精品解析：陕西商洛市2026年高三年级第二次模拟考试数学试题

商洛市2026年高三年级第二次模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合，，在数轴上合并两个集合的范围可得： 所有元素覆盖的区间是从（包含）到（不包含），即. 2. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，则， 则其在复平面所对应的点坐标为， 则对应的点位于第一象限. 3. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 4 6 7 8 根据上表可得经验回归方程，据此估计，当投入万元广告费时，销售额为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】D 【解析】 【详解】由上表可知：，， 样本点的中心为， 代入经验回归方程，得， 经验回归方程为， 将代入可得， 当投入万元广告费时，销售额为万元． 4. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】由，，，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为9. 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 7. 在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则（ ） A. B. 2或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何应用得到、，再应用向量数量积的运算律、定义及已知得，即可求. 【详解】由条件知，若是中点，连接， 由是的中点，则，且， 由是上靠近的三等分点，则， 所以，则， ， ， ， 又，所以， 设，，则， 所以或，所以或. 8. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上，与轴垂直．若直线的斜率是直线的斜率的3倍，且，，点在的左支上，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线的方程，再根据双曲线的性质逐一分析选项. 【详解】由已知得，，， 因为点在双曲线上，且轴，， 不妨设，则，， 由，解得，又，所以， 所以双曲线方程为，将代入，得， 所以，所以，所以选项A错误； 双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 由，所以， 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义， ，所以， 所以， 当三点共线时，最小， 最小值为，所以选项C正确； 设，则， ， 所以当时，最小，最小值为，所以选项D错误. 故选：BC 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 对任意的，都有 D. 若，则（） 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知递推式，结合“调和数列”定义判断选项A；利用已知递推式，结合已知条件判断选项B；利用等差数列性质结合均值不等式判断选项C；构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，结合已知条件求解． 【详解】已知各项均为正数的数列满足， ， 数列是“调和数列”，故A正确； 若满足各项均为正数，且， 但是递减数列，故B错误； 已知为等差数列，故， ， 当且仅当时取等号，故C正确； 若，则，故， 令，求导得， ，解得，，结合得， 在上单调递减，在上单调递增， 则，， 即在时恒成立， （）， 即，即，即， ，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】由余弦定理知：，则： ， 由余弦定理得：， 即，解得或（舍）， ． 13. 某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 【答案】36 【解析】 【详解】当小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时： 当相同的兴趣课为“围棋”时，有种， 当相同的兴趣课不是“围棋”时，有种， 所以小胡和小张两位同学所选的兴趣课恰有一门相同时，共有24种. 当小胡和小张两位同学所选的兴趣课没有相同时，有， 所以两位同学不同的选课方案有 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】令，则，由得，进而得，作出的图象，利用数形结合即可求解；由题意，进而得，令，则，令，利用导数法研究单调性得，又时，，可得，即可求解. 【详解】令，则，所以，由， 因为，所以，作出的图像：    由图可知：有两个交点，所以的根的个数为2； 由有， 所以， 所以， 令，则，令，则， 所以在上单调递减， 所以当时，，所以， 又因为时，，所以，且当时，， 又当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由相邻两对称轴之间的距离求得周期，根据周期的计算公式求得； （2）由（1）得的解析式，根据图象变换法则得的解析式，从而求得在上的取值范围，再根据不等式在上恒成立，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为的图象相邻两对称轴间的距离为， 所以函数的周期为，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 由题意知，， 当时，，，即. 由在上恒成立， 得在上恒成立. 所以，解得. 故实数的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 取的中点，连接，，由等边可得， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，可证平面，从而证得，得为直角三角形； （2）建立空间直角坐标系，设（），由线面角的向量求法列得关于的方程，求出，即可得线段的长.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设（），则. 设平面的一个法向量，则 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， ， 即线段的长为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可； （2）令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为. 时，，， 令，易知在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由有两个零点得，方程在上有两个根， 所以，所以在上有两个根. 设，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且的极大值为， 又，当时，，且时，. 所以要使方程在上有两个根， 则直线与的图象有两个交点， 所以，故实数的取值范围为. 18. 国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为. （1）求和； （2）是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； （3）若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? 【答案】（1）， （2）存在，，， （3） 【解析】 【分析】（1）分第一次中奖与否两种情况分析，利用全概率公式可得；分别分析第二次中奖，及第二次未中奖第一次中奖与否的情况，利用全概率公式可得； （2）分析相邻次中奖间的概率关系，利用全概率公式可得数列的递推公式，从而得的值； （3）先分析获得优惠券的情形，分别求出从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率，再求出仅三次中奖的概率，最后用对立事件的概率关系可得. 【小问1详解】 由题意知， . 【小问2详解】 存在，理由如下： 因为每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，若第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为； 从初始状态开始，若第次未中奖而第次中奖，则第次抽奖中奖的概率为， 从初始状态开始，若第次未中奖且第次未中奖，则第次肯定中奖 ，所以第次抽奖中奖的概率为. 综上，对任意的，， 又，所以，，. 【小问3详解】 由题意知每抽三次至少有一次中奖，故连抽9次至少中奖3次， 所以只需排除3次中奖的情况即可获得一张优惠券， 另外每两次中奖的间隔不能超过三次，每次中奖后袋中的球会回到初始状态， 从初始状态开始，抽一次中奖的概率为， 从初始状态开始抽两次，第一次未中奖而第二次中奖的概率为， 从初始状态开始抽三次，前两次均未中奖而第三次中奖的概率为， 用表示第次，第次，第次中奖，其余未中奖， 则三次中奖的所有情况如下： ，，，，，，，，，， 故仅三次中奖的概率为： ， 所以从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为 . 19. 如图所示，已知抛物线：（），，，，是抛物线上的四个点，其中，在第一象限（在的左侧），，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.当经过的焦点且垂直于轴时，. （1）求的准线方程； （2）求证：； （3）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）证明：设，由，得， 若，则，直线的斜率不存在， 由对称性，知均在轴上，则三点共线； 若，则，直线的斜率存在，直线的斜率， 直线的方程为：，整理得， 同理直线的方程为，直线的方程为， 直线的方程为，由，得， 设，由线段与的中点分别为，得， 因此直线轴，设直线与线段的交点分别为， 将代入直线的方程，得； 将代入直线的方程，得， ， 又，则点重合，即为线段与的交点， 所以. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合抛物线通径的意义求出即可. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，进而求出分别与直线的交点横坐标即可得证. （3）由（2）的信息及已知求出点纵坐标差，再结合相似三角形性质求出三角形面积. 【小问1详解】 当经过抛物线的焦点且垂直于轴时，， 此时线段是的通径，即，得到，抛物线方程为， 所以抛物线的准线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，直线轴，由，得， 又，同理， 又由（2）得， 则，即， ，即， 由，得， 即， 则， 整理得，即，于是， 如图，过作的平行线，交于点， 则四边形为平行四边形，则，， 由，得，则， 由为的中点，得为的中点，因此， 所以的面积为6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2026年高三年级第二次模拟考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 4 6 7 8 根据上表可得经验回归方程，据此估计，当投入万元广告费时，销售额为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 4. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，是的中点，是上靠近的三等分点，交于点，若，则（ ） A. B. 2或 C. D. 或 8. 已知直线是函数和函数图象的公切线，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上，与轴垂直．若直线的斜率是直线的斜率的3倍，且，，点在的左支上，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是“调和数列” B. 数列是递增数列 C. 对任意的，都有 D. 若，则（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则______． 13. 某学校在新学期增设了“围棋”“象棋”“篮球”“乒乓球”和“羽毛球”这5种兴趣课，小胡和小张两位同学商量每人选报2门兴趣课，若两人所选的兴趣课至多有一门相同，且小胡必须选“围棋”这门兴趣课，则两位同学不同的选课方案有______种.（用数字作答） 14. 设函数，则关于的方程根的个数为______，其所有根之和的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数（）图象的相邻两对称轴之间的距离为. （1）求； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标缩小为原来的（横坐标不变），得到函数的图象，若在上恒成立，求实数的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 18. 国庆节期间，某超市举行购物抽奖活动.在抽奖活动中，初始时的袋子中有除颜色外其余都相同的2个白色小球和1个红色小球，每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把3个球的颜色重新变为2个白色小球和1个红色小球的初始状态.记第（，）次抽奖中奖的概率为. （1）求和； （2）是否存在实数，，，使得对任意的不小于4的正整数，都有？若存在，则求出，，的值；若不存在，请说明理由； （3）若累计中奖4次及以上可以获得一张优惠券，则从初始状态下连抽9次获得一张优惠券的概率为多少? 19. 如图所示，已知抛物线：（），，，，是抛物线上的四个点，其中，在第一象限（在的左侧），，在第四象限，满足，线段与交于点.记线段与的中点分别为.当经过的焦点且垂直于轴时，. （1）求的准线方程； （2）求证：； （3）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $