第五章 图形的轴对称 单元测试卷 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦图形的轴对称，涵盖选择（10/30）、填空（8/24）、解答（8/66）三种题型，融合中考真题与创新情境，注重几何直观、推理能力及创新意识的考查，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、折叠性质、等腰三角形计算|结合AI大模型等时代情境（第1题），基础概念与计算并重| |填空题|8/24|折叠角度、概率与轴对称、最短路径|多解问题（第15题）、动态几何（第18题），培养空间观念| |解答题|8/66|全等证明、作图、探究性问题（如动点与等腰三角形）|融合作图实践（第21题）、跨情境探究（第26题正方形与等腰直角三角形），体现真题命题趋势|

第五章 图形的轴对称 单元测试卷 用时:120分钟 总分:120分 得分: 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光.以下是四款人工智能大模型的标识，其中图案为轴对称图形的是( ). 2.如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB 线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是( ). 3.(2025·安徽合肥科大附中期末)如图,AB=AC=AD,∠BAD=50°,则∠BCD 的度数为( ). A. 115° B. 130° C. 140° D. 155° 4.(2025·长沙中考)如图,将△ABC沿折痕AD 折叠,使点 B落在边AC上的点E处,若AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE 的周长为( ). A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 5.(2025·重庆一中期中)如图,△ABC和 △DEF关于直线l对称,G是直线l上一点,连接AG,DG,CG,FG,下列说法错误的是( ). A. ∠ACB=∠DFE B.线段AD,BE,CF 被直线l垂直平分 C. △AGC≌△DGF D. AB∥DF 6.如图(1)所示的“三等分角仪”能三等分任意一个角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根棒在点O处相连并可绕点O转动.点C 固定，OC=CD=DE，点 D，E 可在槽中滑动.如图(2)，若∠BDE=84°,则∠CDE 的度数是( ). A. 65° B. 68° C. 66° D. 70° 7.(2025·达州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB 的垂直平分线交AB 于点E,交 AC 于点D,则△BDC 的周长为( ). A. 21 B. 14 C. 13 D. 9 8.(2025·凉山州中考)如图,AB=AC,AE=AD,点E在BD上,∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°,则∠ABC 的度数为( ). A. 56° B. 60° C. 62° D. 64° 9.(2025·连云港中考)如图,在△ABC中,BC=7,AB 的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为( ). A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积是10,AB 的垂直平分线ED 分别交AC,AB于E，D 两点.若F为边BC 的中点，P 为线段ED 上一动点，则△PBF 周长的最小值为( ). A. 7 B. 9 C. 10 D. 14 二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 11.(2024·湖南中考)一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是 度. 12.(2025·重庆万州区期中)如图,在△ABC 中,∠A=30°,D,E 是边AC上的点,把△ABD 沿BD 对折得到△A'BD,再把△BCE 沿BE 对折得到△BC'E,若C'恰好落在BD 上,且此时∠C'EB=80°,则∠ABC= . 13.如图，在5×4的长方形网格中已有5块被涂成阴影，在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，则可使阴影部分成为轴对称图形的概率是 . 14.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE 平分∠ABC,点 D 在边 BC 上,EF⊥AB,AB=10,AF=CD=2.5,则BD= . 15.(2024·河南郑州新郑期末)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为 . 16.(2025·陕西西安交大附中期末)如图,在锐角三角形 ABC 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=α,若E,F分别是BD,BC上的动点,当CE+EF 最小时,∠FEC= (用含α的代数式表示). 17.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=12,AC=16,BC=20,将△ABC沿射线BM 折叠,使点A 与边BC上的点 D 重合，E 是射线BM 上一动点，则△CDE 的周长的最小值为 . 18.如图,D是锐角∠AOB 内一点,DE⊥OA 于点E,F 是线段OE 上的一个动点,G是射线OB 上的一个动点,连接DF,FG,GD,当△DFG的周长最小时,∠GDF 与∠AOB 的数量关系是 . 三、解答题(本大题共8小题，共66分) 19.(6分)(2024·宜宾中考)如图,D,E 分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且BD=CE,BE与AD 交于点F.试说明:AD=BE. 20.(6分)(2024·广东珠海香洲区期中)如图,在△ABC中,AD 是高,AE 是∠BAC 的平分线,∠BAC=80°,∠C=70°. (1)求∠AEC的大小; (2)若CD=2,AD=5,求△AEC 的面积. 21.(8分) (2025·重庆第九十五初级中学期中)如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，△ABC 的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹. (1)在图(1)中，请以直线l为对称轴，画出与△ABC 成轴对称的图形△A'B'C'(要求A，B，C分别与A',B',C'对应)； (2)在图(2)中，请在直线l上找一点 P，使得△ABP 的周长最小； (3)计算四边形.ABCA'的面积. 22.(8分)(2025·广东深圳光明区期末)等腰三角形是常见的轴对称图形.某学习小组利用两个等腰三角形开展了以下研究性学习： (1)如图(1),△ABC 和△DEF 是等腰三角形,AB=AC,DE=DF,底边 BC=EF.将点 B,C 分别和点E，F重合，得到如图(2)的新图形，该图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形.如果是，请画出它的对称轴. (2)如图(3),△ABC 和△AEF 是两个全等的等腰三角形,两底边 BC,EF 相交于点G,连接BE,CF,小组成员发现一组新的全等三角形，请写出这组全等三角形并说明理由. (3)如图(4),△ABC 和△AEF 都是等腰直角三角形, ,连接 BE,CF,延长 BE分别交AC,CF 于点M,N,求∠BNC 的度数. 23.(8分)(2025·达州中考改编)开启作角平分线的智慧之窗 问题:作∠AOB 的平分线OP. 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上.即得OP 为∠AOB 的平分线; 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑.认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 ；对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA,② ;对丙同学的作法陷入了沉思. 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证.已知∠AED=∠AOB,EP=EO,求证:OP 平分∠AOB. 24.(8分)(2024·四川成都温江区期末)在 中， D 为AB 的中点,动点 E 从点C 开始沿射线CB 方向以2cm/s的速度运动. (1)如图，当点 E 在边BC上运动时，过点 D 作DE 的垂线交直线AC于点F，试探究线段CE，AF 之间的数量关系，请写出结论并说明理由. (2)动点 P 也同时从点C开始在直线AC上以1cm/s的速度向远离C点的方向运动，分别连接DC，DE,DP.设动点 E 的运动时间为 ts,则当t为何值时, 与 全等? 25.(10分)(2025·广东揭阳揭西期末) 已知△ABC是等腰三角形,且AB=AC,D是射线BC上的一动点,连接AD,以AD为腰在AD 右侧作等腰三角形ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC. (1)如图(1),当点 D 在线段BC上时,试说明:BD=CE; (2)如图(2),当点 D 在射线BC上运动时,取AC 的中点M,连接ME,且∠DAE=∠BAC=40°.当△MEC为等腰三角形时,∠CME 的度数为 ; (3)如图(3),当点 D 在线段BC 的延长线上,∠DAE=∠BAC=60°时,在线段CA 上截取CF,使CF=CD+AF,并连接EF.试说明:EF⊥AC. 26.(12分)(2025·广东深圳坪山区期末)“图形的变化”是初中几何的重要模块之一，为更好地研究图形在某种变换下具有怎样的性质，某校七年级数学小组设计如下探究活动并提出问题. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为射线BC上一点,连接AD,以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF. (1)当点 D在BC上时，如图(1)，BD和CF的数量关系为 ，位置关系为 . (2)当点 D 运动到BC延长线上时(如图(2))，以上两种关系还成立吗?如果成立，请给出理由. (3)在(2)的条件下,若AB=AC=1,连接AE,BE,在点 D 的运动过程中,△ABE 的面积是否为定值?若是，请求出该定值，若不是，请说明理由. 1. C[解析]A.图案不是轴对称图形，不符合题意； B.图案不是轴对称图形，不符合题意； C.图案是轴对称图形，符合题意； D.图案不是轴对称图形，不符合题意. 故选 C. 归纳总结 本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫作轴对称图形是解题的关键.根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断. 2. A[解析]找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示. 故选 A. 3. D [解析]∵∠BAD=50°, ∴∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×2-50°=310°, ∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC=310°. ∵AB=AC=AD, ∴∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠ADC, 故选 D. 4. D [解析]由折叠可得AE=AB=4,DE=DB, ∴CE=AC-AE=6-4=2, ∴C△CDE=CE+CD+DE=CE+CD+DB=CE+CB=2+5=7.故选 D. 5. D [解析]∵△ABC 和△DEF 关于直线l对称, ∴∠ACB=∠DFE,线段AD,BE,CF 被直线l垂直平分,AC=DF,故 A 和B正确,不符合题意; ∴GA=GD,GC=GF, ∴△AGC≌△DGF,故 C正确,不符合题意; AB 与 DF 不一定平行，故D说法错误，符合题意. 故选 D. 6. B [解析]∵OC=CD=DE, ∴∠COD=∠CDO,∠DCE=∠DEC. ∵∠DCE=180°-∠DCO=180°-(180°-∠CDO-∠COD)=∠CDO+∠COD=2∠COD, ∴∠DEC=2∠COD. ∵∠COD+∠DEC=180°-∠EDO=∠BDE, ∴3∠COD=84°,∴∠COD=28°, ∴∠DEC=∠DCE=56°, ∴∠CDE=68°.故选 B. 7. C [解析]∵线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点E,交 AC于点 D,∴AD=BD, ∴△BDC 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=5+8=13.故选 C. 8. C [解析]∵∠EAD=∠BAC, ∴∠EAD-∠CAE=∠BAC-∠CAE,即∠BAE=∠CAD.在△BAE 和△CAD 中, ∴△BAE≌△CAD(SAS), ∴∠ABE=∠ACD.如图所示，设AC，BD 交于点O. ∵∠AOB+∠ABO+∠BAO=180°,∠COD+∠DCO+∠CDO=180°,∠AOB=∠COD, ∴∠BAO=∠CDO=56°. ∵AB=AC,∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°, 故选 C. 9. C 10. A [解析]如图,连接AP,AF. ∵DE 是AB 的垂直平分线,∴AP=BP, ∴△PBF 的周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF. ∵AB=AC,F 是BC 的中点, ∵BC=4,∴BF=2,AF=5, ∴△PBF 周长的最小值是AF+BF=5+2=7. 故选 A. 11.100 [解析]因为其底角为 40°,所以其顶角=180°-40°×2=100°. 12.75°[解析]由折叠可得, ∠BEC=∠C'EB=80°,∠ABD=∠DBE=∠EBC, ∴∠ABE+∠A=∠BEC=80°. ∵∠A=30°,∴∠ABE=50°, 13. [解析]如图, 未涂空格共有15个，选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有4种， ∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为 14.5 [解析]连接 CF 交 BE 于点 O.∵∠C=90°,∴EC⊥BC. ∵BE 平分∠ABC,EF⊥AB, ∴EC=EF. 又 BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠FBE,∴∠CEB=∠FEB,∴EB⊥CF,CO=FO,∴EB 为CF 的垂直平分线,∴BF=BC. ∵AF=DC=2.5, ∴BF=AB-AF=7.5, ∴BD=BC-DC=7.5-2.5=5. 15.75°或30°或120° [解析]∵OC 平分∠AOB, ①当OC=OE 时,如图(1). ∵OC=OE, ∴∠OEC=∠OCE, ②当OC=CE 时,如图(2). ∵OC=CE, ∴∠OEC=∠COE=30°; ③当OE=CE 时,如图(3). ∵OE=CE, ∴∠OCE=∠COE=30°, ∴∠OEC = 180°-∠OCE - ∠COE = 180°-30°-30°=120°. 综上所述,∠OEC 的度数为 75°或 30°或120°. 16.α [解析]依题意,过点C作CH⊥AB,交 BD 于点E,过点 E 作EF⊥BC. ∵BD 平分∠ABC,EF⊥BC,CH⊥AB, ∴EF=HE, 即CE+EF=CE+HE=CH(垂线段最短). ∵∠ABC=α,EF⊥BC,CH⊥AB, ∴∠HEF=360°-90°-90°-α=180°-α. ∵∠HEF+∠FEC=180°, ∴∠FEC=α. 17.24 [解析]如图,设 BM 与AC 交于点 F,连接AE. 由折叠的性质,得 BD=AB=12,DE=AE, ∴CD=BC-BD=20-12=8, ∴△CDE 的周长=CD+DE+CE=8+AE+CE,要使△CDE 的周长最小，只需AE+CE 的值最小，由两点之间，线段最短，知当点 E 与点 F 重合时，AE+CE 取最小值，最小值为AC的长， ∴△CDE 的周长的最小值为8+AC=8+16=24. 18.2∠AOB+∠GDF=180°[解析]如图,作点 D 关于OA的对称点 D',作点 D 关于OB 的对称点 D",连接 D'D",交OA,OB 于点 F,点 G,此时△DFG 的周长最小,最小值为 D'D"的长,连接OD,OD',OD". 由轴对称的性质,得△GOD≌△GOD",△FOD≌△FOD', ∴∠BOD = ∠BOD',∠ODG = ∠OD"G,∠DOA =∠AOD',∠ODF=∠OD'F, ∴∠D'OD"=2∠AOB,∠GDF=∠OD'F+∠OD'G. ∵∠D'OD"+∠OD'F+∠OD"G=180°, ∴2∠AOB+∠GDF=180°. 19.∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°. 又 BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE. 20.(1)∵AE 是∠BAC 的平分线,∠BAC=80°, ∵∠C=70°,∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-40°-70°=70°. (2)∵∠AEC=70°,∠C=70°, ∴AE=AC. ∵AD 是高,CD=2,AD=5, ∴CE=2CD=4, ∴△AEC 的面积 21.(1)如图(1),△A'B'C'即为所求作. (2)如图(2),作点 A 关于直线l 的对称点A',连接A'B交直线l 于点 P，则点 P 即为所求作.理由如下： 由轴对称的性质可知 PA'=PA. ∵此时 PA'+PB 最小,即 PA+PB 最小, ∴AB+PA+PB 最小, 即△ABP 的周长最小. 关键提醒本题主要考查了画轴对称图形、无刻度直尺作图、轴对称一最短路径问题、轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键. 22.(1)是[解析]该图形是轴对称图形，对称轴为直线 AD，如图(1). (2)如图(2),△ABE 与△ACF 全等.理由如下: 因为△ABC 和△AEF 是两个全等的等腰三角形， 所以AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF, 所以∠BAC-∠EAC =∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF. 因为在△ABE 和△ACF 中,AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF, 所以△ABE≌△ACF. (3)因为△ABC 和△AEF 都是等腰直角三角形,所以AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90°,所以∠BAC-∠EAC =∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF. 因为在△ABE 和△ACF 中,AB=AC,∠BAE=∠CAF,AE=AF, 所以△ABE≌△ACF, 所以∠ABE=∠ACF. 因为∠ABE+∠BMA+∠BAC=∠ACF+∠CMN+∠BNC=180°, 所以∠BNC=90°. 23.(1)SSS 全等三角形的对应角相等 (2)∵∠AED=∠AOB,∴ED∥OB, ∴∠EPO=∠BOP. ∵EP=EO,∴∠EPO=∠EOP, ∴∠BOP=∠EOP,∴OP 平分∠AOB. 24.(1)CE=AF.理由如下: 如图(1),连接CD. ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB 的中点, ∴∠A=∠B=45°,CD⊥AB,CD=AD=BD, ∴∠DCE=∠A=∠B=45°,∠ADF+∠CDF=90°. ∵DF⊥DE,∴∠CDE+∠CDF=90°, ∴∠CDE=∠ADF. 在△CDE 和△ADF 中 ∴△CDE≌△ADF(ASA),∴CE=AF. (2)如图(2),设M为AC 延长线上的点,N 为CB 延长线上的点. ∵∠ACB=90°,CD=BD,∠DCB=∠ABC=45°, ∴∠BCM=90°, ∴∠DCM=∠DCB+∠BCM=45°+90°=135°. ∵∠DBN=180°-∠ABC=180°-45°=135°, ∴∠DCM=∠DBN=135°. 又CD=BD,点 P 在AC 的延长线上, ∴当△DCP 与△DBE 全等时,点 E 在CB 的延长线上,此时CP=BE，根据点 E，P 的运动速度和时间，得CE=2t cm,CP=t cm. ∵AC=BC=8cm, ∴BE=CE-BC=(2t-8) cm, ∴t=2t-8,解得t=8, ∴当t 为8时,△DCP 与△DBE 全等. 关键提醒 本题主要考查了全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质是解题的关键. 25.(1)∵∠DAE=∠BAC, ∴∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. ∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴BD=CE. (2)40°或 55°或 70° [解析]根据(1),可得△ABD≌△ACE(SAS), 当ME=MC时,∠MCE=∠MEC, ∴∠CME=180°-2∠MCE=40°; 当 EM=EC时,∠MCE=∠CME=70°; 当CM=CE时,∠CME=∠CEM, 综上,∠CME 的度数为40°或55°或70°. (3)如图,延长BD 到点G,使得 DG=AF. ∵∠DAE=∠BAC=60°,AB=AC,AD=AE, ∴△ABC,△ADE 为等边三角形, ∴AE=DE. ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE, ∴∠B=∠ACE=∠ACB=60°, ∴∠ECG=60°. ∵CF=CD+AF,AF=DG, ∴CF=CD+AF=CD+DG=CG. ∵EC=EC, ∴△EFC≌△EGC(SAS), ∴EF=EG,∠EFC=∠G. ∵AF=DG,AE=DE, ∴△AEF≌△DEG(SSS), ∴∠AFE=∠G=∠EFC, ∴∠AFE=∠EFC=90°,即EF⊥AC. 26.(1)CF=BD， CF⊥BD [解析]在正方形 ADEF 中,AD=AF,∠DAF=90°. ∵∠BAC=∠DAF=90°, ∴∠BAD=∠CAF. ∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC(SAS), ∴CF=BD,∠B=∠ACF=45°=∠ACB, ∴∠ACB+∠ACF=90°,即CF⊥BD. (2)成立.理由如下： ∵四边形ADEF 为正方形， ∴AD=AF,∠FAD=90°. ∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAF, ∴△BAD≌△CAF(SAS), ∴BD=CF,∠FCA=∠B=45°, ∴∠BCF=∠BCA+∠FCA=45°+45°=90°, ∴BD⊥CF. (3)△ABE 的面积为定值. 过点 A 作AG⊥BC 于点G,过点 E 作EH⊥BC 于点 H,如图， ∴∠AGD=∠DHE=90°,AG=BG=CG. ∵∠ADE=90°, ∴∠DAG+∠ADG=∠ADG+∠EDH=90°, ∴∠DAG=∠EDH, ∴△AGD≌△DHE(AAS), ∴AG=DH,GD=EH. ∵AG=GC,∴GC+CD=DH+CD,即CH=GD=EH. 连接EC,∴∠ECH=45°, ∴EC∥AB, 学科网（北京）股份有限公司 $