专题11.2 一元一次不等式（知识梳理+八大考点讲练+真题演练+分层训练 共49题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统梳理定义（整式、单未知数、次数1）、与一元一次方程的异同，解法步骤（去分母等）及注意事项，再到实际问题（行程、工程等8类），构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于考点讲练分类细致（8个考点含典例与变式），结合中考真题与难度分层训练。通过实际问题场景培养模型意识，典例分析提升推理能力，分层训练满足不同学生需求。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.2 一元一次不等式『第十一章 不等式与不等式组』 （原卷版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 解一元一次不等式 1 知识点二 一元一次不等式实际问题 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 一元一次不等式的定义 3 考点讲练二 求一元一次不等式的解集 3 考点讲练三 求一元一次不等式的整数解 4 考点讲练四 在数轴上表示不等式的解集 4 考点讲练五 求一元一次不等式解的最值 4 考点讲练六 列一元一次不等式 5 考点讲练七 用一元一次不等式解决实际问题 5 考点讲练八 用一元一次不等式解决几何问题 6 中考真题 实战演练 7 难度分层 闯关训练 8 基础夯实 能力提升 8 创新拓展 拔尖冲刺 9 知识点一 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点二 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 考点讲练一 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【变式训练1】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若是关于的一元一次不等式，则______． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练二 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于，的方程是二元一次方程，则______． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列数值中不是不等式的解的是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 考点讲练三 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）写出不等式的一个负整数解：________． 【变式训练1】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【变式训练2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 考点讲练四 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京·期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如果关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 考点讲练五 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【变式训练1】（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 考点讲练六 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·北京密云·期中）用不等式表示“的倍与的和小于”为_____ 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）“的3倍是非负数”用不等式表示为______． 【变式训练2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）用不等式表示“的2倍与的和不大于6”_____． 考点讲练七 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·月考）某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 考点讲练八 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（23-24七年级下·河北沧州·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【变式训练2】（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【真题演练1】（2024·四川眉州·中考真题）在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·北京朝阳·中考真题）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2024·陕西汉中·中考真题）某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对_____道题． 【真题演练4】（2024·河北秦皇岛·中考真题）某商店为了促销一种定价为5元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，则按原价付款；若一次性购买4件以上，则超过部分按原价的八折付款．如果嘉琪有42元钱，那么她最多可以购买该商品______件． 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）玉峰山是重庆老牌的樱桃采摘基地，漫山遍野、晶莹剔透的樱桃常常让众多前来品尝的市民流连忘返．除了运往各市场销售外，还可以让市民亲自去基地采摘购买．已知今年4月上旬该樱桃在市区、基地的销售价格分别为20元/千克、30元/千克，今年4月上旬一共销售了2500千克，总销售额为60000元． (1)4月上旬该樱桃在市区、基地各销售了多少千克？ (2)4月中旬是樱桃销售旺季．为了促销，樱桃基地决定4月中旬将该樱桃在市区、基地的销售价格均在今年4月上旬的基础上降低，预计这种樱桃在市区、基地的销售量将在今年4月上旬的基础上分别增长，要使4月中旬该樱桃的总销售额不低于63750元，则a的最大值是多少？ 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 5．（25-26七年级下·安徽六安·月考）用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 7．（25-26七年级下·福建福州·期中）如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）某加工车间有名工人，全部生产螺钉或螺母，已知每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母． (1)为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺母，多少名工人生产螺钉？ (2)在（1）的条件下，若一个螺钉的销售利润是元，一个螺母的销售利润是元，工厂规定该车间每月所生产产品的销售利润不少于万元，则名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？(天数取整数) 9．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某博物馆为提升游客体验，计划购进、两种型号的智能导览机器人为游客提供展品讲解、信息查询等服务．经调查发现，型号的智能导览机器人的单价比型号的智能导览机器人的单价高2万元，2台型号的智能导览机器人比3台型号的智能导览机器人便宜0.8万元． (1)求、两种型号的智能导览机器人的单价； (2)若该博物馆计划购进、两种型号的智能导览机器人共10台，预算金额不超过65万元，则该博物馆最多可以购进多少台型号的智能导览机器人？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 2．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 4．（25-26七年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 5．（24-25七年级下·全国·周测）已知二元一次方程的一个解为，则关于b的不等式的解是_____________． 6．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）精益宏达公司为进一步扩大影响力，提升市场知名度，准备向某工厂订制10套吉祥物送给顾客．已知一套吉祥物需A，B，C三种配饰品共190个组成，且要求所需A配饰品数量不得超过45个，B配饰品数量恰好是A配饰品数量的3倍，B配饰品数量不得低于A，C两配饰品数量之和．该工厂经过试验，发现工人的制作能力情况是：每个工人每天可制作20个A配饰品或30个B配饰品或10个C配饰品．若该工厂安排一批工人恰好10天能完成此次订制任务，则制作一套这种吉祥物所需B配饰品的数量是______个． 7．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知三个正整数a、b、c，满足，且，则___________． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 9．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 10．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于线段、线段和点，给出如下定义：记的面积为，的面积为，若满足，则称点为线段和线段的“－划分点”．已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若，则 ①当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是______； ②当时，在第二、四象限的角平分线上是否存在线段和线段的“－划分点”？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由； (2)已知四边形是以为中心的正方形，其中顶点的坐标为．若正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足，请你直接写出的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.2 一元一次不等式『第十一章 不等式与不等式组』 （解析版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 解一元一次不等式 1 知识点二 一元一次不等式实际问题 2 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 一元一次不等式的定义 3 考点讲练二 求一元一次不等式的解集 4 考点讲练三 求一元一次不等式的整数解 5 考点讲练四 在数轴上表示不等式的解集 6 考点讲练五 求一元一次不等式解的最值 7 考点讲练六 列一元一次不等式 8 考点讲练七 用一元一次不等式解决实际问题 9 考点讲练八 用一元一次不等式解决几何问题 10 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 16 基础夯实 能力提升 16 创新拓展 拔尖冲刺 21 知识点一 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点二 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 考点讲练一 一元一次不等式的定义 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）若是关于的一元一次不等式，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得：且， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的概念即可求解． 【详解】解：由题意可知，， 则 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列不等式是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且左右两边为整式的不等式），逐一分析各选项即可求解． 【详解】解：A选项：，只含一个未知数，未知数次数为1，是不等式且左右两边为整式，符合一元一次不等式的定义． B选项：是等式，不是不等式，不符合定义． C选项：含有两个未知数，不符合“一元”的要求． D选项：中未知数的最高次数为2，不符合“次数为1”的要求． 故选：A． 考点讲练二 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·期中）已知代数式的值不小于代数式的值，求x 的取值范围，并求出满足条件的最大整数解． 【答案】 最大整数解为 【分析】根据题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴满足条件的最大整数解为． 【变式训练1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若关于，的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的概念求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴可得. 由得，即， 由得， ∴． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列数值中不是不等式的解的是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再对比选项中的数值，找出不在解集范围内的数即可．解题用到不等式的基本性质，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变． 【详解】解：∵ ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变， ∴ ． ，，，， 观察四个选项，只有不满足不等式，不是不等式的解． 考点讲练三 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·月考）写出不等式的一个负整数解：________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先求解不等式得到解集，再从中找出符合要求的负整数解即可． 【详解】解：， ， 不等式的负整数解为，，． 【变式训练1】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）关于x的不等式的非负整数解有_________个． 【答案】3 【分析】先解不等式得到解集，再根据非负整数的定义统计解的个数即可． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式的非负整数解为，共个． 【变式训练2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）不等式的最小整数解是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集中的最小整数即可． 【详解】解： ， ∵ 大于等于的整数中，最小的整数是， ∴ 该不等式的最小整数解是． 考点讲练四 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·北京·期中）如图，数轴上表示的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，不等式的解集是． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东德州·期中）如果关于的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵由图形可知：且， ∴不等式组的解集为． 【变式训练2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见详解． 【详解】解：， 得． ， 得，． 则，如下图， 考点讲练五 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西贺州·月考）已知关于的方程组．若方程组的解满足，则的最小整数值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据不等式的解集求参数，根据题意得出，进而可得，解不等式，即可求解． 【详解】解： ①+②得， ∴ ∵ ∴ 解得： ∴的最小整数值为， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 考点讲练六 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·北京密云·期中）用不等式表示“的倍与的和小于”为_____ 【答案】 【分析】根据题意提取数量关系，抓住关键词“小于”确定不等关系，将文字语言转化为数学不等式即可． 【详解】解：由题意可得，的倍表示为， 与的和表示为， 小于即． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海闵行·期中）“的3倍是非负数”用不等式表示为______． 【答案】 【详解】解：“的3倍是非负数”用不等式表示为． 【变式训练2】（25-26七年级下·上海闵行·期中）用不等式表示“的2倍与的和不大于6”_____． 【答案】 【详解】解：的2倍为，的为， 则的2倍与的的和不大于6用不等式表示为：． 考点讲练七 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元． (1)求每个足球和每个篮球的售价； (2)如果某校计划购买这两种球共54个，总费用不超过4000元，问最多可买多少个篮球？ 【答案】(1) 每个足球50元，每个篮球80元 (2) 最多可买43个篮球 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据购买1个足球和1个篮球共需130元，购买2个足球和3个篮球共需340元，列出方程组，求解即可； （2）设买m个篮球，则购买个足球，根据总价钱不超过4000元，列不等式求出m的最大整数解即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意得，， 解得， 答：每个足球50元，每个篮球80元； （2）解：设买m个篮球，则购买个足球， 由题意得，， 解得：， ∵m为整数， ∴m最大取43． 答：最多可买43个篮球． 【变式训练1】（25-26七年级下·上海·月考）某次数学考试小王第一次得分70分，第二次得分83分，第三次至少多少分才能使平均分不低于80分？ 【答案】87分 【分析】根据题意列出不等式并解不等式即可． 【详解】解：设第三次得分，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，第三次至少得87分，才能使三次的平均分不低于80分． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南通·期中）一辆匀速行驶的汽车在距离甲地50千米，要在之前驶过甲地，则车速（单位：千米/小时）应满足的条件是______． 【答案】 【分析】先计算汽车可行驶的时间． 再结合路程公式，根据题意列出一元一次不等式． 求解得到车速满足的条件． 【详解】解：由题意得，从到，可行驶的时间为分钟小时． 要在之前驶过甲地，说明行驶路程大于千米， 则 解得千米/小时． 考点讲练八 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（23-24七年级下·河北沧州·期中）数轴上有M，N两点，点M表示的数为，点N表示的数为． (1)当时，求点N表示的数； (2)若点N在点M的左侧，求m的最大整数值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查数轴上点表示数、代数式求值、一元一次不等式等知识点，掌握数轴上点表示数的大小与位置关系列出一元一次不等式解法是解题关键． （1）直接将代入即可解答； （2）根据点N在点M的左侧以及数轴上左侧的数小于右侧的数列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时，求点N表示的数为． （2）解：∵若点N在点M的左侧， ∴， 解得：， ∴m的最大整数值为2． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 【变式训练2】（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．    (1)若，则点A，B间的距离是多少? (2)求x的取值范围； (3)请确定表示数的点应落在点A左边?点B右边?还是线段AB上?说明理由． 【答案】(1)点A、B间的距离是； (2)； (3)表示数的点落在线段上． 【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． （1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可； （2）求出的范围，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴代表的数为， ∴点A、B间的距离是； （2）解：由题意，得：， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴表示数的点落在线段上． 【真题演练1】（2024·四川眉州·中考真题）在关于x，y的方程组的解满足，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于方程组，由并整理可得，结合可得关于的一元一次不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：， 由，可得， ∴， ∵， ∴，解得． 【真题演练2】（2024·北京朝阳·中考真题）若一个不等式的正整数解为1，2，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解集，，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示． 根据不等式的正整数解只有，，对四个选项中数轴所表示的不等式的解集内的正整数解分别进行判定即可解决问题． 【详解】解：A、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； B、不等式的解集为，正整数解为：，，，…，不符合题意； C、不等式的解集为，正整数解为：，不符合题意； D、不等式的解集为，正整数解为：，，符合题意； 故选：D． 【真题演练3】（2024·陕西汉中·中考真题）某次数学竞赛共有20道选择题，规定答对一题得5分，答错或不答一题倒扣2分．某位学生成绩要不低于60分，则至少要答对_____道题． 【答案】15 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对x道题，根据得分规则列出不等式，求解后取最小整数解即可． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答道题， 由题意得：． 解不等式：， ， ， ． 因为x为整数，所以． 答：至少答对15道题． 故答案为：15． 【真题演练4】（2024·河北秦皇岛·中考真题）某商店为了促销一种定价为5元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过4件，则按原价付款；若一次性购买4件以上，则超过部分按原价的八折付款．如果嘉琪有42元钱，那么她最多可以购买该商品______件． 【答案】9 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先判断能购买的商品是否超过4件，再设她购买了x件该商品，根据总费用不超过42元列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【详解】解： ， 嘉琪购买的商品超过了4件， 设她购买了x件该商品，则： ， 解得， x是正整数， x最大取9， 即她最多可以购买该商品9件， 故答案为：9． 【真题演练5】（2024·重庆·中考真题）玉峰山是重庆老牌的樱桃采摘基地，漫山遍野、晶莹剔透的樱桃常常让众多前来品尝的市民流连忘返．除了运往各市场销售外，还可以让市民亲自去基地采摘购买．已知今年4月上旬该樱桃在市区、基地的销售价格分别为20元/千克、30元/千克，今年4月上旬一共销售了2500千克，总销售额为60000元． (1)4月上旬该樱桃在市区、基地各销售了多少千克？ (2)4月中旬是樱桃销售旺季．为了促销，樱桃基地决定4月中旬将该樱桃在市区、基地的销售价格均在今年4月上旬的基础上降低，预计这种樱桃在市区、基地的销售量将在今年4月上旬的基础上分别增长，要使4月中旬该樱桃的总销售额不低于63750元，则a的最大值是多少？ 【答案】(1) 市区销售1500千克，基地销售1000千克 (2) a的最大值为15 【分析】（1）设4月上旬该樱桃在市区销售了千克，在基地销售了千克，根据4月上旬一共销售了2500千克，总销售额为60000元，列出方程组进行求解即可； （2）根据要使4月中旬该樱桃的总销售额不低于63750元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设4月上旬该樱桃在市区销售了千克，在基地销售了千克，由题意， ， 解得 ， 答：4月上旬该樱桃在市区销售了1500千克，基地销售了1000千克； （2）解：由题意，降价后市区销售价格为元/千克，基地销售价格为元/千克， 销量变化后市区销售量为千克，基地销售量为千克， ∵总销售额不低于63750元， ∴， 解得； 答：a的最大值是15． 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·北京·期中）一元一次不等式的解集有且只有两个非负整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确非负整数的定义，再根据不等式有且只有两个非负整数，确定符合条件的非负整数，进而推导的取值范围。 【详解】解：∵非负整数为 ，不等式的解集有且只有两个非负整数， ∴符合条件的两个非负整数只能是和， ∵解集需要包含和，且不能包含下一个非负整数， ∴可得． 2．（25-26七年级下·河南开封·期中）关于的方程组的解满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组得到，再根据，列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：方程组， 得：， ∵关于的方程组的解满足， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过方程组变形直接得到的表达式，再解一元一次不等式得到的取值范围． 【详解】解： 将得 整理得 两边同除以2得 ∵方程组的解满足 ∴ 解得 ． 4．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于，的方程组其中，给出下列说法： ①当时，、的值互为相反数；②是方程组的解；③方程组的解也是方程的解；④若，则．其中说法正确的有________． 【答案】 ①③④ 【分析】先解二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x和y，再逐个代入验证四个说法，结合a的取值范围判断正误即可. 【详解】解： 得：， 解得：， 将代入②得：， 因此方程组的解为，其中. ①当时，，， ，则，互为相反数，故①正确； ②将代入解，得，， 解得：，不满足，故②错误； ③∵， ∴， 故方程组的解也是方程的解；故③正确； ④若，则，解得， 结合，得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加，得，即，故④正确. 5．（25-26七年级下·安徽六安·月考）用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为__________． 【答案】 【分析】的5倍与3的差，表示为，不小于表示的意思是大于或等于，用符号“”表示，从而可得出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的5倍与3的差不小于0”为． 6．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）某市出租车的收费标准是：起步价14元（即行驶距离不超过3千米都付14元），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米按1千米计）．小乐从家乘出租车到商场，付了车费24元．设小乐的家到商场的距离为千米，那么的范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式求解是解题的关键．已知总车费24元大于起步价14元，说明行驶距离千米；算出超出起步价的费用为元，以及算出超出3千米的距离最多为千米，再进行分析计算，即可作答． 【详解】解：依题意，超出起步价的费用为：元， 超过3千米的距离最多为千米， ∵“不足1千米按1千米计”， ∴若超出3千米的距离不超过4千米，总车费最多为元，小于24元，不符合题意， 因此超出3千米的实际距离满足：超出的距离； 总距离超出的距离； 因此可得 即． 7．（25-26七年级下·福建福州·期中）如果方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由方程组可得出，结合，可得，解出的取值范围即可． 【详解】解：， 得， 即， 若， 可得， 解得． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）某加工车间有名工人，全部生产螺钉或螺母，已知每人每天平均生产螺钉个或螺母个，一个螺钉要配两个螺母． (1)为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺母，多少名工人生产螺钉？ (2)在（1）的条件下，若一个螺钉的销售利润是元，一个螺母的销售利润是元，工厂规定该车间每月所生产产品的销售利润不少于万元，则名工人每月至少加工多少天才能完成车间任务？(天数取整数) 【答案】(1)应分配名工人生产螺母，分配名工人生产螺钉； (2)名工人每月至少加工天才能完成车间任务 【分析】（1）设分配名工人生产螺母，则分配 名工人生产螺钉，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． （2）设名工人每月加工天，根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设分配名工人生产螺母，则分配名工人生产螺钉． 根据题意，得． 解得． ． 答：应分配名工人生产螺母，分配名工人生产螺钉． （2）解：设名工人每月加工天． 根据题意，得． 解得 为整数， 的最小值为． 答：名工人每月至少加工天才能完成车间任务． 9．（25-26七年级下·北京房山·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先通过加减消元法解含参数的二元一次方程组，得到关于的表达式，再代入的条件，解关于的不等式，求出的取值范围． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∵， ∴ ∴， 解得：． 10．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）某博物馆为提升游客体验，计划购进、两种型号的智能导览机器人为游客提供展品讲解、信息查询等服务．经调查发现，型号的智能导览机器人的单价比型号的智能导览机器人的单价高2万元，2台型号的智能导览机器人比3台型号的智能导览机器人便宜0.8万元． (1)求、两种型号的智能导览机器人的单价； (2)若该博物馆计划购进、两种型号的智能导览机器人共10台，预算金额不超过65万元，则该博物馆最多可以购进多少台型号的智能导览机器人？ 【答案】(1)型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元 (2)该博物馆最多可以购进8台型号的智能导览机器人 【分析】（1）设型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该博物馆购进台型号的智能导览机器人，则购进台型号的智能导览机器人，根据题意建立一元一次不等式，结合为正整数，求出的最大值即可． 【详解】（1）解：设型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元， 由题意得：， 解得， 答：型号的智能导览机器人的单价为万元，型号的智能导览机器人的单价为万元． （2）解：设该博物馆购进台型号的智能导览机器人，则购进台型号的智能导览机器人， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的最大值为8， 答：该博物馆最多可以购进8台型号的智能导览机器人． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，商店有两种优惠方法： （1）买一只茶壶送一只茶杯；    （2）按总价的付款． 现有一顾客需购买4只茶壶，只（不少于4只）茶杯，要使选择优惠方法（2）比方法（1）更省钱，则至少为（   ） A．33 B．34 C．35 D．36 【答案】C 【分析】分别表示出两种优惠方案的总费用，根据方案(2)更省钱列出不等式，求解得到的最小整数值即可. 【详解】解：∵顾客需购买4只茶壶，只（）茶杯， ∴优惠方法(1)的总费用为 ， 优惠方法(2)的总费用为 ， ∵方法(2)比方法(1)更省钱， ∴，化简得 ， 解得， ∵为正整数， ∴的最小值为 2．（24-25七年级下·江苏南通·月考）已知实数x，y，z满足，，若，则的最大值为（   ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，将问题转化为解不等式是解题的关键． 由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和 约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∴ 。 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴ 的最大值为 ， 此时， 故最大值为， 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南株洲·期末）正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，例如：，则满足等式的正整数的个数为（　　） A．2 B．3 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用不等式[x]≤x即可求出满足条件的n的值． 【详解】解：若，，有一个不是整数， 则或者或者， ∴， ∴，，都是整数，即n是2，3，6的公倍数，且n＜100， ∴n的值为6，12，18，24，......96，共有16个， 故选：D． 4．（25-26七年级下·全国·周测）已知是关于的一元一次不等式，则的值为_____，不等式的解集是_____． 【答案】 3 【分析】根据“一元一次不等式”的定义，确定未知数的值．然后，将的值代入原不等式，解出不等式的解集． 【详解】解：①求的值： 根据一元一次不等式的定义，我们得到： 由，解得，∴或． ∵， ∴． 综上，． ②解不等式： 将代入原不等式，得： ． ∴的值为，不等式的解集是． 故答案为①②． 5．（24-25七年级下·全国·周测）已知二元一次方程的一个解为，则关于b的不等式的解是_____________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，一元一次不等式，正确的计算是解题的关键． 由方程的解可得，代入不等式并化简，求解关于的不等式即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的解， ∴． 代入不等式 ，得 ， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）精益宏达公司为进一步扩大影响力，提升市场知名度，准备向某工厂订制10套吉祥物送给顾客．已知一套吉祥物需A，B，C三种配饰品共190个组成，且要求所需A配饰品数量不得超过45个，B配饰品数量恰好是A配饰品数量的3倍，B配饰品数量不得低于A，C两配饰品数量之和．该工厂经过试验，发现工人的制作能力情况是：每个工人每天可制作20个A配饰品或30个B配饰品或10个C配饰品．若该工厂安排一批工人恰好10天能完成此次订制任务，则制作一套这种吉祥物所需B配饰品的数量是______个． 【答案】120 【分析】设一套吉祥物中A配饰品数量为x个，则B配饰品数量为个，C配饰品数量为y个。根据总数量关系得，即；由B数量不低于A和C数量之和得，代入y得，且，结合工人制作效率及10天完成10套任务，推导出x必须为20的倍数，在32至45范围内仅有满足条件，故B配饰品数量为个． 本题考查了不等式的应用，方案问题，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：设一套吉祥物中A配饰品数量为个，则B配饰品数量为个，C配饰品数量为个， 根据总数量关系得，即； 由B配饰品数量不低于A和C配饰品数量之和：， 代入得， 简化得， 解得， 由ｘ是正整数， 故； 又A配饰品数量不得超过45个， 故 因此的取值范围为，且是正整数； 根据题意，工厂生产10套吉祥物， A配饰品总数量为个，总B配饰品数量为个，总C配饰品数量为个， 设a个工人制作A配饰品，b个工人制作B配饰品，c个工人制作C配饰品， 根据工人制作效率： 制作A配饰品：， 故； 制作B配饰品：， 故； 制作C配饰品：， 故， 由a、b、c都是正整数， 故，，为整数，即为20的倍数， 故为20的倍数， 又， 故， 此时B配饰品数量为个． 故答案为：120． 7．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知三个正整数a、b、c，满足，且，则___________． 【答案】14 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，得出，由此可得，根据a为正整数，得出或4，然后分类讨论，同理求出b的范围，确定b的值，再求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵三个正整数a、b、c，满足， ， ， 又 ， ， ， ∵， ∴， ∵a为正整数， ∴或4，, 当时，代入，得：， 同理：， 解得：， ， ， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 解得，不是正整数，舍去； 当时，， 解得， ∴此时； 当时，代入，得：， 同理：， 解得：， ∵， ∴， ∵b为正整数， ∴此时没有符合题意的b存在； 综上分析可知：； 故答案为：14． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商店销售A，B两种水果，A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg．妈妈让小明到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg．设小明买m kg A水果． (1)若这两种水果按标价出售且合计付款不超过50元，求m的取值范围． (2)小明到这家商店后，发现A，B两种水果有优惠活动：A水果打七五折；一次性购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折．若小明合计付款48元，求m的值（注：“打七五折”指按标价的75%出售）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找出数量关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设小明买 水果，则买了 水果．根据合计付款不超过元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题； （2）设小明买 水果，则买了 水果．根据小明合计付款元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小明买 水果，则买了 水果． 由题意，得， 解得， 又∵， ∴的取值范围为． （2）解：设小明买 水果，则买了 水果． 由题意，得， 解得． 答：的值为． 9．（25-26七年级下·江苏淮安·期末）“绿水青山，就是金山银山”某旅游景区为了保护环境，需购买、两种型号的垃圾处理设备，已知台型设备和台型设备日处理能力一共为吨；台型设备和台型设备日处理能力一共为吨． (1)求台型设备、台型设备日处理能力各多少吨？ (2)若购买、两种型号的垃圾处理设备共台、两种型号均购买，并且它们的日处理能力不低于吨．请你为该景区设计购买、两种设备的方案； (3)已知每台型设备价格为万元，每台型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于万元时，则按折优惠；问：采用中设计的哪种方案，使购买费用最少，并说明理由． 【答案】(1)设备处理能力为一天吨，设备一天吨； (2)一共有2种方案，方案：买设备台，设备台；方案②：买设备台，设备台； (3)采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及费用最值问题，解题的关键是根据题意列出方程组和不等式，准确计算各方案费用并比较． （1）设未知数，根据两种设备组合的日处理能力列出方程组，求解得出两种设备的日处理能力； （2）设购买A设备台数，结合总台数和日处理能力要求列不等式，根据“A、B均购买”确定正整数解，得出购买方案； （3）分别计算各有效方案的货款，判断是否符合优惠条件，计算实际费用后比较大小． 【详解】（1）解：设1台A型设备日处理能力为吨，1台B型设备日处理能力为吨， 由题意得， 由得，代入得， 解得， 则， 答：1台A型设备日处理能力吨，1台B型设备日处理能力吨． （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 由题意得， 解得， ∵为正整数（A、B两种型号均购买）， ∴或，对应的购买方案方案①：购买A型设备1台，B型设备台； 方案②：购买A型设备2台，B型设备台； 答：两种方案，分别为购买A型设备1台、B型设备台和A型设备2台、B型设备台． （3）解：方案①：货款万元， ∵，享受折优惠， 实际付款万元； 方案②：货款万元， ∵，不享受优惠， 实际付款万元； ∵， ∴方案①（购买A型设备1台、B型设备台）费用最少． 答：采用购买A型设备1台、B型设备台的方案，购买费用最少． 10．（25-26七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于线段、线段和点，给出如下定义：记的面积为，的面积为，若满足，则称点为线段和线段的“－划分点”．已知点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)若，则 ①当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是______； ②当时，在第二、四象限的角平分线上是否存在线段和线段的“－划分点”？若存在，请求出其坐标；若不存在，请说明理由； (2)已知四边形是以为中心的正方形，其中顶点的坐标为．若正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足，请你直接写出的取值范围． 【答案】(1) 和； 当时，在第二、四象限的角平分线上存在线段和线段的“－划分点”，其坐标为，； (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查平面直角坐标系，坐标与图形，一元一次不等式． （1）由，可得点的坐标，点的坐标，从而可得三角形的面积，根据题意可知，当时，，即可得线段和线段的“－划分点”；假设在第二、四象限的角平分线上存在点为线段和线段的“－划分点”，根据题意可知，当时，，按照点在第二象限的角平分线上和点在第四象限的角平分线上进行分类讨论，分别求出点的坐标即可； （2）点的坐标为，点的坐标为，由，可得，点和点重合，满足题意，按照，进行分类讨论，数形结合，可得关于的一元一次不等式，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴当时，点的坐标为，点的坐标为， 当时，， ∵，，，，，， ∴，，，， ∴， ， ， ， ， ， ∴，，， ∴当时，在点，，中，是线段和线段的“－划分点”的是和． 故答案为：和． 假设在第二、四象限的角平分线上存在点为线段和线段的“－划分点”， 当时，， 当点在第二象限的角平分线上时， ， ， ∴， 解得， ∴， 当点在第四象限的角平分线上时， ， ， ∴， 解得， ∴， ∴当时，在第二、四象限的角平分线上存在线段和线段的“－划分点”，其坐标为，． （2）解：点的坐标为，点的坐标为， 当，即时，点和点重合，， 此时，点，正方形与没有交点，正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”， 当，即时，随着增大，减小，正方形向左运动， 此时，，不符合题意， 当时，取中点，， 当点在直线上时，始终有，此时， 取靠近的三等分点，此时， 当点在直线上运动时，始终有，此时， ∵正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足， ∴正方形在的内部， 当，即时，，， 此时，，，，，点在直线上， ∴满足题意， 当点在延长线上，且时，， 此时，，， ∵正方形的所有点均为线段和线段的“－划分点”，且满足， ∴正方形在直线左侧， ∴， 解得， ∴的取值范围是或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $