专题10.4 三元一次方程组的解法（知识梳理+六大考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦三元一次方程组的解法这一核心知识点，系统梳理定义（含三个未知数、含未知数项次数为1）、解法（消元转化为二元一次方程组的步骤）及应用（列方程组解决实际问题的步骤），构建从二元一次方程组到三元一次方程组的学习支架，衔接前后知识脉络。 该资料以知识梳理结合易错点剖析夯实基础，通过考点讲练（如整体代换法解方程组）培养运算能力与推理意识，中考真题与分层训练（如牧场问题、垃圾分类积分问题）强化模型意识。课中辅助教师突破重难点，课后助力学生分层提升，查漏补缺。

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题10.4 三元一次方程组的解法 （第十章 二元一次方程组） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 三元一次方程组的定义 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 3 考点讲练二 三元一次方程组的解 5 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 7 考点讲练四 解三元一次方程组 11 考点讲练五 利用消元法求值 16 考点讲练六 三元一次方程组的应用 21 中考真题 实战演练 24 难度分层 闯关训练 28 基础夯实 能力提升 28 创新拓展 拔尖冲刺 34 知识点一 三元一次方程组的定义 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了三元一次方程组，根据三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组叫做三元一次方程组判断即可．熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 【规范解答】解：A．第二个方程是二次方程，不是三元一次方程组，不符合题意； B．第一个方程不是整式方程，不符合题意； C．是三元一次方程组，符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【规范解答】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【规范解答】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的整式方程，叫做三元一次方程组． 根据三元一次方程组的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意； B. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； C. ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意； D.，不是整式方程，故此选项不符合题意； 故选A． 考点讲练二 三元一次方程组的解 【典例分析】三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【规范解答】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南周口·期末）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【规范解答】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【规范解答】解：， ，得：， ∴； 故选D． 【变式训练3】（24-25七年级下·河南周口·期中）三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题通过代入消元法求解三元一次方程组，首先利用第一个方程将y表示为x的代数式，代入第二个方程求出x，再回代求y，最后利用第三个方程求z，本题考查了解三元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【规范解答】解：方程组为， 将第一个方程代入第二个方程：得， 解得， 将代入，得， 将代入第三个方程， 得：， ∴， ∴， 因此，方程组的解为， 故选：B 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 【典例分析】（24-25七年级下·河南南阳·期中）【数学问题】解方程组 【思路分析】兰兰观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，她想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． 【完成解答】请你按照兰兰的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得： 【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 【答案】完成解答：见解析；迁移运用 【思路引导】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键． （1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解； （2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解． 【规范解答】解：完成解答：把①代入②，得， 解得：， 把代入①得：， ， 原方程组的解为； 迁移运用： 把①代入③得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， 把代入①得：， ， 原方程组的解为 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组，对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征，即可得解． 【规范解答】解：， 得： ， 得： ， 方程组变形为，刚好消去， 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【思路引导】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”，把复杂问题转化为简单问题的思想方法．经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 【规范解答】解： 方程①+②，②+③可直接消去未知数y， 即可得到一个关于x、z的二元一次方程组， ∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y， 故选：B． 【变式训练3】（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 考点讲练四 解三元一次方程组 【典例分析】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可； （3）方程组利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】（1）解：， 将代入中得：， 解得：， 把代入中得：， ； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入中得：， 解得：， ； （3）解： ①②得：④， ③①得：⑤， ④⑤得：，即， 把代入④得：， 把，代入①得：， 则方程组的解为． 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解三元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 由①可得：， 将③代入②可得：， 解得：， 将代入①可得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）整理后，利用加减消元法解方程组即可； （3）根据解三元一次方程组的方法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （2）解： 去分母整理得：， 得：， 解得， 将代入得：， 原方程组的解为； （3）解： 得：， 解得， 得：， 将代入得， 原方程组的解为． 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键． （1）用代入消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【规范解答】（1）解：， 由②得：， 把④代入①得：，即， 把④、⑤分别代入③得：， 解得：， 把代入④得：， 把代入⑤得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 得：， 把代入得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 考点讲练五 利用消元法求值 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为的值为的值为3． (2) 【思路引导】本题考查三元一次方程组，二元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求解即可； （2）由（1）可得，求出，将代入，求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得 将①分别代入②，③，得 ，得 ，即． 将代入④，得 ， 解得， ∴的值为的值为的值为3． （2）由（1）可得 ． ∵， ∴将代入，得 ． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【规范解答】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 【变式训练2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【答案】（1）18；（2）450元 【思路引导】本题考查三元一次方程组的应用，理解题意并列得正确的方程组是解题的关键． （1）将两个方程相加后再两边同时除以2即可； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元，根据题意列得方程组，然后整体求值即可． 【规范解答】解：（1）②+①得，③， 得，， 所以，的值为18； （2）设买一条彩带需要x元，一个头饰需要y元，一面小红旗需要z元， 由题可得， 得：， 所以，， 答：购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元． 【变式训练3】（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 【答案】（1）2；（2）非负整数解为1、0；（3）见解析；（4）购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用，解一元一次不等式； （1）由，即可求解； （2）依据题意，，得，则，又，故，进而计算即可判断得解； （3）由，得，即可求解； （4）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【规范解答】（1）解： ， 得，， 故答案为：2； （2）解： ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解： ， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 考点讲练六 三元一次方程组的应用 【典例分析】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【答案】(1)如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草 (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛 【思路引导】本题主要考查三元一次方程组的应用、不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草，然后根据“原草量每天生长的草量×放牧的天数每头牛每天吃草量头数天数”列方程组求解即可； （2）假设要使牧草永远吃不完，至多放牧y头牛．要使牧草才永远吃不完，则有“每头牛每天吃草量放牧的牛头数每天生长的草量”，据此列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草． 由题意得： 由得：④ 由得 ⑤ 将④代入⑤得，解得：． 答：如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草． （2）解：设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有， ∵， ∴，解得：． 答：要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛． 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 【答案】(1) (2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关键． （1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解； （2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解． 【规范解答】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：共有积分为：， 设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张， ∴由题意得： 化简得：， ∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数， ∴ ∴原式化为：， ∴；或， 有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张． 【变式训练2】（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【答案】(1)现各买一杯，需要花费42元； (2)小明共买了杯或杯． 【思路引导】本题主要考查了三元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）先求出多肉葡萄口味的奶茶单价，再根据题意列出二元一次方程，求出所以情况即可． 【规范解答】（1）解：设多肉葡萄口味奶茶、生椰西瓜口味奶茶、芝士奶盖口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费42元； （2）∵各买一杯，需要花费42元，生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元， ∴多肉葡萄口味的奶茶单价为（元）， 设小明买了生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶共a杯，多肉葡萄口味的奶茶b杯， ∵花费120元， ∴， 整理得， ∵，，且a、b均为整数， ∴或， ， 即小明共买了杯或杯． 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【思路引导】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【规范解答】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【思路引导】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【规范解答】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【真题演练2】（2024·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用．设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得，，然后作答即可． 【规范解答】解：设篮球的单价为元，排球的单价为元，足球的单价为元， 依题意得， ， 由②得：， 由得：， 则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费元， 故选：A． 【真题演练3】（2024·黑龙江·中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】B 【思路引导】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【规范解答】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 【真题演练4】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【答案】乙槽 【思路引导】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作最小的是乙槽． 本题考查了方程的应用，特殊解，熟练掌握整数解是解题的关键． 【规范解答】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽． 故答案为：乙槽． 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 【答案】4：3 【思路引导】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得． 【规范解答】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得 ， 解得3y=4x， ∴y：x=4：3， 故答案为：4：3． 【考点剖析】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键． 基础夯实 能力提升 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键． 根据加减消元法求解即可． 【规范解答】解：， 由，得， 解得：． 把代入，得， 解得：． 把，代入，得， 解得：． 故原方程组的解为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查三元一次方程组的简便求解，核心是运用整体思想，无需单独求解、、的具体值，通过将三个方程左右两边分别相加，可快速得到的值． 【规范解答】解：已知三元一次方程组， 将三个方程左右两边分别相加，得：， 即， 两边同时除以2，得：； 故选：C． 3．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【规范解答】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 4．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 【答案】1 【思路引导】此题主要考查了三元一次方程组的应用，以及正方体相对两个面上的文字．根据相对的两个面的代数式的值相等可得方程组，再解方程组即可． 【规范解答】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：1． 5．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 【答案】/ 【思路引导】此题考查了解三元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中三个方程成立的未知数的值．把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入已知等式中计算即可求出a的值． 【规范解答】解：， 得：，即， 得：， 得：， 得：， 将，，代入中得：， 解得：． 故答案为：． 6．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________． 【答案】1，1，2或0，3，1 【思路引导】本题考查了三元一次方程的应用，根据甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，进行列式，再结合皆为非负整数，即可作答． 【规范解答】解：设甲、乙、丙答对的题数分别是， 依题意，得， 整理得， ∵皆为非负整数， ∴或， 故答案为：1，1，2或0，3，1 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【思路引导】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【规范解答】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【规范解答】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键． （1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数． （2）将不同值下对应的值代入函数表达式，得到一个关于、、的三元一次方程组，然后求解该方程组，即可得到、、的值． 【规范解答】解：（1） 由得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）由题意可得      把代入得，即， 把代入得，即， 得， 解得， 把代入得， 解得， ， 所以，． 10．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【答案】 【思路引导】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【规范解答】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【思路引导】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【规范解答】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【思路引导】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【规范解答】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【思路引导】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【规范解答】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 4．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【规范解答】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【思路引导】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【规范解答】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 6．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 【答案】100 【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解． 【规范解答】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元． 由甲购3件，5件，1件，共200元，即①， 乙购4件，7件，1件，共250元，即②， 得③， 得④， 得， ∴丙购、、各1件，应付100元， 故答案为：100． 7．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了二元一次、三元一次方程组的简便解法，掌握整体代入、换元法、设比例系数法和加减消元法等技巧，是快速解方程组的关键． （1）观察到第一个方程可整理为，第二个方程含，用整体代入法简化计算； （2）方程组中重复出现和，用换元法设，转化为关于的方程组，简化运算； （3）连比形式的方程组，用设比例系数法，设，将用表示，代入第二个方程求解； （4）两个方程的系数差相等，用加减消元法先相减得到，再整体代入原方程快速求解． 【规范解答】（1）解： 将①代入②： 将代入①： 解得：​ （2）解：设 ， 方程组变为：​ ①+②： 代入②： 即 ， 解得 （3）解：设 ， 则, 代入： 代入得 ： （4）解： 由①-②得： 由①：， 代入③： ， ， 将代入③：， 解得： 8．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． （3）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【规范解答】（1）解： ∴，得， 解得 ； 把代入，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∴，得， 解得， 把代入，得， ∴， 解得， ∴方程组的解为； （3）解：∵， ∴得， 得， ∴得， 解得， 把代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得， ∴方程组的解为． 9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【思路引导】本题考查利用“整体思想”和“消元、转化”方法解三元一次方程组，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． （1）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可； （2）根据“整体思想”和“消元、转化”方法求解即可． 【规范解答】（1）解： 得， ， 将原方程变形成 ， 将③代入④，得，， ． （2）解：， ①+②得： ， 将原方程变形成： ， 将③代入④，得 ． 10．（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 【答案】（1）原因见解析；（2）甲同学心中所想的数是3 【思路引导】本题考查了一元一次方程与多元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程（组），并通过化简、消元求解． （1）设点数和花色代号为未知数，根据运算流程列方程，利用“ 的倍数”特征确定未知数取值； （2）设五人所想的数为未知数，根据环形相邻关系列方程组，通过逐步消元求出甲的值． 【规范解答】解：设抽出纸牌的点数为，且x为整数），花色代号为，分别对应黑桃、梅花、红桃、方块）． 根据运算规则列方程：， 化简方程：，即， 由，得，因为的倍数， 故，则，此时． 因对应梅花，故抽出的纸牌是梅花8． （2）解题步骤： 解：设甲、乙、丙、丁、戊心中所想的数分别为a、b、c、d、e． 根据“每位同学报出左右相邻同学的数的和”列方程组： 由②得，由④得，由①得， 由③得，代入⑤：，即， ∴，即甲同学心中所想的数是3． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题10.4 三元一次方程组的解法 （第十章 二元一次方程组） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 三元一次方程组的定义 1 知识点二 三元一次方程组的解法 2 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 3 考点讲练二 三元一次方程组的解 3 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 4 考点讲练四 解三元一次方程组 5 考点讲练五 利用消元法求值 6 考点讲练六 三元一次方程组的应用 9 中考真题 实战演练 11 难度分层 闯关训练 12 基础夯实 能力提升 12 创新拓展 拔尖冲刺 14 知识点一 三元一次方程组的定义 1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组. 【易错点剖析】理解三元一次方程组的定义时，要注意以下几点： （1）方程组中的每一个方程都是一次方程； （2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组. 知识点二 三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是： （1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； （3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； （4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； （5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起． 【易错点剖析】 （1）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求比较简单的解法． （2）要检验求得的未知数的值是不是原方程组的解，将所求得的一组未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看每个方程的左右两边是否相等，若相等，则是原方程组的解，只要有一个方程的左、右两边不相等就不是原方程组的解． 知识点三 列三元一次方程组解决实际问题的基本步骤 （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 【易错点剖析】 (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组． 考点讲练一 三元一次方程（组）的定义 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练二 三元一次方程组的解 【典例分析】三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·河南周口·期末）方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南驻马店·月考）已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【变式训练3】（24-25七年级下·河南周口·期中）三元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 考点讲练三 判断三元一次方程组消元的步骤 【典例分析】（24-25七年级下·河南南阳·期中）【数学问题】解方程组 【思路分析】兰兰观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，她想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的． 【完成解答】请你按照兰兰的思路，完成解方程组的过程． 解：把①代入②，得： 【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·课后作业）解方程组如果消去未知数，那么应对方程组进行的变形步骤为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·随堂练习）观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（    ） A． B． C． D．或 【变式训练3】（25-26八年级上·山西运城·月考）数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 考点讲练四 解三元一次方程组 【典例分析】（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组 (1) (2) (3) 【变式训练1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）解方程组： (1) (2) (3) 【变式训练3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) ； (2)． 考点讲练五 利用消元法求值 【典例分析】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，当时，；当时，；当时，． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【变式训练1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得： ，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【变式训练2】（24-25七年级下·吉林长春·月考）【学习材料】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例如：已知，求的值． 解：②①得，③ ③得， 所以，的值为3． 【类似迁移】 （1）已知，求的值． 【实际应用】 （2）学校运动会即将到来，六（2）班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元；六（2）班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？ 【变式训练3】（24-25七年级下·广东阳江·期末）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： （1）已知方程组，则的值为 ； 【问题迁移】 （2）已知的解满足，求m的非负整数解； 【问题探究】 （3）请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； 【问题解决】 （4）甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 考点讲练六 三元一次方程组的应用 【典例分析】（24-25七年级上·湖南长沙·月考）有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问： (1)如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ (2)要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？ 【变式训练1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表： 垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾 每公斤获得积分（分） 积分可以兑换部分商品，具体细则如下表： 物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张 积分数 已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分． (1)求，的值． (2)小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案． 【变式训练2】（2025·福建漳州·模拟预测）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表． 口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 129元 第二次 4杯 3杯 2杯 123元 (1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？ (2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？ 【变式训练3】（2025七年级下·全国·专题练习）某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【真题演练2】（2024·浙江绍兴·中考真题）某校购买体育器材，第一次购买篮球7个，排球5个，足球3个，共花费450元，第二次又购买同样的篮球3个，排球2个，足球1个，共花费175元，则购买同样的篮球、排球、足球各1个，共需花费（   ） A．100元 B．105元 C．110元 D．125元 【真题演练3】（2024·黑龙江·中考真题）某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【真题演练4】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）． 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________． 基础夯实 能力提升 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）方程组的解是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三元一次方程组，则（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24七年级下·广西桂林·期末）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 4．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）如图是一正方体的展开图，若正方体相对面所表示的数相等，则______． 5．（24-25七年级下·福建泉州·月考）已知方程组的解使代数式的值等于，则a的值为 ___________________． 6．（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答．抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是________． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 10．先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 4．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 6．（24-25九年级下·福建·自主招生）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付_____元． 7．（2026七年级下·全国·专题练习）用简便方法解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 8．（2025八年级上·山东青岛·专题练习）解方程组： (1) (2) (3) 9．（24-25七年级下·四川乐山·期末）在一堂数学课上，刘老师布置了这样一道题目：已知方程组，求的值．针对此问题，乐乐同学认为可以用“整体思想”和“消元、转化”方法求解：用②−①得到③，因为问题是求解整体的值，因此可以在原方程组中“分离”出即可，即，接下来采用“代入消元法”或者“加减消元法”均可解决该问题了． (1)请你替乐乐同学完成接下来的步骤，求解出的值； (2)请你用上述思想方法求解问题：已知，求的值． 10．（24-25七年级上·重庆·月考）（1）小亮给同学们表演纸牌魔术．他请一名同学随意洗乱一副不含大小王的扑克牌，然后从中任意抽取一张牌，再让这个同学将这张牌的点数乘5，再加上4，再乘2，再减去12，然后加上抽出纸牌花色的代号，其中黑桃的代号是1，梅花的代号是2，红桃的代号是3，方块的代号是4，最后这位同学说出运算的结果是78．小亮迅速说出这位同学抽出的纸牌是梅花8．请借助方程解释其中原因． （2）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示，请大家利用方程分析，求出甲同学心中所想的数是多少？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $