1.2. 30°，45°，60°角的三角函数值课后培优提升训练 2025—2026学年北师大版数学九年级下册

1.2.30°，45°，60°角的三角函数值课后培优提升训练北师大版2025一2026学年九年级下册 一、选择题 1.sin45°c0s60°-c0s45°的值为() A.-6 B. V3-1 C.3 D.、② 4 4 2.在ABC中，若∠A,∠B均为锐角，且sinA- +1-tanB)2=0,则∠C的度数是() 2 A.45° B.60° C.65 D.75° 3.已知锐角a满足cosa-10= 2， 则锐角的度数是() A.40° B.55° C.60° D.70° 4.如图，AOB绕点O逆时针旋转40°后得到△DOE,若点A恰好落在边DE上，且 ∠B0D=105°，则c0sB的值是() A.2 B. 2 C.v3 2 D. 3 5.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E,交BD于点F,且E为BC的中点， 则tan∠AFD的值是() A.3 B. c.3 D./3 2 3 6.如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC,垂足为点D,AB的垂直平分线交AB于点E, 交BD于点F,若BC=6,则EF的长为() A.35 B.√5 C.2 D.1.5 7.在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，D为AC边的中点，E为BC边上任意一点.若 AC=4,CE=DE,则CE的长为() A.3 B.25 3 C.43 D.5 3 8.如图，一块平行四边形玻璃ABCD,己知AB=1.2m,BC=2.5m,∠D=60°，则这块 玻璃的面积为() A.√5m2 B.2v3m2 C.3m2 D.35m 2 二、填空题 9.在锐角A8C中，∠4=75，snC= ,则∠B= l0.在ABC中，若tanA-1+ cosB、 =0,则∠C的度数为」 2 11.如图，四边形ABCD中，CD=3,CB=4,对角线AC平分∠BCD,且 ∠BAC=∠ADC=90°，则∠BCA的度数为一· 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D,使AB=BD,连接 AD.利用此图，可算出tan75°的值为 三、解答题 13.(1)计算：2sin30°+cos245°-tan30°.tan60°； (2)计算：c0s30°，tan60°-sin45°.c0s45°. 14.如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC的垂直平分线EF分别交边AD,BC于 点E,F,垂足为O. E G (I)求证：四边形AFCE为菱形； (2)在BC的延长线上取一点G,使CG=OC,连接OG.若F为BC的中点，且∠G=15°， AB=8,求△FOG的面积. 15.计算： (1)2cos30°-tan60°+sin45°cos45° (2)2cos30°-1-tan60+sin245 (3)-12+2sin30°+ 1 2 -(π-V5)° 16.已知A8C中，∠A与∠B满足(1-an2+cosB-2 =0 2 (1)试判断.ABC的形状： (2)求(1+sin42-2-(3+tanB)°的值， 17.在四边形ABCD中，AB∥CD,M,N分别为边BC,CD上的两点，连接AN,DM 相交于点P,且满足∠ABC=LMPN. B M M 图1 图2 图3 ()如图1，如果四边形ABCD为矩形时，求证：4日-DM AD AN (2)如图2，如果四边形ABCD为平行四边形时，试问(1)的结论是否依然成立？并说明理 由 (3)如图3，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AB=BC,∠ABC=60°，点M、N分别在边 AB、AD上，且CM⊥BN,求CM的值， BN 18.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE,连接BE, CE,DE,AC.DE交AC于点F. (I)求证：BE=CE; ②求票的位， ③求证：4=FBC. 参考答案 一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.B 5.D 6.B 7.B 8.D 二、填空题 9.45° 10.105 11.30° 12.√5+2 三、解答题 13.【详解】解：(1)2sin30°+cos245°-tan30°.tan60° 3 11 1 2 (2)cos30°.tan60°-sin45°c0s45° -5x5-2x 2 22 31 22 =1. 14.【详解】(1)证明：EF垂直平分AC, :A0=C0,EF⊥AC, :四边形ABCD是平行四边形 :AD∥BC, :∠0AE=∠0CF, 在△AOE与△COF中， [∠OAE=∠OCF A0=CO ∠AOE=∠COF :△AOE≌△COF(ASA, .F0=E0, 又：A0=C0, :四边形AFCE是平行四边形， 又：EF⊥AC, :平行四边形AFCE为菱形； (2)解：：0C=CG, .∠C0G=∠G=15°， :∠ACB=∠C0G+∠G=30°， :四边形AFCE为菱形， 0为AC的中点， :F为线段BC的中点， OF是三角形ABC的中位线. 2B=4, ..oF :EF⊥AC, .0C= 0F4 =45FC= OF 4 tan30°√3 in307=8 3 2 .GC=0C=43,FG=FC+GC=8+43, 如图，作OH1BC,垂足为H,则∠0HG=90°， 0H=0C,sin30°=4W5x=25, 则5wFG01-x8+45x25=86+12. E D B .G 15.【详解】(1)解：2cos30°-tan60°+sin45°c0s45° -2x5-5+5x5 -X 2 22 =5-5+号 (2)解：2cos30°-1-tan60+sin245 -29--9 =5-5-+月 =5-51+月 (3)解：-12+2sin30° {-a-r =-1+2x+4-1 =-1+1+4-1 =3. 16.【详解】1D解：1-an4+cosB- -0,1-m42≥0.eosB- ≥0， 2 2 :1-tanA=0,c0sB-2-0, 2 tan 4=1.cos= ∠A=45°，∠B=45°， ∠C=180°-∠A-∠B=90°， .ABC是等腰直角三角形. (2)由(1)可知：∠A=45°，∠B=45°， 原式= 2 -21ei+5+分3=5- 17.【详解】(1)解：：四边形ABCD为矩形，∠ABC=∠MPN, CD=AB,∠ADN=∠DCM=90°，∠ABC=∠MPN=90°， :AN⊥DM ·∠PDA+LPDN=LPDA+LDAP, :∠PDN=∠DAP, :∠ADN=∠DCM=90°， :△ADN∽△DCM, .CD DM ·AD AN CD=AB, .4B_DM AD AN (2)解：仍然成立，理由如下： AB II CD, .∠ABC+LC=180°， :∠ABC=∠MPN, :∠MPN+∠C=180°， ∠PNC+∠PMC=180°， :∠PND+∠PNC=180°， .∠PND=∠PMC, :∠PDN=∠MDC, .△DCM∽△DPN, DC DP DM DN :四边形ABCD为平行四边形， :AB=DC, .AB DP DM DN :AD∥CB, :∠ADP=∠DMC, :∠ADP=∠PND, :∠DAP=∠DAN, :△ADP∽△ADN, 、ADDP AN DN :D、AB AN DM .4B_DM AD AN (3)解：过点C作CH⊥AB于点H D A MH :CM⊥BN,CH⊥AB :∠MCH=∠ABN=90°-∠CMH 又：∠NAB=∠CHM=90 .△CHM∽△BAN .CM CH NB AB :AB=BC,∠ABC=60 CH BC sin60°=5 :CH=5 AB 2 CM3 BN 2 18.【解】(1)证明：：四边形ABCD为正方形， .AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠BAD=90°，∠ACD=45 :将边AB绕A点逆时针旋转30°，得到线段AE, .AB=AE,∠BAE=30°， AE=AD,∠EAD=90°-30°=60°， .ADE为等边三角形， .DE=AE=AD,∠ADE=60°， .∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°， :ZBAE ZCDE .在△ABE和△DCE中， (AB=DC ∠BAE=∠CDE AE=DE △ABE≌△DCE(SAS), BE CE, (2)解：过点F作FG⊥DC于点G, A 0 B 即∠FGC=90°， .LFGC=∠ADC, .FG∥AD, g瓷 :在Rt△CFG中，∠ACD=45°， .∠GFC=45°， .FG=CG, :在Rt△FGD中，∠CDE=30° tan ZFDG=FG_3 DG 3 .DG=5, :.FG (3)证明：：DE=CD,∠CDE=30°，