.又 ∠CDE=∠BDA,∴.△CDEO △m.蛋=需-品= .CE =3 5 2 DE=2x.AE= AD+DE-号在R△ACE中. 3 CE 2x tam∠CAD=AE5-5 22 6.如图，构造Rt△ABC,其中∠C= 90°，∠ABC=30°，延长CB到点D, 使BD=AB,连接AD,则∠D= 2∠ABC=15 设AC=a(a>0),由构造的三角形， 易得BC=√3a,BD=AB=2a. ∴.CD=BD+BC=(2+√3)a. .∴.在Rt△ACD中，tan15°=tanD= AC a CD(2+√3)a =2-√3 ----- (第6题) 4解直角三角形 1.B2.2√/03.65 4.(1)在Rt△ABC中， :∠C=90°，c=10,∠A=30°， ∴.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， 1 a=2c=5,b=c·cosA=10X cos30=10x5≈87. 2 (2)在Rt△ABC中， ∠C=90°，b=4,∠B=72, ∴∠A=90°-∠B=90°-72°=18， b 4 a=tanB-fam72≈1.3，c=snB sin72≈4.2. 4 (3)在Rt△ABC中， .∠C=90°，a=5,c=7, ∴.b=√c2-a=√72-了≈4.9. 'sinA=4=5 c7 ∴.∠A≈46. ∴.∠B=90°-∠A=90°-46°=44°. (4)在Rt△ABC中， ∠C=90°，a=5,b=12, ∴.c=√a2+b2=√52+122=13. .∠A≈23. .∠B=90°-∠A=90°-23°=67. 5.A 6.B解析：如图，过点D作DF⊥ AB,垂足为F.AD平分∠BAC, DE⊥AC,DF⊥AB,∴.易得DE= DF=1.在Rt△BFD中，，sinB= 孺=号BD=.m √BD-DF=1.∴.AF=AB- BF=2.在Rt△AFD中，AD= √AF+DF=√22+1=√5. D (第6题) 1.2 8.3.5解析：由题意，得∠ABC= ∠AB'C'=90°，∠CAC=15°，AC= AC'=4m.在Rt△ABC中，BC= 22msn∠CAB=BC=2E ② 易得∠CAB=45∠CAB= ∠CAC+∠CAB=60°.在Rt△AB'C 3 中，B'C'=AC'·sim60°=4X2 2√3≈3.5(m).∴.此时露在水面上的 渔线B'C'的长度约为3.5m. 9.(1)由题意，得AO⊥CD, .∠AOD=90°. 在Rt△AOD中，∠a=64°，AD= 2m, 5 .'.OD=AD·sin64°≈2×0.90= 1.8(m). AC=AD, .易得CD=2OD=3.6m. (2)如图，过点E作EN⊥AB于点 N,则易得四边形ENBF为矩形， ∠ANE=90°. ∴.EN=BF=3m. 在Rt△ANE中，∠a=64°， .AN 3 3 tan64≈2.05≈1.5(m). 设点E下降到点E',∠E'AM=45°， 过点E'作E'M⊥AB于点M,则易得 四边形E'MBF和四边形NMEE为 矩形，∠AME'=90°. ∴.E'M=BF=3m,EE'=MN. .∠E'AM=45°， .易得AM=3m. ∴.MN=AM-AN=3-1.5= 1.5(m). ∴.EE'=MN=1.5m. .点E下降的高度约为1.5m. A Mp---- B (第9题) 方法归纳 解直角三角形的思路 解直角三角形的思路可概括 为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）， 无斜用切（正切），宁乘勿除，取原 避中”.其含义是当已知条件中有 斜边时，运用正弦或余弦，无斜边 时，就用正切：当所求问题既可用 乘法又可用除法求解时，通常用乘 法，不用除法：当既可用原始数据 又可用中间数据求解时，选用原始 数据，而尽量不用中间数据. 10.如图，过点C作CD⊥AB,交BA 的延长线于点D. 在Rt△CDA中， :AC=30m,∠CAD=180° ∠CAB=180°-120°=60°，拔尖特训·数学（北师版）九年级下 3 三角函数的计算 ●“答案与解析”见P4 自基础进阶 5.(2025·上海)如图，某公司在大门 1.在△ABC中，AC=12,AB=BC,∠BAC= 顶点A处安装了一个人脸识别门 25°.若用科学计算器求AB的长，则下列按 禁，AB是高2.7m的门框，某人CD 键顺序正确的是 高1.8m,若只有当∠CAB=53°时， A.6☒sin25日B.6日cos25日 门禁才能成功识别人脸从而开门，（第5题） 则人到大门的距离BD约为 m(参 c.2日os25日D.6÷tam25目 考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈ 2.易错题用科学计算器计算： 1.33,结果保留1位小数) (1)sin61°52'41"≈ (结果精确到 6.新情境·现实生活(2025·凉山)如 0.0001). 图，某型号起重机吊起一货物M在 (2)已知c0sa=0.5732,则a≈ (结 空中保持静止状态时，货物M与点 果精确到1'). O的连线MO恰好平行于地面，BM=3米， 3.(2025·安徽)某公司为庆祝新产品上市，在 ∠BOM=18.17°（参考数据：sin18.17°≈ 甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气 0.31,cos18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33， 氛.如图，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直 sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36≈0.73， 的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表 结果精确到1米) 示.工作人员在点A处测得点C的俯角为 (1)求直吊臂OB的长， 23.8°，点D的仰角为36.9°.已知AB= (2)若直吊臂OB与BM的长度保持不变， 13.20m,求AD的长（参考数据：sin23.8°≈ OB绕，点O按逆时针方向旋转，当∠OBM= 0.40,cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44， 36时，货物M上升了约多少米？ sim36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈ 0.75,结果精确到0.1m). 线 (第6题) 7777 地面 (第3题) 幻素能攀升 4.已知tana=1.237,cos3=0.9205,sinY 0.6436(a,B,y均为锐角)，则a,3,Y的大小 关系为 A.B<Y< B.B<a<Y C.Y<<a D.a<Y<B 第一章直角三角形的边角关系 专题特训一求锐角三角函数值的常见方法 》“答案与解析”见P4 类型一利用网格构造直角三角形求锐角三角 函数值 接AC.若mB-号，则n∠CAD的值为 1.如图所示为由全等的含60°角的小菱形组成 () 的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点 A,B,C在格点上，则tan∠ACB的值为 C D (第5题) ( A. B c. D. 23 A.3 3 3 3 类型四用构造法求特殊角的三角函数值 B 6.新考法·过程性学习阅读例题，按要 求回答问题. A 请根据45°角的正切，求tan22.5 (第1题) (第2题) 的值 2.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 解：如图，构造Rt△ABC,其中∠C=90°， 都为1，点A,B,C,D都在格点上，AB与CD ∠ABC=45°，延长CB到点D,使BD=AB, 相交于点P,则cos∠APC的值为( ) 连接AD,则∠D=号∠AC=251设 5 c D⑤ 5 AC=a(a>0),由构造的三角形，易得BC= 类型二利用等角代换求锐角三角函数值 a,BD=AB=√2a.∴.CD=BD+BC= 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB,垂足为D.如果BC=3,AC=4,那么 (2+1)a.∴.在Rt△ACD中，tan22.5°= cOs∠BCD= -=2-1. CD(2+1)a D 请你利用此方法求tanl5的值」 (第3题) (第4题) 4.10个全等的小正方形拼成如图所示的图形， D (第6题) P,X,Y,S是小正方形的顶点，Q是边XY 上一点，T是PQ与SY的交点.若线段PQ 恰好将这个图形分成面积相等的两个部分， 则tan∠QTY的值为 类型三设参数求锐角三角函数值 5.如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°， 延长BD到点C,使CD=2BD,连