期末专题复习：新定义问题 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

2026年浙教版七年级第二学期期末复习专题复习：新定义问题 1.定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A. 14个 B. 15个 C. 26个 D. 60个 【答案】A 【详解】设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于200且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有14个． 故选：A． 2.18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”、如记，；已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 3.若两个数a，b满足，则称b是a的“溜数”．若x是48的“溜数”，则________． 【答案】1 4.定义一种新运算，已知，当时，；当时，，若，则______. 【答案】12或 5.在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝310，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． 【解答】解：（1）∵9x＝310， （32）x＝310， 32x＝310， ∴2x＝10， 解得：x＝5； （2）∵3x+2﹣3x+1＝162， 3x•32﹣3x×3＝34×2， 9×3x﹣3×3x＝34×2， 6×3x＝34×2， 3×3x＝34， 31+x＝34， ∴1+x＝4， 解得：x＝3． 6.爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：x+a，x+b，x+c（a，b，c都是非零常数），当（x+b）2﹣（x+a）（x+c）是一个常数m时，称这样的三个多项式是平衡多项式，m的值是平衡因子． （1）根据方方同学给出的定义，判断x+2，x+3，x+1是不是平衡多项式？说明理由． （2）已知x﹣2，x+c，x+2是平衡多项式，求平衡因子m． 【解答】解：（1）原式＝（x2+6x+9）﹣（x2+3x+2） ＝3x+7， ∴由定义可知，x+2，x+3，x+1不是平衡多项式； （2）∵x﹣2，x+c，x+2是平衡多项式， ∴（x+c）2﹣（x﹣2）（x+2）＝m， ∴2xc+c2+4＝m， 由条件可知2c＝0， ∴c＝0， ∴m＝4． 7.对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　 　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 【解答】解：（1）∵A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5， ∴A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+8）﹣（x+4）（x+5） ＝x2+9x+8﹣（x2+9x+20） ＝x2+9x+8﹣x2﹣9x﹣20 ＝﹣12， ∴A×C﹣B×D是消元组合，消元余量是﹣12； （2）分三种情况讨论， ①若A×B﹣C×D是消元组合， A×B﹣C×D ＝（x+1）（x﹣2）﹣（x+5）（x+p） x2﹣x﹣2﹣（x2+px+5x+5p） ＝x2﹣x﹣2﹣x2﹣5x﹣px﹣5p ＝﹣6x﹣px﹣2﹣5p ＝（﹣6﹣p）x﹣2﹣5p， ∴﹣6﹣p＝0， 解得：P＝﹣6； ②若A×C﹣B×D是消元组合， A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+5）﹣（x﹣2）（x+p） ＝x2+6x+5﹣（x2+px﹣2x﹣2p） ＝x2+6x+5﹣x2﹣px+2x+2p ＝（8﹣p）x+5+2p， ∴8﹣p＝0， 解得：p＝8； ③若A×D﹣B×C是消元组合， A×D﹣B×C ＝（x+1）（x+p）﹣（x﹣2）（x+5） ＝x2+px+x+p﹣（x2+5x﹣2x﹣10） ＝x2+px+x+p﹣x2﹣3x+10 ＝（p﹣2）x+10+p， ∴p﹣2＝0， 解得：p＝2， 故答案为：﹣6或8或2； （3）分三种情况讨论： ①A×B﹣C×D ＝（2x+1）（x+4）﹣（2x+a）（x+b） ＝2x2+8x+x+4﹣（2x2+2bx+ax+ab） ＝2x2+9x+4﹣2x2﹣2bx﹣ax﹣ab ＝（9﹣a﹣2b）x+4﹣ab， 若A×B﹣C×D是消元组合，则9﹣a﹣2b＝0， ∴a＝9﹣2b； ②∵A×C﹣B×D ＝（2x+1）（2x+a）﹣（x+4）（x+p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣（x2+px+4x+4p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣x2﹣px﹣4x﹣4p ＝3x2+（2a﹣2﹣p）x+a﹣4p， ∴A×C﹣B×D不是消元组合， ③A×D﹣B×C ＝（2x+1）（x+b）﹣（x+4）（2x+a） ＝2x2+2bx+x+b﹣（2x2+ax+8x+4a） ＝2x2+2bx+x+b﹣2x2﹣ax﹣8x﹣4a ＝（2b﹣a﹣7）x+b﹣4a， 若A×D﹣B×C是消元组合，则2b﹣a﹣7＝0， ∴a＝2b﹣7， ∴a与b的关系式为：a＝9﹣2b或a＝2b﹣7． 8.定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 【解答】解：（1）（﹣4）*2 ＝（﹣4）2+（﹣4）×2 ＝16﹣8 ＝8； （2）因为a*2＝1，a≠0， 所以a2+2a＝1， 所以1﹣a2＝2a， 所以a*（﹣1） ＝a﹣1+a×（﹣1） ＝2． 9.小晓在化简整式（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2+xy，则“〇”表示的数为 　﹣4　 ． 【发现】小晓观察计算结果x2+y2+xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2+b2+ab，4a2+9b2+6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） a2+4b2+2ab（答案不唯一）　 ； 【探究】规定x※y＝x2+y2+xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32+52+3×5﹣1＝48，52+72+5×7﹣1＝108，试说明原因． 【应用】已知m﹣n＝2，mn＝3，求（m+1）※（n﹣1）的值． 【解答】解：（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2 ＝x2+4xy+4y2+4x2﹣y2+〇x2﹣3xy﹣2y2 ＝（5+〇）x2+y2+xy， ∵化简的结果是x2+y2+xy， ∴“〇”表示的数为﹣4， 故答案为：﹣4； 【发现】设这两个数为a，2b， 对称多项式为a2+4b2+2ab， 故答案为：a2+4b2+2ab（答案不唯一）； 【探究】对称奇值减去1，结果都是12的倍数，原因如下： 设这两个连续的奇数为 2n﹣1 和 2n+1（n为整数）， ∴（2n﹣1）※（2n+1）﹣1＝（2n﹣1）2+（2n+1）2+（2n﹣1）（2n+1）﹣1＝12n2， ∵n为正整数， ∴12n2为12的倍数， ∴对称奇值减去1，结果都是12的倍数； 【应用】（m+1）※（n﹣1） ＝（m+1）2+（n﹣1）2+（m+1）（n﹣1） ＝m2+2m+1+n2﹣2n+1+mn﹣m+n﹣1 ＝m2+n2+mn+m﹣n+1 ＝（m﹣n）2+3mn+（m﹣n）+1， ∵m﹣n＝2，mn＝3， ∴原式＝22+3×3+2+1＝16． 10.对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）⊗（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝104，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）根据新定义可得（x，kx）⊗（y，﹣y）＝x2+（﹣y）2﹣kxy， ∴（x，kx）⊗（y，﹣y）＝x2+y2﹣kxy， ∵（x，kx）⊗（y，﹣y）是完全平方式， ∴x2+y2﹣kxy＝x2±2xy+y2， ∴k＝±2； （2）∵（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc， ∴（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣（2x2+3y2）×3＝104， 去括号得：9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2＝104， 合并同类项得：4x2+y2＝104， ∵2x+y＝12， ∴4x2+y2+4xy＝104+4xy， ∴（2x+y）2＝104+4xy， ∴122＝104+4xy， 解得：xy＝10； （3）∵，， ，， ， ∴S△DBF＝S△BCD﹣S△DEF﹣S△BGF﹣S长方形FGCE， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：8x2﹣8xy+2y2， ∵8x2﹣8xy+2y2＝2[（2x+y）2﹣8xy]，2x+y＝12，xy＝10， ∴阴影部分的面积为：2[（2x+y）2﹣8xy]＝2×（122﹣8×10）＝128． 11.规定关于任意正整数x，y的一种新运算：f（x+y）＝f（x）•f（y）． 例如：若f（3）＝5，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝5×5＝25． 请根据这种新运算解决以下问题： （1）若f（1）＝2，求f（2），f（3）的值． （2）若f（2）＝9，求f（1）的值． （3）若f（m）＝a，化简：f（m）•f（2m）•f（3m）．（用含a的代数式表示） 【解答】解：（1）f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝2×2＝4， f（3）＝f（1+2）＝f（1）•f（2）＝2×4＝8． （2）∵f（2）＝f（1+1）＝f（1）•f（1）＝[f（1）]2， ∴[f（1）]2＝9， ∴f（1）＝±3． （3）f（m）•f（2m）•f（3m） ＝f（m）•f（m+m）•f（m+2m） ＝f（m）•f（m）•f（m）•f（m）•f（2m） ＝f（m）•f（m）•f（m）•f（m）•f（m+m） ＝f（m）•f（m）•f（m）•f（m）•f（m）•f（m） ＝a6． 12.定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的字母（x）与另一个字母（y）互换，所得代数式和原代数式的值相等，则称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn，等． （1）代数式①m﹣n，②m2+n2，③，④（m﹣n）2中，是对称式的有 　②③④　 ． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当mn＝﹣1时，求（m﹣n）2的值． 【解答】解：（1）对于①，将m，n互换后，得到n﹣m≠m﹣n，不符合题意； 对于②，将m，n互换后，得到n2+m2＝m2+n2符合题意； 对于③，将m，n互换后，得到，符合题意； 对于④，将m，n互换后，得到（n﹣m）2＝（m﹣n）2，符合题意； 故答案为：②③④； （2）∵是对称式， ∴， ∴， ∴km﹣n＝kn﹣m， ∴k（m﹣n）＝n﹣m， ∵m≠n， ∴k＝﹣1； （3）由k＝﹣1得：， ∴， ∴n2﹣n+m2﹣m＝（m+n）2， ∴n2﹣n+m2﹣m＝m2+2mn+n2， ∴m+n＝﹣2mn＝﹣2×（﹣1）＝2， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4﹣4×（﹣1）＝8． 13.在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　∠3　 ； （2）若∠P比∠Q的2倍多12°，且∠Q是∠P的“4系数补角”，求∠Q的度数； （3）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求∠BEG的大小． 备用图如下： 【解答】解：（1）设∠P 的“3 系数补角”是x， ∵∠P＝90°， ∴∠P+3x＝180°，即90°+3x＝180°， 解得x＝30°， ∴∠P的“3系数补角”是∠3＝30°， 故答案为：∠3； （2）∵∠P比∠Q的2倍多12°， ∴∠P＝2∠Q+12°， ∵∠Q是∠P的“4系数补角”， ∴∠P+4∠Q＝180°， ∴2∠Q+12°+4∠Q＝180°， ∴∠Q＝28°； （3）设∠BEG＝m，∠EGF＝n， 分以下三种情况： 如图，设AB与GF相交于点H， ∵AB∥CD，∠DFG＝50°， ∴∠BHG＝∠DFG＝50°， 由条件可知∠BEG+∠EGF＝∠BHG＝50°，即m+n＝50°①． 由条件可知∠EGF+6∠BEG＝180°，即n+6m＝180°②， ∴m＜30°， 联立①②得，， 解得， 即∠BEG是26°； 如图，当G在AB，CD之间时，过G作GH∥AB，而AB∥CD， ∴AB∥CD∥GH， ∴∠BEG＝∠HGE，∠HGF＝∠DFG， ∴∠EGF＝∠BEG+∠DFG， ∵∠BEG＝m，∠EGF＝n， ∴n＝m+50°①，由条件可知∠EGF+6∠BEG＝180°，即n+6m＝180°②， 联立①②得，，解得， ∴； 如图，当G在CD的下方时， 同理可得：∠DFG＝∠BEG+∠EGF，即m+n＝50°①， ∵∠BEG是∠EGF 的“6系数补角”， ∴∠EGF+6∠BEG＝180°即n+6m＝180°②， 联立①②得， 解得：，即∠BEG为26°； 综上：∠BEG为26°或． 14.阅读理解： 我们规定两数a、b之间的一种运算．记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8；记作[2，8]＝3． （1）根据以上规定求出：[4，64]＝　3　 ；[2025，1]＝　0　 ； （2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立．并证明如下： 设：[5，3]＝x，[5，4]＝y，∴5x＝3，5y＝4， 5x•5y＝5x+y＝12，∴[5，12]＝x+y，∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]． 根据以上证明，请计算：[2025，7]+[2025，8]＝[2025，　56　 ]； （3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　2　 ]，并说明理由． 【解答】解：（1）因为43＝64， 所以[4，64]＝3， 因为20250＝1， [2025，1]＝0． （2）设[2025，7]＝a，[2025，8]＝b， 即2025a＝7，2025b＝8， 所以2025a•2025b＝2025a+b＝56， [2025，7]+[2025，8] ＝a+b ＝[2025，56]． 故答案为：56． （3）设[4，14]＝a，[4，7]＝b， 所以4a＝14，4b＝7， 4a÷4b＝4a﹣b＝2， [4，14]﹣[4，7] ＝a﹣b ＝[4，2]． 故答案为：2． 15.一个代数式只含有字母x，y，把x替换成y，把y替换成x，得到一个新的代数式．若不论x，y如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当x＝2，y＝1时，代数式值为，新代数式值为﹣1，两者不相等，所以不是对称式． （1）请判断x2y+xy2和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； （2）关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式，求m的值． 【解答】解：（1）x2y+xy2是对称式，不是对称式，理由如下： ∵x2y+xy2交换x和y后为y2x+yx2＝x2y+xy2， ∴x2y+xy2是对称式； ， 交换x和y后为：， ∵， ∴不是对称式； （2）∵关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式， ∴， ， ∴2x+（m﹣1）y＝2y+（m﹣1）x， ∴m﹣1＝2， m＝3． 16.对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　﹣6或8或2　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 【解答】解：（1）∵A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5， ∴A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+8）﹣（x+4）（x+5） ＝x2+9x+8﹣（x2+9x+20） ＝x2+9x+8﹣x2﹣9x﹣20 ＝﹣12， ∴A×C﹣B×D是消元组合，消元余量是﹣12； （2）分三种情况讨论， ①若A×B﹣C×D是消元组合， A×B﹣C×D ＝（x+1）（x﹣2）﹣（x+5）（x+p） x2﹣x﹣2﹣（x2+px+5x+5p） ＝x2﹣x﹣2﹣x2﹣5x﹣px﹣5p ＝﹣6x﹣px﹣2﹣5p ＝（﹣6﹣p）x﹣2﹣5p， ∴﹣6﹣p＝0， 解得：P＝﹣6； ②若A×C﹣B×D是消元组合， A×C﹣B×D ＝（x+1）（x+5）﹣（x﹣2）（x+p） ＝x2+6x+5﹣（x2+px﹣2x﹣2p） ＝x2+6x+5﹣x2﹣px+2x+2p ＝（8﹣p）x+5+2p， ∴8﹣p＝0， 解得：p＝8； ③若A×D﹣B×C是消元组合， A×D﹣B×C ＝（x+1）（x+p）﹣（x﹣2）（x+5） ＝x2+px+x+p﹣（x2+5x﹣2x﹣10） ＝x2+px+x+p﹣x2﹣3x+10 ＝（p﹣2）x+10+p， ∴p﹣2＝0， 解得：p＝2， 故答案为：﹣6或8或2； （3）分三种情况讨论： ①A×B﹣C×D ＝（2x+1）（x+4）﹣（2x+a）（x+b） ＝2x2+8x+x+4﹣（2x2+2bx+ax+ab） ＝2x2+9x+4﹣2x2﹣2bx﹣ax﹣ab ＝（9﹣a﹣2b）x+4﹣ab， 若A×B﹣C×D是消元组合，则9﹣a﹣2b＝0， ∴a＝9﹣2b； ②∵A×C﹣B×D ＝（2x+1）（2x+a）﹣（x+4）（x+p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣（x2+px+4x+4p） ＝4x2+2ax+2x+a﹣x2﹣px﹣4x﹣4p ＝3x2+（2a﹣2﹣p）x+a﹣4p， ∴A×C﹣B×D不是消元组合， ③A×D﹣B×C ＝（2x+1）（x+b）﹣（x+4）（2x+a） ＝2x2+2bx+x+b﹣（2x2+ax+8x+4a） ＝2x2+2bx+x+b﹣2x2﹣ax﹣8x﹣4a ＝（2b﹣a﹣7）x+b﹣4a， 若A×D﹣B×C是消元组合，则2b﹣a﹣7＝0， ∴a＝2b﹣7， ∴a与b的关系式为：a＝9﹣2b或a＝2b﹣7． 17.[阅读材料]分解因式： 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解： __________；__________． （2）请你用“试根法”分解因式：； （3）①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 解：（1）， （2）当时， 设，， ，∴ ∵ （3）①根据题意得，时， 把代入，得 ∴． ∴ ②根据题意得，和时 把和代入得，， ． 18若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”. （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______； 判断：45______（请填写“是”或“不是”）“完美数”； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由. （3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”. 解：（1）8（答案不唯一）；是 （2）解：， ∴当时，即时，S是完美数； （3）证明：∵m，n都是“完美数”， 则设，（a，b，c，d都是整数）， ∴， ∴ ∴mn是完美数， ∵， ∴， ∴也是“完美数”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙教版七年级第二学期期末复习专题复习：新定义问题 1.定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”，例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（　　） A. 14个 B. 15个 C. 26个 D. 60个 2.18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”、如记，；已知，则（ ） A. B. C. D. 3.若两个数a，b满足，则称b是a的“溜数”．若x是48的“溜数”，则________． 4.定义一种新运算，已知，当时，；当时，，若，则______. 5.在等式的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x，y是正整数），则x＝y，利用上面结论解答下列问题： （1）若9x＝310，求x的值； （2）若3x+2﹣3x+1＝162，求x的值． 6.爱思考的方方同学在学习“整式的乘法”时，给出“平衡多项式”的定义：对于三个多项式：x+a，x+b，x+c（a，b，c都是非零常数），当（x+b）2﹣（x+a）（x+c）是一个常数m时，称这样的三个多项式是平衡多项式，m的值是平衡因子． （1）根据方方同学给出的定义，判断x+2，x+3，x+1是不是平衡多项式？说明理由． （2）已知x﹣2，x+c，x+2是平衡多项式，求平衡因子m． 7.对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　 　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 8.定义关于*的一种运算：a*b＝ab+ab（a≠0，b是整数），例如：（﹣1）*3＝（﹣1）3+（﹣1）×3＝﹣1﹣3＝﹣4． （1）求（﹣4）*2的值． （2）若a*2＝1，求a*（﹣1）的值． 9.小晓在化简整式（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2+xy，则“〇”表示的数为 　 　 ． 【发现】小晓观察计算结果x2+y2+xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2+b2+ab，4a2+9b2+6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） 　 ； 【探究】规定x※y＝x2+y2+xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32+52+3×5﹣1＝48，52+72+5×7﹣1＝108，试说明原因． 【应用】已知m﹣n＝2，mn＝3，求（m+1）※（n﹣1）的值． 10.对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b）⊗（c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2）⊗（3，4）＝12+42﹣2×3＝11． （1）若（x，kx）⊗（y，﹣y）是一个完全平方式，求常数k的值； （2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2）⊗（3，x﹣3y）＝104，求xy的值； （3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积． 11.规定关于任意正整数x，y的一种新运算：f（x+y）＝f（x）•f（y）． 例如：若f（3）＝5，则f（6）＝f（3+3）＝f（3）•f（3）＝5×5＝25． 请根据这种新运算解决以下问题： （1）若f（1）＝2，求f（2），f（3）的值． （2）若f（2）＝9，求f（1）的值． （3）若f（m）＝a，化简：f（m）•f（2m）•f（3m）．（用含a的代数式表示） 12.定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的字母（x）与另一个字母（y）互换，所得代数式和原代数式的值相等，则称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn，等． （1）代数式①m﹣n，②m2+n2，③，④（m﹣n）2中，是对称式的有 　 　 ． （2）若关于m，n的代数式（k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值． （3）在（2）的条件下，若，当mn＝﹣1时，求（m﹣n）2的值． 13.在平面内，对于∠P和∠Q，给出如下定义：若存在一个常数t（t＞0），使得∠P+t∠Q＝180°，则称∠Q是∠P的“t系数补角”．例如，∠P＝80°，∠Q＝20°，有∠P+5∠Q＝180°，则∠Q是∠P的“5系数补角”． （1）若∠P＝90°，在∠1＝60°，∠2＝45°，∠3＝30°中，∠P的“3系数补角”是 　　 ； （2）若∠P比∠Q的2倍多12°，且∠Q是∠P的“4系数补角”，求∠Q的度数； （3）在平面内，AB∥CD，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点．点G为平面内一点，连接GE，GF，∠DFG＝50°，若∠BEG是∠EGF的“6系数补角”，请将图形补充完整，并求∠BEG的大小． 备用图如下： 14.阅读理解： 我们规定两数a、b之间的一种运算．记作[a，b]：如果ac＝b，那么[a，b]＝c；例如23＝8；记作[2，8]＝3． （1）根据以上规定求出：[4，64]＝　 ；[2025，1]＝　 ； （2）小明发现[5，3]+[5，4]＝[5，12]也成立．并证明如下： 设：[5，3]＝x，[5，4]＝y，∴5x＝3，5y＝4， 5x•5y＝5x+y＝12，∴[5，12]＝x+y，∴[5，3]+[5，4]＝x+y＝[5，12]． 根据以上证明，请计算：[2025，7]+[2025，8]＝[2025，　 　 ]； （3）猜想[4，14]﹣[4，7]＝[4，　 　 ]，并说明理由． 15.一个代数式只含有字母x，y，把x替换成y，把y替换成x，得到一个新的代数式．若不论x，y如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当x＝2，y＝1时，代数式值为，新代数式值为﹣1，两者不相等，所以不是对称式． （1）请判断x2y+xy2和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； （2）关于字母x，y的代数式（m为常数）是对称式，求m的值． 16.对于关于x的四个多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c，D＝x+d（a，b，c，d是常数），任意两个多项式的积与另外两个多项式的积的差，若其中一种组合得到结果为常数n，称这种组合为消元组合，常数n是这种组合的消元余量． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+2，C＝x+3，D＝x+4， 因为A×D﹣B×C＝（x+1）（x+4）﹣（x+2）（x+3）＝﹣2， 所以A×D﹣C×B这种组合为消元组合，其消元余量为﹣2． 因为A×B﹣C×D＝（x+1）（x+2）﹣（x+3）（x+4）＝﹣4x﹣10，结果不是常数； 所以A×B﹣C×D这种组合不是消元组合． （1）若多项式A＝x+1，B＝x+4，C＝x+8，D＝x+5，判断A×C﹣B×D是否为消元组合，若是，请求出消元余量，若不是，请说明理由． （2）若多项式A＝x+1，B＝x﹣2，C＝x+5，D＝x+p存在消元组合，则p的值为 　 　 ． （3）若多项式A＝2x+1，B＝x+4，C＝2x+a，D＝x+b存在消元组合，求a与b的关系式． 17.[阅读材料]分解因式： 解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（m为常数），通过展开多项式或代入合适的x的值即可求出m的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）请完成下列因式分解： __________；__________． （2）请你用“试根法”分解因式：； （3）①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值； ②若多项式含有因式和，求的值． 18若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，，所以13是“完美数”，再如，（x，y是整数），所以M也是“完美数”. （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是______； 判断：45______（请填写“是”或“不是”）“完美数”； （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由. （3）如果数m，n都是“完美数”，，试说明也是“完美数”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $