2026年中考数学提升专题训练：二次函数综合压轴题

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以7大题型为框架，系统整合待定系数法、对称变换、分类讨论等核心方法，构建“代数表达-几何转化-模型应用”的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|3题|对称法求最短路径、二次函数最值|以解析式求解为基础，结合轴对称转化线段关系| |面积问题|3题|分割法、坐标法表示面积|通过代数运算转化几何面积，体现数形结合| |角度问题|3题|三角函数、全等/相似转化角度|利用函数图像性质构建角度等量关系| |特殊三角形问题|3题|分类讨论（等腰/直角）、几何判定|结合三角形性质与函数动点，强化分类思想| |特殊四边形问题|3题|平行四边形/正方形判定、中点坐标|以四边形性质为依托，建立坐标关系方程| |相似三角形问题|3题|相似判定、比例线段计算|通过相似比转化函数与几何量的关系| |与圆的综合问题|3题|圆的性质（直径圆周角、切线）|融合圆的几何性质与二次函数图像特征|

2026年中考数学提升专题训练：二次函数综合压轴题 目录概览 题型1线段周长问题 题型2面积问题 题型3角度问题 题型4特殊三角形问题 题型5特殊四边形问题 题型6相似三角形问题 题型7与圆的综合问题 题型演练 题型1线段周长问题 1.抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,点C与 点E关于抛物线的对称轴对称 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图，抛物线的对称轴与AE交于点F,线段AF在直线AE上移动，记为AF,点P为直线DE下方抛物 线上一动点，过点P作y轴的垂线，交DE于点H,当线段PH的长度最大时，求△PA'F'周长的最小值： (3)在第(2)问的条件下，将抛物线沿射线EB方向平移√0个单位长度得到新抛物线y,新抛物线y与y轴 交于点G,点M为抛物线y上一动点，若LPGM=∠OCA+45°，请直接写出所有符合条件的点M的坐标， 并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程. 第13页，共15页 2.如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线C,:y=ax2-6x+c与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点 C(0,5),点P是抛物线C:y=ax2-6x+c在x轴下方的一个动点，PE1y轴于点E,PF⊥x轴于点F,得 到矩形PEOF. B B (备用图1) (备用图2) (I)求抛物线C,:y=ax2-6x+c的函数表达式； (2)设点P的横坐标为p, ①求p的取值范围： ②当矩形PEOF是正方形时，求P的值； (3)将抛物线C,:y=ax2-6x+c向右平移h(h>0)个单位长度后，得到新抛物线C,,新抛物线C,与抛物线 C的对称轴交于点N,直线ON与直线BC交于点G,当OG=4GN时，求h的值. 3.如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与x轴交于点A-1,0)、点C,与y轴交于点B(0,-5) B 第14页，共15页 ()求该二次函数的解析式： (②)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得△ABP的周长最小.请求出点P的坐标，并求出△ABP周 长的最小值： (3)在(2)的条件下，线段AC上是否存在点E,使以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似？若存 在写出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由. 题型2面积问题 4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c经 过A、B两点，并且与x轴交于另一点C(点C在点A的右侧)，点P是抛物线上一动点. B D (1)求抛物线的解析式； (②)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D,设点P的横坐标为1，请用 含t的代数式表示出PD的长度： (3)在(2)的条件下，当三角形ABP的面积为6时，求点P的坐标. 第13页，共15页 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y,=ax2+bx+c与坐标轴交于点A-3,0),B,C1,0点，过A, B的直线解析式为y2=x+3，M为第二象限内抛物线上一动点. (1)求抛物线的解析式： (2)求四边形AMBC面积的取值范围； (3)若△MAB的面积为S,△MBC的面积为S2,求S+S的最大值. 6.如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+bx,经过坐标原点O,与x轴正半轴相交于点A, 直线)=+"与抛物线y=ar2+6:相交于点MN(点M在点N的左侧，点M的坐标为L》,点N的 横坐标为9，点P在线段MN上（不含点M,N),连接OP并延长，交抛物线于点B、设点P的横坐标为m. (I)求点N的纵坐标： (2)求抛物线的表达式： (3)连接ON,BN,当aOPN的面积等于△BPN的面积时，求m的值； 第14页，共15页 9 (④若1<m<2,连接P并延长，交抛物线于点C,作点B关于点P的对称点B,点C关于点P的对称点 C,连接B'C',当线段B'C'与线段OA有公共点时，请直接写出m的取值范围. 题型3角度问题 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x++C与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C,其中A1,0),C(0,-5). 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线CB上方抛物线上的一动点，过点P作PQ∥x轴，交直线BC于点Q,点M是抛物线对称轴 上的一动点，连接PM,BM.当PQ取得最大值时，求MB-MP的最大值： (3)将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使抛物线y与射线BC交于C，D两点.点K为抛物线 y上的一动点，当∠KDC+∠ACO=45时，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐 标的其中一种情况的过程. 第13页，共15页 8.如图1，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点4-4,0)，B3,0.与y轴交于点C,连接 6 AC : 图1 图2 备用图 备用图 ()求该二次函数的表达式： (②)若点P是二次函数图象上的一点，且∠CAB=∠ABP,求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点P在x轴下方时，在直线PB上任取一点D(不与点B重合)，当直线AD与直线 CB相交于点E时，过点E作EF∥AC交x轴于点F. ①如图2，当点D运动到某一位置时，点F恰好与原点O重合，求此时BD的长； ②随着点D位置的变化，试探究AC,EF和BD三条线段的长度是否存在一定的数量关系？若存在，找出 它们之间的关系并证明；若不存在，请说明理由. 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B(1,0)两点，与y轴交于点 C. 备用图 第14页，共15页 (1)求抛物线的解析式： (②)过点B作BD∥AC交抛物线于点D,点P是射线AC上方抛物线上的一动点，连接DP与射线AC交于 点E,连接BE、BP,当△PBE面积最大时，求点P的坐标； (3)在(2)中△PBE面积取得最大值时，将抛物线y=ax2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新 抛物线y,点P为点P的对应点，点Q为新抛物线上的一个动点，当∠QBA=∠OPP'-∠BAC时，直接写 出所有符合条件的点Q的坐标 题型4特殊三角形问题 10.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式： (②)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由。 第13页，共15页 11.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数，且a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.A点 的坐标是A1,0),对称轴是直线x=-1,抛物线顶点为D. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若E为线段BD上的一点，其横坐标为m,过点E作EF⊥x轴于点F,求当m为何值时，四边形EFOC 的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点，使PA'=PA,∠APA'=90°，若存在，求出点P 和点A的坐标，若不存在，请说明理由. 12.2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作 一条抛物线y=-x2+10x-21,第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运 动轨迹关于直线x=3对称. 第14页，共15页 B 图① 图② (①)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A,B,C三点的坐标. (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为等腰三角形，若存在，请求出 点Q的坐标，若不存在，请说明理由 (3)如图②，在平面内有一点P,使得∠APB=90°，在x轴上有一点E(-3,0),连接CP和EP,请求出 CP+号EP的最小值. 题型5特殊四边形问题 13.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-3,0),B(1,0),与y轴交于点C,连接AC,点P为抛物线 上一动点（不与点A,C重合），图中虚线是抛物线的对称轴. (1)求该二次函数的表达式： (②)若点M在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使得以点P,A,M,C为顶点的四边形是以AC为边的平行 四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 第13页，共15页 14.抛物线y=-x2+bx与x轴交于原点和点A4,0),点B为抛物线的顶点，点M(m,y),N(m+3,y2)为抛 物线y=-x2+bx上不重合的两个点. (I)求b的值； (2)试判断是否存在实数m使得2y+2=9？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由； (3)记点M,N两点之间的部分（包括M,N两点）为图象G,点B在图象G上，设图象G的最高点与最 低点的纵坐标之差为d. ①求d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围 ②图象G上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点P,再以最低点与点P的连线为边向其上方作正方 形，点B到正方形边的最小距离记为了.当点0在该正方形内部，点B在该正方形外部，且∫=时，直接 写出m的值， 15.如图，抛物线y=-x+x+2与X轴交于A,B两点（点A在点B的左边，交y轴于点C. 21 2 D (备用图) (1I)求A,B,C三点的坐标； 第14页，共15页 3 (2)线段MN的端点坐标分别是M(m,0),NO,三m,若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出m的 2 取值范围； (3)点D与点O关于点C中心对称，过点D的直线交抛物线于E,F两点，直线OE交抛物线于另一点G,试 说明y轴上总存在点H,使四边形DFHG是平行四边形. 题型6相似三角形问题 16.如图，直线y=mx+n与抛物线y=-x2+bx+c交于A-2,0),B(2,2)两点，直线AB与y轴交于点C. B (1)求抛物线与直线AB的解析式； (②)点P在抛物线上，直线PC交x轴于Q,连接PB,当△PBC的面积是△AC0面积的2倍时，求点P的坐 标 (3)点M为坐标轴上的动点，当∠AMB=45°时，直接写出点M的坐标. 第13页，共15页 17.如图.地物线y=-+bs+e与，铺交于从-3,0，B信0两点，与y轴交于点C,D为揽物线上一点， AD平分∠CAB,AD与y轴交于点M. D OB 图1 图2 (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点D坐标； (3)在直线AC上取E、F两点(F在E点上方)，连接ME,MF,使得aEFM∽△ABC,求E、F坐标. 18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x x2+bx+c交x轴于A(4,0),B两点，交y轴于点C,且 2 OA=OC」 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (②)点P是直线AC上方该抛物线上的一动点，连接PB交AC于点D,点E是直线BC上一动点，连接PE.当 第14页，共15页 D取得最大值时，求点P的坐标及PE+5BE的最小值， BD ③)在(2)中0取得最大值的条件下，将该抛物线y沿射线B即方向平移42个单位长度得到跑物线， BD G是OA的中点，M是抛物线y对称轴上纵坐标为1的点，N是抛物线y上一动点.若 ∠MGN=∠BCO+∠CAP,请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情 况的过程. 题型7与圆的综合问题 19.如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，己知A,B,C,D分 别为果圆”与坐标轴的交点，y=三x-3与“果圆中的抛物线y=三x+bx+c交于B,C两点. 4 4 y y个 D B 图1 图2 备用图 ()求“果圆”中的抛物线的解析式. (②)“果圆”上是否存在点P使∠APC=∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 第13页，共15页 (3)如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE,AB,BE,设AE与BC交于点F,△BEF 的面积记为Se，△ABF的面积记为Sc，求匹的最小值. S。BEF 20.如图，抛物线y=ax2+bx+5经过点A2,6),B5,0). V典 B 备用图 (1)求该抛物线的函数解析式： (2)以AB为直径的圆与直线y=-x+2的一个交点为C.若∠ABC=45°，求点C的坐标： (3)在(2)的条件下，点D在以AB为直径的圆上，且∠ABD=30°，求CD2的值. 21.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A(-1,0),B两点，AB=4,C 为抛物线顶点. 第14页，共15页 B 图1 图2 (1)求b,c的值； (2)点P是抛物线上一动点 ①当LPAD=45°时，则点P的坐标为 ②当S△4Dp=S△4OD时，试求点P的坐标. (③)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+AN的最小值. 第13页，共15页 参考答案 1.(1)y=x2-4x+3 (2)V10+√2 3)点M的坐标为-1,0)或，-32 3-9 过程见解析 【分析】(1)使用待定系数法求函数解析式即可： (2)先分析PH取最大值时，点P的坐标，点P的坐标为m,m2-4m+3,求出直线DE的表达式为 y=2x-5,则点H -2m+4m-4m+3,因此PH=m-+分由二次函数的性质可得，当 m=3时，PH取得最大值)，此时点P与点B重合：再计算△PA"P'周长的最小值，作点P关于直线AE的 对称点P,连接AP'、DP'、DA'、DP,设抛物线的对称轴交x轴于点I(2,0),先计算点F(2,I,容易判 断△AIF和△DPI都是等腰直角三角形，从而得到AE∥DP,DP=AF=A'F',因此四边形A'DPF'是平行 四边形，则PF'=DA'.根据轴对称的性质求出点P'1,2),且PA'=PA',因此 PF'+PA'+A'F'=DA'+PA'+√2，结合线段公理可知，当D、、P三点共线时，DA'+PA'取得最小 值DP',此时△PA'F'的周长最小，用勾股定理计算出DP'即可； (3)先根据点B和点E的坐标，确定平移方式为向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度，从 而得到新抛物线y'=(x-1)-4,进一步求出点G(0,-3).分两类讨论，当点M在PG上方时，设抛物线y交 x轴的负半轴于点N,利用抛物线求出点N(-1,0),进而可证明△OAC2 ONG(SAS),则∠0CA=∠0GN.易 得aOPG是等腰直角三角形，则∠0GP=∠0PG=45°，进而得到∠PGN=∠0GN+∠0GP=∠0CA+45° ,因此点N即为所求的点M;当点M在PG下方时，作点N关于PG的对称点N',连接GN',由对称的性 质可得∠PGN'=∠PGN=∠OCA+45°，因此GN'与抛物线y的交点，即为所求的点M.先求出直线GN'的 表达式，再与抛物线y联立，即可求出点M的坐标. 【详解】(1)解：将点A1,0),B(3,0代入y=x2+bx+c,得， 0=1+b+c 0=9+3b+c b=-4 解得了 c=3 ∴.抛物线的表达式为y=x2-4x+3; 答案第1页，共71页 (2)解：先分析PH的长度最大的情况， y=x2-4x+3=(x-22-1, ∴.顶点D的坐标为2，-1)，对称轴为直线x=2, 将x=0代入y=x2-4x+3,得y=3, 点C的坐标为0,3)， :点C与点E关于对称轴对称， .点E的坐标为4,3， 设直线DE的表达式为y=kx+b, 将点D(2,-1,E(4,3)代入y=kx+b,得， 「-1=2k+b 3=4k+b k=2 解得6=-5 .直线DE的表达式为y=2x-5, 设点P的坐标为m,m2-4m+3, :PH⊥y轴， ya =yp m2-4m +3, =m4m+3代入y=2x5,得x三m2二2m :点H的坐标为m2-2m+4,m2-4m+3, H=m-m2-2m+4- m2+3m-4=-m-32+ 1 20, :当m=3时，PH取得最大值；，此时点P的坐标为3,0)，即点P与点B重合； 再计算△PA'F'周长的最小值： 如图，作点P关于直线AE的对称点P,连接AP'、DP'、DA'、DP,设抛物线的对称轴交x轴于点I(2,O) 答案第2页，共71页 、F 人△P(B) D 设直线AE的表达式为y=k2x+b2, 将点A1,0),E(4,3)代入y=k2x+b2,得， 0=k2+b2 3=4k+b,' ak2=1 解得6，=-1 直线AE的表达式为y=x-1, 将x=2代入y=x-1,得y=1, 点F的坐标为2,1， 由勾股定理可得，4AF=V2-12+1-0)2=2,DP=3-2+[0-(-1]了=2， 由平移的性质可得，AF'=AF=√2， :IA=FI=1,FI⊥A1, ∴.△AIF是等腰直角三角形， ∠PAE=45°， 同理，△DPI也是等腰直角三角形， .∠DPI=45°， ∠DPI=∠PAE, ∴AE∥DP, 又：AF'=DP=2, .四边形A'DPF'是平行四边形， PE'=DA', :点P和点P关于直线AE对称， 答案第1页，共71页 .∠PAE=∠PAE=45°，PA'=PA',AP=AP'=2, .PAL OP, 点P的坐标为1,2)， 由勾股定理可得，DP'=V2-)2+(-1-22=0, :△PA'F'的周长为PF'+PA'+A'F'=DM'+PA'+√2≥DP'+V2=V10+V2, 当D、A、P三点共线时，△PA'F'的周长取得最小值V0+√2； (3)解：点B(3,0),E(4,3), .EB=V4-32+(3-0)2=V10, :.沿射线EB方向平移√0个单位长度等价于向左平移1个单位长度，同时向下平移3个单位长度， .新抛物线y=(x-2+1)-1-3=(x-1)2-4, 将x=0代入y=(x-12-4,得y'=-3, 点G的坐标为0，-3)， .0G=0P=0C=3, ①当点M在PG上方时，如图，设抛物线y交x轴的负半轴于点N, N\O A 将y=0代入y=(x-12-4,得， (x-1)2=4, 解得x=-1或x=3, .点N的坐标为-1,0)， .ON=1=0A, 答案第2页，共71页 在△OAC和△ONG中， OA=ON ∠AOC=∠NOG, OC=OG :.△OAC≌ONG(SAS), ∴.∠0CA=∠OGN, 0G=0P,∠P0G=90°， ·△OPG是等腰直角三角形， .∠0GP=∠0PG=45°， .∠PGN=∠0GN+∠0GP=∠0CA+45° :点N即为所求的点M, .点M的坐标为-1,0)： ②当点M在PG下方时，如图，作点N关于PG的对称点N',连接GN', C N\O A ◇ N 由对称的性质可得，PN=PN',∠NPG=∠OPG=45°，∠PGN=∠PGN', 由①可知，∠PGN=∠0CA+45°， .∠PGN'=∠0CA+45°， .GN'与抛物线y的交点，即为所求的点M, :N(-1,0),P(3,0, .PN=PN'=4, :∠NP0=∠OPG+∠NPG=90°， 点N'的坐标为3，-4， 设直线GW'的表达式为y=kx+b, 答案第1页，共71页 将点G0,-3),N'3,-4代入y=kx+b,得， -3=b3 -4=3k3+b' 1 k=- 解得 3, b=-3 直线Gw"的表达式为y=号-3， 联立直线GN'与抛物线y,得， 1 y=3-3 y=(x-1)2-4 5 x=0 x= 3 解得 或 y=-31 32’ y=-9 :点M的坐标为39 532 综上所述，点M的坐标为(-1,0)或 532 3-9 2.(1)y=x2-6x+5 (2)①1<p<5;②p,= 5+55-V5 2 -，卫2=1 2 ③)h的值为29或Vi 2 【分析】(1)把A1,0)、C(0,5)代入y=ax2-6x+c,解方程组求出a、C的值即可得答案； (2)①求出抛物线于x轴的交点坐标，即可求出P的取值范围； ②设P(p,p2-6p+5),根据正方形的性质得出p=-p2+6p-5,解方程求出p值即可： (3)利用待定系数法求出直线BC的解析式，得出E(3,2),N(3,h2-4),分点N在点E上方和下方两种情 况，证明aOCG∽△NEG,根据0G=4GN,分别列方程求出h的值即可. 【详解】(1)解：：抛物线C:y=ax2-6x+c与x轴交于点A1,0)和点B,与y轴交于点C(0,5), a-6+c=0 c=5 答案第2页，共71页 a=1 解得： (c=5' .抛物线C的函数表达式为y=x2-6x+5. (2)解：①：抛物线G的函数表达式为y=x2-6x+5, .y=0时，x2-6x+5=0, 解得：x=1,x2=5, ∴.A(1,0),B(5,0), :点P是抛物线y=x2-6x+5在x轴下方的一个动点，点P的横坐标为P, 1<p<5 ②设P(p,p2-6p+5), :PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F, .OF=p,PF=-p2+6p-5, :矩形PEOF是正方形， .OF=PF,即p=-p2+6p-5. 解得：A-5+5,n,-5,5 2 2 (3)解：设BC与抛物线G的对称轴交于点E,直线BC的解析式为y=mx+n, .B(5,0),C(0,5), 5m+n=0 n=5 m=-1 解得： (n=5’ .直线BC的解析式为y=-x+5, :抛物线G的函数表达式为y=x2-6x+5=(x-3)2-4, 对称轴为直线x=3, :对于直线BC,当x=3时，y=-3+5=2, .E(3,2), 答案第1页，共71页 将抛物线y=x2-6x+5=(x-3)2-4向右平移h个单位长度后，得到新抛物线C, ∴.抛物线C,的解析式为y=(x-3-h)2-4, 对于抛物线C,当x=3时，y=(3-3-h)2-4=h2-4, .N(3,h2-4), ①如图，当点N在点E上方时， C :EN∥OC, .△OCGn△NEG, 0C_0G NE GN :0G=4GN, .0C=4EN,即5=4(h2-4-2), 解得：h=V2四 (负值舍去) 2 如图，当点N在点E下方时， C G :EN∥OC, .△OCG∽△NEG, NE GN 1 0c0G=4' 42-(h2-4)=5, 答案第2页，共71页 解得：h=1四 (负值舍去). 2 综上所述：h的值为2或V四 2 2 3.(1)y=x2-4x-5 (2)2,-3)√26+5√2 (③)存在以C、八、E为顶点的三角形与三角形4BC相似。点E的坐标为：(Q0.(居0} 【分析】(1)将A、B的坐标代入解析求解即可； (2)连接AB,由勾股定理得AB=√OA2+OB2=√26，要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小，则 PA+PB=BP+PC≥BC,当且仅当P,B,C三点共线时等号成立，即可求解； (3)分类讨论：当△PEC∽△ABC时，当△EPC∽△ABC时，由相似三角形的性质即可求解. 0=a+4+c 【详解】(1)解：根据题意，得 -5=c, a=1 解得 c=-5' 故二次函数的解析式为y=x2-4x-5; (2)解：令y=0,即x2-4x-5=0, 解得x=-1或x=5, 则二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标C(5,0). 连接AB, x=2 则AB=V0A2+0B2=√26， 要使△ABP的周长最小，只要PA+PB最小 答案第1页，共71页 :P是对称轴x=2上一点，且点A与点C关于对称轴x=2对称， 则PA=PC, 则PA+PB=BP+PC≥BC,当且仅当P,B,C三点共线时等号成立， 因而BC与对称轴x=2的交点P就是所求的点. 设直线BC的解析式为y=kc+b, 「b=-5 根据题意，可得： 0=5k+b k=1 解得 b=-5 所以直线BC的解析式为y=x-5; x=2 y=x-5'解得 x=2 联立 y=-3 故所求的点P的坐标为2，-3， 此时△ABP的周长即为AB+BC=√26+V52+52=√26+5V2; (3)解：存在. A-1,0),C(5,0), .AC=6, P(2,-3),C(5,0), PC=V32+32=3V5, B0,-5),C(5,0), .BC=52, 当△PEC∽AABC时， CE_PC BC AC' CE 32 5√2-6 解得：EC=5, E0,0): 答案第2页，共71页 当△EPC∽△ABC时， CE PC AC BC CE 32 6521 解得：EC=18」 5, 0E=5-18_7 5=5 故E点坐标为： 综上所述：存在以C、P、E为顶点的三角形与三角形ABC相似，点E的坐标为：(O,0), 4.(1)y=-x2-3x+4 (2)PD=-12-4t (3)P(-1,6)或(-3,4) 【分析】(1)先求出点A、B的坐标，然后代入二次函数解析式，求出b、c的值即可； (2)如图，设P(t,-12-3t+4,则Dt,t+4),然后根据PD=yp-yD求解即可； 3根据S04xPD-分4xPD=2-f-钊=6列式求朝即可。 【详解】(1)解：对于y=x+4, 当x=0时，y=4;当y=0时，x=-4, .A(-4,0),B(0,4), 代入抛物线y=-x2+bx+c,得 0=-16-4b+c 4=c b=-3 解得 (c=4, .y=-x2-3x+4 (2)解：设P(t,-t2-31+4),Dt,t+4), PD=yp-yo=（-2-31+4-t+4)=-2-4t (3)解：如图，连接AP,BP, 答案第1页，共71页 S=)×0AxPD=)×4×PD=2-2-4)=6, D 解得t=-1或t=-3, 故P(-1,6)或(-3,4). 5.(1)y=-x2-2x+3; 75 (2)6<S边形AWBc 8 ③)S+S,的最大值为年 【分析】(1)先由直线y2=c+3与y轴交于点B求出点B坐标，再将A-3,0),B(0,3),C(1,0代入抛物 线解析式y,=ax2+bx+c,求出a、b、C的值即可； (2)先求出直线2=c+3解析式，过点M作ME‖y轴交AB于点E,设点Mm,-m2-2m+3 （-3<m<0.则点Em,R+3到，由5m=Ss+Se=号MB×01+分×4Cx0B得 37 S四边形AWBC= 2 +3,5,结合二次函数的图象与性质即可得到四边形4M8C面积的取值范围： m+2+8 (3)由S1+S2=2S4Bw+S4Bc-SAwc得出S,+S2=-m+ 结合二次函数的性质即可得解. 2 【详解】(1)解：直线y2=x+3与x轴交于点A-3,0),与y轴交于点B, 则点B(0,3), 将A-3,0),B(0,3),C1,0)代入抛物线解析式y,=ax2+bx+c, 9a-3b+c=0 得{a+b+c=0, C=3 答案第2页，共71页 a=-1 解得b=-2, c=3 则抛物线的表达式为y=-x2-2x+3; (2)解：将A-3,0)代入直线y2=kx+3, 得-3k+3=0, k=1, 则直线AB的表达式为y=x+3, 如图，过点M作MEIy轴交AB于点E, B 0 设点Mm,-m2-2m+3)(-3<m<0),则点E(m,m+3, .S四边形AMBC=S△AMB+S△ABC, 1 =二ME×OA+二×AC×OB, 2 2-m-2m+3-m-3到x3+x4x3, 、3 E0,对称辙为m 2, 又：-3<m<0, 6<-3m++55 2m+2)+8≤8 :四边形4M8C面积的取值范围是6<8c 8 (3)解：S,+S2=SMaB+(SAB+SABc-SMC), 答案第1页，共71页 =2S.4BM+S.ABC -S.AMC, =ME×OA+号×ACxOB-x 1 2 ×AC×yM, 2 -m-2m+3-m-水3+分4x34-m-2m+9, =-m2-5m, 225 =m+2 4 .-1<0, 六S+S,的最大值为空 【点晴】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、一次函数图象与坐 标轴的交点问题、面积问题（二次函数综合），解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质· 60号 ③m=5+万或5-万 2 2 n6t政酒a号 2 2 2 【分析】(1)先把点M的坐标代入直线解析式，求得n的值，再代入N的横坐标即可求得N的纵坐标； (2)利用待定系数法，代入点M、N的坐标即可解答； (3)根据题意可知，点P是OB的中点，然后根据点P的坐标和中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据 点B在抛物线上，代入点B的横坐标，表示出点B的纵坐标，再与根据中点坐标公式所求的点B的纵坐标 建立方程解答即可； (4)先求得点A坐标，由题意可知当点B',C'的纵坐标异号时，满足题意，然后分别根据第(3)题的方法 求得当点B的纵坐标为0时，当点C的纵坐标为0时，对应的m的值，即可解答. 【详架】》解：根器题盒，把M-》代入直线7=+，得I4子，则号 9 直线y=x- 2 9 把点N的横坐标9代入直线y=x-3,得y=9- 99 221 点N的纵坐标为)多 答案第2页，共71页 (2)解：由1)可知，点N的坐标为) 把点-引 代入抛物线y=ax2+bx, a+bs7 a=- 得 2 81.92,》 1b=-4 2 抛物线的表达式为y= -4 (3)解：：△OPN的面积等于△BPN的面积， .OP=BP,即点P是OB的中点， :点P在直线y=x-9上，且横坐标为m 点P的线坐标为m号即P引】 点B的横坐标为2m,纵坐标为2m-9, 又：点B生能物线y弓-4上， :当点B的横坐标为2m,纵坐标为二×(2m)-4×2m=2m2-8m, .2m-9=2m2-8m, 解得m=5土V万 2 :点P在线段MN上（不含点M,N), .1<m<9, :1<55<9 2 m=5+5或5-V7 2 2 (4)解：如图所示， 答案第1页，共71页 由2)可知，指物线y=-4,令y=0,解得x=0或8、用48.0， 由题意可知，点B,O,P,B在同一直线上，BP=B'P;点C,A,P,C在同一直线上，CP=CP, :线段B'C'与线段OA有公共点， 当点B',C'的纵坐标异号或其中一个为0时，满足题意， ①当点B的纵坐标为0时，此时点B与点O重合，即OP=PB, 由(2)可知，此时m=5-万或5+万，如图所示， 2 2 B B ②当点C的纵坐标为0时，此时点C与点A重合，即CP=AP, Pm》80, 点C的横坐标为2m-8,纵坐标为2m-9, 又：点C在抛物线y= x-4x上， 2 当点C的横坐标为2m-8,纵坐标为)x2m-82-4×2m-8到-2m-24m+64, .2m-9=2m2-24m+64, 答案第2页，共71页 解得m=13±V23 2 :1<m<2' 9 ·此时m=13-V23 2 如图所示， 5m名时，高好的秋坐标小于0当5二5≤m5+ :当1<m<5-或5+万 ,点B的纵坐标大于 2 2 2 或等于0， 当1<m<13-V时，点C的纵坐标小于0：当13-V23≤m<?时，点C的纵坐标大于或等于0， 2 又1<5-万5+万，13-29 2 2 2 2 :当5万 2 ≤m35+7成323≤m<?时，线段BC与线段0A有公共点 2 2 7.(1)y=-x2+6x-5 23v29 4 4到或后 【分析】(1)把A(1,0),C(0,-5),代入抛物线解出即可. (2)根据PQ∥x轴，用含t的式子表示出PQ,通过配方求出PO取最大值时的P的坐标，再根据抛物线的 对称性转化MA=MB,此时MB-MP=MA-MP,根据三角形三边关系知MA-MP≤AP,当A、P、M共 线时MA-MP有最大值，从而求出最大值为AP的长度. (3)根据沿直线BC进行平移，设出新抛物线的解析式，从而求出直线与抛物线的交点D,再根据 LOCA+LACB=45°，∠KDC+∠ACO=45°得到∠KDC=∠ACB,进而得到DK∥AC,根据直线平移的 答案第1页，共71页 性质可知直线DK和直线AC的k相等，求出DK的解析式，最后求出K的坐标，第二种情况是在直线BC下 方，过D作DK'交抛物线于K交y轴于H,使得∠CDK'=∠ACB=45°-∠ACO,过D作DG⊥y轴，根据 乙C0-G0X得到肥8是-家出的坐，丙获立直线和半移后的胞的线，从街求出K的坐 【详解】(1)解：已知抛物线y=-x2++c过A1,0),C(0,-5), -12+a+c=0 c=5解得 a=6 将A1,0),C(0,-5)代入解析式得 c=-5 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+6x-5. (2)解：连接AM, B 当y=0时，-x2+6x-5=0, 解得x=1,x2=5, A1,0, .B5,0; 设直线BC的解析式为y=x+b(k≠0)， [5k+b=0「k=1 把8(5,0)，C(0,-)代入得6=-5解得6=-5 直线BC的解析式为y=x-5, 设P(,-12+61-5), :PQ∥x轴， .∴.yo=yp, -t2+6t-5=x-5, ∴.x=-t+6t, 答案第2页，共71页 0=6=(-r小-1=f+=--+5。 :当1=时，PO取最大值号， P别 由抛物线的对称性可知A,B关于抛物线的对称轴对称，且M在对称轴上， .MA=MB, .MB-MP=MA-MP, 根据三角形三边关系知MA-MP≤AP, 当A、P、M共线时MA-MP有最大值，最大值为AP的长度， 9,225 2613V29 =16 4 MA-MP的最大值为3V29 4 (3)解：①当K在直线BD上方时，过D作DK∥AC交抛物线于K, B D :抛物线是沿直线BC进行平移， :设向右平移个单位，向上平移t个单位， :新抛物线的解析式为y=-(x-3-)2+4+1, :新抛物线过C(0,-5, ∴.-(0-3-t)2+4+1=-5, 解得t=-5,t,=0(舍) .平移后的抛物线解析式为y=-(x-3+5)2+4-5=-x2-4x-5; 答案第1页，共71页 y=x-5 联立方程组 y=-x2-4x-5得：-2-5x=0, 解得x=0,2=-5, :新抛物线与直线交于C,D两点，且C(0,-5, .xp=-5, .D(-5,-10), C(0,-5,B(5,0), .0B=0C=5, .∠0CB=∠0BC=45°， ∴.∠0CA+∠ACB=45°， 当∠KDC+∠AC0=45°时， .∠KDC=∠ACB, :DK∥AC, :A1,0),C(0,-5, :同法可求出直线AC的解析式为y=5x-5, 根据直线平移的性质可知直线DK和直线AC的k相等， 设DK的直线解析式为y=5x+b,新抛物线上的K(a,-a2-4a-5), 把D(-5,-10)代入得5×(-5+b=-10, 解得b=15, 直线DK的解析式为y=5x+15, .5a+15=-a2-4a-5, 解得a1=-4,a2=-5 D(-5,-10), K-4,-5. ②当K在直线BD下方时， 答案第2页，共71页 B 过D作DK'交抛物线于K交y轴于H,使得∠CDK'=∠ACB=45°-∠ACO,过D作DG⊥y轴于点G. .∠ACO=∠GDK, .∴.tan∠GDK=tan∠ACO, HG OA 1 DG-OC-5' DG=5, .GH=1, .H(0,-9), 设过DK'的直线解析式为y=mx+n(m≠0)， 1 -5m+n=-10 m= 5 (0×m+n=-9’解得 n=-9 1 .DK'的直线解析式为y=二x-9, 5 1 y=5x-9 联立方程组 整理得5x2+21x-20=0, y=-x2-4x-5 解得x=-5,2= 4 5' :D(-5,-10), 传》 综上，点K的坐标为4列或行)】 【点晴】本题考查了抛物线求解析式，线段的最值问题，二次函数相关的性质，三角函数角度的转化，直 线和抛物线的交点坐标，抛物线的动点问题等相关知识点，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键. 答案第1页，共71页 8.0y=-x2-2x+2 66 (2)点P的坐标为(-1,2)或-7，-5) 2 5:②当F在B之间时，+0山，当F在B右边时，0C1,当F在 EF_EF=1,证明见解析 AC BD 【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴交于点A(-4,0),B3,0)，利用交点式求解析式即可； (2):先求出直线4C解析式为y+2,当P在x铺上方时，点P在直线Bw上， 即P为直线BM与抛物线的交点，求出直线BM解析式与抛物线联立解得P(-1,2);当P在x轴下方时，由 ∠CAB=∠ABP,得到AC∥PB,求出直线PB解析式与抛物线联立解得P(-7,-5); (3)①在(2)的条件下，点P在x轴下方时，AC∥PB,由EF∥AC,得到EF∥BD,求出直线BC解 际武为yx+2,设EM3m+2,过E作EG上维于G,过D作DH轴于户，东由E0∥BD 3 得到OE=044 7 BD,B再明aG0 HBD,求出D游7iH4,得到D7 7,7） 6 4m+3,-2m+ 62代 入直线PB解析式解得m-号，最后根据BD=VDH+H求解即可： ②油F∥1C得到无5，由EF∥BD可9乐 BD AB ，再根据当点F与A、B之间的位置关系分情况 讨论，得到A,BF,AB的关系，即可得到C与F的关系. 【详解】(1)解：：二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于点A-4,0,B(3,0, 61 期物线解所式为y=名x+4-3到=石-名+2： 6 (2)解：：y=-x-2x+2与y轴交于点C, 6 6 C0,2), .设直线AC解析式为y=kx+2, 把4-40)代入y=红+2得0.4+2，解得k= 1 :直线4C解析式为y=x+2, 1 二x+2对称轴为直线x=- 6 .1 6 6 1 2 6 答案第2页，共71页 :直线4C与对称轴x=号交点M坐标为24： 17 2 1 :二次函数y=-二x2+bx+c的图象与x轴交于点A-4,0),B(3,0, 6 ∴A-4,0),B(3,0关于对称轴对称， .∠MAB=∠MBA, 当P在x轴上方时， :∠CAB=∠ABP，,∠MAB=∠MBA, 点P在直线BM上， 即P为直线BM与抛物线的交点， 设直线BM解析式为y=kx+b, k=- 把830，（到代入y=+6得 2 3 0=3k+b b= 2 :直线BM解析式为y=-x+3=-x-3到， 2= 2 2 y=- r-3) 1 x=3 联立 ，解得 y=-（x+4)(x-3) 6 P(-1,2); 当P在x轴下方时， ∠CAB=∠ABP, AC∥PB, 1 :直线AC解析式为y=二x+2, 2 1 ∴设直线PB解析式为y=二x+b,, 2 把83,0)代入y=行+6得0=×3+6，解得么=- 1 3, 答案第1页，共71页 1x-3=x-3， :直线PB解析式为y=x- 222 联立 -x- r=3或x=-7 y=6x+4(x-3 ,解得y=0 y=-5 .P(-7,-5; 综上所述，当∠CAB=∠ABP时，点P的坐标为(-1,2)或(-7，-5)； (3)解：在(2)的条件下，点P在x轴下方时，AC∥PB, :EF∥AC, .EF∥BD, :C(0,2), .设直线BC解析式为y=k2x+2, 把B(3,0)代入y=kx+2得0=3弘+2，解得后，=-名 31 :.直线BC解析式为y= 3+2, 2 设Em,3m+2 :A-4,0),B3,0, .OA=4,OB=3,AB=OA+OB=7, 轴于G,过D作DH上x轴于H,则OG三 :点F恰好与原点O重合， .EO∥BD, ∴.LEOG=∠DBG,△AOEn△ABD, OE OA 4 BD AB7 :∠EG0=∠DHB=90°， 答案第2页，共71页 .△GOE∽△HBD, EG OG OE DH BH BD 、2 ·3m+2 m OE 4, DH-BH-BD-7 7 7 7 D17（一2+2=6m+2，B三7， 6 pm+3,m+, 6 2 :在直线PB上任取一点D,直线PB解析式为y=x-3 2t 2 7,717 6 12 解得m= 7 7771273 :DH=--m+ 7m7×2=3, 6 722 BH=m= 6 4 47 :BD=DH2+BH2 ②：EF∥AC, .△BEF∽△BCA, :EF、BF AC AB' 同理由EF∥BD可得EF=4护 BD AB 当F在A、B之间时，AF+BF=AB, EFEF_BF AF-AF+BF=AB-1: AC BD AB ABABAB 当F在B右边时，AF-BF=AB, 答案第1页，共71页 EF EF_AF_BE AF-BF=AB-1: ·BD AC AB AB AB AB 当F在A左边时，BF-AF=AB, EFEF BF AF_BF-AF=AB=1. AC BD AB ABAB AB 9.(1)y= (2)P(-2,3 (3)点0的坐标为-1,3)或-1-2V3,-3-3√5 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果； (2》过P作PF∥y轴，交BD于R,求出C(0,2,从而可得直线4C解新式为y=+2,进而得出直线 -1x2-3x y= +2 11 22 BD的解析式为y=2-2,联立1212 可特0-5引设- 2+2,则 y= 22 可得当x=-2时，SPBD最大，由SED是定值，且SPBD=SPBE+SEBD,可得SAPBE最大，即可得出结果： (3)设OP与AC交于点L,由勾股定理可得AC=25,结合二次函数图象平移的性质可得 y=-)r2+)x+4,先证明∠QBA=∠A0P,从而可得B0∥OP,求出OP解析式为y=-,B0解析式 3 2 2 y=-2+x+4 为y=+当=时，联 2 2 33 ，计算即可得出Q-1,3)；设g关于x轴对称点为 y=- 2 2(-1,-3),求出 答案第2页，共71页 12 1 y'= 直线Bg解析式为y= 联 2 2+4 33 ,计算即可得出结果. y=2x-2 【详解】(1)解：抛物线y=ar2+bx+2与x轴交于点A-4,0),B(1,0)两点， 16a-4b+2=0 a+b+2=0 d= 解得： b=- w 123 :抛物线为y=-2-+2: (2)解：如图，过P作PF∥y轴，交BD于F, 在y=- 23 2 x+2中，令x=0,则y=2. .C0,2). 设直线AC解析式为y=kx+2(k≠0)， 把A-4,0)代入，得-4k+2=0, 解得长一 直线AC解析式为y=。x+2, 2 BD∥AC, 1 :设直线BD的解析式为y=2x+m, 把B(1,0)代入，得2+m=0, 答案第1页，共71页 1 解得m= 2 11 :.直线BD的解析式为y=。x- 22 -1x2-3x+2 y 2 2 联立11 y=2x-2 x=-5.x=1 解得 =-3或=0 .D(-5,-3, PF=-1x2-3 2 wew-{-2x+--c+r+程 2 :-1<0, 当x=-2时，SPBD最大， :S,EBD是定值，SPBD=SPBE+S,EBD, SAPBE最大， .当△PBE面积最大时，P(-2,3); (3)解：设OP与AC交于点L, :A-4,0,C0,2, ∴.AC=V0A2+0C2=25, :将抛物线y=ar2+bx+2沿射线AC方向平移√5个单位长度得到新抛物线y, 答案第2页，共71页 的线，=子一2=总氏上半1个位长皮。月所右T零2个年在长度对商他 8 8 :点P为点P的对应点， .PP'∥AC, ∠0Pp'=0LC, :LA0P=LOLC-LBAC,且∠QBA=∠OPP-∠BAC, .∠QBA=∠AOP, .BQ∥OP, 设OP解析式为y=mx, 把P(-2,3)代入，得-2m=3, 3 .1m= 2’ , 3 .OP解析式为y=- 3 设BQ解析式为y=-二x+n, 2 把B1,0)代入，得-3+n=0, 2 3 =2' 33 .BQ解析式为y= 2t 2’ x2+2x+4 1 y=- 2 2 当y=y时，联立 33 y=- x+ 2 2 x=-1 x=5 解得 =3或{=6去）， 0-1,3): 设2关于x轴对称点为2(-1，-3)，直线Bg解析式为y=ax+d, 答案第1页，共71页 [a+d=0 把B1,0),0-1,-)代入，得a+d=-3 3 解得 3 d=- 2 .直线BO'解析式为y= 33 2 2 1 y'= 2+4 联立 3.3 y=2x-2 x=-1+23 x=-1-25 解得 (舍去)或 y=-3+3√5 y=-3-351 0-1-23,-3-3V5 综上所述，点Q的坐标为(-1,3)或-1-2√3，-3-3V⑤. 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数综合一面积问题、二次函数综合一角度问 题，求一次函数的解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 10.(1)y=-x2+2x+3 (3)存在，点P的坐标为P1,0)或P1,6)或P1,-V6)或P(1,) 【分析】(1)把A-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c即可求解； (2)设D(t,-t+2t+3(0<t<3),过点D作DH⊥x轴于点H,根据SBcD=S稀形oCDH+S.BHD-S.Boc即可求 解： (3)设P(1,m,分三种情况：AC=CP,AC=AP,AP=CP即可求解. 【详解】(1)解：把A(-1,0,B(3,0)代入y=-x2+bx+c得， -1-b+c=0 b=2 -9+3b+c=0'解得 c=3' .抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)解：设Dt,-+2t+3(0<t<3),过点D作DH⊥x轴于点H, 答案第2页，共71页 H 由抛物线的解析式y=-x2+2x+3, 令x=0时，y=3, .C0,3, .0C=3, :B(3,0),Dt,-2+21+3),且点D在第一象限， .0B=3,0H=t,DH=-t2+2t+3,BH=3-t, :SBCD=S梯形OcDH+SBHD-S.BOc _B-+2*33--r+2列分3 2 =+2r+6-30+6+9+f-2n-3-9叭 0+则 0 :当1时，△8CD的面积的最大值为受 (3)解：设P(1,m, ①当AC=CP时，如图， 答案第1页，共71页 P :A-1,0),C(0,3), AC=P+32=10, CP=V12+(m-3)2=1o, 解得m1=0,m2=6, .P1,0)或P(1,6), 设直线AC的解析式为y=kx+n, -k+n=0 把A-1,0),C(0,3)代入得 (n=3 [k=3 解得 n=3' 直线AC的解析式为y=3x+3, 当x=1时，y=3×1+3=6, :P(1,6)在直线AC上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， P1,0): ②当AC=AP时，如图， 由①可知AC=V10, 答案第2页，共71页 AP=V1+12+m2=V10, 解得m=±√6， P1,6)或P1,-6: ③当AP=CP时，如图， P :A-1,0),C(0,3),P(1,m, .V1+12+m2=2+(m-3)2, 解得m=1, P1,1; 综上所述，点P的坐标为P(1,0)或P1V6或P1,-V6或P(1,1: 17.(1)y=-x2-2x+3; ②当m=-2时，S6 81 4 (3)点P(-1,1)或(-1，-2)，点A'(0,3)或(-3,0). 【分折11)把L0代入y=r2+6红+3，得+6+3=0，由对称轴方程得-名。=-小，联立方程组 a+b+3=0 -6。-1,解方程组可得出答案； 2a (2)点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为2m+6,点E(m,2m+6),由题意可知0C=3,0F=-m, EF=2m+6,根据面积公式及二次函数的性质可得出答案； (3)抛物线的对称轴为x=-1,当P点在x轴上方时，过点作A'G⊥DH于G,证明△APH≌aPA'G,则 AH=2,求得P(-1,1;当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形，则P(-1,-2). 【详解】(1)解：把A1,0)代入y=ax2+bx+3,得a+b+3=0, 答案第1页，共71页 又对称轴是直线x=-1, 2a 「a+b+3=0 -b=-1' -2a 「a=-1 解得： b=-21 .y=-x2-2x+3; (2)解：对于y=-x2-2x+3,令x=0,得y=3, C(0,3; 当x=-1时，y=-(-1)2-2×(-1)+3=4, .D(-1,4, :A1,0,对称轴是直线x=-1, .B-3,0, 设直线BD的表达式为y=x+b, 3k+b=0 把B-3,0,D(-1,4)代入解析式得 -k+b=4' [k=2 解得1b=6 .直线BD的表达式为：y=2x+6, 连接EC, :点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为2m+6,点E(m,2m+6), 由题意可知：0C=3,0F=-m,EF=2m+6, 答案第2页，共71页 aS=oC+EFx0F=x2m+6+3到×-m则=-m+4)+i6 m+9+81 2 :-1<0,点E在线段BD上，-3<m=- 2<-1, 4 当m=-?时，Sa6 81 41 (3)解：抛物线对称轴与x轴交于H,过作A'G⊥DH于G, :PA'=PA,∠APA'=90°， .∠A'PG+∠APH=90°，∠A'PG+∠PA'G=90°， .∠APH=∠PA'G 在APH和△PA'G中， ∠HPA=∠GA'P ∠PHA=∠A'GP, AP=PA‖ .△APH≌aPA'G(AAS, .AH=PG,PH=A'G :A1,0),对称轴x=-1,H(-1,0) AH=2, 设PH=m, .点A'(-1+m,2+m, :点A'(-1+m,2+m在抛物线y=-x2-2x+3上， 2+m=-(-1+m2-2(-1+m+3, 整理得m2+m-2=0, 解得m=-2或m=1, 当m=1,P(-1,1,点A'(0,3)与点C重合，在抛物线上，满足条件， 当m=-2,P-1,-2),点A'(-3,0与点B重合，在抛物线上，满足条件， 点P(-1,1或(-1，-2)，点A'(0,3或(-3,0. 答案第1页，共71页 11.(1)y=-x2+2x+3,A-1,0),B(3,0),C(0,3 (2)存在，Q的坐标为1,6)或1，-6)或(1,0或1，) (3)3 【分析】(1)求出y=-x2+10x-21的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再 求出x=0时的函数值和y=0时的自变量的值，即可求出三点的坐标； (2)分AC=AQ,AC=CQ,AQ=CQ三种情况进行讨论求解即可； (3)易得点P在以AB为直径的OM上，且不与A,B重合，连接PM,OP,证明aOMP∽aPME,得到 OP=.PE,进而得到CP+.EP=CP+OP,得到点C、P、O三点共线时，CP+OP取得最小值为OC的 长，即可 【详解】(1)解：：y=-x2+10x-21=-(x-5)2+4, .顶点坐标为5,4) :第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线y=-x2+10x-21关于直线x=3对称 :.第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为1,4) .y=-（x-12+4=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3,当y=0时，-x2+2x+3=0.则x=-1,x2=3, A-1,0),B(3,0),C0,3); (2)解：：y=-(x-1)2+4 .对称轴是直线x=1,设Q1,n, :A-1,0),C0,3 答案第2页，共71页 AC2=(0+12+(3-0)2=10,AQ2=(1+12+(n-0)2=4+n2,CQ=1-0)2+(n-3)2=1+(n-3)2 当AC=AQ时，4+n2=10, 解得n=±√6 0的坐标为16)或1，-6： 当AC=CQ时，1+(n-3)=10, 解得n1=0,n2=6, 若点Q坐标为1,6)时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； 01,0)； 当AQ=CQ时，1+(n-3)2=4+n2, 解得n=1, 01,1 综上所述，Q的坐标为1,6)或1，-6)或(1,0或1，)： (3)解：：A-1,0,B(3,0), .OA=1,OB=3,AB=4, 又：∠APB=90 .点P在以AB为直径的OM上，且不与A,B重合， 如图，连接PM,OP, 1 则PM=2,OM=二AB-OA=1, M B: 图② 又：E(-3,0) 答案第1页，共71页 .EM=4, 出 又：∠OMP=∠PME, .△OMPAPME, OP PM 1 ·PEEM2' :0p-PE· CP+TEP=CP+OP :.当点C、P、O三点共线时，CP+OP取得最小值为OC的长， C(0,3), .0C=3 :CP+行EP的最小值为3. 21.(1)y=-x2-2x+3; (2)(-1,-2)或(-1，-8 【分析】(1)直接利用待定系数法求解解析式即可； -2 (2)求解抛物线的对称轴为直线x= 2×(-1) =-1,设M(-1,m),P(n,-n2-2n+3,再分类讨论即可 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-3,0),B(1,0), a+b+3=0 9a-3b+3=0' a=-1 解得： b=-21 .抛物线为：y=-x2-2x+3; (2)解：：y=-x2-2x+3, -2 ·.抛物线的对称轴为直线x= 2x(-=-1, 令x=0,则y=3, C(0,3), 设M-1,m,P(n,-n2-2n+3 答案第2页，共71页 如图， A M 当AC=PM,AC‖PM时，则(-3)+(-1)=n+0且0+m=-n2-2n+3+3 P (Mi 解得：m=-2,n=-4, .M-1,-2 当AC=P,M,AC‖PM时，则(-3)+n=(-1)+0且3+m=-n2-2n+3+0 解得：m=-8,n=2, .M-1,-8) 综上：点M坐标为-1，-2)或(-1，-8) 12.(1)b=4 (2)不存在，理由见解析 m2-4m+4 -1≤m≤ (3)①d= ②m 2-io或i0 2 m2+2m+1 ≤m≤2 【分析】(1)将点A(4,0)代入抛物线解析式求b. (②)用m表示1,2，代入2y+y2=9得到关于m的一元二次方程，由判别式判断是否存在实数解。 (3)①先确定抛物线顶点和对称轴，根据点B在图象G上确定m的取值范围，再分最低点在M处和N处两 种情况求d. ②分两种情况讨论最低点的位置，作出正方形后根据点0在内部、点B在外部以及∫=？建立方程求解。 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx过点A(4,0), .-16+4b=0, 答案第1页，共71页 b=4. (2)解：由(1)得抛物线解析式为y=-x2+4x, 乃=-m2+4m,y2=-(m+3)2+4(m+3)=-m2-2m+3, :2y,+y2=2(-m2+4m)+(-m2-2m+3)=-3m2+6m+3, 令-3m2+6m+3=9, ∴.-3m2+6m-6=0, .m2-2m+2=0, △=(-2)2-4×1×2=-4<0， .方程无实数根， .不存在实数m使得2y,+y2=9. (3)①解：y=-x2+4x=-(x-2)2+4, .顶点B(2,4),对称轴为直线x=2, :点B在图象G上， ∴.m≤2≤m+3, .-1≤m≤2， :抛物线开口向下， :图象G的最高点为B,ymx=4, 当-1≤m≤号时，国-2p因+1，设低点在点M处， ymin =-m2+4m .d=4-(-m2+4m)=m2-4m+4=(m-2)2, 当)<m≤2时，m-2Km+,最低点在点N处 ymn=-m2-2m+3, .d=4-(-m2-2m+3)=m2+2m+1=(m+1)2, m-2,-1≤m≤2 ∴.d= m+以，m≤2 答案第2页，共71页 ②解：当-1≤m<。时，最低点为Q(m,-m2+4m),对称点P(4-m,-m2+4m), 2 以QP为边向上作正方形，此时B在正方形上方， 点B到正方形各边距离中，到上边的距离最小， f=m2-2m, 3 令m2-2m= 2’ .2m2-4m-3=0, 2±V10 .m= 2 :-1≤m<2' 1 m=2-i0 2 m≤2时，最低点为0m+3,-m2-2m+3)，对称点P1-m,-m2-2m 以QP为边向上作正方形，此时B在正方形上方， 点B到正方形各边距离中，到上边的距离最小， f=m2-1, 令m2-1=3 m2= 2 :m=t 2 2m≤2， m=v10 2 V10 综上，m-2-0或m= 2 2 13.(1)A(-1,0),B(4,0),C0,2) 2m的取值范围为m=?或，≤m<4或m≤ (3)见解析 【分析】(1)令x=0,求出y=2,可得出点C坐标，令y=0,求出x1=-1,x2=4,可得出点A、B坐标； (2)先求出直线MN的解析式为y=-3x+2m x+三m,联立直线MN与抛物线解析式得出x2-6x+3m-4=0, 2 2 答案第1页，共71页 分方程有两个相等实数根、m>0及m<0三种情况，根据一元二次方程根的判别式，结合图像求解即可： (3)根据中心对称的性质得出D(0,4),得出直线DE的解析式为y=kx+4,设E(x,y),F(x2,y2),联立 直线DE与抛物线的解析式求出x1+x2=3-2k,x·x2=4,联立直线OE与抛物线解析式得出x6=-x2,根 据平行四边形的性质得出对角线GF的中点坐标为O,即可得出点H在y轴上，可得结论， 【详解】1解：~抛物线y=弓+x+2与X辅交于A,B两点（点4在点8的左边，交y轴于点C, 3 2 当x=0时，y=2,当y=0时，-5x+3x+2=0, 2 21 解得：x1=-1,x2=4, .A(-1,0),B(4,0),C0,2). 3 (2)解：：m=0时，2m=0, M与N重合，不符合题意， ∴.m≠0， 设直线MN的解析式为y=c+b, :M(m0),N02m' 3 mk+b=0 3 b=z 直线MN的解析式为y=-3x+3 2+2m, x2+x+2 3 y=- 联立直线MN与抛物线解析式得， 2 2 2+3m 33 y= 2 3 33 6-，x2+x+2= 2 2+2m, 整理得，x2-6x+3m-4=0, 如图所示： 答案第2页，共71页 N C 、M M B ①当方程有两个相等的实数根时，直线MN与抛物线有一个交点， .△=(-6)2-4x1×(3m-4)=0, 13 解得：m= ②方程有两个解，但只有一个解在MN的x的范围内， 当m>0时， :线段MW与抛物线只有一个公共点， 5m<4,且2m22, 4 解得：3 ≤m<4: 当m<0时， :线段MN与抛物线只有一个公共点， 3 .m≤-1，且三m<0, 2 解得：m≤-1： 综上所述：m的取值范围为m=1或≤m<4或m≤-1. 31 3 (3)解：：点D与点0关于点C中心对称，C0,2), .D(0,4), 设直线DE的解析式为y=kx+b, 当x=0时，b=4, .直线DE的解析式为y=kx+4, 3 y=- 联立直线DE和抛物线解析式得， 2+2x+2 2 y=kx+4 答案第1页，共71页 1 3 x2+三x+2=kx+4, 2 2 整理得，x2+(2k-3)x+4=0, 设E(x,),F(x2,y2), .x1+x2=3-2k,x1x2=4, 设直线OE的解析式为y=k2x, =k2x1, 解得：飞=上 :直线0E的解析式为y=4x, 2+ y=- 2 x+2 联立直线OE与抛物线解析式得， y=Mx 整理得，2-3-2x-4-0, X :直线OE交抛物线于另一点G,x是此方程的解， .x1x6=-4, 4 ∴xG=- .xG=-X2, :四边形DFHG是平行四边形， .对角线FG与DH互相平分，F(x2,y2) “对角线中点的横坐标为6十x严=+五=0， 2 2 .对角线的中点在y轴上， 点H也在y轴上， y轴上总存在点H,使四边形DFHG是平行四边形. 14.(1)直线x=2 答案第2页，共71页 (2)a<0 间存在，应v的华标为0.4.2 【分析】(1)根据二次函数图像对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，可直接计算对称轴 (2)先写出二次函数交点式，代入点坐标，根据d>3判断乘积符号，进而得到的取值范围： (3)先根据C的值求出二次函数解析式，再分AB为菱形的边和AB为菱形的对角线两种情况，结合菱形的 性质计算点N坐标，验证是否在抛物线上得到结果 【详解】(1)解：由表格可知，二次函数图像经过点(L,0)和(3,0)，两点纵坐标相同， 因此两点关于对称轴对称因此对称轴为直线x=1+3=2 2 (2)解：设二次函数解析式为y=ax-1)(x-3, 将x=d,y=-1代入得a(d-1)(d-3=-1 :d>3 .d-1>0,d-3>0, 因此(d-1)(d-3)>0 -1 a(d-ld-<0,即a的取值范围是a<0 (3)解：将y=ax-1x-3)展开得y=ar2-4ax+3a,因此c=3a c=3 3a=√5， 解得a=V5 3 因此三次函数解析武为yx-x一3儿 当y=0时， 3x-x-3=0, 解得：x1=1,x2=3 .点A1,0),B(3,0,AB=2, :点M在对称轴x=2上，设M(2,t,Nx,y), 分情况讨论：情况1：AB为菱形的边 答案第1页，共71页 AB II MN,AB=MN =2 N与M纵坐标相等，且x-2=2, 解得x=0或x=4 将=®代入解斩式，得y=5-小-到=5，得可 将=4代入解式，行)-31-=5,4 银斯对称性，若y=-5,代入得析式将5x-红-到=一5。 整理得x2-4x+6=0, 判别式△=16-24=-8<0，无实根，此情况不存在符合条件的点N 情况2：AB为菱形的对角线时， :菱形对角线互相平分， .MN中点与AB中点重合，AB中点为(2，O), (x+2=2 2 因此 y+t=0 2 解得x=2,y=-t 将x=2代入解析式，得y=5 x1x(-1)=-5 3 3 因此N 3,、3 验证可得四边边长相等，满足菱形条件 3 M M B N 综上，存在符合条件的点N,坐标为0同..2-写 15.(1)y=-x2+2x+3 答案第2页，共71页 (3)存在， 2. 【分析】(1)先求出B,C的坐标，然后用待定系数法求解即可： (2)连接EG,DF,设Fm.-m2+2m+3,根据DF=2yp求解即可； (3)作CFIAB,BF‖OC,根据P在BC上方或下方两种情况讨求解即可 【详解】(1)解：：当x=0时，y=3, C(0,3, :当y=0时，0=-x+3,x=3, B3,0), :二次函数y=-x2+bx+c的图象过B,C两点， 「c=3 [b=2 0=-32+36+c’解得： c=3’ 即：y=-x2+2x+3; (2)解：B(3,0,C0,3, .0B=0C, .∠0BC=∠0CB=45°， :四边形DEFG是正方形， ∠GDE=90°，GD=DE, .∠DGB=∠GDE-∠0BC=45°， :∠DGB=∠OBC, .GD DB=DE, 连接EG,DF, 答案第1页，共71页 :GD⊥BE, .GE=GB, .∠GEB=∠0BC=45°， .∠EGB=90°即：EG⊥OB, :四边形DEFG是正方形， DF⊥EG,即：DFIOB, .DF,EG互相垂直平分，DF=2yF, :点F是第二象限位于抛物线上一点， .设F(m.-m2+2m+3, -m2+2m+3=-x)+3,解得：xD=m2-2m, :DF xp-xg=m2-2m-m=m2-3m, m2-3m=2(-m2+2m+3, 解得：m=m=3（舍)， (211 F39) 8》:存在，P 或2,3)，理由如下： 过点C作CFIAB,过点B作BF OC .四边形COBF是平行四边形， :∠COB=90°，OC=OB, .四边形COBF是正方形， 当y=0时，0=-x2+2x+3, ∴.X1=-1,x2=3, A-1,0)即：0A=1, 如图：当P在CB下方时，过点B作射线BA'使∠OBA'=∠ACO交OC于点A交抛物线于点P,此时 ∠CBP+∠ACO=45°， :∠AOC=∠A'OB,OC=OB, .△AC0≌△A'B0ASA, 答案第2页，共71页 .0A'=0A=1, 即：A'0,1, 设直线A'B的解析式为：y=kx+n, 之3谈+n=0解得：6= n=1 3n=1, y=- y=-x2+2x+3 x=3 x=-2 3 y=0 (舍)或 111 y=9 当P在CB上方时， 作点A关于BC的对称点D, :四边形COBF是正方形， .点D在CF上，DF=OA'=1,OB=CF, .D(2,3, :x=2时，y=-22+2×2+3=3, .D在抛物线上， :△DFB≌△AOB(HL, .∠DBF=∠A'BO=LAC0, 当P与D重合时，∠CBP+∠AC0=45°，此时，P(2,3, 综上：存在，P-)2 D B 答案第1页，共71页 16.()直线解析式为y=)x+1,抛物线解析式为y=-x2+x+5 er小 (3)M4,0,M20,6),M,0,-4 【分析】(1)直接利用待定系数法求解即可； (2)由一次函数解析式可得点C坐标，从而可得AC=BC,由△PBC的面积是△ACQ面积的2倍可得点P 到AB的距离是点Q到AB的距离的2倍，再分类讨论点P的位置并结合图像求解即可； (3)分别讨论点M在x轴正半轴，y轴负半轴与正半轴三种情况，由AB长度不变，∠AMB角度不变可得 ∠AMB为弦AB所对圆周角，从而可得AB所对圆心角为直角，进而求解即可. 【详解】(1)解：A-2,0,B(2,2)代入y=-x2+bx+c得： 1 0=-4-2b+c b= 解得： 2=-4+2b+c 2, (c=5 :抛物线解析式y=-+2+5. 将A-2,0,B(2,2)代入y=mx+n得： [0=-2m+n 1 解得： 2, 2=2m+n n=1 .直线AB的解析式为y=。x+1 (2)解：①点P在x轴上方时，过点P作x轴平行线，交y轴于点F,交直线AB于点E, 将x=0代入y=2x+1得y=L, ∴点C坐标为0,1， A-2,0,B2,2, 答案第2页，共71页 .C为AB中点，即AC=BC, .当△PBC的面积是△ACQ面积的2倍时，点P到BC的距离是点Q到AC的距离的2倍， :PE∥OA, :.EPC∽AQC, PC =2, .c0 :PF∥OA, .PFC∽OQC, FC_PC=2, oC Co yA B .点P纵坐标为FC+0C=30C=3, 将3代入y三-x+x+5得3三r+,x+5，解得x=,5=1+33 2 4 ·点P坐标为 ②点P在x轴下方时，连接BQ,PK⊥x轴于点K, B :C为AB中点， S40c=S80c, :△PBC的面积是△ACQ面积的2倍， :.S P8o=S Boc, 答案第1页，共71页 点Q为CP中点， 又：∠CQ0=∠PQK,∠COQ=∠PKQ=90°， .△OCQ≌△KPO(AAS), .OC=KP,即点P纵坐标为-1， 将y=代入-+5酒-1+，阿飞上点P标阿 4 综上所述，点P坐标为 4 (3)解：①点M在x轴正半轴上，作BN⊥x轴于点N, B M :∠AMB=45°， ∴.△BNM为等腰直角三角形， .BN NM =2, ∴.OM=0N+NM=4, .点M坐标为4,0). ②如图，点M在y轴负半轴，作AG⊥BM于点G, V M :AB长度不变，∠AMB=45°， 答案第2页，共71页 点A,B,M在同一个圆上， .∠AGB=2∠AMB=90°， 点G为△AMB外接圆圆心， :GA=GM=GB,即△AMB为等腰直角三角形， ·AM=AB=V2+2}2+2=2V5, 在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=√AM2-OA=4, .点M坐标为0，-4， 此时BM=V2-02+[2-(-4)]=210,BM2=4B2+AM2=40, 所以△AMB是等腰直角三角形，符合题意； ③点M与点M关于点C对称，则四边形AMBM为平行四边形，∠AM,B=45°， 点M坐标为0,6). 点M坐标为4,0)或(0，-4)或0,6). 17.()抛物线解析式为：y=-x2- 3+4 (②D523 (6'12 【分析】(1)根据43,0)，B0两点，利用待定系数法求解即可得： 31 (2)先由抛物线解析式求出与y轴交点C的坐标，再在R1aAOC中用勾股定理求出AC的长度；根据角平 分线定理得到OM与MC的比例关系，结合OC的长度求出OM,从而确定M的坐标；接着求出直线AD的 解析式，联立直线AD与抛物线的方程，舍去点A对应的解，得到点D的坐标； (3)先求出直线AC的解析式，再利用角平分线的性质得到点M到直线AC的距离等于OM的长度；结合 答案第1页，共71页 △EFM∽△ABC,根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出EF与EM的长度；设出点E的坐标，由 EM的长度列方程求解得到E的坐标，再根据EF的长度和直线AC的斜率求出对应点F的坐标，最终得到 两组符合条件的E、F坐标 【详解】1)解：抛物线y=+bx+e与铺交于-30，B信0两点， 0=-(-3)2-3b+c 代入两点坐标得方程组： 0-++c 41 3 c=4 解得 5, b= 3 ·抛物线解析式为：y=-x_ x+4; 3 (2)解：“抛物线解析式y=-x2_ 2x+4: 令x=0,得y=4, 即：抛物线与y轴交点C(0,4), 在RtaA0C中，OA=3,0C=4, 由勾股定理得AC=VOA?+0C2=V32+42=5, :AD平分∠CAB, 根据角平分线定理： --3且0+wc=0C4. 即： OM -3 4-0M5 解得：0M- 即M0引 设直线AD解析式为y=x+m, 代入A(-3,0)、 3 13 M0,得：y=2+ 联立直线4D与抛物线方程：2+ 2 x+4, 整理得：6x2+13x-15=0, 解得：=3（对应点4，合去，名名代入直线得=×-29 26212 :D点坐标为：D后12 523 (3)解：设直线AC的解析式为y=kx+b, 答案第2页，共71页 「-3k+b=0 代入4(-3,0、C(0,4)得6=4 k=4 解得： 3 b=4 4 :直线4C的解析式为y=x+4, 作MN⊥AC,垂足为N, Nh. :AD平分∠C48,ML4C,别 M A OB衣 ·MN=OM=3 :点E、F在直线AC上， .EF在直线AC上，点M 到直线4C的距离为定值： 即：。EFM中，EF边上的高为MN= 在△ABC中，AB在x轴上，AB边上的高为OC=4, :△EFMn△ABC, ∠MEF=4C4B,E-EM-A-2,即F-EW-3 3 AB AC 8 AB AC OC 4 4C=5,得EF=ABx号5，EM=4C=3x5=15 由AB=3 8 838 8 8 8 设+4小由EM得：+传+4--图 整理解得x=1 8 或x21 40 @当44 4 914 答案第1页，共71页 e当=孙时+4-4 340 =10 E 40'10 205月 因此E、F坐标为： 923 18.(1)y=- r+x+4 2)当D取得最大值时，点P的坐标为2,4及PE+BE的最小值为 BD (3)符合条件的点N的坐标为(6,8)或10，-4) 【分析】(1)根据点A的坐标和OA=OC,可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可： (2)过点P作PF1A8交直线AC于点F,先求得点B的坐标，从而得到AB,设Pm,-)m2+m+4,则 2 Fm2-mm2+m+4,表示出PF,利用PDFBDA,可雅盼关于m的二次函数关系式，限据 BD 二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作BM⊥AB,垂足为M,过点E作 EM⊥BM于点M,过点C作CN⊥BM于点N,过点P作PH⊥BM于点H,利用△BME∽△BNC得到 ME=5BE,结合PE+ME≥PH,即可求解 (3)连接PG、OP、PA,利用等腰三角形三线合一可推出PG⊥OA,从而求得PB=4√2，进而可知该 抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y,得到y的表达式；然后分两种情况讨 论：①当NG在x轴的上方时，设抛物线y的对称轴x=5交x轴于点K,交NG于点F,连接PC,通过证 明△CPE≌△AGE(AAS)和△COB≌△PGA(SAS,得到∠MGN=45°；接着过点M作MH⊥NG于点H,则 △MGH为等腰三角形，设FH=x,FM=y,利用△MFH∽△GFK,求得点F的坐标，进而求得直线GF的 表达式，与y的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当NG在x轴的下方时，同①可求. 【详解】(1)解：：A4,0,0A=0C, .0A=0C=4, C(0,4, 起40，Ca4利代入y=+a*e,得 [_1x42+4b+c=0 2 c=4 答案第2页，共71页 b=1 解得 c=4 :该抛物线的表达式为y=}x+x+4, 2 (2)解：如图，过点P作PF‖AB交直线AC于点F, 令y=0,则-2+x+4=0, 解得x=-2或4， B-2,0, 0B=2, AB=0A+0B=6, :点P是直线AC上方该抛物线的一动点， 设Pm2+m+4, 直线AC的表达式为y=kx+mk≠O), 「4k+m=0 代入A4,0),C0,4)得 m=4 k=-1 解得 m=4, .直线AC的表达式为y=-x+4, PF AB, “点F的级坐标为+m+4 则-}m2+m+4=-x+4,此时x=m2-m, F2m2-m,-2m2+m+4, 1 1 又：PFIAB, 答案第1页，共71页 △PDF∽△BDA 1 :PD PF-2 m2+2m 1 BD AB 6 m-2+ :、1 <0, 12 六当m=2时， PD有最大值， B 此时x2+244=4, 此时P(2,4: 如图，过点B作BM⊥AB,垂足为M,过点E作EM⊥BM于点M,过点C作CN⊥BM于点N,过点P 作PH⊥BM于点H, H 则四边形OBNC为矩形， NC=0B=2,BN=0C=4, BC=CN2+BN2=25, :EM⊥BM,CN⊥BM, EM‖CN, ∴△BME∽△BNC, ME BE E=C,即226， ·ME= 2BE· PE+5BE-PE+ME. 5 .PE+ME≥PH, ∴当点P、E、M在同一直线上时，PE+ME取得最小值，最小值为PH, :P(2,4,B(2,0),BH⊥x轴，PH⊥BH, 答案第2页，共71页 PH=4, ·PE+ 2BE的最小值为4： (3)解：符合条件的点N的坐标为6,8)或(10，-4)： 如图，连接PG、OP、PA, :P(2,4,A4,0), 0P=V22+42=2V5,PA=V4-22+0-42=25, .PO=PA, 又：点G是0A的中点，即0G=GA=10A=2, .PG⊥0A, .PG=4,BG=0B+0G=4, BP=BG2+PG2=42, :将该抛物线y沿射线BP方向平移42个单位长度得到抛物线y, :.该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到y, y=*4=+号 y=-+号对将结为宜线=5： ①如图，当NG在x轴的上方时，设抛物线y的对称轴x=5交x轴于点K,交NG于点F,连接PC, 答案第1页，共71页 :M是抛物线y对称轴上纵坐标为1的点， .M5,1, OK=5,MK=1, .KG=0K-0G=3, ∴.GM=VKG+MK2=V10, PG⊥0A, ..PGOC 0C=PG=4, :.四边形0GPC是平行四边形， :∠C0G=90°， :四边形OGPC是矩形， PC=0G=2=GA,∠CPG=∠PGA=90°， ZCEP ZAEG :.△CPE≌△AGE(AAS), :PE=EG=PG=2, 2 .EG=AG=2, .△AGE是等腰直角三角形， ∠AEG=45°， 在△COB和△PGA中， OB=GA=2 ∠BOC=∠AGP=90°， CO=PG=4 答案第2页，共71页 aC0B≌△PGA(SAS, ∠BC0=∠APG, .LBC0+LCAP=LAPG+∠CAP=∠AEG=45°， :LMGN=∠BCO+∠CAP, ∴.∠MGN=45°， 过点M作MH⊥NG于点H,则△MGH为等腰三角形， MH-GH-GM-5. 2 设FH=x,FM=y, :∠MFH=∠GFK,∠FHM=∠FKG=90°， .△MFH∽△GFK, :FM-FH_MH 5 FG FK GK 3 [y-5 x+V53 x=5 y+13 解得 x=2V5 y=5’ FM=5, .FK FM +MK =6, .F(5,6, 设直线GF的表达式为y=kx+n(k2≠0)， [2k2+n=0 5k2+n=6' k2=2 解得 n=-4’ .直线GF的表达式为y=2x-4, 2 y=2x-4 答案第1页，共71页 [x=6x=0 解得 或 y=8y=-4 (不合题意，舍去)， N(6,8; ②如图，当NG在x轴的下方时， 同0可P飞-引直线0F份达式为1 y=-+号 y=--x-1 2 x=10 x=1 解得 ,或{1（不合题意，舍去， y=-49 y=2 .N10,-4; 综上，符合条件的点N的坐标为6,8)或10，-4)： 19.0)=39 -3 4-4 (2)使LAPC=∠CAB,点P坐标为(0，-3或(3，-3】 ® 【分析】(1)先求出点B,C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式： (2)求出线段AC,BC进而得出AC=BC,判断出满足条件的一个点P和点B重合，再利用抛物线的对称 性求出另一个点P. (3)先判断出要。匹的最小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程 只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG,即可求解. 答案第2页，共71页 【详解】(1)解：对于直线y=氵x-3,交坐标轴BC两点， 4 ∴B(0,-3),C(4,0), :抛物线y=子+br+c过，C两点， c=-3 3 ×16+4b+c=01 4 9 b=- 解得： 4， C=-3 即y=2-9 4 3, (2)解：如图2， y个 D A、O C :AC是半圆的直径， 图2 ·半圆上除点A,C外任意一点Q,都有LAQC=90°， :点P只能在抛物线部分上， B(0,-3,C(4,0), BC=5, ,AC=5, :AC=BC, ∠BAC=∠ABC, 当∠APC=∠CAB时，点P和点B重合，即：P(0,-3), 由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为3，-3)， 即：使∠APC=∠CAB,点P坐标为0，-3)或(3，-3). (3)如图3， 答案第1页，共71页 D G A-1,0),C(4,0), 图3 :AC=5, 过点E作EG∥BC交x轴于G, :△ABF的AF边上的高和△BEF的EF边的高相等，设高为h, SAuw-AFh,SrEF :S能=4F S.BEF EF 、匹的最小值，即仁最小， SBEF EF .CF∥GE, AF-AC5 EF CG CG' :当CG最大时，即 EF S旺的最小值， 最小，S。EF :EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大， 3 :直线BC的解析式为y=三x-3, 4 设直线EG的解析式为y=3x+m①， 4 ·抛物线的解析式为即y=3x2_9x x-3②， 44 联立①②化简得，3x2-12x-12-4m=0, :△=144+4×312+4m)=0,抛物线和直线只有一个交点. 解得：m=-6, ·直线EG的解析式为y=?x-6, 4 ·直线EG与x轴交点坐标(8,0】 .CG=4, 答案第2页，共71页 S.AuE AE=AC=5 S.BEF EF CGA S旺的最小值为4 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，圆的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性 质，抛物线的对称性，等腰三角形的判定和性质，判断出CG最大时，两三角形面积之比最小是解本题的关 键 20.0=++5 3 @c6 (6)90-45V5或90+453 4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质 与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键， (1)利用待定系数法求解即可； (2)连接AC,设C(m,-m+2),可证明ABC是等腰直角三角形，AC=BC,据此利用两点距离计算公 式建立方程求解即可； (3)分点D在点A左侧和点D在点A右侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可. 4a+2b+5=6 【详解】(1)解：把A2,6),B(5,0)代入y=ax2+bx+5中得： 25a+5b+5=0 a= 2 解得 3 b22 1 3 .抛物线解析式为y=-一x2+三x+5; 2 2 (2)解：如图所示，连接AC,设C(m,-m+2), :以AB为直径的圆与直线y=-x+2的一个交点为C, ∠ACB=90°， .∠ABC=45°， ·.ABC是等腰直角三角形， .AC=BC, .(m-2)+(-m+2-6)=(m-5)2+-m+2-0)2, 答案第1页，共71页 .m2-4m+4+m2+8m+16=m2-10m+25+m2-4m+4, 1 .m= 2 3 .-m+2= 2’ B (3)解：如图所示，当点D在点A左侧时，设AB中点为E,连接DE,DC,CE,过点D作DR⊥CE于 R, yA D C B :A2,6,B(5,0), ·AB=2-5)2+(6-0)2=35, DE-CE-14B=3 2 :∠ABD=30°，∠ABC=45°， .∠CBD=∠ABC-∠ABD=15°， ∠DEC=2∠DBC=30°， DR-DE-R 4 4 答案第2页，共71页 CR=CE-ER=35_315 24 .CD2=CR2+DR2 90-45V3 4 如图所示，当点D在点A右侧时，设AB中点为E,连接DE,DC,CE,过点D作DT⊥CE交CE延长线 于T, y本 0 T E B :∠ABD=30°，∠ABC=45°， .∠CBD=∠ABC+∠ABD=75°， .∠CED=2∠CBD=150°， .∠DET=180°-∠CED=30°， 同理可得DT=4,7一35 4 CT=CE+ET= 35,3W5 2 4 CD2=CR2+DR2 - 90+453 4 综上所述，CD的值为90-455或90+455 4 4 答案第1页，共71页 21.(1)b=-2,c=-3 2’2 2’2 3)最小值为√7 【分析】(1)由AB=4,A(-1,0),求得B点坐标为(3,0)，代入y=x2+bx+c,解方程组即可求解： (2)①连接AD,作DE⊥AD交AP于点E,作EF⊥y轴于点F,证明△AOD≌△DFE(AAS),得 A0=DF,OD=FE,进而可得E(3,-2),设直线AP为y=kx+m,代入A(-1,0),E(3,-2)求得 11 y=-一x- = -x 2联立得 22,解之得答案：②过点0作直线1∥AD,由S0m=Sao0,得出点P是 y=x2-2x-3 直线I与抛物线的交点，设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(-1,0),D(0,-3)代入得直线AD的解析式 为y=-3x-3,进而得直线的解析式为y=-3x,联立方程y=3x 少=2-2x-3’解之得解， (3)取H(2,O),连接NH,BN,由BH=1,BN=2,BA=4,∠HBN=∠NBA,可证明△HBN∽△NBA, 两g-8分即mw,由Cv+4w=C:w≥c,cm=F,可说 CN+二AN的最小值. 【详解】(1)解：：AB=4,A-1,0), .B点坐标为(3,0)， 将A(-1,0),（3,0)代入y=x2+bx+c, [1-b+c=0 得 9+3b+c=0' b=-2 解得， (c=-3 (2)解：①如图，∠PAD=45°，连接AD,作DE⊥AD交AP于点E,作EF⊥y轴于点F, 答案第2页，共71页 10 PB元：∠ADE=90°，∠PAD=∠AED=45°，∠A0D=∠EFD=90°， E C\ 图1 :AD=DE, :∠AD0+∠EDF=∠EDF+∠DEF=90°， ∠DEF=∠ADO, ∴△AOD≌△DFE(AAS), :AO=DF,OD=FE, :A-1,0),y=x2-2x-3, x=0时，y=-3, .0A=1,0D=3, 0F=2,EF=3,D(0,-3), E(3,-2, 设直线AP为y=kx+m, -k+m=0 代入A-1,0),E(3,-2)得， 3k+m=-2' 解得 k2 1 m=-2 11 y=-2x-2 联立y=x-1 x-2,y=x2-2x-3, 11 得 2x-2 y=- y=x2-2x-3 答案第1页，共71页 x= 解得 2 x=-1 或 71 y=- (y=0 (舍去)， 4 ②过点0作直线1∥AD, yA B：SDP=S40D, D 图1 :点P是直线1与抛物线的交点， 设直线AD的解析式为y=kx+b, 将A(-1,0),D(0,-3)代入得， -k+b=0 b=-3’ k=-3 解得， b=-3' :直线AD的解析式为y=-3x-3, :直线1的解析式为y=-3x, 联立方程 y=-3x y=x2-2x-3' -1+3 X1= 与-店 2 2 解得， 或 3-3V13 3+313 y= 2 = 2 p-1+i店3-3w3 或-1-▣3+33 2 ’2 2 2 (3)解：如图，取H(2,0),连接NH,BN, 答案第2页，共71页 B 图2 则BH=1,BN=2,BA=4, BH BN BN BA' :∠HBN=∠NBA, :△HBN∽△NBA, .HN=BN=⊥ AN BA2' :HN-TAN, 2 :CN+AN=CN+HN≥CH, 2 :CH=V42+12=V17, :CN+,AN的最小值是7. 【点晴】本题主要涉及二次函数的性质，直线方程的求解，相似三角形的性质、判定以及最值问题的求解.通 过代入已知点求解参数，利用几何关系求解点的坐标以及通过相似三角形的性质求解最值是正确解答此题 的关键。 答案第1页，共71页