专题7.8 相交线与平行线（十六大压轴题题型训练 共32题）-2025-2026学年人教版（2024）数学七年级下册同步培优讲义

专题7.8 相交线与平行线（压轴题题型训练） 【解析版】 题型一 对顶角相等 1 题型二 找邻补角 4 题型三 利用邻补角互补求角度 6 题型四 同位角、内错角、同旁内角 11 题型五 同位角相等两直线平行 13 题型六 内错角相等两直线平行 14 题型七 同旁内角互补两直线平行 18 题型八 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 21 题型九 两直线平行同位角相等 24 题型十 两直线平行内错角相等 28 题型十一 两直线平行同旁内角互补 33 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 38 题型十三 根据平行线的性质求角的度数 43 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 47 题型十五 根据平行线判定与性质求角度 54 题型十六 根据平行线判定与性质证明 57 题型一 对顶角相等 1．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题主要考查了相交线成的角．熟练掌握邻补角，平角，余角，角的和与差倍分关系，是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，结合，即可求解； （2）根据，可得， （3）由已知可得，得，得，即得． 【完整解答】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数为；②见解析； (2)或． 【思路引导】（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出；②利用平分，可得：，再利用垂直得到：，即可证明，平分． （2）需要分类讨论，当点E，F在直线的同侧和点E，F在直线的异侧两种情况，再分别表示出与，再消去即可． 【完整解答】（1）解：①∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的度数为； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设，则， 当点E，F在直线的同侧时，如图： ， ∴，① ，② 令①×3+②×2可得：， 当点E，F在直线的异侧时，如图： ， ∴，① ，② 令②×2+①可得：， 综上所述：或． 【考点再现】本题考查几何图形角度的计算，与余角有关的计算，对顶角，角平分线的定义，（2）稍有难度，关键是对E点的位置进行讨论，考查学生的计算能力． 题型二 找邻补角 3．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【思路引导】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【完整解答】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 4．如图，直线，相交于点，，平分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角： （1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数． 【完整解答】（1）解：由图可知：的对顶角为，邻补角有； 故答案为：；； （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 题型三 利用邻补角互补求角度 5．已知与互为补角，平分． (1)如图①，若，则______°，______°． (2)如图②，若，求的度数； (3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)答案见解析 【思路引导】（1）根据补角的定义可求度数，在利用角平分线的定义可求解度数，进而求解的度数； （2）分两种情况：当在的外部时，当在的内部时，利用补角的定义结合角平分线的定义可求解； （3）可分两种情况：当和互为邻补角时，即和在的不同侧时；当和在的同一侧时。而对于当和在的同一侧时可分为：当 时；当时；当时分别计算求解即可． 【完整解答】（1）解：与互为补角， ， ， 平分， ， ， 故答案为：，； （2）解：当在的外部时， 与互为补角， ， 平分， ， ， 当在的内部时， 与互为补角， ， 平分， ， ， 的度数为或； （3）当和互为邻补角时，即和在的不同侧时， ， ， 平分， ， ， 即此时； 当和在的同一侧时， 当，如图，此时,， 平分， ,和重合， ； 当时，如图， ,， 平分， ， ， ， 即，此时， 当，如图，，， 平分， ， ， 即，此时， 综上，当和在的不同侧时， ，此时； 当和在的同一侧时， 当时，； 当时，； 当时，． 【考点再现】本题主要考查角的计算，三角形的外角定义，角平分线的性质，分类讨论是解决问题的关键． 6．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 【答案】（1）；（2）①80°；②． 【思路引导】（1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数； （2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°，进而可得∠AOE的度数； ②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得，再由①的思路可得答案． 【完整解答】解：（1）因为平分，， 所以，， 所以． 故答案为：； （2）①因为，， 所以， 所以， 所以． ②． 因为，， 所以， 所以， 所以． 【考点再现】本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 7．如图，(1)指出DC和AB被AC所截得的内错角； (2)指出AD和BC被AE所截得的同位角； (3)指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC与∠DAB各是什么关系的角，并指出各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 【答案】(1)∠1和∠5；(2)∠DAB和∠9；(3)∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的；∠2与∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的；∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的 【思路引导】（1）根据内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的位置的角，可得答案； （2）根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案； （3）根据同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的位置的角，根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案． 【完整解答】(1) DC和AB被AC所截得的内错角是∠1和∠5； (2) AD和BC被AE所截得的同位角是∠DAB和∠9； (3)∠4和∠7是内错角，是直线DC和AB被DB所截形成的； ∠2与∠6是内错角，是直线AD和BC被AC所截形成的； ∠ADC和∠DAB是同旁内角，是直线DC和AB被AD所截形成的. 【考点再现】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 8．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【完整解答】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 题型五 同位角相等两直线平行 9．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【完整解答】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 10．如图，已知点是直线外一点．请用直尺和三角板作出直线和直线，使得直线经过点，且与直线平行，直线也经过点且与直线垂直．（不用写作法） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了用直尺和三角板作平行线和垂线．熟练掌握平行线的判定和性质，垂直定义，是解题的关键． 把三角板的一条直角边与直线重合；用直尺紧靠三角板的另一条直角边；固定直尺，然后平移三角板，使三角板原来与直线重合的直角边经过点P；沿着三角板经过点P的这条直角边画直线，则直线就是经过点P且与直线平行的直线．这是根据“同位角相等，两直线平行”的原理，在平移三角板的过程中，同位角始终相等，所以得到 的直线与直线平行． 把三角板的一条直角边与直线重合；平移三角板，使三角板的另一条直角边经过点P；沿着三角板经过点P的这条直角边画直线，则直线就是经过点P且与直线垂直的直线．因为三角板的两条直角边是互相垂直的，当一条直角边与直线重合，另一条直角边经过点P时， 所画的直线与直线垂直． 【完整解答】解：如图，直线，即为所求作 题型六 内错角相等两直线平行 11．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 【答案】(1)；；垂直的定义；内错角相等，两直线平行 (2)A (3)见解析 【思路引导】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，垂直的定义，平行线的判定方法进行作答即可； （2）根据同位角相等，两直线平行，进行作答即可； （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线；第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线，即可． 【完整解答】（1）证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（垂直的定义） ， ，理由是：（内错角相等，两直线平行）； （2）由题意和作图可知：小婷这样做的理由是同位角相等，两直线平行； 故选A． （3）第一步：把三角板的一直角边放置在直线上，另一条直角边经过点P，画直线； 第二步：把三角板沿射线向上平移，使直角顶点与点P重合，画直线； 则就是经过点P且平行于的一条直线． 12．【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 【答案】（1），理由见详解（2）（3） 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角平分线的有关计算及角关系探究等；掌握平行线的判定，能熟练利用角平分线的定义进行求解是解题的关键． （1）由补角的性质得，由平行线的判定方法，即可求解； （2）由角平分线的定义得，，由，即可求解； （3）当时，即可求解． 【完整解答】解：（1）； 理由如下：， ， ； （2）平分， 平分， ， ， ， ； （3）当时，为直角三角形， ； ， ， 为直角三角形． 题型七 同旁内角互补两直线平行 13．综合与探究： 将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 或 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角度的和差计算，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）依据，即可得到的度数，即可求解； （2）依据，即可得到的度数，即可得证； （3）依据平行线的判定，分两种情况讨论即可． 【完整解答】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ； （3）解：分两种情况： 如图所示，当时，，所以， 如图所示，当时，，所以， 综上所述，的度数等于或时，． 14．如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【完整解答】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 题型八 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【思路引导】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【完整解答】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 16．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了垂线的定义，平行线的判定，三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可证明此时，则A、C、E三点共线，再由角的和差关系求解即可； （2）分，，，，和这六种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∴A、C、E三点共线， ∵， ∴， ∴时，； （2）解：如图所示，当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当时，， ∴； 如图所示，当时，； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∴． 题型九 两直线平行同位角相等 17．如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【思路引导】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【完整解答】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 18．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【思路引导】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【完整解答】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 两直线平行内错角相等 19．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【完整解答】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【考点再现】本题主要考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义、平行公理的应用，过拐点构造平行线，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20．综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【完整解答】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 题型十一 两直线平行同旁内角互补 21．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【思路引导】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【完整解答】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 22．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ． (2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数． (3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)15° (2)67.5° (3)5秒或15秒或20秒 【思路引导】（1）如图2，过点作，利用平行线性质即可求得答案； （2）如图3，分别过点、作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为秒，由题意旋转速度为转半圈，即每秒转，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可． 【完整解答】（1）如图2，过点作， ， ， ，， ， ， 又． ； 故答案为：； （2）解：如图3，分别过点、作，， ，， ，，， ， ，， 和的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为秒转半圈，即每秒转， 分三种情况： 当时，如图5， 此时， ， ， 解得：； ②当时，如图6， ， ， ， ， 解得：； ③当时，如图7， 延长交于，延长交于， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上所述，绕点顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 【考点再现】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 23．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【思路引导】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 24．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【思路引导】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键． （1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【完整解答】（1）解：如下图，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长交于点，如下图， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即的度数为； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 题型十三 根据平行线的性质求角的度数 25．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)①，理由见详解；② 【思路引导】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练利用平行线的判定及性质探究角之间的关系是解题的关键． （1）过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，即可得证； （2）①过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，，，即可求解； ②当在线段上（不与重合）时，过作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，，，即可求解； 当在的右边时，同理可求． 【完整解答】（1）证明：过作， ， ， ，， ； （2）解：①； 理由如下：过作， ， ， ， ， ， ； ②当在线段上（不与重合）时， 过作， ， ， ， ， ， ； ； 当在的右边时， 过作， 同理可求：； 综上所述：． 26．点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）证明，即可证明； （2）过点B作，，两线交于点G，利用平行线的判定和性质，角的关系解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的关系计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴． （2）解：． 理由如下： 过点B作，，二线交于点G， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴． 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 27．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或或 【思路引导】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，平移的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知先求得的邻补角的度数，得到即可得结论； （2）分两种情况讨论，过G作的平行线，利用平行线的性质定理，平移的性质和平行公理的推论即可求解； （3）分三种情况讨论，分别过点作的平行线，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可求解． 【完整解答】（1）证明：∵，的度数是的3倍少． ∴，， ∴， ∴． （2）解：当点G在F下方时，过点作， 根据平移，得， ∴， ∴， ∴； 当点G在F上方时，过G作， 根据平移，得， ∴， ∴； ∵； 综上所述，的度数为或． （3）解：①当点N在D左侧时，过M作， ∵， ∴， ∴； ∵，， ， ∴； ∴； ∴； ②当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； ③当点N在D右侧时，如图，过M作， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ， 综上所述，或或． 28．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当运动或或或或时，的一边与的一边平行 【思路引导】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图， 分别过点作，，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图， 过点作利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时， ②当时， ③当时，④⑤时，分别求出旋转角度求解即可． 【完整解答】（1）证明：在中， ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； （2）如图3，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图， 过点作，   ， ， ，， ， ， 又， ， ， ①当时，同时，如图，设与相交于点H，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 旋转时间为； ②当时，如图，设与相交于点H，过点作，过点E作， ， ， ， 旋转时间为；    ③当时，如图，过点E作，延长交于点K， 则， ， 这时在上停止运动， 旋转时间为；    ④时，如图，延长交于， ，   ， ， ， 旋转时间为； ⑤时，如图，延长交于， ， ， ， 旋转时间为； 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 题型十五 根据平行线判定与性质求角度 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)是轴上（除去点）的动点． 连接，，使，求符合条件的点坐标； 如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；②或，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形性质、平移的性质、平行线的性质等知识点，作出图形、利用分类讨论的思想和数形结合思想是解题的关键． （1）根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标求出点C、D的坐标即可； （2）①设P点坐标为，根据坐标与图形性质结合，得到，即可求得点P的坐标；②分点P在点B左侧和右侧两种情况，分别作出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：∵点A，的坐标分别为，，将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，， ∴，即． 故答案为：． （2）解：①∵点A，的坐标分别为，， ∴， ∴， 设P点坐标为，则， ∵， ∴，解得：或10． ∴点P点坐标为或． ②或．理由如下： 如图，当点P在点B左侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点P在点B右侧时，过点Q作，则， ∵， ∴， ∴， ∴∠． 综上所述，与的数量关系为或． 30．（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 【答案】（1）3；（2）①见详解；②9；（3） 【思路引导】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质和网格特点求解即可； （2）①根据平移性质和网格特点可画出图形； ②根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可； （3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可． 【完整解答】解：（1）根据平移性质，线段平移的距离是； 故答案为：3 ； （2）①如图所示，即为所求作； ②线段在平移过程中扫过的面积． 故答案为：9； （3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形， 长方形的长米，宽为米， 则剩下的草坪面积是：， 故答案为：平方米． 题型十六 根据平行线判定与性质证明 31．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数． 【答案】（1）65°；（2）20°或160° 【思路引导】1）作，如图1，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数； （2）作，如图2，利用角平分线的定义得到，，利用平行线的性质得到，，从而得到的度数；如图3，利用得到，然后根据三角形外角性质可计算出． 【完整解答】解：（1）作，如图1， 平分，平分， ，， ， ， ，， ； （2）作，如图2， 平分，平分， ，， ， ， ，， ． 如图3，平分，平分， ，， ， ， ， ． 如图4，平分，平分， ，， ， ， ， 而， ． 综上所述，的度数为或． 【考点再现】本题考查了平移的性质：解题的关键是把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．也考查了平行线的性质． 32．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上． (1)若点的坐标头，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，解答下列问题： ①将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，请画出三角形． ②若点为三角形内部的一点，请写出经过①平移后对应点的坐标． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)①见解析；②的坐标为 【思路引导】（1）将点的坐标头，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点，建立适当的平面直角坐标系，写出点的坐标即可； （2）①根据坐标系，得，将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，确定是一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换，确定平移坐标，画图即可． ②根据平移方式确定坐标即可． 本题考查了坐标系的建立，写坐标，画平移图形，确定平移坐标，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】（1）解：将点的坐标头，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到坐标原点，建立平而直角坐标系如图所示， 则点的坐标为； （2）①解：根据坐标系，得，将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，确定是一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换， 故，画图如下： 则三角形即为所求． ②解：根据题意，得这是一个一个向右平移4个单位，再向上平移3个单位的平移变换，故的坐标为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.8 相交线与平行线（压轴题题型训练） 【原卷版】 题型一 对顶角相等 1 题型二 找邻补角 4 题型三 利用邻补角互补求角度 6 题型四 同位角、内错角、同旁内角 11 题型五 同位角相等两直线平行 13 题型六 内错角相等两直线平行 14 题型七 同旁内角互补两直线平行 18 题型八 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 21 题型九 两直线平行同位角相等 24 题型十 两直线平行内错角相等 28 题型十一 两直线平行同旁内角互补 33 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 38 题型十三 根据平行线的性质求角的度数 43 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 47 题型十五 根据平行线判定与性质求角度 54 题型十六 根据平行线判定与性质证明 57 题型一 对顶角相等 1．如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 2．直线相交于点O，于点O，作射线，且在的内部． (1)①当在如图1所示位置时，若，求的度数； ②当在如图2所示位置时，若平分，证明：平分； (2)若，请直接写出与之间的数量关系． 题型二 找邻补角 3．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 4．如图，直线，相交于点，，平分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______． (2)若，求的度数． 题型三 利用邻补角互补求角度 5．已知与互为补角，平分． (1)如图①，若，则______°，______°． (2)如图②，若，求的度数； (3)若，直接写出的度数（用含n的代数式表示），及相应的n的取值范围． 6．已知点A，B，O在一条直线上，以点O为端点在直线的同一侧作射线，，，使． （1）如图①，若平分，则的度数是_______； （2）如图②，将绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且在内部时， ①若，求的度数； ②若（n为正整数），直接用含n的代数式表示． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 7．如图，(1)指出DC和AB被AC所截得的内错角； (2)指出AD和BC被AE所截得的同位角； (3)指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC与∠DAB各是什么关系的角，并指出各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 8．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 题型五 同位角相等两直线平行 9．如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 10．如图，已知点是直线外一点．请用直尺和三角板作出直线和直线，使得直线经过点，且与直线平行，直线也经过点且与直线垂直．（不用写作法） 题型六 内错角相等两直线平行 11．如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法． (1)小明的作法：通过折纸的方式． 第一步：如图2，过点进行第一次折叠，使点的对应点落在上，折痕与相交于点，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 小明说． 请你根据小明的作法，补全下面的证明过程，并填上对应的推理依据． 证明：． ，理由是：（角平分线的定义） ， ，理由是：（ ） ， ，理由是：（ ） (2)小婷的作法：用一把直尺与一个三角板． 第一步：如图5，用一把直尺与一个三角板如图放置，直尺的一边过点P，三角板的一边与重合； 第二步：如图6，把三角形板沿直尺的边沿向上推至点P； 第三步：如图7，过点P画直线， 小婷说，就是过点P平行于的一条直线，小婷这样做的理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行                B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行                D．两直线平行，同位角相等 (3)小颖的作法：用一个三角板 小颖说：“我只用一个三角板就能作出平行于AB且过点P的直线”． 请你利用图8提供的三角板，绘制小颖作法的过程示意图． 12．【知识回顾】 如图1，直线与直线被直线l所截，交点为点E和点F．在“相交线与平行线”一章中，我们学习了“利用内错角与的数量关系可以判定两条直线的位置关系”．现将具有和这样位置关系的角称作一组“内外错角”． 【探究发现】 当“内外错角”满足一定的数量关系时，也能判定两条直线的位置关系． （1）当和满足何种数量关系时能使得？请说明理由． 【深入探究】 如图2，在直线l上取一点P，使点P位于直线的上方，和是一组“内外错角”， 和的角平分线所在的直线，相交于点O，设，． （2）请用含，的代数式表示的大小； （3）如图3，若与交于点Q，请直接写出当，满足何种数量关系时，是直角三角形． 题型七 同旁内角互补两直线平行 13．综合与探究： 将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)求证； (3)若按住三角板不动，三角板绕顶点转动一周，当时，直接写出的度数． 14．如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 题型八 在同一平面内，找垂直于同一直线的两直线平行 15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 16．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 题型九 两直线平行同位角相等 17．如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 18．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 题型十 两直线平行内错角相等 19．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 20．综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 题型十一 两直线平行同旁内角互补 21．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 22．如图，直线PQMN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． (1)若△ABC，△DEF如图1摆放时，则∠PDE＝ ． (2)若图1中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图2），求∠GHF的度数． (3)若图1中△DEF固定，（如图3）将ABC绕点A顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与DEF的一条边平行时，求旋转的时间． 题型十二 根据平行线的性质探究角的关系 23．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 24．如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数； (3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 题型十三 根据平行线的性质求角的度数 25．已知直线，点A在上，点B在上． (1)如图1，点C在上方，连、，求证：； (2)如图2，点C在与之间，连、，延长交于点D，点S在直线上 ①当点S在点D的左边时，则、、、之间有何数量关系？请说明理由； ②当点S在点D的右边时，直接写出、、、之间的数量关系． 26．点D在内，点E为边上一点，连接． (1)如图1，连接，若，求证：； (2)在（1）的结论下，若过点A的直线，如图2，点E在线段上，猜想并验证与的数量关系． 题型十四 平行线的性质在生活中的应用 27．如图1，已知线段、线段被直线所截于点A、点C，，的度数是的3倍少． (1)求证：； (2)如图2，连接，沿方向平移得到，点F在上，点G是上的一点，连接、，，，求的度数； (3)如图3，点M是线段上一点，点N是射线上一点，度数为k，度数为m，度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于） 28．如图，直线，一副三角尺，中，， ，，．      (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，，两线相交于点（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 题型十五 根据平行线判定与性质求角度 29．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，现同时将点A，分别向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，分别得到A，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为______，点的坐标为______． (2)是轴上（除去点）的动点． 连接，，使，求符合条件的点坐标； 如图，是线段上一定点，连接，请直接写出与的数量关系． 30．（1）如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接．线段平移的距离是______； （2）动手操作：如图2，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上（网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度），将三角形平移，使点A平移到图中的位置，点的对应点是，点的对应点是．①画出平移后的三角形； ②线段在平移的过程中扫过的面积是______． （3）拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是______平方米． 题型十六 根据平行线判定与性质证明 31．如图，，在的右侧，平分，平分，所在直线交于点，． （1）若，求的度数； （2）将线段沿方向平移，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，求的度数． 32．如图，在边长为1的正方形网格中，三角形的三个顶点均在格点上． (1)若点的坐标头，请建立适当的平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，解答下列问题： ①将三角形平移之后得到三角形，且点的坐标为，请画出三角形． ②若点为三角形内部的一点，请写出经过①平移后对应点的坐标． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $