精品解析：黑龙江绥化市肇东市农村联考2026年九年级考前预测数学试题

2026年九年级肇东市农村第三次联考数学试题 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 3. 如图，下面的几何体由一个正方体和两个圆柱体组成，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 要使有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每个内角都相等的多边形是正多边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 两直线平行，同位角互补 D. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线 8. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组：，，，，，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B. 此时段平均等位时间小于20分钟 C. 此时段等位时间的中位数可能是27 D. 此时段有6桌顾客可享受优惠 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 12. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 分解因式：________________． 14. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学记数法表示为_________． 15. 如图，已知直线，一块的直角三角板如图放置，，若，则的度数为______． 16. 某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 17. 化简：的结果是___________． 18. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 19. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，ABx轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值为_____． 20. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值________________． 21. 如图，正方形的边长为1，以为边作第二个正方形，再以为边作第三个正方形…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为__． 22. 正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，四边形中，，平分． （1）尺规作图：过点D作，交于E；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 24. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛．现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息． 甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82 乙班20名学生的比赛成绩是： 55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100 甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 甲班 81 a 95 乙班 81 80 b 根据上述信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述表中的　 　，　 　，　 　； （2）你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若此次比赛成绩不低于80分为优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少． 25. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/和18元． （1）求出和时，y与x之间的函数关系式： （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额－成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案． 26. 【基础巩固】 　　 　　 （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 27. 如图，在中，，过点D作交于点E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的值； ②当时，求的长． 28. 如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； （3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级肇东市农村第三次联考数学试题 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟知二者的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； BCD既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 3. 如图，下面的几何体由一个正方体和两个圆柱体组成，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】从左边看，底层是一个正方形，正方形里面是一个内切圆，上层是一个正方形． 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 4. 要使有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是要求被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. =4≠-4，故此选项错误，不合题意；B.，故此选项错误，不合题意；C. 2a−a=a，故此选项错误，不合题意D. a⋅=，故此选项正确，符合题意；故选D. 6. 关于的一元二次方程的一个根为0，则实数的值是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义得到，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值． 【详解】解：把代入一元二次方程 得， 解得， 而， 的值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意． 7. 下列命题是真命题的是（ ） A. 每个内角都相等的多边形是正多边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 两直线平行，同位角互补 D. 过线段中点的直线是线段的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义分析判断即可． 【详解】解：A、每个内角都相等，每条边都相等的多边形是正多边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、过线段中点的垂直于线段的直线是线段的垂直平分线，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的定义、矩形的判定方法、平行线的性质、垂直平分线定义． 8. 某餐厅规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠．现统计了某时段顾客的等位时间t（分钟），数据分成6组：，，，，，如图是根据数据绘制的统计图．下列说法正确的是（ ） A. 此时段有1桌顾客等位时间是40分钟 B. 此时段平均等位时间小于20分钟 C. 此时段等位时间的中位数可能是27 D. 此时段有6桌顾客可享受优惠 【答案】D 【解析】 【分析】理解时段非某一固定时刻即可判断A选项；求出此时段平均等位时间即可判断B选项；利用中位数的定义即可判断C选项；根据题意“规定等位时间达到30分钟（包括30分钟）可享受优惠”结合统计图，即可求出可享受优惠的人数，即可判断D选项． 【详解】由题意和统计图可知此时段有1桌顾客等位时间是35-40分钟，不能说明一定是40分钟．故A选项错误，不符合题意； 此时段平均等位时间，故B选项错误，不符合题意； 由于共统计了35人，所以中位数落在区间是20-25分钟的时间段．故C选项错误，不符合题意； 由等位时间是30分钟以上的人数为5+1=6人，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查条形统计图，加权平均数以及中位数．根据统计图得到必要的信息是解答本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知，与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 10. 2023年我市在创建全国文明典范城市的进程中，为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设原计划每天植树x万棵，则实际每天植树万棵，根据“提前2天完成任务”即可列出方程． 【详解】解：设原计划每天植树x万棵，由题意得 ． 故选：A 11. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长等于（ ） A. 2 B. 3.5 C. 7 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，由条件确定出为的中位线是解题的关键．由菱形的周长可求得的长，再利用三角形中位线定理可求得答案． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且O为的中点． ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 故选B． 12. 如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（ ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤． 【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，， 它的对称轴为直线， ，， ， ，故①正确； 该抛物线的顶点在x轴的上方， 它的顶点的纵坐标，故②正确； 它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4， 当时，，故③正确； 由③知点B的横坐标在4与5之间， 它的对称轴为直线， 点A的横坐标在0与之间， 方程其中一个解的取值范围为，故⑤错误； 故当时，， ， ， 即，故④错误， 故正确的有①②③，共3个． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 分解因式：________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组目的是分组后能出现公因式或能应用公式． 14. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，按照定义，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，按要求表示即可得到答案，确定与的值是解决问题的关键． 【详解】解： 的6后面有6个位数，根据科学记数法要求表示为， 故答案为：． 15. 如图，已知直线，一块的直角三角板如图放置，，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，过点D作． ∵，∴， ∴，， ∴， ∴． 16. 某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱垂直于地面且高度相同，平台平行地面，，．若，则滑道的长度约为______．（结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】3 【解析】 【分析】过点 G作于点H，解直角三角形可求出，证明四边形是矩形，得到；再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，过点 G作于点H， 由题意，得，， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中， ∴ ， 故滑道的长度约为． 17. 化简：的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把分式的分子进行因式分解，把除法转化成乘法，然后进行约分，最后根据同分母分式减法法则进行计算即可． 【详解】解： = = = =， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键． 18. 一圆锥的底面半径为2，母线长为3，则这个圆锥的侧面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π． 故答案为6π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 19. 如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，ABx轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值为_____． 【答案】-10 【解析】 【分析】设点坐标为，则点坐标为，根据，求解即可． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为 则 解得，(舍去) 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合．解题的关键是用未知数表示出面积中的长度． 20. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作交延长线于点，通过证明，确定点在的射线上运动；作点关于的对称点，由三角形全等得到，从而确定点在的延长线上；当、、三点共线时，最小，在中，，，求出即可． 【详解】解：连接，过点作交延长线于点， ，且， ∴∠EDA=∠FEG， 在△AED和△GFE中， ， ， 点在的射线上运动， 作点关于的对称点， ，， ， ， ， ， 点在的延长线上， 当、、三点共线时，最小， 在中，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，轴对称求最短路径．能够将线段的和通过轴对称转化为共线线段是解题的关键． 21. 如图，正方形的边长为1，以为边作第二个正方形，再以为边作第三个正方形…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和图形，可以写出前几个正方形的边长，从而可以发现边长的变化特点，从而可以求得第10个正方形的边长． 【详解】解：由题意可知， 第一个正方形的边长是1， 第二个正方形的边长是， 第三个正方形的边长是， 第四个正方形的边长是， ……， 则第n个正方形的边长是， 当时，， 即第10个正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形边长的变化特点，求出第10个正方形的边长． 22. 正方形的边长为6，点E为线段垂直平分线上一点，，连接，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是正方形性质、勾股定理的应用、矩形的判定与性质及求三角函数值计算，分两种情况：当点E在正方形内部或外部时，分别在或中求三角函数值即可． 【详解】解：设线段垂直平分线与边交点为， 在正方形中，， ， 四边形是矩形， ， 当点E在正方形内部时， 在中，， ， ， ， ， ； 当点在正方形外部时， 同理， ， ， ， ； 故答案为：或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，四边形中，，平分． （1）尺规作图：过点D作，交于E；（不写作法，只保留作图痕迹） （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 图形如图所示： （2） 证明：，， 四边形是平行四边形， 平分， ， ∵， ， ∴ ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）作，交于点； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握菱形的判定定理． 24. 为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织初一全体学生参加了“垃圾分类知识”比赛．现从该年级随机抽取甲、乙两个班，并从两个班中各抽取20名学生的比赛成绩进行整理和分析，成绩得分用x表示，共分成五组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息． 甲班20名学生的比赛成绩在D组中的数据是：84，83，84，80，84，82 乙班20名学生的比赛成绩是： 55，68，70，76，72，76，79，79，75，79，82，87，87，82，86，81，92，98，96，100 甲、乙两班抽取的学生比赛成绩统计表 平均数 中位数 众数 甲班 81 a 95 乙班 81 80 b 根据上述信息，解答下列问题： （1）请直接写出上述表中的　 　，　 　，　 　； （2）你认为该校初一年级甲班、乙班中哪个班学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由．（写出一条理由即可）； （3）若此次比赛成绩不低于80分为优秀，请估计全年级1200人中优秀人数为多少． 【答案】（1），，； （2） 甲班学生掌握垃圾分类知识较好， 理由如下： 因为甲、乙班学生成绩的平均数相等，而甲班成绩的中位数大于乙班， 所以甲班高分人数多于乙班； （3）人； 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义和百分比之和为1求解即可； （2）根据平均数和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：甲班A、B、C组人数之和为（人）， D组数据重新排列为：80，82，83，84，84，84， 所以甲班成绩的中位数， 乙班成绩的众数， ，即， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全年级人中优秀人数为人． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键． 25. 为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/和18元． （1）求出和时，y与x之间的函数关系式： （2）若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出，其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额－成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案． 【答案】（1） （2）；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． 【解析】 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论 【小问1详解】 当时，设，根据题意可得，， 解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ∴． ∴． 【小问2详解】 根据题意可知，购进甲种产品千克， 当时，乙种产品进价为元/， ， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w的最大值为（元）； 当时，， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为（元）， 综上，； 当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 26. 【基础巩固】 　　 　　 （1）如图1，在中，D，E，F分别为上的点，，，交于点G，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连结．若，求的值． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，，与交于点O，E为上一点，交于点G，交于点F．若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质得到＝，进而证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质求出，根据相似三角形的性质计算，得到答案； （3）延长交于M，连接，过点M作于N，根据直角三角形的性质求出，求出，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长交于M，连接，过点M作于N， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 如图，在中，，过点D作交于点E，的延长线与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若． ①求的值； ②当时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为的半径， ∴是的切线； （2）①4；②． 【解析】 【分析】（1）连接，因为，得，再证，即可证明是的切线； （2）①连接．由（1）得，因为是的直径，所以，证，所以 ，即可求得； ②由①得，所以，由，得，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接． 由（1）得， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，， ∴； ②由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的证明，相似三角形的性质与判定，锐角三角比等知识点，正确辅助线的添加是解题的关键． 28. 如图1，抛物线过两点，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t秒． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点M作轴于点D，交抛物线于点E，当时，求四边形的面积； （3）如图2，动点N同时从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点M逆时针旋转得到． ①当点N运动到多少秒时，四边形是菱形； ②当四边形是矩形时，将矩形沿x轴方向平移使得点F落在抛物线上时，直接写出此时点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①当点N运动到秒时，四边形NBFG是菱形；②点F的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可； （2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得E点横坐标，代入抛物线解析式即可求得E点纵坐标，再根据求解即可； （3）①根据题意可求出，．再根据旋转的性质易证四边形是平行四边形，则四边形是菱形，只需即可，又可求出，，则，解出t的值即可；②当四边形是矩形时，只需．由，得出，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即，再代入解析式即可求得点F的坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴，， ∴． 当时，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 在中，令，得：， ∴； ∴； 【小问3详解】 解：①如图： 根据题意得：，． ∵将绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是菱形，只需，即， 此时． 在中，， ∴， 解得：， 答：当点N运动到秒时，四边形是菱形； ②如图： 由①得四边形是平行四边形． 当四边形NBFG是矩形时，只需． ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴当点N运动1秒时，四边形是矩形． ∴， ∴． 将矩形沿x轴方向平移时，点F落在抛物线的图象上，即． 当时，即， 解得：，， ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查求函数解析式，勾股定理，平行线分线段成比例，特殊四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，属于中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $