2 30°， 45° ，60°角的三角函数值-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

拔尖特训·数学（北师版）九年级下 230°，45°，609 自基础进阶 1.(2025·菏泽单县期中)下列三角函数的值是 有理数的为 A.sin60°B.sin45°C.cos60°D.tan30° 2,在Rt△ABC中，∠C=90,tan，=3,则 sinB的值为 ( A B 2 C.2 2 D.√2 3.新情境·现实生活如图①所示为一种手机支 架，图②是其侧面结构示意图.托板AB固定 在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C 转动，支撑板CD可绕点D转动.如图②，若 量得支撑板长CD=8cm,∠CDE=60°，则 点C到底座DE的距离为 cm(结果 保留根号). 1 (第3题) 4.求下列各式的值： (1)sin30°-cos45°.tan60°+sin60 c0s30° tan 45. (2) tan60°+2cos45° 2sin260°-cos60° 6 角的三角函数值>“答案与解析”见P3 (3)(2025·遂宁)(-)-+12 √5|+2sin60°. 幻素能攀升 5.(2025·南充模拟)如图，射线OC的端点O 在直线AB上，∠α=2∠B.下列式子的值，最 大的是 () A.sinB B.2cos B C.tanβ 0 B D.sinp·cosβ (第5题) 6.★在△ABC中，若 mA-引+（ 、2 cosB=0,则△ABC的形状是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 7.新考向·跨学科如图，一束太阳光从天花板PB 和落地窗交界处的点P射人，经地板MN反射 后在天花板上形成光斑中午和下午某时刻光 线与地板的夹角分别为α，3.已知天花板与地 面是平行的，且它们之间的距离为3m.当a= 45°，3=30°时，光斑移动的距离AB为() 天花板 B 3m￥ a入含 地板 N (第7题) A.3m B.(6√3-6)m C.(3√3-3)m D.6m 8.易错题在△ABC中，∠ABC=60°，AD为边 BC上的高，AD=6√3，CD=1,则BC的长 为 9.新考向·跨学科桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图 ①)，是我国古代的农用工具，是一种利用杠 杆原理的取水机械.如图②所示为某桔槔的 结构示意图，OM是垂直于水平地面的支撑 杆，OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA: OB=2:1.当点A位于最高点处时， ∠AOM=120°，此时，点A到地面的距离为 米 -地面 ② (第9题) 10.新考法·过程性学习定义新运算：sin(a B)=sin acos B-cos asin B,sin (a+B)= sin acosβ+cos asinβ，cos(a-B)= cosacosB+sin asin B,cos (a +B)- cos a cos B-sin asin B,sin'a+cos2a=1. 例：sin15°=sin(45°-30)=sin45cos30° c0s45sin30°=√6-2 4 (1)试仿照例题，求出cos75的值， (2)已知锐角a满足条件sna=号，求n2a 的值 11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂 直平分线分别与AB,BC交于点E,D,且 BD=2AC.求： 第一章直角三角形的边角关系 (1)∠B的度数. (2)tan∠BAC的值（结果保留根号）. (第11题) 箭思维拓展 12.分类讨论思想在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，有一个锐角为60°， AB=4.若点P在直线AB上（不 与点A,B重合)，且∠PCB=30°，则CP的 长为 3.新情境·现实生活如图，一艘渔船位 于小岛B的北偏东30°方向、距离 小岛40 n mile的点A处，它正在 沿点A的南偏东15°方向航行： (1)渔船航行多远后距离小岛B最近（结果 保留根号)？ (2)渔船到达距离小岛B的最近点后，按原 航向继续航行20√6 n mile到点C处时突然 发生事故而抛锚，渔船马上向小岛B上的 救援队求救，问：救援队从小岛B出发沿哪 个方向航行到达事故地点的航程最短？最 短航程是多少（结果保留根号）？ c (第13题)∴.∠CPN=∠ANQ,∠ANQ= ∠QAN=2(180°-∠AQN)=45, ∴.∠CPN=45. ① A M ② (第13题)》 230°，45°，60°角的 三角函数值 1.C2.B3.43 4ω子 (2)3+√2. (3)3. 5.C 6C解析：由题意，得s血A 0.(-osB)=0,mA= B-号易得∠A=30,∠B 45.∴.∠C=180°-∠A-∠B= 105.∴.△ABC是钝角三角形. 方法归纳 巧记特殊角的三角函数值 30°，45°，60°角的三角函数值 要记牢，正孩、余弦值为的形 2 式，正切值为的形式.m的值 3 可归纳成顺口溜：一、二、三：三、 二、一：三、九、二十七 7.B解析：如图，设中午和下午某时 刻光线与地板的交点分别为C,D,过 点C作CE⊥PB于点E,过点D作 DF⊥PB于点F,由题意，得CE= DF=3m,△ACP和△BDP都是等 腰三角形，BP∥MN,∴.∠APC= ∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM= B0.在Rt△PCE中，PE=C上 3m.'.AP=2PE=6m.在Rt△PDF 中，PF= tan30°- 3=33(m), 3 .BP=2PF=6√5m..AB= BP一AP=(6√3一6)m..'.光斑移动 的距离AB为(6√5-6)m 天花板A B E呀 3m MC地板 N (第7题) 8.5或7解析：在Rt△ABD中， ∠ABC=60°，AD=6W3,.BD= AD 63 tan∠ABC√3 =6.如图①，当点C 在线段BD上时，BC=BD一CD= 6一1=5.如图②，当点C在线段BD 的延长线上时，BC=BD+CD=6十 1=7.综上所述，BC的长为5或7. ② (第8题) 一易错警示 未根据题意画出所有符合 条件的图形而导致错误 解答这类求三角形的一边长 的问题时，易错在未根据题意正确 画出所有符合题意的图形，从而导 致出现漏解或错解的现象. 9.5解析：如图，过点O作EF⊥ OM,过点A作AG⊥EF于点G. ,AB=6米，OA:OB=2:1, ∴.OA=4米..∠AOM=120°， ∠EOM=90°，∴.∠AOE=30°.∴.在 Rt△AOG中，AG=OA·sim30°= 4X号-2（米）.：当点A位于最商 3 点处时，点A到地面的距离为AG+ OM=2+3=5(米). E---dG__ 0 地面 M (第9题) 10.(1)'.cos(a+3)=cos acos B- sinasin B, ∴.c0s75°=c0s(30°+45)=c0s30°· cos 45-sin 30'sin 45" 2 2 12_6-2 2X2 4 (2)sin a=3sin'a+cos'a=1,a 为锐角， .易得cosa= 2√2 3· .'sin 2a=sin(a+a)=sin acos a+ 12242 cosasina-=2X3× 3 9 11.(1)连接AD ,AB的垂直平分线分别与AB,BC 交于点E,D, .AD=BD. ∴.∠DAB=∠B. .BD=2AC, ..AD=2AC. 又∠C=90°， ∴.在Rt△ACD中，sin∠ADC= AC 1 AD2 ∴.∠ADC=30° :∠ADC=∠B+∠DAB, .∠B=15. (2)设AC=m,则AD=BD=2m. .CD=√AD-AC=3m. .∴.BC=(2+√3)m. 在R△ABC中，tan∠BAC= AC (2+5)m=2+√5. m 12.5或25或2解析：①当 ∠ABC=60时，易得C=2AB= 2.如图①，当点P在线段AB上时 ,∠PCB=30°，∴.∠BPC=90°. :.CP=BC·cos30°=2x5=5. 2 如图①，当点P'在AB的延长线上 时，∠P'CB=30°，∠ABC=60°， .∠P=30..易得CP'=2CP= 2√5.②当∠A=60时，点P只能在 线段AB上，如图②，.∠PCB=30°， ∠ACB=90,∠A=60,∴.∠B= 30°，∠ACP=60°..易得△PAC为 等边三角形.∴.易得CP=AP BP=AB=2.综上所述，CP的长 为√5或2√3或2. ② (第12题) 13.(1)过点B作BM⊥AC于点M. 由题意，可得∠BAM=30+15°= 45°，AB=40 n mile. ∴.在Rt△ABM中，AM=AB· cos∠BAM=20√2 n mile. ∴.渔船航行202 n mile后距离小岛 B最近. (2)由(1)，得∠BAM=45°， ..∠ABM=45 ∴.∠ABM=∠BAM. ,.∴BM=AM=20W2 n mile. '.MC=20/6 n mile, ·tan∠MBC MC_206 BM20√2 .∴.∠MBC=60 ∴.∠CBG=180°-60°-45°-30° MC 45,BC-sinMBC-40 n mile, ∴.救援队从小岛B出发沿小岛B的 南偏东45°方向航行到达事故地点的 航程最短，最短航程是40√2 n mile. 3三角函数的计算 1.B 2.(1)0.8819(2)55°2 一易错警示 利用计算器计算锐角 三角函数的常见错误 利用计算器计算与锐角三角函 数有关的问题时，常见错误如下： (1)将度、分、秒形式的角度与小数 点形式的角度混淆；(2)计算过程 中多次取近似值或精度不够，导致 结果误差偏大， 3.如图，过点A作AE⊥CD,垂足 为E. 由题意，得四边形ABCE为矩形， .∴.CE=AB=13.20m. 在Rt△ACE中，tam∠CAE=CE AE .AE= CE 13.20 tan∠CAE an23.8≈ 13.20 0.44 =30.0(m) 在Rt△ADE中，coS∠DAE=AE AD AE .AD= 30.0 cos∠DAE c0s36.9≈ 30.0=37.5(m) 0.80 .AD的长约为37.5m. D 4369 723.8-- E 地面 (第3题) 4.A5.1.2 6.(1)由题意，得BM⊥OM :∠BOM=18.17,BM=3米， BM .∴.在Rt△BOM中，OB= sin∠BOM≈ 0.37≈10（米）. 3 .直吊臂OB的长约为10米. (2)如图，记旋转后的点B,M的对应 点为B',M,延长B'M交OM于点 F,过点B作BE⊥B'F于点E,则 ∠BEF=90° 4 由题意，得B'M'=BM=3米，OB′= OB=10米，∠OB'M'=36°. 易知∠BEF=∠EFM=∠BMF=9O°， ·.四边形EFMB为矩形 .BM=EF=3米. 在Rt△B'OF中，B'F=OB'· cos∠OB'M≈10×0.81=8.1（米）. ∴.MF=B'F-B'M=8.1-3= 5.1≈5（米）. .货物M上升了约5米. AB' M' E-B 线0 市“M (第6题) 专题特训一求锐角三角 函数值的常见方法 1.D 2.B解析：如图，把AB向上平移 1个单位长度到DE,连接CE,则 DE∥AB..∠APC=∠EDC.由网 格的特征，得∠DCE=90°，DC= √4+2=25，DE=W32+4=5, &.cos∠APC=cos∠EDC=DE号 2w5 5 A (第2题) 解析：，∠ACB=90, .∠A+∠B=90.CD⊥AB, ∴.∠BCD+∠B=90°.∴.∠BCD= ∠A.,BC=3,AC=4,∴.根据勾股 定理，得AB=√BC2+AC=5. ÷ms∠XD=sA-福-号 8 4.25 5.D解析：过点C作CE⊥AD,交 AD的延长线于点E.,·在Rt△ABD