1.230°，45°，60°的三角函数值课时训练2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.2 的三角函数值 B 层巩固 一、选择题 1. 的值等于( ) A. 1 B. C. D. 2 2. 下列三角函数中，值为 的是( ) A. B. C. D. 3. 若 ，则 的值为( ) A. B. C. D. 2 4. 以下四个特殊三角函数值中，最大的是( ) A. B. C. D. 5. 的值等于( ) A. B. 1 C. D. 6. 我们发现: 当 为锐角时, . 由此可知, 的值为 ( ) A. B. C. D. 7. 如图,一块平行四边形玻璃 ,已知 , 则这块玻璃的面积为( ) A. B. C. D. 8. 点 关于 轴的对称点为点 ,点 绕原点 按顺时针方向旋转 后的对应点为点 ，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. 9. 如图, 平分 ,交 于点 垂直平分 ,交 于点 ,则 的正切值为( ) A. B. C. D. 1 10. 在 Rt 中, 为 边的中点, 为 边上任意一点. 若 ,则 的长为( ) A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图,在 的正方形网格中,点 都在格点上,连接 , 则 的值为_____. 12. 如图，直线 直线 ，若 ，则 _____. 13. 若 为正整数，且满足 ，则 _____. 14. 如图，在 Rt 中， ， ， ，则 的长为_____. 15. 七巧板是我国一款传统的益智玩具, 能够启迪智慧, 陶冶情操. 七巧板是由五块含 角的直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成的. 某同学利用图 1 中七巧板的部分图形拼成图 2 中的图形. 若 ,则 的值为_____. 图1 图2 16. 如图,则边形 中, ,对角线 平分 ,且 ，则 的度数为_____. 三、解答题 17. 计算: (1) (2) 18. 计算: . 19. 已知 中的 与 满足 . (1)试判断 的形状. (2) 求 的值. 20. 如图，在 中， ， ， ，求 的长. 21. 如图，在 中， ，求 的长. 22. 在 中, . (1)求 的度数. (2)求 的面积. 23. 某小组同学对三角比展开主题研究活动, 现在邀请你参加. 【问题提出】 (1)如果锐角 的余弦值为 ，下列关于锐角 的取值范围，正确的是_____. 【问题分析】 (2)余弦值 、 、 的三角比分别是_____、_____、_____. 你发现它们的分布特点是随着角度的_____(选填“增大”或“减小”)而减小. 【综合运用】 (3)写出下列角度的正弦值的取值范围. . 1. A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值. 利用特殊角的三角函数值直接计算即可求解. 【详解】解: , , 故选: A. 2. D 【分析】本题考查了特殊角度的三角函数值, 熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键. 根据特殊角的三角函数值直接判断. 【详解】解: , 故选: D. 3. A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算, 熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键, 利用特殊角三角函数的值可得到 ,从而得到 ,即可得到答案. 【详解】解: , , , , , 故选: A. 4. D 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值, 直接计算各选项的三角函数值并比较大小. 【详解】解: , , 故最大的是 , 故选: D 5. A 【分析】本题主要考查了求特殊三角函数值以及二次根式的运算. 先求出 ,再代入原式进行计算. 【详解】解: , , 故选 A. 6. A 【分析】直接利用 将原式变形即可得到结果. 【详解】由题意,得 . 故选: A. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值, 正确记忆相关数据是解题的关键. 7. D 【分析】本题考查了平行四边形面积公式和三角函数, 熟练掌握相关内容是解题的关键; 利用正弦函数求出平行四边形的高, 再根据面积公式求出结果与选项比对, 选出正确选项. 【详解】解: 平行四边形 的高为: , 平行四边形 的面积为: . 故选: D. 8. C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值,关于 轴对称的点的坐标特征,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关性质是解题的关键,先计算点 坐标 求其关于 轴对称点 ,再将 绕原点顺时针旋转 ,利用全等得点 坐标. 【详解】解: , , 点 关于 轴的对称点为点 , , 点 绕原点 按顺时针方向旋转 后的对应点为点 ， 如图,过点 作 轴于点 ,过点 作 轴于点 , , , 由旋转得 , , , , , . 故选: C. 9. A 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、垂直平分线的性质、三角形内角和定理, 熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据垂直平分线的性质得到 ,则有 ,根据角平分线的定义得到 ,设 ,利用三角形内角和定理列出方程,求出 的值,再利用特殊角的三角函数值即可求出 的正切值. 【详解】解: 垂直平分 , ， ， 平分 ， , 设 ,则 , 在 中， ， 解得 , , . 故选: A. 10. B 【分析】本题考查了勾股定理,三角函数,含 角的直角三角形的性质,熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键. 过点 作 于点 ,根据等腰三角形三线合一的性质得出 的长,再根据三角函数求解即可. 【详解】解: 如图,过点 作 于点 , , ， ， 为 边的中点， ， ， 又 , 在 中, , . 故选: B. 11. 【分析】本题考查锐角三角函数, 勾股定理, 勾股定理的逆定理, 掌握相关知识是解决问题的关键. 连接 ,由勾股定理及逆定理可证明 为等腰直角三角形,则题目可求. 【详解】解: 连接 ,由勾股定理得: , , ，且 ， . 故答案为: . 12. 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质及特殊角度的三角函数值. 先根据 ， 可得 为等腰三角形，再由直线 直线 ，得到内错角相等， 即可求得 的角度,进而求得 的值. 【详解】解: , , 又 直线 直线 , , . 故答案为: . 13. 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算, 根据特殊角的三角函数值, 可得 ,再根据无理数的估算即可求解. 【详解】解: ,其中 , 为正整数, , . 故答案为:1. 14. 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含 角直角三角形的性质,熟练掌握特殊角的 三角函数值是关键. 根据 得到 ,根据含 角直角三角形的性质即可得到 的长. 【详解】解: , ， ， 故答案为: 15. 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理, 用七巧板拼接图形以及特殊角的三角函数求值. 根据题意可得 ，再由平角的定义分别求出 的度数,再由三角形内角和定理求出 的度数,即可根据平角的定义求出答案. 【详解】解: 如图所示, 由题意得, , , , , , 故答案为: . 16. 度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质, 相似三角形的判定和性质, 特殊角的三角函数值. 作 交 于 ,根据对角线 平分 得到 ,证明 (AAS),得到 ,即 ,根据等角的余角相等得到 ，证明 ，求出 ，则 ，根据特殊角的三角函数值作答即可. 【详解】解: 如图,作 交 于 , 对角线 平分 , , , , ， ， , , , , , , 即 , , , , . 故答案为: . 17. (2) 【分析】本题考查了零指数幂, 特殊角的三角函数值的混合运算, 二次根式的运算. (1)先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可; (2)先计算特殊角的三角函数值, 再计算乘法, 最后计算加减即可. 【详解】(1) 解: (2)解: . 18. 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算, 先代入特殊角的三角函数值, 再根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果, 熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键. 【详解】解: 19. (1) 是锐角三角形. (2) 【分析】(1) 根据绝对值的性质求出 及 的值,再根据特殊角的三角函数值求出 及 的度数,进而可得出结论; (2)根据(1)中 及 的值求出 的度数，再把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可. 【详解】解: (1) , , , 是锐角三角形. (2) , 原式 . 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值, 熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 20. 【分析】本题考查了解直角三角形,过点 作 于 ,利用锐角三角函数的定义分别求出 ,再相加即可求解,掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. 【详解】解: 如图,过点 作 于 ,则 , , , , , ， . 21. 【分析】本题主要考查勾股定理, 直角三角形的性质, 由勾股定理得: ,由 得 ,即可求出结果. 【详解】解: , 在 中，由勾股定理得: 在 Rt 中, , , 22. (2) 【分析】本题考查了解直角三角形, 掌握锐角三角形函数的定义是解题的关键. (1)根据 ，可得 ，即可求解； (2)结合 ,得 ,求得 ,根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】(1) 解: , , ,则 ; (2) ， , ， . 23. ( 1 )C ; ( 2 ) ，增大；( 3 ) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质, 熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. (1)根据特殊角的余弦值，即可判断锐角 的取值范围； (2)熟记特殊角 )的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点; (3)根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解. 【详解】解: (1) , 又 且 为锐角, ; 故选 C. (2)由 可得,它们的三角比分别为 ; 通过观察可知,它们的三角比会随角度的增大而减小; 故答案为: ,增大; (3)由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 , 又 , . 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 的三角函数值 C 层提升 一、选择题 1. 若 的余角是 ,则 的值是( ) A. B. C. D. 2. 下列实数中，最小的数是( ) A. B. C. D. 3. 中, ,则 的值 ( ) A. B. C. D. 4. 如图,射线 的端点 在直线 上, . 下列式子的值,最大的是 ( ). A. B. C. D. 5. 的值是( ) A. B. C. 1 D. 6. 下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 7. 若 ，则 是( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 含有 的任意三角形 D. 顶角为钝角的等腰三角形 8. 如图, 直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角的余弦值是 ( ) A. B. C. D. 以上都不对 9. 因为 ,所以 . 由此猜想,推理可知: 当 为锐角时,有 ,由此可知 ( ) A. B. C. D. 10. 如图， 绕点 逆时针旋转 后得到 . 若点 恰好落在边 上， 且 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11. 若 ,则 _____. 12. 在 Rt 中, ,则 _____. 13. 若 ,则锐角 的度数为_____。 14. 在 中,若 ,则 15. 在学习锐角三角函数值过程中, 你通过特殊角三角函数值或计算器的应用, 可能了解到 值的大小与 变化规律，根据这个规律判断:若 ，则 的取值范围是_____. 16. 若关于 方程 有两个相等实数根，则锐角 度数为_____. 三、解答题 17. 计算: (1) ; (2) 18. 计算: (1) (2) (3) 19. 已知 中， 与 满足 (1)试判断. 的形状； (2) 求 的值. 20. 一道习题及其错误的解答过程如下: (1)比较大小: _____1(填““>”“<”或“=”)，原解题过程在第_____ 步开始出现错误; (2)根据(1)的分析，计算: . 21. 如图,在 Rt 中, . 请用尺规作图法在边 上找一点 ,连接 ,使得 . (保留作图痕迹,不写作法) 22. 如图，在 中， ， ， ，求 的面积. 23. 善于学习的小莹同学通过查阅材料，发现三角函数有以下公式: 例如 . 请你利用上述公式,求 的值. 1. A 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数, 求特殊角三角函数值, 度数之和为 90 度的两个角互余，据此可得 的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可. 【详解】解: 的余角是 , , , 故选: A. 2. A 【分析】此题考查了实数的大小比较, 还考查了无理数的估算. 先估算实数的大小,然后即可判断大小进而可得出答案. 【详解】解: , , , 最小的数是 , 故选: A. 3. C 【分析】本题考查三角函数,三角形内角和定理,先设 的度数为 ,则 的度数为 ,根据题意得出 ,求出 ,进而可求出答案. 【详解】解: 设 的度数为 ,则 的度数为 , 所以 , 解得 , 所以 , 所以 . 故选: C. 4. C 【分析】本题考查了互补关系, 特殊角三角函数, 无理数大小的比较; 由已知及互补关系求得 的度数,即可比较. 【详解】解: , 即 , , ; ; 故选: C. 5. C 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值及其计算. 解题的关键在于准确记忆常见角度 (如 ) 的正弦、余弦值,再代入原式,然后进行化简计算即可. 【详解】解: 根据特殊角的三角函数值代入计算: 故选: C. 6. C 【分析】本题主要考查了三角函数的增减性, 特殊角的三角函数值, 根据三角函数得增减性判断 ,再根据特殊角的三角函数值可得 ,即可得出答案. 【详解】解: 因为当 为锐角时, 的值随 的增大而增大, 的值随 的增大而减小, 所以 . 又因为 ,且 , 所以 . 所以 . 故选: C. 7. B 【分析】根据 利用非负数的性质求得 ,再利用特殊角的三角函数值求出 ,即可得到结论. 【详解】解: , , , , 是等边三角形. 故选: B. 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定等知识, 熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 8. B 【分析】由题意得, 是 的平分线, 是 的平分线,由三角形角平分线的定义可得 ,进而可得直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角 ,然后由特殊角的三角函数值即可得出答案. 【详解】解: 由题意得: 是 的平分线, 是 的平分线, ， 直角三角形的两锐角平分线相交所成的锐角 , , 故选: B. 【点睛】本题主要考查了求角的余弦值, 特殊角的三角函数值, 三角形的内角和定理, 三角形外角的性质, 三角形角平分线的定义等知识点, 熟练掌握三角形的内角和外角是解题的关键. 9. B 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值,本题是信息题,按照“一般地当 为锐角时 有 ” 去答题. 同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键. 当 为锐角时有 . 把 代入计算即可. 【详解】解: , , 故选: B. 10. B 【分析】本题考查旋转的性质, 特殊角的三角函数值, 等边对等角. 根据旋转的性质可得 ,再由 ,可得 ,再根据 ,可得 ,然后求出 ,据此求解即可. 【详解】解: 根据旋转的性质得: , , , , , , , , 故选: B. 11. 【分析】本题考查特殊角的三角函数值, 熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 先利用 ,得出 ,再推出 ,即可求解. 【详解】解: , 是锐角, , , , , , 故答案为: . 12. 【分析】本题考查特殊三角函数值,利用 求出 ,则 即可求解. 【详解】解: 在 中, , , , 故答案为: . 13. 75 【分析】本题考查特殊角的正切值,根据 ,即可求解. 【详解】解: , , , 故答案为: 75 . 14. 【分析】本题主要考查了绝对值非负性, 特殊角的三角函数, 三角形的内角和定理等知识点, 熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键. 由绝对值的非负性及完全平方式的非负性可得 ,进而可得 ,由特殊角的三角函数可得 ,由三角形的内角和定理可得 ,由此即可求出 的度数. 【详解】解: , , , , , 故答案为:105°. 15. 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律, 解题的关键是掌握正弦函数值随角度增大而增大的性质. 先找出特殊角的正弦值,再根据正弦函数值的变化规律确定 的取值范围. 【详解】 . 在锐角范围内, 正弦函数值随着角度的增大而增大, 已知 ,也就是 , 所以 的取值范围是 . 16. ##60 度 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,根的判别式: 一元二次方程 的根与 有如下关系: 当 时,方程有两个不相等的实数根; 当 时,方程有两个相等的实数根; 当 时,方程无实数根. 根据判别式的意义得到 ,从而可求出 的余弦值,然后根据特殊角的三角函数值确定 的度数. 【详解】解: 关于 的方程 有两个相等的实数根, , , . 故答案为: . 17. (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算, 特殊角的三角函数值, 二次根式的计算, 掌握相关运算法则是解题关键. (1)先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减法即可; (2)先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法、乘方以及分母有理化，最后计算加减法即 可. 【详解】(1)解: (2)解: 18. (2) (3)3 【分析】本题考查实数的混合运算, 涉及特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂, 熟记特殊角的三角函数值是解答的关键. (1)先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的加减和乘法运算即可; (2)先代入特殊角的三角函数值，再进行实数的加减和乘法运算即可; (3)先代入特殊角的三角函数值，同时计算乘方和负整数指数幂、零指数幂，再进行实数的加减和乘法运算即可. 【详解】(1)解: (2)解: (3) 解: . 19. (1) 是等腰直角三角形，详见解析 (2) 【分析】(1) 根据绝对值的性质求出 及 的值,再根据特殊角的三角函数值求出 与 的度数,进而可得出结论; (2)根据 与 的三角函数值代入进行计算即可. 本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用, 准确分析计算是解题的关键. 【详解】( 1 )解: ， ， , , , , 是等腰直角三角形. (2)由(1)可知: ， 原式 . 20. (1) ,三 (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算, 特殊角的三角函数值的混合运算, 掌握相关的运算法则是解题的关键. (1)根据特殊角的三角函数值的运算法则即可解答; (2)代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的混合运算法则计算即可. 【详解】(1)解:比较大小: ，原解题过程在第三步开始出现错误； 故答案为: , ; (2)解: . 21. 见解析 【分析】本题考查了尺规作图、特殊角的三角函数值, 熟练掌握尺规作垂线的方法是解题的关键. 由 ,可得 ,进而得到 ,再利用尺规过点 作 的垂线 即可. 【详解】解: 如图所示, 即为所求: 22. 42 【分析】作 ,根据 ,求出 ,得到 ,根据勾股定理计 算出 的值,求出 的表达式,列出方程解答. 【详解】解: 作 ,如图所示: , , ， , 设 ， ， 则 , , 则 , 的面积 . 【点睛】本题考查了解直角三角形, 将原三角形化为两个直角三角形是解题的关键. 23. 【分析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握公式是解本题的关键. 根据给出的公式进行整理, 然后代入特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】解: 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 的三角函数值 A 层基础 一、选择题 1. 的相反数是( ) A. -1 B. C. D. 2. 计算 的值为( ) A. B. C. 3 D. 3. 下列三角函数的值不是无理数的是( ) A. B. C. D. 4. 已知锐角 满足 ,则锐角 的度数是( ) A. B. C. D. 5. 已知 是等边三角形，则 的值为( ) A. B. C. D. 6. 商场有一个自动扶梯，倾斜角为 ，高为6m，则扶梯的长度为( )m. A. 12 B. C. 6 D. 7. 点 关于 轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 8. 在 中， 的正切和 的余弦满足 ，则 为( ) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 9. 的大小关系是( ) A. B. C. D. 10. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 如图,当太阳光线与地面成 角时,测得旗杆 在地面上的影长 为 24 米,那么旗杆 的高度约为( ) A. 12 B. C. D. 二、填空题 11. 的值为_____. 12. 若锐角 ，则 的值是_____. 13. _____. 14. 比较大小: _____ (填“>”、“<”或“=”). 15. 在 中，若 ，则 的度数为_____. 16. 如图,小明从 地沿北偏东 方向走 米到 地,再从 地向正南方向走到 地，此时小明离 地 100 米，则小明离 地_____米. 三、解答题 17. 计算: . 18. 计算: (1) . (2) . 19. 计算: (1) ; (2) . 20. ( 1 )计算: (2)已知 ,且 ，求 的值. 21. 按要求完成下列各小题. (1)计算: ； (2)若 ，求锐角 的值. 22. 已知 为锐角,且 ,求 的度数. 23. 如图,已知 ，利用尺规作图法在 边上求作一点 ，连接 ,使得 . (不写作法,保留作图痕迹) 1. C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值. 先计算 的值,再求其相反数即可. 【详解】解: , 的相反数是 . 故选: C. 2. B 【分析】本题考查特殊角的正切函数值的计算, 熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键. 由特殊角的三角函数值 ,代入进行乘法运算即可得到答案. 【详解】解: , , 故选: B. 3. D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值, 无理数. 分别求出各选项中特殊角的三角函数值, 然后进行判断即可. 【详解】解: A、 ,是无理数,该选项不符合题意; B、 ，是无理数，该选项不符合题意； C、 ，是无理数，该选项不符合题意； D、 ,是有理数,该选项符合题意; 故选: D. 4. D 【分析】本题考查了锐角三角函数的特殊值, 解题的关键是熟知特殊角的余弦值. 根据特殊角的余弦值,由 得出 的度数,进而求出 的度数. 【详解】解: 因为 ,且 是锐角,所以 , 解得 . 故选: D. 5. C 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值和等边三角形的性质. 由等边三角形的每个内角均为 ,可得 ,直接计算 的值即可. 【详解】 是等边三角形, , , . 故选: C. 6. A 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用,根据倾斜角为 ,高为 ,得到扶梯的长度为 ,进行求解即可. 【详解】解: 自动扶梯的倾斜角为 ,高为 , 扶梯的长度为 ; 故选 A. 7. A 【分析】本题考查了特殊三角函数值以及关于 轴对称的点的坐标规律. 根据计算得出点 的坐标,再根据关于 轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数的性质求出对称点的坐标. 【详解】解: , 所以点 的坐标为 , 所以点 关于 轴对称的点的坐标为 故选: A. 8. B 【分析】本题考查了解直角三角形, 绝对值的非负性, 利用非负数的性质, 令平方项和绝对值项分别为零,求出 和 的度数,再计算 ,从而判断三角形形状,即可作答. 【详解】解: ,且平方项与绝对值项均非负, 且 , , , , 为等边三角形. 故选: B. 9. D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值,比较三角函数在 时的大小关系,需利用三角函数在锐角范围内的变化规律. 首先比较 和 的大小,再分析 的值,最后综合得出顺序. 【详解】解: , 的值最大, 又 , , , 故选: D. 10. C 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用, 正确选择锐角三角函数关系是解题关键. 直接利用锐角三角函数关系得出 ,即可求解. 【详解】解: 依题意, , 则 , 解得: 米， 故选: C. 11. 1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值. 根据特殊角的三角函数值,得 的值为 , 然后进行乘法运算, 即可作答. 【详解】解: 依题意, , 故答案为: 1 12. 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数, 正确记忆相关数据是解题关键. 直接利用特殊角的三角函数代入得出答案. 【详解】解: 锐角 时, . 故答案为: . 13. 【分析】本题考查了特殊值三角函数值的相关计算, 熟练掌握特殊值三角函数值是关键. 直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可. 【详解】解: . 故答案为: . 14. < 【分析】本题考查了锐角三角函数的大小比较, 根据正弦函数在锐角范围内的单调性, 角度越大, 正弦值越大. 【详解】解: 在锐角范围内 ,正弦函数值随角度的增大而增大, , . 故答案为: . 15. 度 【分析】本题主要考查了非负数的性质, 根据特殊角三角函数值求角的度数, 三角形内角和定理,根据非负性的性质可求出 的值,则可求出 的度数,进而由三角形内角和定理可得答案. 【详解】解: , , , , , , 故答案为:105°. 16. 200 【分析】本题考查了勾股定理的应用、方向角等知识, 解题的关键是理解题意, 熟练运用勾股定理解决问题. 根据勾股定理计算即可. 【详解】解: 由题意, 是直角三角形, , (米) 故答案为:200. 17. . 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值, 直接利用特殊角的三角函数值代入计算即可得出答案. 【详解】解: . 18. (2) 【详解】解: (1) 原式 (2)原式 19. ; (2) 0 【分析】本题考查特殊角的三角函数值以及实数的混合运算,核心是牢记 角的正弦、余弦、正切的准确值，同时注意二次根式的性质 的应用. (1)代入各特殊角的三角函数值，再按照“先乘方、乘法，后加减”的运算顺序逐步计算； (2)先利用二次根式的性质化简第一项，再分别代入特殊角的三角函数值计算每一项，最后合并同类项完成加减运算. 【详解】(1)解:原式 ; (2)解:原式 . 20. (1)0 (2)70 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算, 熟记各特殊角的三角函数值是解题关键. (1) ，据此即可求解； (2)由题意得 ，根据 ，据此即可求解； 【详解】解: (1) 原式 (2) ， , , , ; 21. (1) (2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值, 熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键; (1)根据特殊三角函数值可进行求解; (2)根据特殊三角函数值可进行求解. 【详解】(1)解:原式 ; (2)解: ， , . 22. 或 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值, 掌握特殊角的三角函数值, 解特殊角的三角函数方程是解题的关键. 先根据因式分解法解一元二次方程, 再根据特殊角的三角函数值求锐角即可求解. 【详解】解: 设 ,则 ,即 , 解得 ,即 或 . 为锐角, 或 . 23. 如图所示 【分析】此题考查了尺规作角平分线, 特殊角的三角函数值, 作出 的平分线交于点 即为所求, ,即可得到 . 【详解】如图所示,点 即为所求. 由作图得, . 学科网（北京）股份有限公司 $