第1章 3 三角函数的计算&解题技巧专题 求锐角三角函数值的方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

合AE·BC 根据等面积可得 ABd BM·d ZEM·BC 品器盈 .103 y BM=3匹 5 在R△MBC中，BM=CM°+BC, (2)-(告-)'+1. 解得一名=一子不合题意，会去小 25 即Ew-器cw=-答 BC113 ÷tan3A=tan∠BMC=C-立-g 公 3三角函数的计算 1.D2.C3.B变式题D 4.1.6【解析】在R:△BCD中. ∠B=90°，∠BCD=55°，CD=6m, ∴.BD=CD·sin∠BCD=6sin55°，∴.AD=AB-BD=6.5 -6sin55°%1.6(m). 故梯子的顶端与墙顶的距离AD约为1.6m 5.B 6.解：(1)证明：，ABCD,∠CDG=∠A. ∠FEC=∠A·.∠FEC=∠CDG, .EF∥DG. 下GCD,∴.四边形DEFG为平行四边形 (2)过点G作GP⊥AB于点P,如图. 四边形DEFG为平行四边形， ..DG=EF=6.2 m. :AD=1.6m, .AG=DG+AD=6.2+1.6=7.8(m) PG 在R△APG中，sinA=AG ∴.PG=AG·sinA=7.8×0.96≈7.5(m. 故雕塑的高约为7,5m. 解题技巧专题求锐角三角函数值的方法 1.D 2郁，在△ABC中，∠C=90a4-答-专AB=15 ∴BC=÷AB=÷X15=12.∴AC=AB-BC=9, ∴.△ABC的周长为AC+BC+AB=9+12+15=36,tanA 瓷号 3解，在△ACD中，A-咒子CD=6, AD-号CD-4 又，AB=12,∴.BD=AB-AD=12-4=8. 在R:△BCD中，CD=6,BD=8, .BC=/CD+BD=/6+8=10 CDBD3⊥47 sinB+cosB=+BC-方+方=万 4.D【解析】如图.过点C作CD⊥BA, 交BA的延长线于点D. ∠BAC=120 .∠DAC=180°-∠BAC=180- 120°=60 在Rt△ADC中，AC=2, CD=AC·iDAC-gx号-F. ∴.AD=/AC-CD=1. 又AB=4.∴.BD=AB十AD=5. 在R△BDC中，由勾股定理，得BC=√CD+BD= -3景是 56号 7.解：过点E作EF⊥BC,交BC的延长线于点F,如图. 设DE=CE=a. :△CDE为等腰直角三角形. .CD=ECE=Ea,∠DCE=45 :四边形ABCD为正方形， ∴.CB=CD=2a,∠BCD=90°， ∴.∠ECF=45, ∴△CEF为等腰直角三角形， cF-ER-9cE-号 在Rt△BEF中，tan∠EBF EF BE a tan∠EBC=3 8.B 9.解：由折叠的性质，得CF=CD=10,∠EFC=∠D=90, ·∠AFE+∠BFC=90 在R△BCF中，∠BCF+∠BFC=9O°. .∠AFE=∠BCF. 在R△BCF中，BF=CF-BC=6, LAFE=∠CF3- 10.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,∠ADC=90°， ,CF⊥DE,.∠DFC=∠CFG=90 :AG∥CF..∠AGD=∠CFG=90. ∴.∠AGD=∠DFC. 又：∠ADG+∠CDF=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDF= 90°..∠ADG=∠DCF. ∠DFC=∠AGD 在△DCF和△ADG中，〈∠DCF=∠ADG. DC=AD. .△DCF≌△ADG(AAS). (2)设正方形ABCD的边长为2a E是AB的中点，AE=Z×2a=a 在Rt△ADE中，DE=/AD+AE=/T2a)+a= 5a.∴.sim∠ADG= DE a 5 下册参考答案 3△ 由(1)，得∠ADG=∠DCF=a,sina 号 12.7 【解析】如图，过点D作DH⊥BC于点H. 在R△ABC中，∠A=90,sinB=元=了， AC 3 ∴.设AC=3k,BC=5k,则AB=4k. AC=AD=3k...BD=. “mB=,BD=k. ∴，DH= 3 D CH=BC-BH=5k- 21 3 ∴tan∠BCD= DH 5 1 CH 21 13.2【解析】四边形ABCD是菱形.，.AD=AB.DE⊥ AB∠ABD=∠BD=90,:mA-5-子，设 AE=3x.AD =5x,BE =5x -3x -2xr,DE AD-AE=/5x)-(3x)=4x.在Rt△BED中. DE=2. tan∠DBE-B-2 14.解：设AD=x,DE=y,则由题意可得CD=5+ 2 在矩形ABCD中，∠D=90°，ABCD, ∴.∠ACD=∠CAB. 由折叠的性质，得∠B'AC=∠CAB. ∴∠ACD=∠B'AC. ∴AE=CE AE=CE=CD-DE= 4- 在R△ADE中+=（中-） 整理得之宁 ∴AD=2y,∴AE=+(2y)=5y, ·im∠DAE=DE=之-E AE 5y 5 4解直角三角形 1.C 2.解：(1)由勾股定理，得b=√-a=(92)2一9=9， am--号-1 ∠A=45°..∠B=90°-∠A=45 故0=9，∠A=45°，∠B=45, (2)由勾股定理，得c=a+6=√(35)+(35)产 65. tanA-4355B 63/厉3 ÷∠A=30° 4 九年级数学BS版 ∠B=90-∠A=602 故c=65,∠A=30°，∠B=60 3.A4.1 5.(3√2-3)【解析】如图，由题意可知，∠AB0 =30°，∠A'B'0=45°，AB=A'B=6m, .A0=AB·sin30°=3m,A'0=A'B· sin45'=32m. BB' ∴AA'一A'0-AO-(3厄-3)m,即梯子的顶端沿墙面升 高了(32-3)m. 6.解：(1)在R1△ABC中，∠C=90,∠B=60,4=8, .∠A=90°-∠B=30',6=a·tanB=85. c=品=16. 故∠A=30°，b=85.0=16. (2)在Rt△ABC中.∠C=90°，∠B=45°，b=6, .∠A=90°-∠B=45°. 六a=b=6c=6 CosA=2B. 故∠A=45,a=6,c=25 7.C8.C 9.解：如图，过点A作AD⊥BC于点D, &a∠Aac-0 AD-AB·sin∠ABC-5X5 3 =3 在R1△ABD中，由勾股定理，得BD=√一3=4. ,AB=AC,AD⊥BC, ∴.BC=2BD=8. 10.5 11.解：如图，过点B作BM⊥FD于点M 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°， AC=10, .∠ABC=30,BC=10×an60°= 105, AB//CF. ∴.∠BCM=∠ABC=30°. 1 在R△BMC中，BM=BC·sim30'=10/5×2=5E,CM -ca0-l1o万×号-16. 在△EFD中，∠F=90°，∠E=45.∴.∠EDF=45. 又，BM⊥FD,.∠MBD=45=∠BDM. ∴.MD=BM=55, .CD=CM-MD=15-55. 12.解：(D)由题意知，∠ADC=60,DC=8kmAD=24×2 8km).S64c=ZDC·AD·sim∠ADC=2X8X8X sin60=子×8x8× 2 =165(km2). 故△ADC的面积为165km. 286 3 【解析】2)由(1)知，DC=AD,∠ADC=60°， .△ACD是等边三角形. .∠DAC=60°，AC=AD=8km.3三角函 @课内基础闯关 知识点①用计算器求非特殊角的三角函数值 1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计 算sin3618',则按键顺序正确的是 A.网圓回回回囵▣ B.Sm☒回四回⑧▣ C.SHIFT sin包O☑回⑧▣ D.s而圓回四回圆☑目 2.用计算器求sin28°，cos27°，tan26的值，则它 们的大小关系是 A.tan26°<cos27°<sin28 B.tan26°<sin28°<cos27 C.sin28°<tan26°<cos27 D.cos27°sin28°<tan26 知识点②用计算器求非特殊角的度数 3.已知4cosa=0.9754,则锐角a约为( A.1527 B.75°53'10" C.12°44'6 D.42°17'31 变式题在△ABC中，∠C=90°，BC=5, AB=13,用计算器计算得∠A≈ ( A.14381 B.6522 C.6723 D.22371 知识点③利用三角函数解决实际问题 4.(教材变式)如图，已知墙高AB为6.5m.将 长为6m的梯子CD斜靠在墙面，梯子与地 面所成的角∠BCD=55°，用计算器算得此 时梯子的顶端与墙顶的距离AD约为 m(结果精确到0.1m). 第4题因 数的计算 @课外拓展提高 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b分别是 ∠A,∠B的对边，a·b=3：4.运用计算器 计算∠A的度数（精确到1）为 ( A.30° B.37°C.38° D.399 6.图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成 如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG, A,D,H,G四点在同一直线上，测得∠FEC =∠A=72.9°，AD=1.6m,EF=6.2m (1)求证：四边形DEFG为平行四边形 (2)求雕塑的高，即点G到AB的距离（结果 保留小数点后一位，参考数据：sin72.9°≈ 0.96,cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25). 图① 周② 知识要点归纳 用计算器求锐角三角函数位：先按S回、©因和 a可这三个键之一，再从高位到低位按出度数， 然后按目飩. 下册第一章 解题技巧专题 求锐角三角函数值的方法 题型① 定义法 题型② 构造直角三角形法 1.如图，在网格中，小正方形的 4.在△ABC中，∠A=120°，AB=4,AC=2, 边长均为1，点A,B,C都在 则sinB的值是 () 格点（网格线的交点）上，则 ∠ABC的正切值是( B c匹D.四 7 第1题图 4 B 5.如图，将图①所示的七巧板拼成图②所示的 A.2 四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB= c唱 1 D.2 2.(教材变式)如下图所示，在Rt△ABC中， ∠C=90,sinA=5,AB=15.求△ABC的 4 周长和tanA的值. 图① 国② 第5题图 第6题图 6.在正方形网格中，∠AOB如图所示，则 sin∠AOB的值为 7.如下图，在正方形ABCD外作等腰直角三角 形CDE,DE=CE,连接BE.求tan∠EBC 的值 3.如下图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为D. 若AB=12,CD=6,anA=2·求sinB十 3 cosB的值. 九年级数学BS版 题型③等角或余角等量代换法 8.在Rt△ABC中，∠C=90,sinA=5,则 cosB的值等于 A号 B青 cn 9.如下图，在矩形ABCD中，CD=10,BC=8, E为AD边上的一点，沿CE将△CDE折 叠，使点D正好落在AB边上的点F处.求 sin∠AFE的值. 10.如右图，点E在正方形 D C ABCD的边AB上，连接 DE,过点C作CF⊥DE 于点F,过点A作AG∥ CF交DE于点G. (1)求证：△DCF≌△ADG (2)若E是AB的中点，设∠DCF=a,求 sina的值. 题型④i 设参数法 5 I山.在△ABC中，∠C=90.如果anA=2那 么sinB的值是 12.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，sinB= 点D在边AB上.若AD=AC,则 tan∠BCD的值为 第12题图 第13题图 13.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB,cosA 亏，则tan∠DBE的值为 14.(2025银川兴庆区月考)宽与长的比是 一1的矩形叫做“黄金矩形”，“黄金矩形” 2 给我们以协调、匀称的美感.如下图，把“黄 金矩形”ABCD沿对角线AC翻折，点B落 在点B'处，AB交CD于点E.求sin∠DAE 的值. 下册第一章