精品解析：山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量监测八年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6、8、10 B. 5、12、13 C. 7、10、12 D. 3、4、5 2. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 5. 如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在4×4的正方形网格中，点，，都在格点上，若每个小正方形的边长均为，为边上的中线，则下列结论错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 的面积是 8. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 9. 亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 10. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞．纸片展开后是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的正整数的值________． 12. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 13. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______． 14. 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 15. 两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点是边中点，则下列结论：是等边三角形，，，四边形是平行四边形，其中正确的结论是______（填结论标号）． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 手工课上，小明用卡纸分别剪出了一个正六边形和一个正五边形，他把两个图形按下图的方式叠合在一起，让它们的一个顶点重合，请你帮小明求出的度数． 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 19. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且． （1）若的长度为1，求的长度； （2）试说明：． 20. 【阅读与思考】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， （1）按照下面的解法，试化简：． 化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点．用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 22. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 23. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． （2）【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． （3）【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中质量监测 八年级数学试题 （测试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6、8、10 B. 5、12、13 C. 7、10、12 D. 3、4、5 【答案】C 【解析】 【分析】若三边长满足任意两边之和大于第三边，且较小两边平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，否则不是，依次计算验证即可． 【详解】A选项：∵，，， ∴，能构成直角三角形，不符合题意． B选项：∵，，， ∴，能构成直角三角形，不符合题意． C选项：∵，，，， ∴，不能构成直角三角形，符合题意． D选项：∵，，， ∴，能构成直角三角形，不符合题意． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式满足的要求是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不满足题意； B、，不满足题意；        C、是最简二次根式，满足题意；       D、，不满足题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，分别根据二次根式的加、减、乘、除法运算法则计算相应选项，再进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算正确，故选项Ａ符合题意； B、与不是同类项，不能合并，故选项B计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，故选项C不符合题意； D、，原选项计算错误，故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（ ） A. 1 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得：“车”“炮”两棋子间的距离为， 故选：D． 5. 如图， 矩形的对角线， 相交于点O，若， 则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．利用矩形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∴， 故选：C． 6. 已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 7. 如图，在4×4的正方形网格中，点，，都在格点上，若每个小正方形的边长均为，为边上的中线，则下列结论错误的是（ ） A. B. 是直角三角形 C. D. 的面积是 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理可判断；根据勾股定理的逆定理可判断；根据直角三角形的性质可判断；根据三角形的面积公式可判断． 【详解】解：、由网格可知，，该选项正确，不符合题意， 、由网格可知，，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，该选项正确，不符合题意； 、∵是直角三角形，为中点， ∴，该选项正确，不符合题意， 、由上可得，，，是直角三角形， ∴的面积是，该选项错误，符合题意． 8. 《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 9. 亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：由正方形得，， ∴， 解得，（负值已舍）， 由菱形得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 10. 如图，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞．纸片展开后是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状． 【详解】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞． 故选：D． 【点睛】本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知二次根式有意义，请写出一个符合条件的正整数的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于，据此求出的取值范围即可得到符合条件的答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， ∴符合条件的正整数可以为（答案不唯一）． 12. 若最简二次根式与是可以合并的二次根式，则a的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】两个最简二次根式可以合并说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 13. 如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______． 【答案】米 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵是中点，是中点， ∴是中位线， ∴， ∴（米）， ∴，两点间的距离为米． 14. 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据七巧板图形性质即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形边长为， 所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成， 且点在负半轴， 则点的坐标为． 15. 两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点是边中点，则下列结论：是等边三角形，，，四边形是平行四边形，其中正确的结论是______（填结论标号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可判定；利用“直角三角形中所对的直角边是斜边的一半”和中点的定义，即可判断；利用勾股定理，可得，再根据线段之间的关系，代换即可；利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，即可判定． 【详解】解：由题可知，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，故正确； ∵，， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∴，故正确； 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，点是边中点，， ∴，， ∴，故正确； ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点是边中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形，故正确； 综上可得：正确的结论是． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 手工课上，小明用卡纸分别剪出了一个正六边形和一个正五边形，他把两个图形按下图的方式叠合在一起，让它们的一个顶点重合，请你帮小明求出的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和定理求得正五边形和正六边形的内角，再作差即可解答． 【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于， 正五边形的每个内角都等于， ∴ ， ∴的度数为． 18. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 19. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且． （1）若的长度为1，求的长度； （2）试说明：． 【答案】（1） （2） 解：设，则． 因为为的中点， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以是直角三角形， 所以． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的性质； （1）根据正方形的性质得到，再结合勾股定理得到，计算求解即可． （2）设，则，结合勾股定理推出，即可求出结果． 【小问1详解】 解：因为， 所以． 因为四边形是正方形，所以． 因为， 所以在中，， 所以． 【小问2详解】 略 20. 【阅读与思考】 在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， （1）按照下面的解法，试化简：． 化简： 解：隐含条件 解得 ∴ ∴原式 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． （1）根据二次根式有意义条件得出，求出，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据数轴得出，，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可． 【小问1详解】 隐含条件， 解得：， 所以 ； 【小问2详解】 从数轴可知：，， 所以 ． 21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形中，点O是对角线的中点．用尺规过点O作的垂线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 证明：在矩形中，， ∴， 由（1）可知垂直平分， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了过直线上一点作垂线，矩形的性质和菱形的判定，解决此题的关键是熟练掌握垂直平分线的尺规作图； （1）以点O为圆心，以大于为半径画弧，过点O和两弧交点的直线分别交，于点E，F，连接，即可； （2）先判断四边形是平行四边形，再得到临边相等即可得到答案； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合与实践 【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾救援任务，大幅提高消防救援效率，缩短救援时间．已知云梯最多伸长到，消防车高，救援时云梯伸到最长． 【任务】在演练中消防员接到命令，必须在，处两个求救点救援． 【现场勘察】勘察，离地面O的高度分别为，． 【解决问题】 （1）消防车接到命令快速赶到现场，此时云梯顶端刚好在处，求消防车云梯底部处距离着火楼距离是多少？ （2）消防车继续向着火楼靠近救援，靠近的距离为多少米时，才能使云梯顶端刚好到达处，完成救援任务？ 【答案】（1）消防车距离着火楼距离是15米 （2）消防车靠近的为8米才能完成处救援任务 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）延长交于点，则，．在中根据勾股定理求出即可； （2）在中根据勾股定理求出，在根据即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于点，则，． ∵， ∴在中，， 即此时消防车距离着火楼距离是15米． 【小问2详解】 解：∵，， ∴在中，， ∴， 即消防车靠近的为8米时才能完成处救援任务． 23. 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： （1）如图1，中，，若，，点是斜边上一动点，求线段的最小值． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到： 当时，线段取得最小值．根据小明的思路可以求出这个最小值为_______． （2）【思维运用】如图2，在中，，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值． （3）【问题拓展】如图3，，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上．，，分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离的最小值为______．（直接写出结果，不需要写过程） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据垂线段最短得到答案； （2）根据勾股定理求出，根据矩形的性质得到，仿照（1）的方法解答； （3）连接、，延长交于，连接，证明四边形是矩形，得出，仿照（2）的方法即可求解． 【小问1详解】 解：当时，线段取得最小值． ∵中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故的最小值为． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，，， ， 当时，最短， ， ∴线段的最小值为； 故答案为：． 【小问3详解】 如图3，连接、，延长交于，连接， 四边形，四边形是菱形，， ，，，，与互相垂直平分，与互相垂直平分， 、分别是对角线、的中点， 点是的中点，点是的中点，，， ， 又，， 四边形是矩形， ，， 当时，有最小值， 此时，，， ，， ，， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $