1.3三角函数的计算同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.3三角函数的计算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A．45° B．60° C．75° D．105° 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2CB＝4.以点B为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在△ABC内部交于点F，作射线BF；分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于G，H两点，作直线GH交BF于点J，交AB于点K，则△JKB的面积是（    ） A．2 B．1 C． D． 3．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 5．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（    ） A． B． C． D． 6．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，，若用科学计算器求的正切值，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知β为锐角，且，下列度数与β度数最接近的是（　　） A． B． C． D． 9．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 11．计算：=（ ） A． B．1 C． D． 12．如图是一个的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．已知是锐角，，则的值为 ． 14． ． 15．如果3sinα＝+1，则∠α＝ ．（精确到0.1度） 16．在中，满足：，则的形状为 ． 17．如果，那么锐角 度． 三、解答题 18．计算： 19．计算：． 20．计算与化简： (1)； (2)． (3) (4)． 21．在中，满足，试判断的形状，并说明理由． 22．计算：sin30°＋sin245°－tan260° 23．阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题： ，，则________；① ，，则________；② ，，则________；③ …… 观察上述等式，猜想：对于任意锐角A，都有________．④ （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想． （2）已知为锐角，且，求的值． 24．计算：． 《1.3三角函数的计算》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D A B A A C A 题号 11 12 答案 B D 1．D 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 2．D 【分析】如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W．解直角三角形求出BJ，KH，可得结论． 【详解】 如图，过点K作KH⊥BJ于H，设KJ交AC于W， ∵∠C=90°，AB=2BC， ∴， ∴∠A=30°，∠ABC=60°， 由作图可知，BJ平分∠ABC，KJ垂直平分线段AC， ∴∠KBJ=∠CBJ=∠ABC=30°，AW=WC， ∵WK∥BC， ∴AK=KB=2，∠KJB=∠CBJ=30°， ∴HK=KB=1，BH=KH=， ∵∠KBJ=∠KJB=30°， ∴KB=KJ， ∵KH⊥BJ， ∴HB=HJ=2， ∴S△KBJ=×2×1=， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 3．A 【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查根据三角函数值求角度，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．D 【分析】根据计算器使用方法进行分析即可. 【详解】由tan∠A＝，得 tan∠A＝． 故选D． 【点睛】考核知识点：利用计算器求三角函数值对应的度数. 5．A 【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A． 【详解】解：sinA＝＝0.25， 所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为： 故选：A． 【点睛】本题考查了计算器−三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 6．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值和平方的非负性、三角形内角和定理，根据绝对值和平方的非负性即可求得的度数，根据三角形内角和即可求得的度数. 【详解】解：， 且 . 故选：B. 7．A 【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据，，，得出，然后用计算器计算即可． 【详解】解：由，得， 故按键顺序为， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查锐角三角函数，用计算器得出，由此可解． 【详解】解：用计算器得， ∴与β度数最接近的是， 故选A． 9．C 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 由“为锐角，且”可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：为锐角，且， ， ， 故选：． 10．A 【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果． 【详解】∵，， ∴∠A=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 11．B 【详解】解：∵cos45°=sin45°=，∴=． 故选B． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值． 12．D 【分析】根据题意列出表达式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 即：，解得：， 其中， 故选：D 【点睛】本题主要考查的是立方根，零指数幂和绝对值得内容，熟悉相关性质是解题得关键． 13． 【分析】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题关键是掌握几个特殊角的三角函数值．由根据特殊角的锐角三角函数值可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 15．65.5°． 【分析】根据计算器可以计算出∠α的度数，从而可以解答本题． 【详解】解：∵3sinα ∴sinα 解得，∠α≈65.5°， 故答案为65.5°． 【点睛】本题考查计算器﹣三角函数，解答本题的关键是会用计算器求三角函数的值． 16．等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 17．45 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【详解】解：∵，为锐角， ∴， 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 18． 【分析】因为，，，，然后代入计算式即可得出答案． 【详解】，，，， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的各种三角函数值是解题的关键． 19． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】解： ． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算和分式的化简，涉及绝对值的定义，特殊角的三角函数值，乘方运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用绝对值的定义，特殊角的三角函数值，乘方的定义化简，再进行加减运算； （2）分母不变，把分子相加，然后约分化简； （3）利用特殊角的三角函数值化简，再进行二次根式的乘法运算，最后进行加减运算； （4）利用特殊角的三角函数值化简，再利用二次根式运算法则进行运算，最后进行加减运算． 【详解】（1） ， ． （2） ， ， ． （3） ， ， ． （4） ， ， ． 21．直角三角形，理由见解析． 【分析】本题考查了非负数的性质，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质求出的值，再根据均为锐角及特殊角的三 角函数值、三角形内角和定理即可求出三角形各角的度数，进而判断出其形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：为直角三角形，理由如下： 由题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 22． 【解析】略 23．1，1，1，1；（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． ①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值； ④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角，都有； （1）过点作于，则．利用锐角三角函数的定义得出，，则，再根据勾股定理得到，从而证明； （2）利用关系式，结合已知条件且，进行求解． 【详解】解：，， ；① ，， ；② ，， ．③ 观察上述等式，猜想：对任意锐角，都有．④ （1）如图，过点作于，则． ，， ， ， ， ． （2），，为锐角， ． 24． 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算含特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $