1 锐角三角函数-【拔尖特训】2025-2026学年九年级下册数学(北师大版)

本册教材思维导图 正切（坡度） 正弦 锐角三角函数 余弦 直 由角的度数求三角函数值 特殊角的 三角函数值 由三角函数值求角的度数 角三角形 直角三角形两个锐角互余 边 三边关系（勾股定理） 依据 边角关系（三角函数） 解直角 角关系 三角形 与仰角、俯角有关的应用 与方向角有关的应用 应用 与坡度、坡角有关的应用 与生活有关的实际应用 概念 九 左加右减 平移 变换 上加下减 二次函数的 开口方向 图象与性质 对称轴 图象 与性质 顶点坐标 增减性及最值 一般式 求二次函数的表达式 顶点式 (待定系数法) 函数 交点式 解决几何图形的最大面积 二次函数的 解决抛物线型问题 应用 解决最大利润问题 抛物线与x轴的交点情况 二次函数 利用二次函数图象求一元 与一元二次方程 二次方程的近似解 圆的概念（圆心、半径） 孤（优孤、劣孤、半圆） 圆的相关概念 弦（直径是最长的弦） 圆心角、圆周角 轴对称图形 圆的对称性 中心对称图形 旋转不变性 圆的 定理 基本性质 圆心角、弧、弦的关系 和定理 推论 定理 垂径定理 手级 推论 册 定理 圆周角定理 推论1、推论2、推论3 圆 确定圆的条件 点与圆的 点在圆外 与圆有关的 位置关系 点在圆上 位置关系 点在圆内 位置关系 (相交、相切、相离) 直线和圆的 切线的性质 位置关系 切线 切线的判定 切线长定理 正多边形的中心、半径、 圆内接 与圆有关的 中心角、边心距 正多边形 计算 尺规作图 弧长、扇形的面积 第一章直角三角形的边有 1锐角 第1课时 白基础进阶 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,AB=6, 那么tanA的值在 ( A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.(2025·雷州模拟)在Rt△ABC中，∠C= 心.若nA-号则an5的值为 A. c D. 3.(2025·浙江模拟)如图，点A(t,6)在第一象 限，OA与x轴所夹的锐角为a,tana=),则 t的值是 (第3题) (第4题) 4.(2025·绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水 坡AB的斜面坡度i=1：√2，堤坝高BC 15m,则迎水坡面AB的长是 m. 5.新考法·探究题如图，AC⊥AO,E,F是AC 上的两点，且∠AOF>∠AOE. (1)求证：tan∠AOF>tan∠AOE. (2)锐角的正切函数值随角度的增大而 C (第5题) 2注：标“★”的题目设有“方法归纳”，标“易错题”的设有“易错警 关系 三角函数 正切和坡度 “答案与解析”见P1 幻素能攀升 6.新考向·数学文化我国古代数学家赵爽在为 《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三 角形拼成正方形（如图），这个图被称为“弦 图”.若“弦图”中小正方形的面积为1，每个 直角三角形的面积均为6，α为直角三角形中 的一个锐角，则tana的值为 () A.2 c D.2 C (第6题) (第7题) 7.*如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格 点上，则tanA的值为 () A司 u号 C.2 D.2√2 8.如图，在平面直角坐标系中，点A,B 分别在x轴负半轴和y轴正半轴 上，点C在OB上，OC:BC=1:2, 连接AC,过点O作OPAB,交AC的延长线 于点P.若点P的坐标为(1，l),则tan∠OAP 的值是 () A③ D.3 3 B② 2 c台 人a (第8题) (第9题) 9.新考法·操作实践题四边形具有不稳定性，如 图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平 行四边形，则tana的值为 示”，详见“答案与解析” 10.(2025·扬州)如图①，将棱长为9cm的密 封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中 水面高度BM=7cm.将此正方体放在坡角 为α的斜坡上，此时水面MN恰好经过点 A,其主视图如图②所示，求tan&的值. A(M Q ② (第10题) 11.(2025·长沙岳麓模拟)某兴趣小组组织登 山活动，他们从山脚下点A处出发，沿斜坡 AB走到点B处，再从点B处沿斜坡BC登 上山顶点C(如图).已知斜坡AB的长为 200√13米，斜坡BC的长为200√2米，坡度 是1：1，点A的海拔为121米，点C的海拔 为721米. (1)求斜坡AB的坡度！ (2)为了方便上下山，若在点A与点C之间 架设一条钢缆，求钢缆的长度 B (第11题) 第一章直角三角形的边角关系 节思维拓展 2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标 分别为(1,0)，(0，一3)，点C在x轴上，且 点C在点A的右侧，连接AB,BC.若 tan∠ABC-了，则点C的坐标为 B (第12题) 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D,E,F分别是AC,AB的中点，O 是DF的中点，EO的延长线交线 段BD于点G,连接DE,EF,FG. (1)求证：四边形DEFG是平行四边形 (2)当AD=5,tan∠EDC-号时，求FG 的长， BG D (第13题) 3 拔尖特训·数学（北师版）九年级下 第2课时 自基础进阶 1.(2025·深圳)如图所示为某人行天桥的侧面 结构示意图.若高BC的长为10米，斜道AC 的长为30米，则sinA的值为 () A (第1题) A B.3 C② 4 D 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，下列等式中，成 立的是 A.sin A=sin B B.cos A=cos B C.sin A=cos B D.tan A=tan B 3.易错题在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 边分别为a,b,c.已知a=6,b=8,则cosA 的值为 4.如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB=5, 4 则BC的长为 (第4题) 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上 的一点，CD=3,AD=BD=5.求∠A的正 弦、余弦和正切. (第5题) 4 正弦和余弦 “答案与解析”见P2 )素能攀升 6.(2025·郑城模拟)有6个大小相同的小正方 形，恰好按如图所示的方式放置在△ABC 中，那么下列结论错误的是 ()》 25 A.sinA B.cos B= 2√5 5 C.sin B5 5 D.tan A=2 --=>B 77777元 (第6题) (第7题)》 7.新情境·现实生活如图，梯子与地面的夹角为 ∠α.下列关于∠α的三角函数值与梯子的倾 斜程度的叙述，正确的是 () A.sina的值越小，梯子越陡 B.cosa的值越小，梯子越陡 C.cosa的值越大，梯子越陡 D.∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度无关 8.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 a,b,c,且满足a2+c-10+√b-8=12a- 36,则sinB的值为 9.(2025·芝罘期中)如图，在△ABC中，∠C= 90°，AC=12,AB的垂直平分线MN交AC 于点D,连接BD.若os∠CDB=,则BC 的长是 N/D (第9题) 10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为 ∠A,∠B,∠C的对边.若b2=ac,则sinA 的值为 11.(2024·浙江)如图，在△ABC中，AD⊥ BC,AE是BC边上的中线，AB=10,AD= 6,tan∠ACB=l.求： (1)BC的长 (2)sin∠DAE的值. ED (第11题) 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 45°，BD为边AC上的中线.求∠ABD的正 弦、余弦和正切. (第12题) 世思维拓展 13.新考法·阅读理解【问题呈现】 如图①，在由边长为1的小正方形 组成的网格中，分别连接格点D, N和格点E,C,DN和EC相交于点P,求 tan∠CPN的值. 第一章直角三角形的边角关系 【方法归纳】 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找 出（或构造出）一个直角三角形.通过观察发 现所求的∠CPN不在直角三角形中，我们 常常通过利用网格画平行线等方法解决此 类问题，比如连接格点M,N,可得MN∥ EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么 ∠CPN就变换到了Rt△DMN中. 【问题解决】 (1)如图①，tan∠CPN的值为 (2)如图②，在由边长为1的小正方形组 成的网格中，AN与CM相交于点P,求 cos∠CPN的值. 【思维拓展】 (3)如图③，AB⊥BC,AB=4BC,点M在 AB上，且AM=BC,延长CB到，点N,使 BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点 P.用上述方法构造网格求∠CPN的度数. B 1 ② ③ (第13题) 5第一章直角三角形的 边角关系 1锐角三角函数 第1课时正切和坡度 1.B2.D3.44.155 5.(1)AC⊥AO, ∴.△AOF和△AOE均为直角三角形 im∠A0p=AS,am∠AOE- AE AO AF>AE, .tan∠AOF>tan∠AOE. (2)增大 6.C 7.A 方法归纳 求网格图中的锐角 三角函数值的技巧 在网格图中求某个锐角的三 角函数值，通常的方法是构造合适 的直角三角形，有时需要通过平移 一条或多条直线，转移角度，利用 等角的锐角三角函数值求解. 8.C解析：过点P作PQ⊥x轴于 点Q,则PQ=OQ=1.OP∥AB, :易得黑瓷=子由暂意，知 ∠AO℃=∠AQP=90°，.∴.CO∥PQ 器82：0=10A 2.tan∠OAp=P2=1=1 AQ2+1=3 9.3 解析：如图，过点A作AH BC于点H.:BC·AB=5,BC· AH=4C:A招台温 手可设AH=4,AB=5,则 AH 4 BH=3x.∴.tana=Bn=3 D *a B H (第9题) 10.如图，延长AN,交直线BC于 点E 由题意，得AD=BC=CD=9cm, ∠D=90°，AD∥BC,ANFG, ∴.可设DN=xcm,则CN=CD- DN=(9-x)cm :密封透明正方体容器水平放置在桌 面上与放在坡角为α的斜坡上，容器 里水的体积不变，放在坡角为α的斜 坡上时，水的体积等于长为9cm、宽 为9cm、高为(9-x)cm的长方体的 体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和， .9X9(9-x)+2 1 X9×9x=9X 9×7,解得x=4,即DN=4cm AN//FG, ∴.∠AEF=∠F=a. .AD∥BC, '.∠DAN=∠AEF=a. ·tana=tan∠DAN=D八N_4 AD9· A(M E B -G (第10题) 11.(1)如图，过点C作CD⊥AM于 点D,过点B作BE⊥CD于点E,过 点B作BF⊥AM于点F,则易知四 边形BFDE为矩形 ∴.BF=ED,BE=FD ,斜坡BC的长为200√2米，坡度是 1:1, .BE=CE,BE2+CE2=BC2. ∴.易得BE=CE=200米. ,点A的海拔为121米，点C的海 拔为721米， .CD=600米 .BF ED=CD-CE=600- 200=400(米). :斜坡AB的长为200√13米， ∴.AF=√/(200√3)-4002=600（米）. 1 '.BF:AF=400:600=2:3,即斜 坡AB的坡度是2：3. (2)如图，连接AC ,CD=600米，AD=AF+FD= AF+BE=600+200=800(米)， ∴.AC=√6002+800=1000（米）. ∴.钢缆的长度即为AC的长度，是 1000米 (第11题) 12.(?0）解析：设点C的坐标 为(a,0)(a>1),则OC=a.点A, B的坐标分别为(1,0)，(0，-3)， '.OA=1,AC=a-1,OB=3. ∴.BC=√a+3=√a+9.在 Rt△OAB中，tam∠OBA=OA=1, OB-3 又：m∠ABC=子∠OBA= ∠ABC.如图，过点C作CD∥y轴，交 BA的延长线于点D,则∠OBA= ∠D,∠AOB=∠ACD.∴.△OBAn △DA,∠AC=∠D8器 D=g股2即 √a2+9 a-a= 1 是：点C的坐标为 9 ( D 6 (第12题) 13.(1)E,F分别是AC,AB的 中点， .EF//BC. ∴.∠FEO=∠DGO,∠EFO=∠GDO. O是DF的中点， .FO=DO. ..△EFO≌△GDO .EF =GD. ∴.四边形DEFG是平行四边形. (2):AD⊥BC,E是AC的中点， ·易得DE=2AC=BC ∴.∠EDC=∠C. :tan∠EDC=2, 5 :tan C-CD2' AD 5 ,AD=5, .CD=2 ∴.在Rt△ACD中，AC= √AD2+CD=√5+22=√29】 ·DE=AC= 21 由(1)，知四边形DEFG是平行四 边形， ·FG=DE=V2四 2 第2课时 正弦和余弦 1.D2.C 易错警示 因斜边不确定而漏解 对于直角三角形，如果没有指明哪 个角是直角，那么在解题时应注意 分类讨论.当不同的角为直角时， 其斜边也不同. 4.6 5.在Rt△BCD中， .CD=3,BD=5, ∴.BC=√BD2-CD=√5-3=4. 又：AC=AD+CD=8, ∴.AB=V√AC2+BC=√82+4= 45. ∴.sinA= BC 45 AB 45 =5,0sA= AC=8=2W5」 AB 45 5,tan A BC C 6.A7.B 8 解析：a2+c-10|+ √b-8=12a-36,.(a-6)2+c 10+√b-8=0..易得a-6=0, c-10=0,b-8=0..a=6,c=10, b=8.在△ABC中，∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c,a2十b2=c2, .△ABC是直角三角形，且∠C= 90.:simB=6=8=4 c=10-5· 9.6 10.1+6 2 解析：：在Rt△ABC 中，∠C=90°，.c2=a2+b2.:b2= ac,∴.c2=a2十ac.等式两边同时除 以ac,得-名+1.令兰=x,则有 =x十1，即x2+x-1=0,解得 x 心。x一1N0(不合前 2 意，舍去)..simA==1十5 2 11.(1)AD⊥BC,AB=10, AD=6, .'.BD=WAB2一AD>=W√10-6=8. .tan∠ACB=l, ..CD=AD=6. .BC=BD+CD=8+6=14. (2),AE是BC边上的中线， :CE-=2BC=7 .'.DE=CE-CD=7-6=1. AD⊥BC, ∴.AE=√AD+DE=√37. sim∠DAE=DE=1=V AE√37371 12.过点D作DE⊥AB于点E,则 ∠DEA=∠DEB=90°. 设BC=2a(a>0). ∠C=90°，∠A=45°， ∴.易得△ABC是等腰直角三角形. 2 ∴.BC=AC=2a. ,BD为边AC上的中线， ·AD=CD=2AC=a. 在Rt△BCD中，BD=√BC+CD= √(2a)2+a=√5a: 在Rt△ABC中，AB=VAC+BC= √(2a)2+(2a)=2√2a. 在△ADE中， ∠A=45°，∠DEA=90°， .∴.∠ADE=45. .∠A=∠ADE. .AE=DE. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE2+DE2=AD2,E 2AE2=a2. AE=DE-24. ·BE=AB-AE=3YE 2a. ∴.在Rt△BED中，sin∠ABD= √2 D V10 D 5a 10,coS∠ABD= 32a BE 2 3w10 BD a 10,tan∠ABD= 2 DE 1 BE 32 3 2 a 13.(1)2. (2)如图①，取格点D,连接CD,DM. 由网格的特征，易得CD∥AN,DM= CM,∠DMC=90° ∴.∠CPN=∠DCM,CD w√DM+CM2=√2CM. ·.cos∠CPN=ZDCM=OM_E CD 2 (3)如图②，根据题意，构造由以BC 的长为边长的小正方形组成的网格， 取格点Q,连接AQ,QN 由网格的特征，易得PC∥QN,AQ= QN,∠AQN=90° ∴.∠CPN=∠ANQ,∠ANQ= ∠QAN=2(180°-∠AQN)=45, ∴.∠CPN=45. ① A M ② (第13题)》 230°，45°，60°角的 三角函数值 1.C2.B3.43 4ω子 (2)3+√2. (3)3. 5.C 6C解析：由题意，得s血A 0.(-osB)=0,mA= B-号易得∠A=30,∠B 45.∴.∠C=180°-∠A-∠B= 105.∴.△ABC是钝角三角形. 方法归纳 巧记特殊角的三角函数值 30°，45°，60°角的三角函数值 要记牢，正孩、余弦值为的形 2 式，正切值为的形式.m的值 3 可归纳成顺口溜：一、二、三：三、 二、一：三、九、二十七 7.B解析：如图，设中午和下午某时 刻光线与地板的交点分别为C,D,过 点C作CE⊥PB于点E,过点D作 DF⊥PB于点F,由题意，得CE= DF=3m,△ACP和△BDP都是等 腰三角形，BP∥MN,∴.∠APC= ∠PCM=45°，∠BPD=∠PDM= B0.在Rt△PCE中，PE=C上 3m.'.AP=2PE=6m.在Rt△PDF 中，PF= tan30°- 3=33(m), 3 .BP=2PF=6√5m..AB= BP一AP=(6√3一6)m..'.光斑移动 的距离AB为(6√5-6)m 天花板A B E呀 3m MC地板 N (第7题) 8.5或7解析：在Rt△ABD中， ∠ABC=60°，AD=6W3,.BD= AD 63 tan∠ABC√3 =6.如图①，当点C 在线段BD上时，BC=BD一CD= 6一1=5.如图②，当点C在线段BD 的延长线上时，BC=BD+CD=6十 1=7.综上所述，BC的长为5或7. ② (第8题) 一易错警示 未根据题意画出所有符合 条件的图形而导致错误 解答这类求三角形的一边长 的问题时，易错在未根据题意正确 画出所有符合题意的图形，从而导 致出现漏解或错解的现象. 9.5解析：如图，过点O作EF⊥ OM,过点A作AG⊥EF于点G. ,AB=6米，OA:OB=2:1, ∴.OA=4米..∠AOM=120°， ∠EOM=90°，∴.∠AOE=30°.∴.在 Rt△AOG中，AG=OA·sim30°= 4X号-2（米）.：当点A位于最商 3 点处时，点A到地面的距离为AG+ OM=2+3=5(米). E---dG__ 0 地面 M (第9题) 10.(1)'.cos(a+3)=cos acos B- sinasin B, ∴.c0s75°=c0s(30°+45)=c0s30°· cos 45-sin 30'sin 45" 2 2 12_6-2 2X2 4 (2)sin a=3sin'a+cos'a=1,a 为锐角， .易得cosa= 2√2 3· .'sin 2a=sin(a+a)=sin acos a+ 12242 cosasina-=2X3× 3 9 11.(1)连接AD ,AB的垂直平分线分别与AB,BC 交于点E,D, .AD=BD. ∴.∠DAB=∠B. .BD=2AC, ..AD=2AC. 又∠C=90°， ∴.在Rt△ACD中，sin∠ADC= AC 1 AD2 ∴.∠ADC=30° :∠ADC=∠B+∠DAB, .∠B=15. (2)设AC=m,则AD=BD=2m. .CD=√AD-AC=3m. .∴.BC=(2+√3)m. 在R△ABC中，tan∠BAC= AC (2+5)m=2+√5. m 12.5或25或2解析：①当 ∠ABC=60时，易得C=2AB=