2026年重庆中考数学 动态几何与二次函数专题

2026年重庆中考数学 动态几何与二次函数综合专题 目 录 一、动态几何与二次函数相关（常规问题） 1 二、动态几何与二次函数相关（变式问题） 15 一、动态几何与二次函数相关（常规问题） 1．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 2．如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 3．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 4．已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； (3)根据函数，当时，直接写出的值为______． 5．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 6．如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围． 7．如图，在正方形中，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，同时，动点以1个单位每秒的速度沿的线路运动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为秒，三角形的面积记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； (3)若函数，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 8．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 9．如图，正方形的边长为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C方向运动，P、Q同时停止运动．连接、．设点P运动的时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 10．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 11．如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 12．如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； (3)若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 13．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 14．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 15．如图，在中，，，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿方向向C点运动，其中一个点到达终点C，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设P点运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式及对应的x的取值范围． (2)请在给出的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质． (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围． 16．如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 17．如图，在正方形中，．P、Q两点从点B同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，请直接写出k的取值范围． 18．如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 19．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 20．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 21．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为． (1)请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； (2)在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________； (3)若，请结合图象直接写出满足条件的所有整数的值． 22．如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 23．如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 24．如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 25．如图，在菱形中，，，动点均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段为边长的正方形面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 26．如图所示，四边形中，，，，动点P以每秒个单位长度从点D出发，沿运动到点C停止运动，动点Q以每秒1个单位长度从点D出发，沿运动到点A再返回到点D后停止运动，设运动时间为x秒．设的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系内，画出该函数图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，根据你所画的函数图象，直接写出时x的取值范围（结果精确到）． 二、动态几何与二次函数相关（变式问题） 1．如图1，在正方形中，以A为原点，所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为4，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点A出发，仍以每秒2个单位长度的速度沿向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间t秒，的面积为S． (1)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 1 2 3 4 s m 8 n 8 请直接写出m=________，n=________； (2)直接写出S关于t的函数关系式；并写出相应t的取值范围． __________________________________________； (3)如图2，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；根据图象填空： ①当_____________________，S随t的增大而增大． ②已知的图象如图所示，请直接写出当时，t的取值范围_________． 2．在矩形中，，．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，设点P，Q的运动时间均为x秒，E是边上的一个动点，记的面积为，点E到点P的距离为． (1)若E到点P的距离满足，平面直角坐标系中已经画出的部分图象，请你根据解析式补全表格，画出的图像的剩余部分，并写出函数的一条性质； x 1 2 3 5 1 (2)请直接写出关于x的函数关系式及自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系中画出的图象； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．     3．如图，是等腰直角三角形，，，点P在的边上沿路径B→A→C移动，过点P作于点D．设，的面积为（当点P与点B或点C重台时，y的值为0） 小姜根据学习函数的经验，对函数y随着自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小姜的探究过程，请补充完整： (1)求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围． (2)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x（cm） 0 1 2 3 4 y（cm） 0 m 2 n 0 请直接写出：______，______． (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补完值后的表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (4)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______．（写出一条即可） (5)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度为______． 4．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示． (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 5．如图，在正方形中，E为的中点．以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发．沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为x秒．的面积为y． (1)求y关于x的函数关系式，以及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出一条函数的性质； (3)当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 6．如图1，在矩形中，，是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一个点也随之停止运动．连接， ，设动点运动的时间为，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上运动时关于的函数图象． (1)________； 当时，直接写关于的函数解析式为__________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在3个时刻，使得的值相等． 求出的取值范围； 当时，求时的值． 7．如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． (1)的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． (2)当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且  求的值． 8．如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 9．【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在中，，点从点开始出发沿线段向终点匀速运动，点同时从点开始出发沿折线向终点匀速运动，两点同时到达点．连接，设点运动的路程为，的面积为．经探究发现在某范围内是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，图②中点的横坐标为5，点的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．    【初步感知】 （1）①图①中，的长为______，的长为______； ②求点的纵坐标； （2）求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （3）的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值； （4）点为中点，点为线段上靠近点的三等分点，连接，当点在上运动时，请求出长度的最小值． 10．如图1，在正方形中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：），四边形的面积为y（单位：），y与x之间的函数图象如图2所示． (1)正方形的边长为 ，点P的运动速度为 ； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若P在上运动时，点P，Q的位置记为，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为，且点P从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 11．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 运动的时间 2 3 4 5 的面积 32 ②填空：四边形的边的长为_______cm； ③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式； (2)当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）． 12．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿，和的路径向点移动．设运动时间为秒，由点、、、确定的图形的面积为． (1)直接写出与之间的函数关系式________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出以上所写函数的图象，并写出该函数的一条性质________； (3)当取最大值时，________． 13．如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当时，______． (2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． (3)当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值． 14．如图，是等腰直角三角形，其中，.动点P从点A出发以的速度向终点C运动（动点P不与点A、C重合），过点P作，交于点Q，将线段绕点Q逆时针方向旋转得到线段，连接.设与重合部分图形的面积为S（），动点P运动的时间为t（s）. (1)当点M落在边上时，求t的值. (2)求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. (3)在动点P的整个运动过程中，直接写出S的最大值. 15．如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为． (1)的边的长为________．（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 16．在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 17．如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（） (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆中考数学 动态几何与二次函数综合专题（解析版） 一、动态几何与二次函数相关（常规问题） 1．如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)画函数图象见解析，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 2．如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y． (1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象； (2)结合图象，写出函数y的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过） 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)当时随的增大而增大 (3)当时，自变量的取值范围 【详解】（1）解：当时， ∵， ； 当时，， ； 当时，， ， 综上所述，与的函数解析式为； 函数图象如图所示； （2）解：当时，随的增大而增大； （3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键． 3．如图，已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，规定，．    (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)，； (2)画图见解析，当时随的增大而增大（答案为不唯一）； (3)当时，． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 当时，，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：列表： 描点： 连线： 当时随的增大而增大（答案为不唯一）； （3）解：根据图象可知：当时，． 4．已知在矩形中，，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位的速度运动，当点到达点时，、两点都停止运动．设动点P运动的时间为秒，规定，． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；并写出函数的一条性质； (3)根据函数，当时，直接写出的值为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由题意可知：，，， ∴， ， ∵当点到达点时，、两点都停止运动，此时 ∴自变量x的取值范围为； （2）解：如图，即为函数，的图象； 函数的性质：当时，函数值随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：由图象可知：当时，，解得或， ∵，∴， 故答案为：2． 5．如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积为时，请直接写出的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)作图见解析，该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查动点问题函数图象，一次函数和二次函数图象的作法，勾股定理， （1）首先根据勾股定理求出，然后求出，当两者相遇时，，然后分以及分别求解即可得出答案； （2）根据函数解析式描点连线作图，根据图象可写出一条性质； （3）将分别代入和求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 如图1所示，过点C作于点D， ∵ ∴ ∴当两者相遇时， ∴； 分两种情况： ①当时，点E在上，点F在上时，如图2， 由题意得，， ∴； ②当时，点E和点F都在上时，过点C作于D，如图3， 由题意得，， ∴ ∴ 综上所述，y关于x的函数解析式为； （2）由（1）中得到的函数解析式可知， 当时，； 当时，； 如图，分别描出对应点然后顺次连线． 该函数的一个性质：当时，有最大值6（答案不唯一）． （3）当时，代入函数，得， 解得（负值舍去）； 当时，代入函数，得， 解得． 综上所述，当的面积为时，或． 6．如图，矩形中，，点F是线段的中点，动点P从点A出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发沿折线B→C→F方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点F时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，在范围内，与函数有2个交点，直接写出t的求值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， 此时：，， ， ； 综上所述：， （2）解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 函数图像如图： 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减小； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） （3）解：由函数图象可得： 在时， 要使与该抛物线有2 个交点， 则 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 7．如图，在正方形中，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，同时，动点以1个单位每秒的速度沿的线路运动，当一个动点先到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为秒，三角形的面积记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象；请写出函数的一条性质； (3)若函数，结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1) (2)图形见解析；当时，随的增大而增大 (3) 【详解】（1）解：当时，，， ； 当时， ， 综上所述：； （2）解：如图所示， 性质：当时，随的增大而增大； （3）解：如图， 由图象得，当时，的取值范围为． 8．如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)作图见解析，由图可得，当，随的增大而增大 (3)． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； （2）解：函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大； （3）解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 9．如图，正方形的边长为6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A→D→C方向运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C方向运动，P、Q同时停止运动．连接、．设点P运动的时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，函数y有最大值，最大值为9； (3)或． 【详解】（1）解：当时，点在上， ； 当时，点在上， ， ∴； （2）解：函数y的图象如图所示， 由图可知，函数y的一条性质：当时，函数y有最大值，最大值为9； （3）解：由图可知，当时，x的取值范围为或． 10．如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； (3)． 【详解】（1）解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ （2）函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 11．如图①，在正方形中，．点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，连接，．当到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为，，的面积为． (1)请直接写出与的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系图②中，画出函数的图象； (3)若（2）中函数的图象与直线有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)当时，函数的图象与直线有两个交点 【详解】（1）解：①解：由题意知，，， 当时，点P在上， ， 当时，点P在上，， ， 综上可得：； （2）解：根据（1）中解析式列表得： x 2 4 5 6 8 y 8 16 15 12 0 作图如下： （3）如图，当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当过点时，， 此时与的图象只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点； 故． 12．如图1，在中，，，．点P从点A出发，以2的速度沿折线运动，同时点Q从点B出发，以1的速度沿线段运动，当点Q到达点C时，P，Q停止运动．设点P运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围（面积不取0）； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质：_______； (3)若与x的函数图象与直线有一个交点，则n的取值范围是________． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：当点在线段上时，， 此时，， ∴； 当点在线段上时，， 此时，， ∴， ∴； 综上所述， （2）解：函数图象如图所示， 性质：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）， 故答案为：当时，的面积最大，且为4（答案不唯一）； （3）解：平移，如图所示： 当过时，没有交点，此时函数解析式为，， 当过时，有两个交点，，则， ∴此时函数解析式为， 若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 当过时，有1个交点，则，则， 综上：若与的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是或， 故答案为：或． 13．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图象见解析；在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，，则， ∵中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴； （2）解：描点如下： 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 图象如图所示： 函数的性质：在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大； （3）解：由函数图象，时，的取值范围是或． 14．如图，在中，，，动点从点出发，以2个单位/秒沿折线方向运动，运动到点停止．设运动时间为，于点，设以为边长的正方形的面积为． (1)求关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，如果与该函数图象有两个不同的交点，请写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 由题意知，当时，在上运动，如图，则， ∵， ∴， ∴； 当时，在上运动，如图， 则， ∴， ∴， 综上所述，y关于t的函数表达式为； （2）解：由（1）知，该函数图象经过点，，，，，，， 则函数图象如图所示： 由图可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； （3）解：根据图象，当时，直线与该函数图象有两个不同的交点． 15．如图，在中，，，，点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线方向向C点匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿方向向C点运动，其中一个点到达终点C，另一个点也随之停止运动，两点同时出发，设P点运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式及对应的x的取值范围． (2)请在给出的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质． (3)结合你所画的函数图象，当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)图见详解，当时，y随着x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）解：当点P在上时，，， 此时， 过点P作交于点H， ∵， ∴， ∴． 当点P在上时，此时，， 过点P作交于点H，如下图： ∵ ∴， ∴， 综上：y关于x的函数关系式为：； （2）解：根据（1）可知， 画出函数图像如下： 当时，y随着x的增大而增大． （3）解：令时， 解得：，负值舍去， 令时， 解得：，（舍去）． 结合函数图像可知：当时，或． 16．如图，矩形中，，，点是线段的中点．动点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点从点出发沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点到达点时，、两点都停止运动．设动点运动的时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围（面积不为0）； (2)在给定的平面直角坐标系内画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，写出的面积为1时的值（保留一位小数，误差不得超过0.2）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值1.0或2.5 【详解】（1）解：根据题意得： 当点在线段上，点在上时， ， 此时：，，， ， ； 当点在射线上时，点在上时， ， 此时：，， ， ； 综上所述：， （2）解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 2 4 函数图像如图： 由函数图象可得： 函数的性质： ①当或时，随增大而增大，当时，随增大而减少； ②当时，函数有最大值4；（回答一个即可） （3）解：由函数图象可得： 的面积为1时的值1.0或2.5． 【点睛】本题考查了动点问题、求函数解析式、画函数图象、从函数图象中获取信息，理解题意，正确取出函数解析式，采用分类讨论与数形结合的思想解题，是解此题的关键． 17．如图，在正方形中，．P、Q两点从点B同时出发，点P以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，点Q以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动．设点P运动的时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)图见解析，当时，随的增大而减小； (3)k的取值范围为． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 点从到所用的时间为：， 点从到所用的时间为：， 点从到所用的时间为：， 设点运动的时间为秒，则，， 当时，如图： ， 当时，如图： ， ∴； （2）解：函数图象如图，当时，随的增大而减小． （3）解：由可得：， ∴当时，， ∴过定点， 当过原点时，， ∴， 当过点时，， ∴， ∴与x的函数图象与直线有两个交点时，k的取值范围为：． 18．如图，在正方形中，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向匀速运动（点不与、重合），连接，；动点以每秒个单位长度的速度从点同时出发，沿方向匀速运动（点不与、重合），过点作交对角线于点．设运动时间为秒，的面积为，的面积为．    (1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数、图象，并写出函数的一条性质； (3)结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)；， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 当时，即点在边上， 则， ； 当时，即点在边上， 则，， ， 综上，； 由题意得，，，， 故是等腰直角三角形， ， ． ， 自变量的取值范围是， 即，． （2）解：函数、的图象如图所示， 函数的性质：当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，取得最大值，最大值为8．（答案不唯一） （3）解：当时， ， ， 整理得，， 即， ，，乘积为负， 此不等式无解； 当时， ， ， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 19．如图，在四边形中，，于点E，，，．动点P从点A出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点E出发，沿折线方向以每秒1个单位长度的速度运动．当点Q到达点D时，P、Q两点都停止运动．设动点P运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的面积小于3时x的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一） (3)或或 【详解】（1）解：∵，， ∴， 可知P、Q两点同时停止运动， ∵，， ∴， 可知P、Q两点分别同时到达、， 当时，如图，，， ， ， 当时，， ， 综上所述：； （2）解：如图： 该函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； （3）解：如图， 当，时，则， 或3， 当，时，则， ， 综上所述：△的面积小于3时，的取值范围为或或． 20．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积的为． (1)请直接写出，分别关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)在图中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数后一位，误差不超过） 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：（1）如图，作于， ，即，， ， 四边形为矩形， ， 由题意可知：，，，， 的面积：， 的面积：， ， 当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 点运动时间最多为：（秒），点运动时间最多为：（秒）， ，，； （2）解：列表： 描点，画出、关于的函数图象如图所示： 写出函数，的性质如下（答案不唯一）： 对于函数，当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 对于函数，随增大而减小； （3）解：由图可知，两函数的交点横坐标约为， 当时，的取值范围． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，根据函数图象解不等式，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．如图，在四边形中，，，，，是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），是线段上从点向点运动的一个动点（不含、），点、同时开始运动，当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动．连接，．已知点在其运动路径上的速度始终为每秒1个单位长度，点在其运动路径上的速度始终为每秒2个单位长度，设点的运动时间为秒，的面积为，的面积为． (1)请求出和关于的函数解析式，并说明的取值范围； (2)在图2中画出关于的函数图象，并写出一条这一函数的性质：________； (3)若，请结合图象直接写出满足条件的所有整数的值． 【答案】(1)，， (2)当时，函数有最大值（答案不唯一） (3)，， 【详解】（1）解：作于，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，则，，， ∴的面积：， 的面积：， ∵当其中一个动点抵达终点时，另一个立即停止运动， 则点运动时间最多为：秒，点运动时间最多为：（秒）， ∴，，． （2）解：列表： 1 2 3 4 5 5 8 9 8 5 描点，，，，， 画出关于的函数图象如图所示： ， 由此可知：当时，函数有最大值； 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小； 故答案为：当时，函数有最大值（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴， 即， ， 故， 只需在图象中找到在上方部分对应的的值即可， 由图可知两函数的交点横坐标约为， 其右侧部分在上方， ∴当时，x的取值范围为， ∴满足条件的所有整数的值为，，． 22．如图，为正方形中边上一点，，．动点P，Q同时从点B出发，以相同的速度分别沿，向点A，点C移动，连接，，．设点P运动的路程为x，的面积为，的面积为． (1)分别写出，关于x的函数解析式及x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的函数图象，并分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)， (2)图象见解析，性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ； （2）解：画 列表： x ⋯ 0 2 4 6 8 ⋯ y ⋯ 0 6 8 6 0 ⋯ 描点，连线得，如图： 画 列表： x ⋯ 0 8 ⋯ y ⋯ 12 0 ⋯ 描点，连线得，如图； 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：由函数图象知，当时，x的取值范围为． 23．如图，中，，点E是边上一点（不与B、C重合），以为边在上方构造正方形，设线段的长度为x，线段的长度为，正方形的面积为，的面积为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并分别写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围近似值保留小数点后一位，误差不超过 【答案】(1)； (2)见解析，函数的性质：y随x的增大而减小；函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大 (3) 【详解】（1）解：在中，， ； 中，， 的高， ， 正方形的边长为x， ， ； （2）解：画出函数，函数如图： 函数的性质：y随x的增大而减小； 函数的性质：开口向上，在范围内，y随x的增大而增大； （3）解：联立，消去y整理得， 配方得，即， 解得， ， 的交点的横坐标大约为， 观察图象，时x的取值范围是 24．如图，在矩形中，，，点E为上一定点，满足，连接，，动点M从A点出发，沿着折线运动，运动速度为每秒1个单位长度，动点N从C点出发，沿着向E运动，速度为每秒个单位长度，当点M停止运动时，点N也同时停止．过点N作于点F．设运动时间为x秒，记的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出，的图象，并写出的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出函数的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)， (2)图象见详解；当时，函数有最大值为6 (3) 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，， ∴， ∴， 如图1，当时，， ∴， 即， 如图2，当时，， ， 即﹒ 综上所述：； ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：平面直角坐标系中，函数，的图象如图： 函数的性质，当时，函数有最大值为6； （3）解：由函数图象得与交点横坐标约为， ∴当时，﹒ 【点睛】本题为函数与几何综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，画函数图象，函数与不等式关系等知识，综合性强，难度较大﹒ 25．如图，在菱形中，，，动点均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点P沿折线方向运动，点Q沿折线方向运动，当两动点相遇时停止运动，设运动时间为x秒，以线段为边长的正方形面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)见详解，当时，y随x的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3) 【详解】（1）解∶在菱形中，， ， 总的运动时间为：秒， 连接，如图： 当点在上，点在上运动时， 由题意是正三角形，即时， 由 ， 当点在上，点在上运动时，是正三角形，即时， 由， ，综上所述：； （2）如图所示： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）由（2）图可知： 时x的取值范围为：． 26．如图所示，四边形中，，，，动点P以每秒个单位长度从点D出发，沿运动到点C停止运动，动点Q以每秒1个单位长度从点D出发，沿运动到点A再返回到点D后停止运动，设运动时间为x秒．设的面积为y． (1)直接写出y关于x的函数关系式，并写出函数自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系内，画出该函数图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，根据你所画的函数图象，直接写出时x的取值范围（结果精确到）． 【答案】(1)； (2)函数的图象见解析：性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． (3)或 【详解】（1）解：作交延长线于点， 由题意得，，∴是等腰直角三角形，∴，当点Q运动到点A即时，，∴的面积为；当点Q运动到点A即时，，∴的面积为； 综上，； （2）解：列表： x 0 2 3 4 5 6 8 y 0 2 8 6 0 描点，连线画出函数的图象如图， ； 函数的性质如下： ①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ②当时，取得最大值8； （3）解：由函数的图象得：或． 二、动态几何与二次函数相关（变式问题） 1．如图1，在正方形中，以A为原点，所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，正方形的边长为4，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点A出发，仍以每秒2个单位长度的速度沿向点C运动，当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间t秒，的面积为S． (1)通过取点、画图、测量，得到了S与t的几组值，如下表： t 1 2 3 4 s m 8 n 8 请直接写出m=________，n=________； (2)直接写出S关于t的函数关系式；并写出相应t的取值范围． __________________________________________； (3)如图2，在平面直角坐标系中，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；根据图象填空： ①当_____________________，S随t的增大而增大． ②已知的图象如图所示，请直接写出当时，t的取值范围_________． 【答案】(1)， (2) (3)①当或S随t的增大而增大，②当时，t的取值范围 【详解】（1）当时，, ∴ 即 当时，, 故答案为：， （2）当时，，， ； 当时，，， ； 综上，； （3）如图， ①当或S随t的增大而增大． ②当时，t的取值范围． 2．在矩形中，，．动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿方向运动，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着运动，设点P，Q的运动时间均为x秒，E是边上的一个动点，记的面积为，点E到点P的距离为． (1)若E到点P的距离满足，平面直角坐标系中已经画出的部分图象，请你根据解析式补全表格，画出的图像的剩余部分，并写出函数的一条性质； x 1 2 3 5 1 (2)请直接写出关于x的函数关系式及自变量的取值范围，并在给定的平面直角坐标系中画出的图象； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．     【答案】(1)作图见详解，补全表格见详解，当，时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大 (2)，作图见详解 (3) 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补全表格如下： x 1 2 3 5 1 3 根据表格中的数据，的图象剩余部分如图所示： 性质：当，时，随x的增大而减小， 当时，随x的增大而增大． （2）解：如图，过点P作，连接， ∵在矩形中，，，， ∴，， 在中，由勾股定理得，, 由题意知，设，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点P在运动的时间为（秒）， ∴x的取值范围为， ∴． 的函数图象如图所示： （3）解：由（2）的函数图象可知，当时， x的取值范围为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质及函数与几何的综合应用． 3．如图，是等腰直角三角形，，，点P在的边上沿路径B→A→C移动，过点P作于点D．设，的面积为（当点P与点B或点C重台时，y的值为0） 小姜根据学习函数的经验，对函数y随着自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小姜的探究过程，请补充完整： (1)求y与x的函数关系，并写出自变量x的取值范围． (2)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表： x（cm） 0 1 2 3 4 y（cm） 0 m 2 n 0 请直接写出：______，______． (3)如图，在平面直角坐标系中，描出已补完值后的表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线画出该函数的图象． (4)结合画出的函数图象，写出该函数的一条性质：______．（写出一条即可） (5)结合画出的函数图象，解决问题：当的面积为时，的长度为______． 【答案】(1) (2)， (3)见解析 (4)该函数的一条性质：当时，y随x的增大增大，当时，y随x的增大减小 (5)1或 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故； （2）当时，； 当时，； 故答案为：，； （3）该函数的图象为： （4）由函数图象可知，当时, 随的增大而增大； 当 时，随的增大而减小； 故答案为：当时, 随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； （5）当，令，则， 解得：或（舍去）， 当时，令，则， 解得：或（舍去）， 故答案为：或． 4．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， 补全图象如图所示：    （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 5．如图，在正方形中，E为的中点．以A为原点，、所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系．正方形的边长是4．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发．沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为x秒．的面积为y． (1)求y关于x的函数关系式，以及x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出一条函数的性质； (3)当是以为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)点P的坐标为或 【详解】（1）∵E为的中点， ∴ 由题意得：， 分两种情况： ①时，如图， 由题意得：，， ∴， ； ②时，如图 由题意得：，， ∴，，， ， ∴ ， ∴S关关于x的函数关系式为 （2）图象如下： 函数性质：当时，y随着x的增大而增大； （3）两种情况： ①时，如图： 由题意得：，， ∴，， 当时，， ∴，解得(舍去)或2， ∴， 此时点P的坐标是； ∴当，是以为底边的等腰三角形时，； ②时，如图： 由题意得：，， ∴，，， ， ， 当时，， ∴，解得(舍去)或4， ∴， ∴； ∴当，是以为底边的等腰三角形时，， 综上所述，当是以为底边的等腰三角形时，点P的坐标为或 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、二次函数的图象和性质、坐标与图形的性质、面积的计算、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程． 6．如图1，在矩形中，，是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一个点也随之停止运动．连接， ，设动点运动的时间为，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上运动时关于的函数图象． (1)________； 当时，直接写关于的函数解析式为__________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在3个时刻，使得的值相等． 求出的取值范围； 当时，求时的值． 【答案】(1)6； (2)； (3)； 【详解】（1）解：由图2可得时，在点处， ∴． 故答案为：6． ∵点是的中点， ∴． ∵动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向运动，同时动点从出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动， ∴， ∴当点在上运动时，点在上运动． ∵，的高为8， ∴当时，． 故答案为：． （2）解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ∴， 自变的取值范围为． （3）解：由（1）（2）得． 如图，， 对于，当时， ． ∵， ∴当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 把代入得 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，从函数图象获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 7．如图1，在正方形中，E为的中点，点 P 从点 B 出发，沿B→C→D匀速运动，同时点Q从点 E出发，沿E→B→C 匀速运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度．当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为，的面积为S．当点Q在上运动时，S关于t的函数图象是图2所示的抛物线的一段． (1)的长为_____；当点Q与点B重合时，的面积为_____． (2)当点Q在上运动时，求S关于t的函数解析式，并在图2的平面直角坐标系中画出该函数的图象． (3)若存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，且  求的值． 【答案】(1)4，8 (2)，图见解析 (3) 【详解】（1）解：∵正方形中，E为的中点， ∴， 由函数图象可得，当时，，此时与重合，则， ∴， 故答案为：4，8； （2）解：当时，与重合，此时运动的路程，即与重合， ∴当点Q在上运动时，点在上运动， ∵当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动， ∴， ∴当点Q在上运动时，点在上运动，， ∴，，， ∴ ， ∴当点Q在上运动时，， 函数图象为： （3）解：由图（2）中函数图象可得，当存在3个时刻 其对应的 的面积均相等，，其中， ∵和的函数值相等，且都在上， ∴， ∵ ∴， 当时，点Q在上运动，此时，，，， ∴是方程的两个解， 整理得 解得，． 8．如图1，在等边三角形中，动点P从点C出发沿C→B→A匀速运动，同时动点Q从点B出发沿B→A→C匀速运动，且速度均为每秒1个单位，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为，面积为S．图2中的曲线是动点P在边上时S与t的函数图象． (1)的长为_______；______． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数．请求出此时S与t的函数解析式． (3)在运动过程中，若存在三个时刻对应的面积均相等，且，求的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【详解】（1）解：由图2可知，时，动点P从C点运动到B点， 动点P运动速度为每秒1个单位， ， 为等边三角形， ， 当时，动点P运动到的中点，动点Q运动到的中点， 过点Q作于点H， ， ， 故， 故答案为：4，； （2）过点Q作，垂足为D． 当点P在边上时，． 在中，． ． （3）由（1）可知，当时，抛物线的顶点坐标为． 当时，设抛物线的解析式为 将代入解析式，解得 ． 存在三个时刻对应的面积均相等， ． 根据二次函数的对称性可知， ． ． ∴， 解得． ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，动点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在中，，点从点开始出发沿线段向终点匀速运动，点同时从点开始出发沿折线向终点匀速运动，两点同时到达点．连接，设点运动的路程为，的面积为．经探究发现在某范围内是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，图②中点的横坐标为5，点的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．    【初步感知】 （1）①图①中，的长为______，的长为______； ②求点的纵坐标； （2）求关于的函数表达式； 【延伸探究】 （3）的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值； （4）点为中点，点为线段上靠近点的三等分点，连接，当点在上运动时，请求出长度的最小值． 【答案】（1）①8，10；②点的纵坐标为15；（2）；（3）不变化，理由见解析；（4）的最小值为 【详解】解：初步感知：（1）①由函数图象可知：P的运动路程是8， ， 当运动路程为5时，面积最大，此时Q运动到B点， ， ，即, 解得：， 故答案为：8，10； ②如图①， ∵点D的横坐标为5， ∴此时，点Q和点B重合， ∵的面积为点D的纵坐标， ， ， ， ∴点D的纵坐标为15； （2）如解图②，当时，过点Q作与点H，   ， ， ， ， ， ； 如解图③，    当时，， 综上所述，y关于x的函数表达式为：； 延伸探究：（3）不变化，理由如下： 当时，如解图②，， 当时，如解图③，， 的大小不发生变化，； （4）如解图④，当点Q运动到点B时，连接，过点M作于点，    ∵点A为定点，点P在线段上运动，即主动点，点N在线段上运动，为从动点，点N为线段上靠近点P的三等分点，即，为定值， ∴点N的运动轨迹为线段， 当时，过点N作于点H， 由（1）得，，由勾股定理得，， ， ， ， ，即， ， ， ， 当点N与重合时，的值最小，即为的长， 设， 则，解得， 即的最小值：为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质，勾股定理，函数图像读取信息，二次函数的几何应用，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是解题关键． 10．如图1，在正方形中，动点P，Q同时从点A出发，以相同的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动．设运动时间为x（单位：），四边形的面积为y（单位：），y与x之间的函数图象如图2所示． (1)正方形的边长为 ，点P的运动速度为 ； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)若P在上运动时，点P，Q的位置记为，若P在BC上运动时，点P，Q的位置记为，且点P从运动到的距离为，求六边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)12 【详解】（1）由题意得：当点在起点时，四边形的面积最大，为8， 则有，得． 当点分别运动到点时，四边形的面积最小，为0， 则点的运动速度为． 故答案为：； （2）①当点在上运动时， 正方形的边长为， ， ②当点在上运动时， ， 与之间的函数关系式为 （3）设点位于时，运动时间为，则点位于时，运动时间为，六边形的面积为， 可得， 所以，当时，的最大值为12，即六边形面积的最大值为12． 11．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．设运动的时间为．当时，点的位置如图①所示．当时，的面积（单位：）与运动的时间（单位：）之间的对应关系如图②所示． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 运动的时间 2 3 4 5 的面积 32 ②填空：四边形的边的长为_______cm； ③请直接写出的面积与运动的时间之间的函数解析式； (2)当的面积时，求运动的时间的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；；  ②  ③ (2)或 【详解】（1）①解：当时，点M在上，，，， ∴； 当时，点M在上，，，， ∴； 当时，点M在上，，， ∴； 故答案为： 运动的时间 2 3 4 5 的面积 32 ； ②过点D作于点E， ∵，， ∴， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ③当时，点M在上，，， ∴， ∴； 当时，点M在上，， ∴， ∴； 当时，点M在上，如图，过点M作于点F， ， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述； （2）解：当时，令， 解得（舍）或， 当时，令， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，令， 解得或（不符合题意，舍去）， 综上所述，当的面积时，求运动的时间的值为或． 12．如图，正方形的边长为，动点、同时从点出发，以的速度分别沿，和的路径向点移动．设运动时间为秒，由点、、、确定的图形的面积为．    (1)直接写出与之间的函数关系式________； (2)在给定的平面直角坐标系中画出以上所写函数的图象，并写出该函数的一条性质________； (3)当取最大值时，________． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大（答案不唯一） (3)0或 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，线段是对角线， ∴， ∵点、的速度为，设运动时间为秒， ∴点从的时间为，从的运动时间为， 点从的时间为，从的运动时间为， ①当时，， ∴，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； ②当时，如图所示，    ∴， ∴，，， ∴， ∴与之间的函数关系式为； 综上所述，与之间的函数关系式为，故答案为：． （2）解：由（1）可知，， ∴函数图象如下，      ∴性质：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大；（答案不唯一） 故答案为：当时，随的增大而减小；当时， 随的增大而增大（答案不唯一）． （3）解：根据（2）中图像可知，当或时，取最大值， 故答案为：0或． 13．如图，在中，，．动点P，Q同时从点C出发，动点P以的速度沿向终点A匀速运动；动点Q以的速度沿向终点B匀速运动．连接，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当时，______． (2)求s与t之间的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． (3)当直线把分成面积比为两部分时，直接写出此时t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)2或 【详解】（1）解：由题意知，当时，，， ∴， 故答案为：2； （2）解：由题意知，当时，停止运动，当时，停止运动； 当时，，，； 当时，，，； ∴； （3）解：由题意得， ∵直线把分成面积比为两部分， ∴分当时，当时，两种情况求解： 当时，不满足要求，舍去； ①当时，， 解得，或（舍去）； ②当时，， 解得，或（舍去）； 综上所述，t的值为2或． 14．如图，是等腰直角三角形，其中，.动点P从点A出发以的速度向终点C运动（动点P不与点A、C重合），过点P作，交于点Q，将线段绕点Q逆时针方向旋转得到线段，连接.设与重合部分图形的面积为S（），动点P运动的时间为t（s）. (1)当点M落在边上时，求t的值. (2)求出S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围. (3)在动点P的整个运动过程中，直接写出S的最大值. 【答案】(1)3 (2) (3)6 【详解】（1）解：如图，当M落在边上时， 是等腰直角三角形，其中， ， ， ， ， 由题意知， 四边形是矩形， ， ， ，即， 即当点M落在边上时，t的值为3； （2）解：当时，重合部分为，如图所示，即重合面积是的面积， ，， ， ． 当时，如图中，重合部分是四边形， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，， 设，则， ， ， ， 则重合面积为， 综上所述，． （3）解：由（2）得， 当时，当时，S最大为； 当时，， 当时，S最大为6； 综上所述，在动点P的整个运动过程中，S的最大值为6． 15．如图，在菱形中，．动点P从点A出发以的速度沿射线运动，以为一边在射线的上方作等边．设点P的运动时间为与菱形重叠部分图形的面积为． (1)的边的长为________．（用含x的代数式表示） (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得 ， ∵是等边三角形， ∴． 故答案为：． （2）解：①当时，如图①，过点Q作于点M， 有，， ∴， ∴， ∴ ， ②当时，如图②，过点Q，E分别作于点M，N， 有 ∵四边形是菱形，， ∴ ∴， 同理，可得， ∴， ∴是等边三角形， 同理可得，是等边三角形， 由①，同理可求出，， ∴， ． ③当时，如图③，过点D作于点F， 由①同理可得，， ∴． 综上所述，． 16．在等边三角形中，，点D、E、F分别是、、边上的中点，连接、，动点P从点B出发，沿方向以的速度运动，到点运动停止．过点作，垂足为点，过点作交于点．设点运动时间为，与四边形重叠面积为． (1)当点H与点E重合时，x的值为_____． (2)求y与x的函数解析式； (3)当y的值为时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)3 (2) (3)x的值为或． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图，    ∵点D、E、F分别是、、边上的中点， ∴， ，点与点重合，点为的中点， 点与点重合， ， ∴； 故答案为：； （2）①当时，点P在线段上，点H在线段上，如图，   为等边三角形， ， ， ，， 为等边三角形， 动点从点出发，沿方向以的速度运动，点运动时间为， ， ，， 在中，， ， ②当时，如图，设与交于点，连接，过点作于点， 点、、分别是、、边上的中点， ，，，，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在中，，， ， ，， ，， 为等边三角形， ③当时，如图，设与交于点，过点作于点，   ， ， ， 为等边三角形，， ，， ，，， 为等边三角形， 在中，， ， ∴． （3）当时， ①， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ②， 即， 解得（不符合题意，舍去）； ∴ ③， 即， 解得（都不符合题意，舍去）； ∴该方程无解． 综上所述，x的值为或． 17．如图，在正方形中，，点是对角线的中点，动点，分别从点，同时出发，点以的速度沿边向终点匀速运动，点以的速度沿折线向终点匀速运动．连接并延长交边于点，连接并延长交折线于点，连接，，，，得到四边形．设点的运动时间为（）（），四边形的面积为（）    (1)的长为__________，的长为_________．（用含x的代数式表示） (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：依题意，，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是正方形对角线的中点， ∴，则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴ 故答案为：；； （2）解：当时，点在上，    由（1）可得， 同理可得， ∵，， 则 ； 当时，如图所示，    则，， ， ∴； 综上所述，； （3）解：依题意，①如图，当四边形是矩形时，此时， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即， 解得：，    当四边形是菱形时，则， ∴， 解得：（舍去）； ②如图所示，当时，四边形是轴对称图形，   ，解得， 当四边形是菱形时，则，即， 解得：（舍去）， 综上所述，当四边形是轴对称图形时，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $