山东省烟台市2025-2026学年度第二学期期中学业水平诊断高一数学

2025~2026学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题 DACB BCDA 二、选择题 9.ABD 10.BCD 11.ACD 三、填空题 2号 13.20元 14.3, 迈 4 四、解答题 15.（1)因为三=a+2i_-a+212+31_2a-6)+3a+4为纯虚数， .2分 z22-3i 13 13 3a+4*0’得a=3, 2a-6=0 则有 3分 所以Z1=3十2i4分 (2)由(1)知z1=3+2i,22=2-3i,所以Z,(3,2),Z2(2,-3) 设23=a+bi(a,b∈R),则Z3(a,b) 若0Z22乙3为平行四边形，则有22=乙+二， 即2-3i=(3+2i)+(a+bi)=(3+a)+(2+b)i, 得a=-1,b=-5,此时z3=-1-5i… …7分 若0Z,2,22为平行四边形，则有=名+z2,即a+bi=(3+2i)+(2-3i)=5-i,得 a=5,b=-1,此时Z3=5-i..10分 若0222乙3为平行四边形，则有3=工2+名， 即3+2i=(2-31)+(a+bi1)=(2+a)+(-3+b)i, 得☑=1，b=5,此时Z3=1+5i13分 16.解：(1)设圆0和圆0的半径分别为R,r,母线1=4V5, 由己知可得2元R=元X1,可得R=2W3,.2分 所以50=-R2=6,因为30=380，所以H=00=4,y=20 3 3分 圆锥的表面积S=元R0+R)=元×25×(4V5+25)=36元，5分 圆柱的侧面积3，=2mh/=2元×25×4=16V3m 3 6分 3 所以剩下几何体的表面积S=S,+S, 16J3m+36m: 7分 3 高-数学答案（第1页，共6页） 餐国扫描全能王 (2)设SO=x(0<x<6),则圆柱的高为6-x, 由相似性得上=SO 所以r=5 Ro,即x ,9分 236 圆挂的侧面积8,2R=2x×3义6-=号6x-列13分 3 所以，当x=3时，侧面积最大，此时r=V5,00=3,…l4分 挖去圆柱的体积V2=Sh'=(3)子X3=9元.…15分 1解：)由题意可知∠CD-子，设m乙ACD=看-g乙aCD=55 ，.2分 14 在△ACD中，由正弦定理得： CD AD 视D=sm4G0,即得，CD=21,……4》 V353 214 coS∠ADC=cos(元-∠ACD-∠CAD)=-cos(∠ACD+∠CAD) V5551111 =2x142147 6分 由余弦定理AC2=AD2+CD2-2 4DxCDxc0S∠ADC,7分 所以4C=2P+152-2×21x15x号576， 所以AC=24, 9分 1 (2)在三角形BCD中，coS∠BDC=-coS∠ADC=- …10分 设BD=x,由余弦定理BC=BD2+CD2-2BD×CDx cos∠BDC,得 312=xX+212-2x×21x(←月 …12分 整理得x2+6x-520=0,解得x=20,.14分 所以该车形式的速度y= 20 =60l0/h.15分 3 18.解：(1)选择条件①： -bsinC+ccos B=a 3 由正弦定理可得， -sin Bsin C+sin Ccos B=sin A, 高一数学答案（第2页，共6页） 默S扫描全能王 裔3觉人■直用的日用AP 2。-24-- 3 -sin Bsin C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 化简得5 sin B sin C=6 sin B cos6C 3 …2分 又因为B∈(0，π)，所以sinB>0, 所以3sinC=cosC,即tanC=√3，a 3分 3 因为C∈(0，)，故C=匹 34分 选择条件②1+2 cosAcos B=cos(A-B)-c0s(A+B)得： 1+2cos Acos B=2sin Asin B, 2(cos Acos B-sin Asin B)=-1, 2分 1 c0s(A+B)=- .3分 2 又因为A+B∈(0，)，所以A+B=2,故C= 3 3 。4分 选择条件®：由5sinC+2cos2C=3得， √5sinC+c0sC=2, …2分 即sin(C+)=1 .3分 6 又因为Ce@,C+e爱爱，所以C+君受 6 数C=号 4分 (2)(1)因为CD=2( CA CB 所以CD为角平分线，∠ACD=∠BCD= 5分 6 因为SAMc=SMCD+SAcD即， -C4xCDxsin∠ACD+-CBxCDxsin∠BCD=2 CAxCB×sin∠ACB, 2 整理得，a+b=6ab,① 7分 在△4BC中，由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C得，(a+b)2-3ab=3,②8分 由①②可得2(a+b)2-(a+b)-6=0,解得a+b=2,9分 高一数学答案（第3页，共6页） 餐巴扫描全能王 额3元人■直用的日mAe ”22-24- 由正弦定理 0 ,可得a=2sin4,b=2sinB10分 sin A sinB sinC 2 所以sinA+sinB=1.… .11分 )因为CD是△ABC的中线，则有CD=(CA+CB),l2 即D2-C+c2-@+20a.c丽+c丽)=4a2+b2+a, …13分 由（1)可知a2+b2-ab=3≥ab,当且仅当a=b=√5时=”成立，…14分 可得c而=C+丽2-a2+2+ab)=6+2a)s 9 16分 所以QD≤号所以QD的威大值为 .17分 19.解：()在△MBC中，AB=BC=5,∠ABC=2,所以∠BAC=∠BCA= 3 6 又因为DA⊥AB,所以∠CAD=工 …1分 3 由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB,BCcos 2π 3 =3+3-2x5x5x(2-9,所以4C=3, 3分 在△ACD中，因为 CD AC 印V3 sin∠CAD sin∠ADC sin∠ADC 4分 2 所以sin∠ADC= 3V53W39 21326 6分 因为3>3，且∠CAD=,所以∠ADC为锐角， 3 所以coS∠ADC= 5 5v3 2W1326 7分 (2)在△MBC中，AB=BC=V3,∠ABC=日，所以∠BAC=∠BCA=元=已 2 又因为DA⊥AB,所以∠CAD= 2 由余弦定理得，AC2=AB2+BC2L-2AB.BCc080=6-6c0S0.9分 Snc3x3 inin .11分 高一数学答案（第4页，共6页) S扫描全能王 然镜觉人群直用的日mA中 --。-。。4-。。…一2025~2026学年度第二学期期中学业水平诊断 高一数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰：超出答题 区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求。 1.已知复数z满足z=3+5i（i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知向量a,b满足|a=V10,1b=√5，ab=-5,则1a+b1= A.5 B.5 c.√6 D.6 y 3.一水平放置的四边形ABCD,用斜二测画法画出其直观图为等腰 D C 梯形AB'CD',如图所示，若B=3,CD=1,则AC= B A.2V3 B.√6 D.4 O4) C.3 4.己知圆台上、下底面半径分别是1和3，体积为13π，则该圆台的高为 A.1 B.3 C.4 D.6 5.在△ABC中，AD=2DB,CP=3PD,若AP=mAB+nAC,则m+2n= A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，为测量河对岸CD两点间的距离，现在楼顶A处观察C的 俯角为30°，观察点D的俯角为60°，B为楼底一点且AB⊥平 面BCD,若楼高AB=20V5,∠CBD=120°，则CD= A.20W5 B.20W7C.20W13 D.20W15 7.已知在梯形ABCD中，AB/ICD,∠DAB=90°，AB=2CD=4,AD=2√5，点F 在BC边上运动（包含端点），则AF,DF的取值范围为 A吕 a只利 c唱阿 8.△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=4a2,V5sinA=2 sin BsinC, 则角A的大小为 6 D. 2 3 高一数学试题（第1页，共4页) 影巴全目 -。2-。。24-。- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z=a+bi,a,b∈R且b≠0，下列说法正确的有 A.z-z是纯虚数 B.若1z=1,则z=1 C.zi是虚数 D.若a=b,则z2是纯虚数 10.已知向量a=(3,-2),b=(k,1),则下列说法正确的有 A.若a+bHa-b1,则k=-3 2 B,若向量a,b夹角为锐角，则k> 3 C若k=-3 ,则+6 =0 a b D.若向量a在b方向上的投影向量为二b,则k=1或k=5 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+二+acos3B=0.则 A.a= B.B= 6 D.a2+b2+c2<2 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(1,-3),b=(x,2),若b/(b-3a),则x的值为 13.已知正三棱柱ABC-ABC,AB=2W3,AA=2,则其外接球表面积为 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b=acos C-ccosA,则 a2-c2 :tanB的最大值为 ,(本小题第一空2分，第二空3分) b2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)复数乙1=a+2i,22=2-3i,其中1是虚数单位，且为纯虚数. (1)求复数z1: (2)设复数21,22,23在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,O为坐标原点，若以 O,Z,Z2,Z3四个点为顶点构成的四边形为平行四边形，求复数23 高一数学试题（第2页，共4页） 餐巴扫描全能王 额3元人■直用的日mAe -…-。4-小 16.(15分)如图，圆锥S0的母线长为4V3,侧面展开图为半圆，过0上一点0作平行 19.（1 S 于底面的截面，以该截面为底面挖去圆柱OO. 且点 (1)若SO=3S可，求剩下几何体的表面积： (1) (2)当挖去的圆柱OO'侧面积最大时，求圆柱的体积. (2 01-- 17.(15分)如图，观测站C在目标A的南偏西35°方向，经过A处有一条南偏东25°走向 的公路AB,在C处观测到有一轿车从A处沿此公路向B处行驶，行驶15km后到达D处， 此时测得cos∠ACD=1 北 14 (1)求A,C两地的距离： (2)若此轿车从D处继续行驶，经过20分钟后到达B处， 且BC=31m,求该车行驶的速度（单位：km/h). )a⑩bsnC+cB0sB=a,②1+2co9 AcosB=cos ®V5i血C+2c0g2C=3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题， 问题：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且一 (注：如果选择多个条件分别求解，按第一个解答计分) (1)求角C的大小： (2)D为AB上一点，且c=√3 (1)若D满足CD=( CA CB).cD= ,求sinA+sinB的值： CCBI 6 (ⅱ)若D是线段AB的中点，求CD的最大值， 高一数学试题（第3页，共4页） 影巴全目 。-2.2-。。24-。。…一 19.(17分)在△ABC中，AB=BC=V3,∠ABC=0,点DE平面ABC,DA⊥AB, 且点B,D位于直线AC两侧. (1)若日=2，CD=3,求cos∠ADC的值： 2)若日为钝角，4C三239in号求四边形4BCD面积的最大值 AD 高一数学试题（第4页，共4页） 餐巴扫描全能王 级3觉人■有用的日mAe -…2。-24--