广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

高中数学 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线的离心率等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以 所以双曲线的离心率或 2.从1，2，3，…，15中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有(     ) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】1—15中，5的倍数为5,10,15，故甲只能取这3个数。若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1,2,3,4，共4种取法；若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1,...,9，共9种取法；若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1,2,3,...,14，共14种取法；故根据分类加法计数原理：4+9+14=27. 3.已知数列的前n项和，则 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【详解】 4.已知函数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，令=0，得=1+2，所以 5.在的展开式中，含的项的系数为: A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知含的项的系数为 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是: A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由的图象图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C,D； 当时，函数先增后减再增，故导函数的图象先大于0后小于0再大于0，故排除B； 7.已知圆，则该圆的面积为： A． B． C． D． 【答案】C 【详解】法一：将圆的一般方程化为标准方程， 由此可知圆的半径，所以该圆的面积 法二：由圆的一般方程知， 所以圆的半径，所以该圆的面积 8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为: A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设切点为，因为，所以=， 所以切线方程为，把代入切线方程得，所以，所以 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列的前n项和为，公比，，则： A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 【答案】ACD 【详解】依题意，对A选项：； 对B选项：； 对C选项：； 对D选项：因为 令， 则 10．已知的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则： A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．各项的系数之和为1 D．的系数为 【答案】AD 【详解】依题意，对A选项：因为各项的二项式系数之和为； 对B选项：因为n=7为奇数，所以二项式系数最大为，所以第4项和第5项的二项式系数最大 对C选项：令=1,得各项的系数之和为； 对D选项：因为，令 所以的系数为. 11．已知函数，下列结论正确的是： A． 函数没有最大值和最小值 B．函数有极大值和极小值 B． 函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是它的最小值 【答案】BCD 【详解】因为=，令>0，得>0或<；令<0，得 故在递增，在递减.故大致趋势图如下： 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.有3张参观券，现要在5人中选出3人去参观，则不同选法的种数是       ． 【答案】10 【详解】由组合的定义可得 13.已知随机事件满足 ， 则        ． 【答案】 【详解】由概率的乘法公式： ． 14.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为       ． 【答案】 【详解】依题意，=在上恒成立，即在上恒成立. 令，求得最大值即可. =,因为，所以，所以在上单调递减 所以，所以. 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等差数列中，且 （1） 求数列的通项公式； （2） 记数列的前和为，求的值(结果不用数字表示） 【详解】 解：（1）设等差数列的公差为d，则， 所以. （2）由（1）知，当n为偶数时，；当n为奇数时，； 所以 16.(13分)一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任男和1名副主任女，现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； （2）人支教小组中，既有男教师，又有女教师； （3）人支教小组中，至少有1名主任参加； （4）人支教小组中既有主任，又有女教师. 【详解】 解：由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法， 从4名女教师里选3名有种选派方法，由分步乘法计数原理得共有种选派方法． 由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师， 若全是男教师，有种选派方法， 故既有男教师，又有女教师的选派方法为种． 由题意得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 则至少有1名主任参加有种选派方法． 由已知得从10名教师里选6名有种选派方法， 从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法， 若有主任，且没有女教师，有种选派方法， 则既有主任，又有女教师有种选派方法． 16. (15分) 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望． 【详解】 解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”，因为各局比赛相互间没有影响（相互独立） 则 （2）依题意知，X的所有可能取值为2，4，6， 设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，该轮结束时比赛继续的概率为， 即， ， ， 则随机变量X的分布列为： X 2 4 6 P   18.(17分) 已知函数，是的导函数 （1）求的值 （2）求曲线在处的切线方程 （3）求的最值。 【详解】 解：（1）依题意：=， ∴=，=，∴ （2）令，则，∴ = ， ∴， =2， ∴在处的切线方程为，即. （3） ∵= 令，则 = ，∴ >0恒成立. ∴在R上单调递增. 又 = 0， ∴当x<0时， < 0， 单调递减；当x>0时， > 0， 单调递增； ∴ 在x=0处取得极小值，也是最小值； ∴； 当时，，，∴ 无最大值. 19.(17分)已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值。 【详解】 解：（1）当时， ∵的定义域为，∴恒成立， ∴在上单调递增，故函数无极值. （2） ∵ 令 ①当时，，>0，∴在 单调递增； ②当时，令，得或（舍） 当x变化时， ， 的变化情况如下： x + 0 _ 单调递增 单调递减 ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 依题意可得，在时恒成立，即在时恒成立 令，则. 令，则在时恒成立，∴在上单调递增， 又， ∴在上存在唯一实数，使得， ∴当时， < 0， < 0，单调递减； 当时， >0， > 0，单调递增； ∴当在处取得极小值，也是最小值. ∴； （） ∴ 故整数k的最大值为5. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 本试题卷共4页，共19题。全卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.双曲线的离心率等于： A． B． C． D． 2.从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有： A. B. C. D. 3.已知数列的前n项和，则 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4.已知函数，则 A． B． C． D． 5.在的展开式中，含的项的系数为: A． B． C． D． 6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是: A. B. C. D. 7.已知圆，则该该圆的面积为： A． B． C． D． 8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为: A． B． C． D． 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等比数列的前n项和为，公比，，则： A. B. C. D. 数列是公比为4的等比数列 10．已知的二项展开式中，各项的二项式系数之和为128，则： A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．各项的系数之和为1 D．的系数为 11．已知函数，下列结论正确的是： A． 函数没有最大值和最小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是它的最小值 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.有3张参观券，现要在5人中选出3人去参观，则不同选法的种数是       ． 13.已知随机事件满足 ， 则        ． 14.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为       ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等差数列中，且 （1） 求数列的通项公式； （2） 记数列的前和为，求的值(结果不用数字表示） 16.(15分)一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任男和1名副主任女，现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？ （1）人支教小组中，有3名男教师和3名女教师； （2）人支教小组中，既有男教师，又有女教师； （3）人支教小组中，至少有1名主任参加； （4）人支教小组中既有主任，又有女教师. 17. (15分) 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 （1）第二局比赛结束时比赛停止的概率； （2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望． 18.(17分) 已知函数，是的导函数 （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最值。 19.(17分)已知函数， （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $