精品解析：江西省景德镇市昌江区景德镇一中2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

景德镇一中2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的定义，关键是根据“沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合”判断轴对称图形，根据“绕某一点旋转后能与自身重合”判断中心对称图形． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形； 故选：D． 2. 在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直角三角形的定义和勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：对于条件①：∵，且， ∴，即， ∴是直角三角形． 对于条件②：设，则， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件③：∵ ， ∴由勾股定理逆定理，是直角三角形． 对于条件④：∵，即， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． 对于条件⑤：设，则， ∴， ∴是直角三角形． ∴能确定是直角三角形的条件有①、③、⑤，共 3 个． 故选：C 3. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接、，根据网格的特点分别作、的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，连接，，分别作、的垂直平分线， 故点B为其旋转中心． 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 5. 若，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、， ，故本选项不符合题意； B、， ，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合端点验证确定a的取值范围． 【详解】解：∵ 不等式组恰有3个整数解 ∴ 不等式组的解集为． 小于3的最大的三个整数为2, 1, 0，即不等式组的整数解为2, 1, 0． 验证端点：当 时，解集为 ，整数解为0, 1, 2，共3个，符合要求；当 时，解集为 ，整数解为1, 2，共2个，不符合要求． ∴ 可得． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 【答案】10 【解析】 【详解】解：∵点是平分线上一点，且，， ∴， 又∵， ∴． 8. 如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：点与点关于原点对称 ， 解得， 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴且， 解得． 11. 一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式的解集是一次函数的函数值大于等于时对应的自变量的取值范围，结合一次函数的图象性质即可求解． 【详解】解：由题意，一次函数的图象经过点与， ∴一次函数经过第一，二，四象限， ∴一次函数随的增大而减小， 当时，即，对应一次函数图象位于轴及轴上方， 此时满足条件的的取值范围为． 12. 如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______  ． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质等，由折叠的性质得，再分四种情况，分别画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形的外角性质解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质知， 当时，如图，， 由三角形的外角性质得，， 即，此情况不存在； 当且点在射线下方时，如图， ∵， ∴， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当时，如图，， ， 由三角形的外角性质得，， 即， 解得； 当且点在射线上方时，如图，， ， ； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算或解不等式组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和一元一次不等式组的解法，关键是熟练应用运算法则求解. （1）先算绝对值、开方、幂的运算，然后算乘法，最后算加减. （2）分别解出两不等式的解集，再找出其公共部分，即为不等式组的解集. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解①得， 解②得， 14. 如图，直线分别交x轴，y轴于点．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求时，x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，根据图像的性质确定函数值大小等知识是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据两点直线相交，联立方程组求解可得点E的坐标，结合图示，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入 解得： 【小问2详解】 解： ， ， ∴点C坐标为， 把代入，得． ， 令，得， 把代入，得， 点坐标为， ∴当时，x的取值范围为． 15. 如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质得到，，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，， ，，， ， ， ， ． 16. 如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到，根据余角的定义计算即可； （2）根据平移的性质得到，，，，，进而得到，，根据求出，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【小问1详解】 解：平移到的位置， ∴， 与互余， ∴； 【小问2详解】 解：，分别平移到和的位置， ，，，，， ∴， ∵与互余， ∴与互余， ∴ ， 即， ∴． 又， ， ∴ 17. 已知等腰三角形，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． （2）尺规作图：作的角平分线交于点． 【答案】（1） 如图所示：即为所求． （2） 如图所示：即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图： （1）分别以点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，直线即为线段的垂直平分线； （2）在上分别截取，使得，分别以为圆心，大于长画弧，两弧交于一点，过点与交点作射线即是角平分线，角平分线与的交点即为点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最大，则该最大值为多少． 【答案】（1） 如图，即为所求，可知，，； （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形，进而根据平面直角坐标系写出点，，的坐标即可； （2）根据勾股定理及三角形三边关系作答即可. 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：最大值为， 若点为在轴上但不在直线上，此时中，两边之差小于第三边， ， 又， ， 若点为在轴上且该点在直线上（即延长交x轴于点P），此时， 综上所述最大值为． 19. 如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分． 【答案】（1） 证明：， ． 在和中， ∴, 垂直平分；  （2） ， ． 又，， 即，， 平分． 【解析】 【分析】（1）证明，即可知，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的性质即可求解． 【小问1详解】 略；     【小问2详解】 略． 20. 近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． （1）该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ （2）若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元 （2）共有3种建造方案，方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场；方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场；方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 【解析】 【分析】（1）设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元，根据“新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元”列方程组求解即可； （2）设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场，根据“该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量）”列方程组求出a的取值范围，进而得到a的取值，即可得到所有方案． 【小问1详解】 解：设该公司新建1个A型停车场需要万元，一个B型停车场需万元， 根据题意得：， 解得：， 答：该公司新建1个A型停车场需要200万元，1个B型停车场需要300万元； 【小问2详解】 解：设该公司新建个B型停车场，则新建个A型停车场， 根据题意得：， 解得：， 又为非负整数， 可以为0，1，2， 共有3种建造方案， 方案1：该公司新建0个B型停车场，则新建15个A型停车场； 方案2：该公司新建1个B型停车场，则新建14个A型停车场； 方案3：该公司新建2个B型停车场，则新建13个A型停车场． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知关于，的方程组的解中，． （1）的取值范围为___________． （2）化简：． （3）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】（1） （2）当时；当时；当时 （3）当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）解方程组把未知数、的值用含的代数式表示出来，再根据，，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求出的取值范围； （2）根据的取值范围分段化简； （3）因为不等式的解集为，根据不等式的基本性质可知，结合，可知，又因为为整数，可知． 【小问1详解】 解：解方程组， 可得：， ，， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 即的取值范围为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时， ，， ， 当时， ，， ， 当时， ，， ， 综上所述：当时； 当时； 当时； 【小问3详解】 解：， ， 不等式的解集为， ， 解得：， 又， ， 为整数， ， 当时，不等式的解集为． 22. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 【答案】（1）；（2）； （3），，理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． （3）如图，延长，使，连接，证明，可得，，，再证明，可得，，在进一步可得结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴； （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． （1）若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） （2）求的度数； （3）已知C为的中点，且，求的长． 【答案】（1） （2）的度数为 （3） 【解析】 【分析】（1）在等腰中，利用两个底角相等，直接表示出来的度数即可； （2）首先利用等边三角形和等腰三角形的性质，将表示为，即可结合（1）中的结论进行求解； （3）首先构造合适的辅助线得到全等三角形，再将与的线段关系表示为三角形面积关系，即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，，过点C作于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵C为的中点， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵C为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，垂直平分线的性质，合理构造辅助线和将线段比例用三角形面积的比例表示出来是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025-2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，．下列条件中：①，②，③，④，⑤．能确定是直角三角形的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，其旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式组，恰有3个整数解，则字母的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 8. 如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 9. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则____________． 10. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 11. 一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是____________． 12. 如图，中，，是射线上的动点，连接，令，将沿所在射线翻折至处，射线与射线相交于点若是等腰三角形，则的度数为______  ． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算或解不等式组： （1）； （2） 14. 如图，直线分别交x轴，y轴于点．直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线相交于点E，已知． （1）求直线的表达式； （2）求时，x的取值范围． 15. 如图，和关于点成中心对称，若，，，求的长． 16. 如图，在四边形中，，与互余，将，分别平移到和的位置，． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 17. 已知等腰三角形，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线分别交、于点、． （2）尺规作图：作的角平分线交于点． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，三个顶点坐标分别为，，． （1）请画出关于轴对称的图形，并写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使得的值最大，则该最大值为多少． 19. 如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． （1）求证：垂直平分； （2）若，求证：平分． 20. 近年来景德镇旅游业市场迅猛增长，为了缓解景德镇自驾游停车难的问题，某企业计划新建A和B两种类型的停车场．已知新建1个A型停车场和2个B型停车场需要800万元；新建2个A型停车场和1个B型停车场需要700万元． （1）该企业新建1个A型停车场和1个B型停车场各需多少万元？ （2）若该公司计划用不超过3200万元的资金新建15座停车场，且A型停车场的数量不少于B型停车场数量的2倍（B型停车场数量），则共有几种建造方案？并列出所有方案． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 已知关于，的方程组的解中，． （1）的取值范围为___________． （2）化简：． （3）在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？ 22. 【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线” 等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求 的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法” 【初步感知】 （1）如图1，在中 ，，，D是 的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到 点E，使 ，连 接．可以判定， 从而得到．这样就能把线段、、 集中在中，利用三角形三边的关系，即可求出中线的取值范围是______ (请直接写出答案) 【实践应用】 （2）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时，测得旗杆高度， 教学楼高度，求 的长 ． 【拓展探究】 ( 3 ) 如 图 3 ， 和 均为等腰直角三角形，连接，，点 F 是 的中点，连接并延长，与 相交于点G．试探究： 和 的数量关系和位置关系并说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在等边中，D为边上一点，延长至F使得，过A作于H，与的延长线交于点G． （1）若为α，直接写出的度数；（用含α的代数式表示） （2）求的度数； （3）已知C为的中点，且，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $