第11章 一元一次不等式（压轴题题型讲练）19个题型讲练+能力提升训练 共48题-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

**基本信息** 聚焦一元一次不等式19类压轴题型，以"概念-解法-应用"逻辑链系统分类，通过典例与变式训练提升综合解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型讲练|19题型（48题），典例精选各地期中期末真题|覆盖概念理解（定义、性质）、基础运算（解集、整数解）、综合应用（参数、几何、经济方案）等层级|从不等式基本概念到解法，再到与方程、几何、实际问题的综合应用，形成完整认知链，培养推理能力与应用意识| |能力提升|10题综合题|含新定义、跨知识结合等复杂问题|深化知识迁移，强化数学思维的系统性与创新性，对接中考压轴题命题趋势|

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册专项培优讲义 第十一章 一元一次不等式『压轴题题型讲练』 〔19个题型讲练+能力提升练 共48题〕 【人教版七年级下册●新教材】 模块一 目录索引 知晓题型 2 题型一 不等式及其解集 2 题型二 不等式的性质 3 题型三 一元一次不等式的定义 4 题型四 求一元一次不等式的解集 5 题型五 求一元一次不等式的整数解 7 题型六 在数轴上表示不等式的解集 9 题型七 求一元一次不等式解的最值 11 题型八 列一元一次不等式 14 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 14 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 16 题型十一 求不等式组的解集 21 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 24 题型十三 由一元一次不等式组的解集求参数 29 题型十四 由不等式组解集的情况求参数 30 题型十五 不等式组和方程组结合的问题 32 题型十六 列一元一次不等式组 35 题型十七 不等式组的经济问题 37 题型十八 不等式组的方案选择问题 39 题型十九 一元一次不等式组的其他应用 42 能力提升训练 44 模块二 压轴题型 分类讲练 题型一 不等式及其解集 【典例分析】（24-25七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】运用移项，合并同类项，系数化为1解不等式求得解集． 【详解】， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·开学考试）对于任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如“智慧数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为，，所以． (1)计算：______；______； (2)若“智慧数”（，，，都是正整数），也是“智慧数”，且能被12整除，求满足条件的的值． 【答案】(1)262；875 (2)满足条件的n的值为9759 【分析】（1）根据“智慧数”的定义，计算求解即可； （2）由“智慧数”的定义，先表示出，再结合是12的倍数，且千位和百位数字不相等，十位与个位上的数字不相等分析即可． 【详解】（1）解：，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，这四个新三位数的和为，，所以； ，去掉千位上的数字得到876，去掉百位上的数字得到576，去掉十位上的数字得到586，去掉个位上的数字得到587，这四个新三位数的和为，，所以； 故答案为：262；875； （2）解：（，，x，y都是正整数） ∴千位数字为9，百位数字为7，十位数字为x，个位数字为y，且，去掉千位上的数字得到，去掉百位上的数字得到，去掉十位上的数字得到，去掉个位上的数字得到，这四个新三位数的和为：， 即 又∵也是“智慧数”，千位数为1，则百位数至少为2， ∴ ∵，，x，y都是正整数 ∴ ∴ ∵能被12整除 ∴的取值可以是1212和1224 当时，，有，此时无满足要求的的值； 当时，，有，此时； 故满足条件的n的值为． 题型二 不等式的性质 【典例分析】（23-24七年级下·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【详解】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 【答案】2或3/3或2 【分析】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键．设，分①当时，②当时两种情形计算即可． 【详解】解：依题意得：设， ①当时，x为整数，都是整数， ∴，， ∴， ②当时，，， ∴，， ∴． 综上所述：或3． 故答案为：2或3． 题型三 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 【详解】解：由题意，得且， 解，得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数为且系数不为，列方程求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元一次不等式， ∴未知数的次数，解得； 未知数的系数，解得． 综合以上两个条件，可得． 故答案为：． 题型四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【答案】 3 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 【变式训练】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是_________________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，不等式的解集，解不等式，掌握绝对值与算术平方根的非负性，求出，且是解题的关键． 先根据非负数的性质，得出，，解得：，，再根据不等式的解集为，得到，，把，代入，得，然后由，则，解得，所以，最后解不等式，即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵关于的不等式的解集为， ∴，， ∴， 把，代入，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 即不等式的解集是． 故答案为：． 题型五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 【答案】D 【分析】本题主要考查取整函数，利用不等式即可得出为6的倍数，再计算小于100的正整数中6的倍数的个数． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 题型六 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【详解】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 【答案】(1)①，②，③或者 (2)数轴见详解． 【分析】（1）①根据定义计算即可；②结合定义，根据列出关于x的方程，解方程即可求解；③同理列出关于y的方程，解方程即可求解； （2）设点E表示的数为e，根据数轴可知：，根据，可得，根据解绝对值方程的方法作答即可，最后再在数轴上表示出解集，其中，，而，据此画出数轴即可作答 【详解】（1）①∵点A，B，C，D分别表示数，7，x，y， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴，即， 当时，解得：， 当时，方程无解， ∴， ③∵， ∴，即， 当时，， 解得：，与条件不符舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：y的值为或者； （2）设点E表示的数为e， 根据数轴可知：， ∵， ∴， 当时，， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∴与相矛盾，故舍去； 当时，， 解得：； ∴； 当时，， 解得：； ∴； 综上所述：， 数轴，如图： ． 题型七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 【答案】 6923 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求解；由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解： 是一个“快乐数”， ， 解得：， 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ，，， ，， ， ， ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ， 故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， 故答案：，． 题型八 列一元一次不等式 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（17-x），不等关系：小聪得分超过90分． 【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得 10x-5（17-x）>90． 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期末）一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时，这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变，请列出符合题意的一元一次不等式_______． 【答案】10(v+3)<12(v-3) 【分析】根据顺水航行10小时的路程≤12小时逆水航行的路程即可列出不等式． 【详解】解：∵这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变， ∴船在顺水中的速度为（v+3），船在逆水中的速度为（v-3）， ∵轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时， ∴可列方程10(v+3)<12(v-3)， 故答案为：10(v+3)<12(v-3)． 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（24-25七年级下·湖北十堰·自主招生）我们把（为实数）叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，表示不超过的最大整数，如，，，以下说法正确的是（   ） A．对于任意的实数，都有 B．对于任意的实数，，若，则 C．满足不等式的所有实数的范围为或 D． 【答案】BCD 【分析】本题主要考查了新定义、无理数估算、解一元一次不等式、数字规律等知识点，掌握新定义以及运用反例法是解题的关键． 运用反例法可以判断A选项；根据新定义以及不等式的性质可判断B选项；设（k为整数），不等式化为，即．再结合分类讨论即可判断C选项；根据新定义以及数字规律进行计算可判断D选项． 【详解】解：A．当时，，，则，故A选项错误，不符合题意； B． 若，则，，两式相减得，因此，故B选项正确，符合题意； C．设（k为整数），不等式化为，即． 结合， 当时，，代入得，故； 当时，，代入得，故； 当时：，代入得，故； 当时：，代入得，故； 当或时，不等式不成立． 综上，x的范围是或，故 C正确，符合题意； D．由题意可得：，，， …… ， ∴ ，即D选项正确，符合题意． 故答案为：BCD． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 _______ 元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，根据题意列方程即可求解． 【详解】设徽章和抱枕的价格均为元，风铃的价格为元，公仔的销售数量为件，则公仔的价格为元，徽章的销售数量为件，风铃和抱枕的销售数量均为件，由题意得： 整理得： 徽章和风铃的销售总额为： 把代入得： 当时 徽章和风铃销售总额最大，最大值为：（元） 故答案为：． 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②且 【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解； （2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值 ②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可． 【详解】（1）解：若，， 则，， 则轴， ． （2）解：①若， 则， ∴，， ∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点． ∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，， ∴，， ∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点． ，， 解得，． ②由①得，． （ⅰ）如图，当时， ， ∵， ， 解得， 时，成立； （ⅱ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅲ）如图，当时， 此时，，且由图知， ∴，成立； （ⅳ）如图，当时， ， ， ， 解得， ∴当时，成立； 综上，当时，b的取值范围是：且． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M外任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M， N间的“邻近距离”，记为．已知点，，，． (1)＝ ； (2)若点G在x轴上，且，直接写出点G的横坐标a的取值范围； (3)依次连接 A，B，C，D 四点，得到正方形（不含图形内部），记为图形M，点，点均不与点O重合，线段，组成的图形记为图形N，若，求出t的取值范围． 【答案】(1)2 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据“邻近距离”定义即可得出答案； （2）根据“邻近距离”定义，当时，，当或时，，即可得出答案； （3）画出图形，结合“邻近距离”定义，分类讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴点到线段距离为2， ∴根据“邻近距离”定义得：， 故答案为：2； （2）解：∵，， ∴根据“邻近距离”定义得：当时，，当或时，， ∴或； （3）解：根据“邻近距离”定义得若点E，F在正方形的外部，此时，不符合题意； ∴点E，F在正方形的内部且不与点O重合， ∴， 解得：且且， 如图1，当时， ∵， ∴根据“邻近距离”定义得：， 解得：， 此时； 当时，如图2， ∵， ∴根据“邻近距离”定义得：， 解得：或， 当时，如图3， ， 此时， 综上所述，或或或． 题型十一 求不等式组的解集 【典例分析】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∵，， ∴①②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：①②； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，则， ∴不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点， 对点 P进行“T变换”，,则称点为点P的“T变换点”， 例如∶ 点的T变换点为． (1)求点的T变换点∶ (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围； (3)在正方形中，点，，， ，点M的T变换点为,点 N的T变换点为． ①若点M到x轴的距离等于点B到x轴的距离，求t的值： ②若线段上的所有点(含端点)都在正方形的边上或内部，请直接写t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；② 【分析】本题考查坐标系的新定义问题，熟练掌握坐标系中点的特征是解题的关键， （1）根据题中坐标新定义计算即可得到答案； （2）设点的T变换点为，由变换点的定义求得的值，再根据的T变换点在第四象限，利用点的坐标特征求得的取值范围； （3） ①根据变换点的定义求出坐标，再由点M到x轴的距离等于点B到x轴的距离，且，即可求出t的值；②根据变换点的定义求出坐标，再由线段上的所有点(含端点)都在正方形的边上或内部，可得到点，点的横纵坐标的取值范围，进而得到t的取值范围． 【详解】（1）解：∵“T变换点”，代入得： ∴新坐标：； 新坐标：， ∴变换点为：． （2）解：设点的T变换点为：， ∴， ， ∵变换点在第四象限， ∴， 即，， 解得：， ∴． （3）解：①∵点M的T变换点为，设， 则，， 解得： ∴， ∵点M到x轴的距离等于点B到x轴的距离，且， ∴， 解得：或； ②∵点 N的T变换点为． 同理可得：， ∵线段上的所有点(含端点)都在以点，，，，为顶点的正方形的边上或内部， ∴的范围：且， 解得：， 的范围：且， 解得：， 综上所述：． 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 【变式训练】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 题型十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用一元一次不等式组的整数解求参数，解一元一次不等式得，再根据不等式组解的情况得，进而求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组恰有4个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 题型十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式组的整数解问题，根据条件可得，可得，再结合正整数可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式的整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴ 解得：； 故答案为： 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，化简绝对值，无理数的估算，不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解不等式组，可知，结合不等式的所有解都是正数，可知，从而解得的范围； （2）由（1）的范围，可知，，然后化简绝对值即可； （3）由（1）的范围，可知可以是5，6，解不等式可知，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，那么，从而解得答案． 【详解】（1）解：， 解①得， ， 解②得，， ， 关于的不等式组的所有解都是正数， ， ； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ，， ， ， 可以是5，6， ， 所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解， ， ． 题型十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 【答案】(1)， (2)卡片上最小数为 【分析】本题考查逻辑推理的方法，不等式的应用；四个数两两相加得到六个和，六个和两两组合必然得到3个相同结果，据此分析出计算错误的同学，求出应得到的正确结果是解决问题的关键． （1）如果都计算正确，这6个和两两组合会得到3个相同结果，因为有一名同学的答案错了，会有两个结果相同，不相同的结果里必有一个数是错误的，据此可以分析出计算错误的同学，并求出应得到的正确结果； （2）设这4张不同颜色卡片数为，分析出他们两两相加得到的几个算式，问题可以得到解决． 【详解】（1）解：设这4张不同颜色卡片数为，，，， 则任选两个不同数相加，会出现种不同的和，分别为：，，，，，， 将这种不同的和两两组合并相加，发现， 故，在计算都正确的情况下，这种不同的和两两组合并相加会得到个相同的结果， 发现， 而， 故、中有一人错了，因为不是错，所以是错，正确为． 故答案为： ，136 （2）设这4张不同颜色卡片数为，所以 ，， 最小的数加第三小的数相加必然得第二小的和，所以， 最大的数加第三大的数相加必然得第二大的和，所以 ， 所以 或， 由得， 而与奇偶性一样， 故， 而， 故． 故卡片上最小数为． 【变式训练】（24-25七年级下·福建泉州·期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)； (2)这个公共解为； (3)；． 【分析】（1）把代入，求解即可； （2）由方程的解与a无关，可得方程组，根据解方程组，可得答案； （3）化简整理用含x，y的代数式表示a，之后将两种情况下的x、y代入a，可得，再根据题意得到，解之即可求解． 【详解】（1）解：∵是该方程的一个解， ∴， 解得：； （2）解：原方程整理得， 由题意得，方程的解与a无关， ∴， 解得， ∴这个公共解为； （3）解：， 即， ∴， ∴； 当，时，， 此时，即， ∴， 当，时，， 此时，即， ∴， ∴， ∵m恰好有4个整数解， ∴4个整数解为， ∴， 解得． 题型十六 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…，这样依次得到点…，． （1）若点的坐标为，则点的坐标为________，点的坐标为________． （2）若点的坐标为，求点的坐标． （3）若点的坐标为，对于任意的正整数n，当a，b满足什么条件时，点均在x轴上方． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）根据题中信息，对于点，我们把点叫做点P的伴随点的定义，通过反复运算可以直接求出； （2）根据点的坐标为，依次求出，通过观察呈现出循环组，利用循环组作为解题的突破口； （3）根据（2）每4个点为一个循环组依次循环，要使得点均在x轴上方，只要求每个点的纵坐标大于，分别列出关于的不等式组，求解即可． 【详解】解．（1），． 点的坐标为， 根据题中对于点，我们把点叫做点P的伴随点的定义进行反复使用，求出： ． （2）∵点的坐标为， ∴，… 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环． ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． （3）∵点的坐标为， ∴，… 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环． ∵对于任意的正整数n，点均在x轴上方， ∴ 解得． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 【答案】(1)① (2)数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗 【分析】（1）设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，列不等式组即可求解. （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，得： ， 解得， 又 为奇数， 共个. ①是正确的,②③是错误的. 答：说法正确的是①. （2）解：设数量少的群里有条狗， 则其余三个群里各有条狗． 由题意，得， 解得，则， 答：数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗． 题型十七 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·暑假作业）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过2.6万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元 (2)一共有 4 种方案，分别为：①新建地上充电桩 7 个，则地下充电桩 3 个；②新建地上充电桩 8 个，则地下充电桩 2 个；③新建地上充电桩 9 个，则地下充电桩 1 个；④新建地上充电桩 10 个，则地下充电桩 0 个 【分析】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． （1）设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上充电桩个，则地下充电桩个，根据投资金额不超过万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元， 根据题意，， 解得， 答：新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元． （2）解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个， 根据题意，得， 解得：． ∴整数的值为， ∴一共有 4 种方案，分别为：①新建地上充电桩 7 个，则地下充电桩 3 个； ②新建地上充电桩 8 个，则地下充电桩 2 个； ③新建地上充电桩 9 个，则地下充电桩 1 个； ④新建地上充电桩 10 个，则地下充电桩 0 个． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）2022年4月5日清明节，人民日报客户端发文“1173＋15239”！4月6日，人民日报客户端又发文“1383＋19089”！4月7日，人民日报客户端再度发文“1284＋21711”！“变异新型冠状病毒——奥密克戎”疫情严重！某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元． (1)甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？ (2)该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？ 【答案】(1)甲品牌的消毒液的单价为元，乙品牌的消毒液的单价元 (2)共有种方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出二元一次方程组及根据不等关系列出不等式组． （1）设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元，由“若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元”可列得二元一次方程组，解出方程组即可求得答案． （2）设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶，根据“购买这两种商品的资金不超过1900元；购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半，”可列得不等式组，求出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙品牌的消毒液的单价分别为元，元， 由题意得， 解得， 答：甲品牌的消毒液的单价为元，乙品牌的消毒液的单价元． （2）设购进甲品牌的消毒液瓶，则购进乙品牌的消毒液瓶， 由题意得， 解得， 取正整数， 可取， 可取33，32，31，30， 即方案1：购进甲品牌的消毒液17瓶，购进乙品牌的消毒液33瓶； 即方案2：购进甲品牌的消毒液18瓶，购进乙品牌的消毒液32瓶； 即方案3：购进甲品牌的消毒液19瓶，购进乙品牌的消毒液31瓶； 即方案4：购进甲品牌的消毒液20瓶，购进乙品牌的消毒液30瓶； 共有种方案． 题型十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元 (2)①超市共有3种进货方案， 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元，利用总价＝单价×数量，结合购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即精装版豌杂面每箱的售价），再将其代入中，即可求出简装版豌杂面每箱的售价； （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面，根据“进货总资金不超过4020元，且试销总利润不低于790元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案； ②求出选择各方案超市可获得的总利润，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设精装版豌杂面每箱的售价是元，则简装版豌杂面每箱的售价是元， 根据题意得：，解得， 则． 答：精装版豌杂面每箱的售价是205元，简装版豌杂面每箱的售价是160元． （2）①设购进箱精装版豌杂面，则购进箱简装版豌杂面， 根据题意得：， 解得：． 又为正整数， 可以为6，7，8． ∴超市共有3种进货方案． 方案1：购进6箱精装版豌杂面，22箱简装版豌杂面； 方案2：购进7箱精装版豌杂面，21箱简装版豌杂面； 方案3：购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面． ②选择方案1获得的总利润为：（元）； 选择方案2获得的总利润为：（元）； 选择方案3获得的总利润为（元）； ， ∴当购进8箱精装版豌杂面，20箱简装版豌杂面时，超市获得最大利润，最大利润是820元． 【变式训练】（2025七年级下·重庆·专题练习）为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元． (1)求甲、乙两品牌排球的单价； (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 【答案】(1)甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元 (2)有4种购买方式：方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球；方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球；方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球；方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球；最少费用为2936元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元，根据题意可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球，根据题意可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，可得出共有4种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲品牌排球的单价是元，乙品牌排球的单价是元， 依题意得：，解得． 答：甲品牌排球的单价是60元，乙品牌排球的单价是80元． （2）设购买个甲品牌排球，则购买个乙品牌排球， 依题意得：，解得． 为正整数， ，31，32，33． ∴共有4种购买方式： 方案一：购买30个甲品牌排球，则购买20个乙品牌排球； 方案二：购买31个甲品牌排球，则购买19个乙品牌排球； 方案三：购买32个甲品牌排球，则购买18个乙品牌排球； 方案四：购买33个甲品牌排球，则购买17个乙品牌排球． 方案一费用：（元）； 方案二费用：（元）； 方案三费用：（元）； 方案四费用：（元）； ∵， ∴最少费用为2936元． 题型十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（24-25七年级下·北京西城·月考）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①初一学生人数多于初二学生人数的2倍； ②初三学生人数多于教师人数； ③教师人数的四倍多于初一学生人数． （1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________； （2）该小组人数的最小值为____________． 【答案】 5 7 【分析】①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解； ②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意列出不等式组，即可求解． 【详解】解：①设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得： ，且， 解得：， ∵x、y均为整数， ∴初二学生人数的最大值为5； 故答案为：5； ②设初一有x人，初二有y人，初三有z人，教师有a人，根据题意得： ， 当时， 即有：， ∵x、y、z、a均为正整数， 即解得：， 此时团队总人数为：（人）； 当时， 即有：， ∵x、y、z、a均为正整数， 即解得：， 此时小组总人数最小值为：（人）， 可知随着老师的人数增加，小组总人数也增加， 即该小组人数最小值为7人； 故答案为：7． 【变式训练】（24-25七年级下·北京海淀·期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 【答案】(1)即调整后的技术人员最多有人； (2)． 【分析】（1）根据题意，求得这名研发人员的年总投入和调整前100名技术人员的年总投入，列不等式求解即可； （2）由①可得，由②，根据题意，求解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，（） 解得：， 又∵， ∴ 即调整后的技术人员最多有人； （2）解：由①可得，由② 即，解得 又∵为正整数且， ∴当时，最大，为； 当时，最小，为， 综上，存在，满足题意． 模块三 能力提升 闯关训练 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法： ①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3． ②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值． ③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可． 【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值， ∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确； ②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5， 经过第二次操作，新数串为1，2，3， 则可知，第二次操作，5被替换， 即5为最大数， ∴或， 解得：， ∴新数串为，，， 当，或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当，或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； ∴当x为最大值时，或或或； 当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x， ∵经过第二次操作后仍然存在2， ∴或， 当时，或， 由得， ∵x为正整数， ∴， 当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意； ∴不符合题意； 不等式组无解； 当时，或， 不等式组无解； 由得：， ∵x为正整数， ∴或， 当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意； 当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意； 综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确； ③当时，第一次操作后新数串为14，2，5， 进行第二次操作后为4，2，5， 进行第三次操作后为4，2，3， 进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意， ∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作， ∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误； 综上分析可知，正确的个数为2个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是(   ) A．②③④ B．①②④ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值； ②取特殊值验证，证实或证伪； ③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解； ④把方程问题转化为不等式问题； ⑤分情况讨论，验证[1+a]-[1-a的所有取值． 【详解】对于①，[-2.3]+[2]=-3+2=-1，故正确； 对于②，当a=1时，[a]+[-a]=0，故不正确； 对于③，当x=1.1，2.1，3.1，...时，方程均成立，故正确； 对于④，由[a+2]=2，得2≤a+2＜3，即0≤a＜1，故正确； 对于⑤，当a=-1时，[1+a]-[1-a]=0-2=-2； 当-1＜a＜0时，[1+a]-[1-a]=0-1=-1； a=0时，[1+a]+[1-a]=0； 当0＜a＜1时，[1+a]-[1-a]=1-0=1． 故[1+a]-[1-a]的值为-1或0或1或-2，故⑤不正确． 综上所述，正确的是①③④ 故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆綦江·期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】解二元一次方程组求出x，y的值，根据x>y得到关于m的不等式，根据不等式组只有4个整数解求出m的取值范围，取交集，找出符合条件的所有整数m，即可求解． 【详解】解：解方程组得， ∵ x>y， ∴， ∴， 解不等式组得， ∴， ∵关于x的不等式组有且只有4个整数解， ∴， ∴， ∴， ∴整数m为5和6， ∴符合条件的所有整数m的和为11． 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海·期中）关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 【答案】6 【分析】本题考查了含参数的一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解出不等式组的解集，然后根据整数解的情况分析参数的取值即可． 【详解】解：不等式组， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 整数解只有1和2，则有：， 解得：， 当和均为整数时，或或，或， ∴整数对有对． 故答案为：6 ． 5．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知关于x的不等式组至少有2个奇数解，且关于y的一元一次方程有非正整数解，则所有满足条件的整数a之和为______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解法． 根据不等式组至少有2个奇数解，得到关于a的不等式组，求出a的取值范围，再根据有非正整数解，确定a的值，求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵该不等式组至少有2个奇数解， ∴该不等式组至少有2个奇数解为，， ∴， 解得， 由可得， ∵关于y的一元一次方程有非正整数解， ∴或或， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）关于的一元一次不等式，当或时，满足的整数解恰好有3个，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、一元一次不等式的整数解，解题时要熟练掌握并能灵活运用分类讨论的思想是关键． 依据题意，结合数轴对满足不等式的3个整数解进行分类讨论，再结合所得关于的不等式即可计算得解． 【详解】解：由题意，在数轴画出不等式的解集，如图所示． 或，且满足的整数解恰好有3个， 左右两部分的整数解可分以下四种情形． ①左边无解，右边三个解为7，8，9． ． 此时无解，不合题意； ②左边一个解为，右边两个解为7，8． ． ． ③左边两个解为：，，右边一个解为7． ． 此时无解，不合题意； ④左边三个解为：，，，右边无解． ． 此时无解，不合题意． 综上，． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x、y的二元一次方程组的解为整数（x、y均为整数），则符合条件的整数m的值有______． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并能根据x、y均为整数确定整数的值； 先解不等式组，结合其解集得出，再解方程组得出其解，结合解均为整数和确定m的最终取值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 解方程组，得， 为整数，为整数， 可取， 可取， 满足且为整数的的值为． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 9．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， (1)_____；_____； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)的取值范围为 (3)的值为． 【分析】本题主要考查新定义，不等式组和一元一次方程的能力，根据新定义列出不等式组和一元一次方程是根本，由已知等式找到的两个分界点以准确分类讨论是解题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义列出关于的不等式组，解之可得； （3）分情况讨论，分别列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； ，， ； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 当时，，即； 当时，，即； 又∵， ∴， 当时，， 当时，； 当时，，， ∴， 解得，满足； 当时，，， ∴， 解得，不满足，舍去； ∴的值为． 10．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知关于x，y的方程组的解中，． (1)a的取值范围为_____________． (2)化简：． (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为 【分析】（1）把看作已知数表示出方程组的解，根据，，求出的范围即可； （2）根据（1）中的取值可解答； （3）先根据不等式的基本性质求出的取值范围，再结合（1）中的取值范围即可得到整数的值． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵，， ∴ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为，即a的取值范围为． （2）解：由（1）可知，， ∴，， ∴原式． （3）解：∵， ∴． ∵不等式的解集为， ∴， 解得， 又∵， ∴， ∵为整数， ∴． ∴当时，不等式的解集为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册专项培优讲义 第十一章 一元一次不等式『压轴题题型讲练』 〔19个题型讲练+能力提升练 共48题〕 【人教版七年级下册●新教材】 模块一 目录索引 知晓题型 2 题型一 不等式及其解集 2 题型二 不等式的性质 2 题型三 一元一次不等式的定义 2 题型四 求一元一次不等式的解集 2 题型五 求一元一次不等式的整数解 3 题型六 在数轴上表示不等式的解集 3 题型七 求一元一次不等式解的最值 4 题型八 列一元一次不等式 4 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 5 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 5 题型十一 求不等式组的解集 6 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 7 题型十三 由一元一次不等式组的解集求参数 8 题型十四 由不等式组解集的情况求参数 8 题型十五 不等式组和方程组结合的问题 9 题型十六 列一元一次不等式组 10 题型十七 不等式组的经济问题 11 题型十八 不等式组的方案选择问题 12 题型十九 一元一次不等式组的其他应用 13 能力提升训练 14 模块二 压轴题型 分类讲练 题型一 不等式及其解集 【典例分析】（24-25七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集是___________ 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·开学考试）对于任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如“智慧数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为，，所以． (1)计算：______；______； (2)若“智慧数”（，，，都是正整数），也是“智慧数”，且能被12整除，求满足条件的的值． 题型二 不等式的性质 【典例分析】（23-24七年级下·北京·期末）已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为______． 【变式训练】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，，，则对于任意的实数x，的值为_________． 题型三 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为_______． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则__________． 题型四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【变式训练】（23-24七年级下·福建厦门·期末）已知实数，，，满足，若关于的不等式的解集为，则关于关于的不等式的解集是_________________． 题型五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（23-24七年级下·福建泉州·期末）阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江嘉兴·期末）用表示不超过的最大整数，如，，正整数小于100，并满足等式，这样的正整数有（    ） A．13个 B．14个 C．15个 D．16个 题型六 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（23-24七年级下·江苏南京·期中）在数轴上，点M和N分别表示数m，n，可以用绝对值表示点M，N两点间距离d，即． (1)在数轴上，点A，B，C，D分别表示数，7，x，y，解决以下问题： ①_____； ②若，则_____； ③若，求y的值． (2)在数轴上，点A，B分别表示数a，b，点E是数轴上一点，满足，请在数轴上表示出所有符合条件的点E．（在数轴上把选定区域用铅笔加粗，并标注必要的数据，用含a，b的代数式表示） 题型七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期中）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，，是“快乐数”；又如：四位数，∵，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则这个数为_________；如果一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是_________． 题型八 列一元一次不等式 【典例分析】（24-25七年级下·福建泉州·期末）为庆祝伟大的中国共产党成立 100 周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竞赛．知识竞赛共 20 道题，每一题答对得 10 分，不答得0分，答错扣 5 分，小聪有 3 道题没答，竞赛成绩超过 90 分．设他答对了 x 道题，则根据题意可列出不等式为（　　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·福建福州·期末）一艘轮船从某江上游的地匀速驶到下游的地用了10小时，从地匀速返回地用了不到12小时，这段江水流速为，设轮船在静水里的往返速度为，且此速度一直保持不变，请列出符合题意的一元一次不等式_______． 题型九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（24-25七年级下·湖北十堰·自主招生）我们把（为实数）叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数，表示不超过的最大整数，如，，，以下说法正确的是（   ） A．对于任意的实数，都有 B．对于任意的实数，，若，则 C．满足不等式的所有实数的范围为或 D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 _______ 元． 题型十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（24-25七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中， O为坐标原点． 已知点，， 连接． (1)若，，则线段___________； (2)若， ①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值； ②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·期末）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M外任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M， N间的“邻近距离”，记为．已知点，，，． (1)＝ ； (2)若点G在x轴上，且，直接写出点G的横坐标a的取值范围； (3)依次连接 A，B，C，D 四点，得到正方形（不含图形内部），记为图形M，点，点均不与点O重合，线段，组成的图形记为图形N，若，求出t的取值范围． 题型十一 求不等式组的解集 【典例分析】（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为．不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)下列方程是不等式组的“相伴方程”的是_____；（填序号） ①；②；③ (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，其中，求的取值范围． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知点， 对点 P进行“T变换”，,则称点为点P的“T变换点”， 例如∶ 点的T变换点为． (1)求点的T变换点∶ (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围； (3)在正方形中，点，，， ，点M的T变换点为,点 N的T变换点为． ①若点M到x轴的距离等于点B到x轴的距离，求t的值： ②若线段上的所有点(含端点)都在正方形的边上或内部，请直接写t的取值范围． 题型十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 题型十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【变式训练】（24-25七年级下·四川乐山·期末）关于x的一元一次不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（24-25七年级下·浙江嘉兴·月考）若关于的不等式的整数解是1，2，3，4，则的取值范围为___________． 【变式训练】（24-25七年级下·安徽合肥·月考）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 题型十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（2025七年级下·全国·专题练习）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有三张，相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数，老师把这张卡片发给、、、、、六名同学，每个同学得到两张颜色不同的卡片，然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和，六名同学交上来的答案如下表所示： 学生 答案 老师看完六名同学的答案后说：“只有一名同学的答案错了，但这个同学肯定不是．”那么： (1)同学______的答案是错误的，该同学应得到的正确结果是______； (2)四种颜色卡片上所写各数中最小的一个数是多少？ 【变式训练】（24-25七年级下·福建泉州·期中）数学课上老师写了一个关于x，y的二元一次方程，（其中a为常数且）． (1)若是该方程的一个解，求a的值： (2)聪明的小明发现，当a每取一个值时，都可得到一个方程，而这些方程有一个公共解，请你帮小明求出这个公共解； (3)由得到用含x，y的代数式表示a，则______；当，时，；当，时，，在上述条件下，若m恰好有4个整数解，求n的取值范围． 题型十六 列一元一次不等式组 【典例分析】（24-25七年级下·河南开封·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为…，这样依次得到点…，． （1）若点的坐标为，则点的坐标为________，点的坐标为________． （2）若点的坐标为，求点的坐标． （3）若点的坐标为，对于任意的正整数n，当a，b满足什么条件时，点均在x轴上方． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 题型十七 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·暑假作业）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过2.6万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【变式训练】（24-25七年级下·贵州毕节·月考）2022年4月5日清明节，人民日报客户端发文“1173＋15239”！4月6日，人民日报客户端又发文“1383＋19089”！4月7日，人民日报客户端再度发文“1284＋21711”！“变异新型冠状病毒——奥密克戎”疫情严重！某公司在疫情复工准备工作中，为了贯彻落实“生命重于泰山、疫情就是命令、防控就是责任”的思想，计划同时购买一定数量的甲、乙品牌消毒液，若购进甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购进甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元． (1)甲、乙品牌消毒液的单价分别是多少元？ (2)该公司计划购进甲、乙品牌消毒液共50瓶，而可用于购买这两种商品的资金不超过1900元，且要求购买甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半．试问：该公司有几种购买方案？ 题型十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·期中）重庆豌杂面以其劲道的面条、软糯的豌豆和香浓的杂酱，成为重庆小吃中极具代表性的美食．某超市计划试销两种包装规格的预包装重庆豌杂面（简装版、精装版），已知精装版豌杂面每箱售价比简装版贵45元，购买2箱精装版和5箱简装版的总费用为1210元． (1)求精装版和简装版豌杂面每箱的售价分别是多少元？ (2)经了解，精装版每箱进价为165元，简装版豌杂面每箱进价为135元，超市计划购进两种包装共28箱，且进货总资金不超过4020元，同时要求试销总利润不低于790元． ①求超市可行的进货方案有哪些？ ②哪种进货方案能让超市获得最大利润？最大利润是多少元？ 【变式训练】（2025七年级下·重庆·专题练习）为了更好地开展阳光体育活动，某校计划购买一批排球．已知购买4个甲品牌排球的费用与购买3个乙品牌排球的费用相同，学校首次购买甲品牌排球20个、乙品牌排球30个共花费3600元． (1)求甲、乙两品牌排球的单价； (2)因排球运动受到学生们的欢迎，根据需要，学校决定再次购买甲、乙两品牌排球共50个，正逢商场举行促销活动，甲品牌排球每个优惠4元，乙品牌排球每个打8折．如果要求购买甲乙两品牌50个排球的总费用不超过2960元，且购买乙品牌排球的数量不少于甲品牌排球数量的，则有哪几种购买方案？最少需要多少费用？ 题型十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（24-25七年级下·北京西城·月考）某校围棋社团由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ①初一学生人数多于初二学生人数的2倍； ②初三学生人数多于教师人数； ③教师人数的四倍多于初一学生人数． （1）若教师人数为3，则初二学生人数的最大值为_____________； （2）该小组人数的最小值为____________． 【变式训练】（24-25七年级下·北京海淀·期末）为适应发展的需要，某企业计划加大对芯片研发部的投入，据了解，该企业研发部原有100名技术人员，年人均投入万元，现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（为正整数且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元． (1)若这名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入，则调整后的技术人员最多有______人； (2)是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内任意调整后，都能同时满足以下两个条件： ①研发人员的年人均投入不超过； ②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入．请说明理由． 模块三 能力提升 闯关训练 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法： ①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3． ②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值． ③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即[a]表示不超过a的最大整数．例如：[1.3]＝1，[﹣1.3]＝﹣2，对于后面结论：①[﹣2.3]+[2]＝﹣1；②因为[1.3]+[﹣1.3]＝﹣1，所以[a]+[﹣a]＝﹣1；③若方程x﹣[x]＝0.1有解，则其解有无数多个；④若[a+2]＝2，则a的取值范围是0≤a＜1；⑤当﹣1≤a＜1时，则[1+a]﹣[1﹣a]的值为1或2．正确的是(   ) A．②③④ B．①②④ C．①③④⑤ D．①③④ 3．（24-25七年级下·重庆綦江·期末）如果关于x、y的方程组中x>y，且关于x的不等式组有且只有4个整数解，则符合条件的所有整数m的和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（24-25七年级下·上海·期中）关于的不等式组的整数解有且只有1和2，那么适合这个不等式组的整数对共有_______对． 5．（25-26七年级下·重庆·开学考试）已知关于x的不等式组至少有2个奇数解，且关于y的一元一次方程有非正整数解，则所有满足条件的整数a之和为______． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）关于的一元一次不等式，当或时，满足的整数解恰好有3个，则的取值范围为___________． 7．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x、y的二元一次方程组的解为整数（x、y均为整数），则符合条件的整数m的值有______． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 9．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题： 对于三个数a、b、c中，我们给出符号来表示其中最大（小）的数，规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数． 例如：；；， (1)_____；_____； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的值． 10．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知关于x，y的方程组的解中，． (1)a的取值范围为_____________． (2)化简：． (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式的解集为？ 第 1 页 共 12 页 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