第11章 不等式与不等式组【章节复习培优讲义】知识梳理+十九大考点讲练+真题演练+分层训练 共53题-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 第十一章 不等式与不等式组『章节复习培优讲义』 （原卷版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 生活中的不等式 2 知识点二 不等式的解及解集 2 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 解一元一次不等式 3 知识点五 一元一次不等式实际问题 4 知识点六 一元一次不等式组 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练一 不等式及其解集 6 考点讲练二 不等式的性质 6 考点讲练三 一元一次不等式的定义 7 考点讲练四 求一元一次不等式的解集 7 考点讲练五 求一元一次不等式的整数解 7 考点讲练六 在数轴上表示不等式的解集 7 考点讲练七 求一元一次不等式解的最值 7 考点讲练八 列一元一次不等式 8 考点讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 8 考点讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 9 考点讲练十一 求不等式组的解集 9 考点讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 10 考点讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 10 考点讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 10 考点讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 11 考点讲练十六 列一元一次不等式组 11 考点讲练十七 不等式组的经济问题 11 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 12 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 13 中考真题 实战演练 13 难度分层 闯关训练 15 基础夯实 能力提升 15 创新拓展 拔尖冲刺 15 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 考点讲练一 不等式及其解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点讲练二 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·期中）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 考点讲练三 一元一次不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为___________ 考点讲练四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）不等式的的解集为______． 【变式训练】（25-26七年级下·上海虹口·期中）不等式的解集是______． 考点讲练五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【变式训练】（25-26七年级下·浙江金华·期末）写出不等式的一个正整数解_____． 考点讲练六 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把其解集在数轴上表示出来． 【变式训练】（2026·山西晋中·一模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 考点讲练七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________； 考点讲练八 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据“的2倍与3的差不小于10”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：________． 考点讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 考点讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作为，到轴的距离记作为． (1)若，则_______； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第二象限，且（为常数），求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 考点讲练十一 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组 的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 考点讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解不等式组，并求它的整数解． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算、解不等式组： (1)； (2)求不等式组的整数解． 考点讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集是，求的值． 【变式训练】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B．3 C．4 D． 【变式训练】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是______ 考点讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在关于x，y的方程组中，未知数x，y满足，，求m的取值范围． 考点讲练十六 列一元一次不等式组 【典例分析】（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次，若表示小明每分钟跳绳的次数，则用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 考点讲练十七 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障是战胜病毒的重要手段．北京生物公司需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，3辆A型冷链运输车与4辆B型冷链运输车一次可以运输440箱疫苗；4辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输470箱疫苗． (1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少箱疫苗． (2)我市计划一共用10辆这两种冷链运输车运输一批疫苗，每辆A型车一次需费用4000元，每辆B型车一次需费用2000元，若运输疫苗箱数多于600箱，且总费用不多于32000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少元？ 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，已知甲商品进价为15元一件，售价为20元一件，乙商品进价为35元一件，售价为45元一件．（注：获利售价进价） (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，共有哪几种购货方案？ 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江·期末）春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少10，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少5，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数） (1)求x，y的关系式． (2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值． 【真题演练1】（2024·重庆·中考真题）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（　　） ①（为圆周率）： ②如果，则实数x的取值范围为． ③若，则 ④满足的所有x的值有且只有五个． A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练2】（2024·福建厦门·中考真题）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【真题演练3】（2024·上海·中考真题）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 【真题演练4】（2024·北京朝阳·中考真题）已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为_______ 【真题演练5】（2024·四川成都·中考真题）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 基础夯实 能力提升 1.已知实数x，y满足，则下列结论中正确的是（   ） A．满足条件的值有两个整数 B． C． D． 2.若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 3.在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，则a的值为_______． 4.若点在第二象限，则整数m的值为______． 5.不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级下·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 4．（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知a，b满足．且a，b的值分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)直接写出a，b的值： ， ； (2)A、B两点沿着数轴运动，点A以4个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向右运动，求两点出发几秒后所表示的点为的中点； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，求线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 第十一章 不等式与不等式组『章节复习培优讲义』 （解析版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点一 生活中的不等式 2 知识点二 不等式的解及解集 2 知识点三 不等式的基本性质 3 知识点四 解一元一次不等式 3 知识点五 一元一次不等式实际问题 4 知识点六 一元一次不等式组 5 重点难点 考点讲练 6 考点讲练一 不等式及其解集 6 考点讲练二 不等式的性质 7 考点讲练三 一元一次不等式的定义 8 考点讲练四 求一元一次不等式的解集 8 考点讲练五 求一元一次不等式的整数解 9 考点讲练六 在数轴上表示不等式的解集 9 考点讲练七 求一元一次不等式解的最值 10 考点讲练八 列一元一次不等式 12 考点讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 12 考点讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 14 考点讲练十一 求不等式组的解集 16 考点讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 17 考点讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 18 考点讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 19 考点讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 20 考点讲练十六 列一元一次不等式组 21 考点讲练十七 不等式组的经济问题 22 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 23 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 26 中考真题 实战演练 27 难度分层 闯关训练 32 基础夯实 能力提升 32 创新拓展 拔尖冲刺 35 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 考点讲练一 不等式及其解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 【变式训练】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）下列式子中：①，②，③，④，不等式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据不等式的定义判断各个式子是否为不等式，统计个数即可得到答案． 【详解】解：①使用不等号连接，是不等式． ②使用等号连接，是等式，不是不等式． ③使用不等号连接，是不等式． ④是多项式，没有不等号连接，不是不等式． 不等式共有个． 考点讲练二 不等式的性质 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·期中）若，则下列不等式一定成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的三个基本性质逐一判断选项即可得到结论. 【详解】解：A、 根据不等式性质1，两边同时减3，可得，因此A错误，不符合题意； B、 根据不等式性质3，两边同时乘，可得，因此B错误，不符合题意； C、 根据不等式性质3，两边同时乘，可得，再根据不等式性质1，两边同时加3，可得，因此C正确，符合题意； D、 根据不等式性质2，两边同时除以2，可得，因此D错误，不符合题意 【变式训练】（25-26七年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的不等式，两边都除以，得． （1）a的取值范围是_______； （2）化简的结果为_______． 【答案】 / 【分析】（1）根据不等式的基本性质得出，求出a的取值范围即可； （2）根据得出，，再根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：（1）不等式两边除以后，不等号方向改变， ∴， 解得：． （2）， ∴，， ． 考点讲练三 一元一次不等式的定义 【典例分析】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义， 根据一元一次不等式的定义逐个判断，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 【详解】解：因为不是一元一次不等式，所以A不符合题意； 因为是二元不等式，所以不符合题意； 因为是二次不等式，所以C不符合题意； 因为是一元一次不等式，所以D符合题意. 故选：D. 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为___________ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．利用一元一次不等式的定义判断即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，， 解得：， 故答案为：． 考点讲练四 求一元一次不等式的解集 【典例分析】（25-26七年级下·上海·月考）不等式的的解集为______． 【答案】 【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 【变式训练】（25-26七年级下·上海虹口·期中）不等式的解集是______． 【答案】 【详解】解：， ， ． 考点讲练五 求一元一次不等式的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）不等式的最小整数解是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式的解集及确定最小整数解．先求出不等式的解集，然后确定最小整数解即可． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 解得， ∵大于等于的最小整数是， ∴该不等式的最小整数解是． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江金华·期末）写出不等式的一个正整数解_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求不等式的整数解．解不等式得到，然后找出满足条件的正整数解． 【详解】解：解不等式，得．因此，正整数解为所有小于的正整数，例如或． 故答案为：（答案不唯一）． 考点讲练六 在数轴上表示不等式的解集 【典例分析】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）解不等式，并把其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，数轴见详解 【分析】首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得： 在数轴上表示： ． 【变式训练】（2026·山西晋中·一模）不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可，注意不等式的两边同时除以一个负数时不等号的方向要改变． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 在数轴上表示为： 考点讲练七 求一元一次不等式解的最值 【典例分析】（24-25七年级下·山东威海·期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话： 小明：在求解的过程中要改变不等号的方向； 小强：求得不等式的最小整数解为． 根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式的最小整数解，最后得出选项即可． 【详解】解：A．， ， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解不是，故本选项不符合题意； B．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； C．， ， ， ， （不等号的方向改变了）， 所以不等式的最小整数解是，不是，故本选项不符合题意； D．， ， ， ， （不等号的方向改变）， 所以不等式的最小整数解是，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一元一次不等式的最大整数解为_____________； 【答案】-1 【分析】先化简不等式，再求解即可． 【详解】解：， ， 则最大整数解为：-1． 故答案为：-1． 考点讲练八 列一元一次不等式 【典例分析】（25-26七年级下·全国·单元测试）根据“的2倍与3的差不小于10”列出的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确理解题意是解题关键． 直接根据的倍与的差即，再利用不小于即大于等于，进而得出不等式． 【详解】解：∵“的倍”为，“与的差”为，“不小于”即， ∴不等式为， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是不等式唯一的正整数解，写出一个满足条件的不等式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据题意列出符合条件的不等式是解题的关键． 根据题意，写出符合条件的不等式即可． 【详解】解：根据题意得：（答案不唯一）． 考点讲练九 用一元一次不等式解决实际问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度，行人通常会在红灯亮起前通过马路，若一条人行横道全长24米，小华以的速度匀速通过该人行横道，但行至离起点处时，8秒倒计时灯亮了，小华要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的（    ） A．1.6倍 B．1.7倍 C．1.8倍 D．2倍 【答案】B 【分析】先计算出剩余需要走的路程，再根据8秒内通过马路的要求列不等式，求解得到最小倍数，进而结合实际情况作答即可． 【详解】解：设小华的速度要提高到原来的倍， ∵人行横道全长24米，小华行至离起点处， ∴剩余路程为米， 要在红灯亮起前也就是8秒内通过马路，可得不等式： 化简得， 解得， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． 【变式训练】（25-26七年级下·全国·课后作业）为加大污水处理量，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（吨/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，求该治污公司有哪几种购买方案． 【答案】(1) (2)有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备，方案2：购买1台A型设备，9台B型设备，方案3：购买2台A型设备，8台B型设备 【分析】（1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买m台A型设备，根据治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，列出不等式，进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意得，解得； （2）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意，解得． ∵m为非负整数， ∴m可以为0，1，2， ∴该治污公司有3种购买方案，方案1：购买10台B型设备；方案2：购买1台A型设备，9台B型设备；方案3：购买2台A型设备，8台B型设备． 考点讲练十 用一元一次不等式解决几何问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作为，到轴的距离记作为． (1)若，则_______； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第二象限，且（为常数），求的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）求出点M的坐标，即可进行解答； （2）根据得出，结合将绝对值符号去掉，求出t的值，即可得出M的坐标； （3）根据第二象限内点的坐标特征得出，，代入得出，即可求解． 【详解】（1）解；∵， ∴点的坐标为，即， ∴， 故答案为：7； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，即； （3）解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，解得：． 【变式训练】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是． (1)______（用含m的代数式表示）； (2)求当与的差不小时，m的最小整数值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）． （2）∵与的差不小于， ∴， ∵，， ∴， ∴，m的最小整数值为7． 考点讲练十一 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·河南南阳·期中）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 画数轴如下： 【变式训练】（25-26七年级下·河南周口·期中）不等式组 的解集正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解： ， 解不等式， 移项得， 解不等式， 移项得， 两边同除以得， 原不等式组的解集为． 考点讲练十二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（25-26七年级下·重庆·月考）解不等式组，并求它的整数解． 【答案】解集为，不等式组的整数解为，，，， 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的整数解有，，，，． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算、解不等式组： (1)； (2)求不等式组的整数解． 【答案】(1) (2)，不等式组的整数解为1，2 【分析】（1）先求出算术平方根和立方根，化简绝对值，然后计算加减法即可； （2）先确定不等式的解集，然后即可得出不等式组的解集， 最后确定整数解即可． 【详解】（1）解： ； ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 又为整数， ，2 ． 原不等式组的整数解为 1 ， 2 ． 考点讲练十三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集是，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分别表示不等式组的解集，根据已知解集确定出与的值，即可求出原式的值． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意，得解得 ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·山西太原·月考）已知关于的不等式组有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先解不等式组，得到解集为，由于有且只有两个整数解，可知整数解为和，因此需满足，从而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴不等式组的解集为； ∵有且只有两个整数解， ∴整数解为和； ∴； ∴； 故选：B． 考点讲练十四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的不等式组的解集为，则为（   ） A．1 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组中的两个一元一次不等式，根据已知解集对应得到关于的方程，求出的值后代入计算即可． 【详解】解： 解，得 解，得 ∴不等式组的解集为 ∵已知不等式组的解集为 ∴ 解得 ∴ ∴． 【变式训练】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）不等式的解都能使不等式成立，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】解不等式即可得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∵使不等式成立， ∴， 则． 考点讲练十五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知关于x，y的方程组的解都为非负数，且满足，，若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】解方程组得出，由方程组的解都是非负数得，解之可得，据此得出，即，结合知，继而得出，由，结合b的取值范围再求出a的另一个范围，两者结合可最终确定a的范围，从而得出的范围，即可得出答案． 本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a的取值范围和b的取值范围是解答此题的关键． 【详解】解：解方程组，得， ∵方程组的解都是非负数， ∴，解得：， ∴， 则， ∵，即， ∴， ∵， ∴b的范围是， 则， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）在关于x，y的方程组中，未知数x，y满足，，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，二元一次方程组的解，熟练掌握解法是关键． 先解方程组求出方程组的解，然后根据列出关于m的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：解方程组，得， 由则有， 解得：． 考点讲练十六 列一元一次不等式组 【典例分析】（25-26七年级下·河南新乡·期中）小明一家在自驾旅游时，发现某段高速公路上对行驶汽车的速度有如下规定：设该段高速公路上小客车的速度为（），则满足的条件是（    ） 最高限速 小客车 大型客车 货车 最低限速 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵由表格信息可得，该段高速公路小客车的最高限速为，所有车辆的最低限速为． ∴小客车速度需要同时满足不低于最低限速和不高于最高限速，即，整理得． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次，若表示小明每分钟跳绳的次数，则用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“小明每分钟跳绳次数的正常范围为少于110次，但不少于70次”，即可列出关于x的一元一次不等式组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 考点讲练十七 不等式组的经济问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 【详解】解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆·期末）夏天天气炎热，西瓜作为消暑水果需求量大增，某水果批发公司需要考虑从农场运输西瓜到城市销售，已知3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜． (1)求每辆A型货车和每辆B型货车一次分别可以运输多少吨西瓜？ (2)该公司计划用两种货车共12辆运输一批西瓜，A型货车运输一次费用为1500元，B型货车运输一次费用为2000元，若运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元，请你列出所有运输方案． 【答案】(1)每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； (2)一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜，根据3辆A型货车与2辆B型货车一次可以运输34吨西瓜，5辆A型货车与3辆B型货车一次可以运输54吨西瓜建立方程组求解即可； （2）设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆，根据运输西瓜总量不少于85吨，且总费用少于23000元建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型货车一次可以运输x吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输y吨西瓜， 由题意得，， 解得， 答：每辆A型货车一次可以运输6吨西瓜，每辆B型货车一次可以运输8吨西瓜； （2）解：设使用A型货车m辆，则使用B型货车辆， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为3或4或5， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：方案一、使用A型货车3辆，使用B型货车9辆；方案二、使用A型货车4辆，使用B型货车8辆；方案一、使用A型货车5辆，使用B型货车7辆． 考点讲练十八 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（24-25七年级下·云南曲靖·期末）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障是战胜病毒的重要手段．北京生物公司需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，3辆A型冷链运输车与4辆B型冷链运输车一次可以运输440箱疫苗；4辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输470箱疫苗． (1)求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少箱疫苗． (2)我市计划一共用10辆这两种冷链运输车运输一批疫苗，每辆A型车一次需费用4000元，每辆B型车一次需费用2000元，若运输疫苗箱数多于600箱，且总费用不多于32000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输80箱疫苗、50箱疫苗 (2)方案一：A型车4辆，B型车6辆，方案二：A型车5辆，B型车5辆，方案三：A型车6辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是28000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用． （1）根据3辆A型冷链运输车与4辆B型冷链运输车一次可以运输440盒；4辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输470盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用2000元，运输疫苗箱数多于600箱，且总费用不多于32000元，可以列出相应的不等式组，然后根据车辆数为整数和租用A型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和所需费用最少的方案，进而计算出最少费用即可． 【详解】（1）解：设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗， 由题意可得，， 解得， 答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输80盒疫苗、50盒疫苗； （2）解：设A型车a辆，则B型车辆， 由题意可得，， 解得， ∵a为正整数， ∴，5，6， ∴共有三种运输方案， 方案一：A型车4辆，B型车6辆， 方案二：A型车5辆，B型车5辆， 方案三：A型车6辆，B型车4辆， ∵A型车一次需费用4000元，B型车一次需费用2000元，计划用两种冷链运输车共10辆运输这批疫苗， ∴A型车辆越少，费用越低， ∴方案一所需费用最少，此时的费用为：（元）， 答：共有三种运输方案，方案一：A型车4辆，B型车6辆，方案二：A型车5辆，B型车5辆，方案三：A型车6辆，B型车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用是28000元． 【变式训练】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，已知甲商品进价为15元一件，售价为20元一件，乙商品进价为35元一件，售价为45元一件．（注：获利售价进价） (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4290元且销售完这批商品后获利多于1260元，共有哪几种购货方案？ 【答案】(1)甲种商品购进100件，乙种商品购进60件； (2)有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 【分析】本题考查的一元一次不等式组的应用和一元一次方程的应用． （1）设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进件，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）设甲种商品应购进x件，则乙种商品应购进件， 根据题意得： 解得： 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件； （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进件． 根据题意得 ． 解不等式组，得． ∵a为非负整数， ∴a取66，67． ∴相应取94，93． ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 考点讲练十九 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为______． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设去过峨眉山的人数为x，根据给定的三个条件，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：设去过峨眉山的人数为x人，去过五台山的人数为y人， 由题意得：， ∵x，y为整数， 由可得， 结合，可得， 即， 又∵， ∴， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为6， ∴去过峨眉山的人数的最大值为6． 故答案为：6． 【变式训练】（25-26七年级下·浙江·期末）春节前，某单位要举行新春联欢会，采购人员预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个．采购员来到第一家商店，发现甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少10，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1529元．来到第二家商店，发现甲、乙两种商品每个都涨价1元，若购买甲商品的个数比预计数少5，乙商品的个数保持不变，则甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（x，y是正整数） (1)求x，y的关系式． (2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205但小于210，求x，y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的实际应用-销售问题． （1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，根据题意列出三个方程，再求出关系式； （2）先根据题意得出不等式组，并结合（1）结论可得解集，进而得出答案． 【详解】（1）解：设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元， 根据题意，得， 整理，得， 即， 所以x，y的关系式为； （2）解：依题意有，且， 解得， 由y是整数得，从而得， 所以x的值为76，y的值为 55． 【真题演练1】（2024·重庆·中考真题）新定义：对非负实数x用“四舍五入”的法则精确到个位的值记为，下列说法正确的个数为（　　） ①（为圆周率）： ②如果，则实数x的取值范围为． ③若，则 ④满足的所有x的值有且只有五个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据四舍五入法则及不等式的性质依次判断计算即可． 【详解】解：①∵ ∴（为圆周率），正确，符符合题意； ②， ∴， ∴，正确，符合题意； ③∵， ∴x的小数部分小于0.5，（四舍） ∴x+0.5的小数部分大于0.5，（五入） 则，正确，符合题意； ④设，k为整数， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ∴的所有x的值有且只有五个，符合题意； 故选：D． 【真题演练2】（2024·福建厦门·中考真题）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若．则的最小值为；④若时，则； 其中正确的有（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】解方程组得，①当时，解得t=0，符合；②当时，得t=1，不符合题意；③当时，得，可判断；④当时，得，可判断． 【详解】解：解方程组得， ①当时，则，解得t=0，符合题意，故正确； ②当时，(2t+1)-(t-1)=3，解得t=1，不符合题意，故错误； ③当时，M=2t+3，∵，∴，符合题意，故正确； ④当时，，即，∴，不符合题意，故错误． 故选：B． 【真题演练3】（2024·上海·中考真题）一个四位自然数，各个数位上的数字均不为，若满足千位数字和百位数字的积加上十位数字和个位数字的积，所得的和为，则称四位数为“快乐数”．如，＋，是“快乐数”，最大的“快乐数”是___________；若一个“快乐数”，百位数字与个位数字相等，千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍，则满足条件的所有四位自然数的和为___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解新定义是解题的关键．设四位数为，由新定义得，当时，，或，即可求解；由新定义可设，可得，，结合、、的取值范围，即可求解． 【详解】解：设四位数为， ， 当时， ， 或， 当时， ， ， ，， 或，， 故这个四位数是或， 最大的“快乐数”是； “快乐数”，百位数字与个位数字相等， 可设， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 千位数字与百位数字的和减去十位数字与个位数字的和，所得的差是的整数倍， ，为整数， ， ， 当时，， ； 当时，， ； 为或， ； 故答案为：，． 【真题演练4】（2024·北京朝阳·中考真题）已知非负实数x，y，z满足， 设，则的最大值与最小值的和为_______ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组．解此题的关键是设比例式：，根据已知求得的取值范围． 首先设，求得，，，又由，，均为非负实数，即可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：设， 则，，， ，，均为非负实数， ， 解得， 于是， ， 即． 的最大值是，最小值是， 的最大值与最小值的和为， 故答案为：． 【真题演练5】（2024·四川成都·中考真题）对、定义一种新运算，记为：． (1)若，如：，则________； (2)若，（其中、为常数），且，． ①求、的值； ②若关于的不等式组，现定义一个新数，在不等式组恰好有3个整数解的条件下，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)①，；② 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，有理数的混合运算． （1）利用新运算所给的等式进行计算即可； （2）①利用新运算得到关于a，b的方程组，解得a，b的值即可； ②利用新运算得到关于m的不等式组，解得m的取值范围（含有k），根据不等式组有3个整数解的条件得到m，k的取值范围，进而求得新数n的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：8； （2）解：①已知， 把和分别代入可得方程组： ， 解得； ②由①知，， 所以， 则不等式组可化为： ， 解第一个不等式： ， ， ， ， 解第二个不等式： ， ， ， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组恰好有3个整数解，所以这3个整数解为0，1，2，则， 解得； 解得， 所以， 又因为 ， 由且，可得， 当时，； 当时，（取不到）． 所以， 即在不等式组恰好有3个整数解的条件下，n的取值范围是． 基础夯实 能力提升 1.已知实数x，y满足，则下列结论中正确的是（   ） A．满足条件的值有两个整数 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式结合，求出和的取值范围，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得 ， 将y的范围代入， 得， 对选项A：∵ ，x的整数只有，共1个，A错误； 对选项B：∵ ，B错误； 对选项C：， ∵ ∴ ，即 ，C错误； 对选项D：， ∵， ∴，即 ，D正确． 2.若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． 3.在平面直角坐标系中，已知点在x轴的负半轴上，则a的值为_______． 【答案】 【分析】根据点在x轴的负半轴上，可得，且，即可求解． 【详解】解：∵点在x轴的负半轴上， ∴，且， 解得：，且， ∴． 4.若点在第二象限，则整数m的值为______． 【答案】3 【分析】根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 由①得：， 由②得：， ∴， ∴整数m的值为3． 5.不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集． 【答案】，数轴表示见解析． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 如图，在同一数轴上表示出不等式①②的解集： ∴原不等式组的解集为． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）当，，且满足时，恒成立．则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式．熟练掌握解不等式，是解题的关键． 由已知得，得，的最小值为4，，得 ，即得． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴的最小值为4， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）定义：我们把互不相等的三个正整数，3，5放在一起（排列不分顺序），组成一个数串称为特征数串，现操作如下：用一个特征数串三个数中最大的数减去其它两个数之积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若这个新数串仍为特征数串时，就可进行再次操作，否则停止，下列说法： ①特征数串17，3，5经过操作后可以得到新数串1，2，3； ②若特征数串，3，5经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或2； ③若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有6种不同的取值． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查新定义，数字的变化规律，根据其定义进行分析判断是解决该类问题的关键． 根据题中的操作将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，再根据定义进行检验判断新得到有效数串是否为有效数串即可求出结论． 【详解】解：①若特征数串17，3，5， ∵ ∴第一次替换后新数串为2，3，5， ∵ ∴第二次替换后新数串为1，2，3， 故①正确； ②若特征数串，3，5， ∵经过一次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴5被替换，即5为最大数， ∴或， ∵x为正整数， ∴或， 故②正确； ③若特征数串，3，5， 分两种情况：（1）当为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：、3、5， 经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，5被替换， ∴，解得： 新数串为：、3、或， ∵特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3， ∴当，或， ∴或， 特征数串为16，3，5；或14，3，5； 当，或， ∴或； 特征数串为13，3，5；或17，3，5； （2）当5为最大数时，则第一次替换后新特征数串为：x、3、， ∵经过第二次变换后，新数串为1、2、3， 则可知，第二次操作，x或被替换， 当x最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3， 当， 时 ∴（舍去） 当，时， ∴无解； 当最大时，则，解得：， ∴新数串为：，3，x， 当， 时 解得：（舍去）； 当， 时 无解； 综上，若特征数串，3，5经过两次操作后得到的新数串为1，2，3，则共有4种不同的取值． 故③错误； ∴有①②正确，共2个． 故选：C． 3．（25-26七年级下·浙江金华·自主招生）已知不等式组有且仅有一个整数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，再根据不等式组有且仅有一个整数解，从而确定a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下： ∵不等式组有且仅有一个整数根， ∴2是不等式组的整数解，1不是不等式组的整数解， ∴a的取值介于1和2之间（且可以等于1）， ∴a的取值范围是． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏南通·月考）不等式组的解集是，实数a满足的条件是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）已知a，b满足．且a，b的值分别是点A、B在数轴上对应的数． (1)直接写出a，b的值： ， ； (2)A、B两点沿着数轴运动，点A以4个单位长度/秒的速度向左运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向右运动，求两点出发几秒后所表示的点为的中点； (3)有一动点P从表示的点出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，动点Q从表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动．点P比点Q先出发1秒，设点Q运动的时间为t秒，求线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质等知识定，明确题意、找准等量关系，列出方程是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）表出A、B坐标，利用中点公式列方程求解即可； （3）表出P、Q坐标，结合范围求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：设t秒后，A表示，B表示， ∵中点为， ∴，解得． （3）解：∵P先出发1秒，运动时间， ∴点P表示的数为，Q表示； ∵对应到3， 当点P在点Q点左侧，即时，线段对应的范围是到， ∴ ，解得：； 当点P在点Q点右侧，即时，线段对应的范围是到， ，解得：， 当点P在点Q点重合时，线段PQ对应的范围是到， ∴ ，解得：. 综上，线段与线段有重合部分时时间t的取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $