专题10实际问题与一次函数复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题10实际问题与一次函数复习讲义 高效复习◆重点 1.掌握一次函数的基本性质，并能够熟练运用一次函数的基本性质解决相关实际问题； 2.应用提升：熟练运用一次函数解决行程、计费、利润、方案选择等常见实际题型，规避高频易错点，提升解题准确率与实际应用能力。 核心题型◆归纳 题型1分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型2最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型3行程问题（一次函数的实际应用） 题型4梯度计价问题 题型5其他问题（一次函数的实际应用） 题型6一次函数与几何综合 题型7提升测试 重点知识◆梳理 1.一次函数解决实际问题的基本步骤 （1）审题：通读题目，明确已知条件、所求问题，区分自变量与因变量，梳理出核心等量关系； （2）设元：设自变量x、因变量为y，设出一次函数解析式y = kx + b（k ≠0），注明各变量的实际意义； （3）找量：提取或推导两组x与y的对应值，确保符合实际场景； （4）求式：运用待定系数法解方程组，确定一次函数解析式； （5）求解：根据所求问题，代入x求y、代入y求x，或利用一次函数性质解决最值、方案选择等问题； （6）检验：将解题结果代入实际场景，检验其合理性，确保符合实际意义。 题型解析◆精准备考 题型1分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 2．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 【答案】①③④ 【分析】根据题中已知条件，求出，然后和相比较，从而得出正确结论． 【详解】①、，正确，符合题意； ②、当累计购物大于50时上没封顶，选择乙商场一定优惠显然不对，不符合题意； ③、当时，即，解之得．所以当累计购物超150元时，选择甲商场一定优惠些，符合题意； ④、根据题意，所以，符合题意； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，不等式等知识点，灵活的与方程或不等式联系起来是解决此问题的关键． 3．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)该企业需要购买A型智能机器人4台，购买B型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多 【分析】（1）设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台，根据费用不超过800万元，列出一元一次不等式，求出的取值范围，再根据型机器人每台每天可分拣快递24万件，型机器人每台每天可分拣快递20万件，可列出每天分拣的件数与的函数关系，再根据函数的性质得出结论． 【详解】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为60万元． （2）解：设该企业需要购买型智能机器人台，则需要购买型智能机器人台， 由题意，得， 解得， 设每天分拣快递万件， 则， ， 随的增大而增大，当时，最大， 此时， 该企业需要购买型智能机器人4台，购买型智能机器人8台，能使每天分拣快递的件数最多． 题型2最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 3．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售价为45元/个． (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)购进品牌保温杯个，品牌保温杯个 (2)的最大值为元 【分析】（1）设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，根据购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，列出一元一次方程计算即可求解； （2）设购进A品牌保温杯个，则购进B品牌保温杯个，根据B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，列出一元一次不等式求出的范围，由题意得，总利润，结合为整数，利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个， 由题意得：， 解得， 则（个）， 答：购进品牌保温杯个，品牌保温杯个； （2）解：设购进品牌保温杯个，则购进品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴，且为整数， 总利润， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元． 题型3行程问题（一次函数的实际应用） 1．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 2．甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 【答案】1.5或4.5或6.5 【分析】先分别运用待定系数法求得甲、乙两车离M城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系式，分两种情况进行解答即可． 【详解】解：设甲所在的直线为，乙所在的直线为， 将，代入可得：， 解得：． ∴乙所在直线的表达式为：； 当时，， 把代入，得：，解得， ∴甲所在的直线的表达式：； 当时，；解得， ∴甲所在的直线的表达式：，其中； 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得或， 当时，甲、乙两车相距．则，即， 解得， 综上可知，1.5或4.5或6.5时，甲、乙两车相距． 3．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 【答案】(1)25 (2) (3)43.25或44.25或48 【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案； （2）将点代入关系式，求出解即可； （3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可． 【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴（分钟）； （2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟）， 桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟）， 设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点， ∴， 解得， ∴． 桐桐到达A景点前，两人相距140米， ∴， 解得或； 桐桐到达景点A之后，两人相距140米， 则， 解得， 所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米． 题型4梯度计价问题 1．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【详解】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 2．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 3．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 【答案】(1) (2)25 【分析】（1）根据阶梯水价制度，分段计算水费可得关系式； （2）根据水费可知用水量超过了20吨，再代入关系式求出答案． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 所以y与x的函数关系式为； （2）解：∵，且， ∴将代入，得， 解得， 所以小滨家3月份的用水量是25吨． 题型5其他问题（一次函数的实际应用） 1．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为， ∴，解得：， ∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为． 2．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 【答案】1125 【分析】求出函数解析式，把代入求解即可； 【详解】当时，设函数解析式为， 把点代入可得：， 解得：， ； 当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：， 解得：， ， 与的函数关系式为， 当时，． 3．如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，设链条长度为，链条节数为． (1)观察图形，填写如表： 链条节数/节 2 3 4 … 链条长度 4.2 _____ _____ … (2)上表的两个变量中，自变量是________． (3)请直接写出与之间的函数关系式． (4)若一辆自行车的链条共由50节链条组成，则这根链条总长度是多少？ 【答案】(1)， (2)链条节数x (3) (4)总长度是 【分析】（1）先求出每增加一节链条长度增加的数值，然后填表； （2）根据链条长度随链条节数的变化而变化，得出自变量； （3）根据第一节链条，然后每增加一节链条，长度增加，得出y与x之间的函数解析式； （4）根据自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短，结合函数解析式，求出安装后的长度． 【详解】（1）解：每增加一节链条长度增加：， ， ， 填表如下： 链条节数x/节 2 3 4 … 链条长度 … （2）解：上表的两个变量中，自变量是链条节数x； （3）解：根据题意得：y与x之间的函数解析式为： ． （4）解：由（2）得， 依题意，把代入， 得， ∵自行车链条是首尾闭合的环形，50节链条比同节数环形链条多1个重叠 ∴得， 这根链条总长度是． 题型6一次函数与几何综合 1．如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，证明，得到，，求出直线解析式为，则设，即可得到，再求出点从点运动到点时，点变化情况，最后计算运动的路径长． 【详解】解：过作轴，过作轴交于点，过作轴交于点，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 点， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴设， ， ∴，， ∴点横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴点在直线上运动， 当在时，，； 当在时，，； ∴当点从点运动到点时，点运动的路径长为． 故答案为：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， 【分析】（）根据三角形的面积公式及题意即可求解； （）分， 和解答即可求解； （）把代入（）所得的函数解析式解答即可求解； （）求出矩形的面积，可得当的面积等于矩形面积的时，，进而即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形中， ∴，， 当点在上运动时，， ∴ ， ∵点在上运动， ∴自变量的取值范围为， ∴； （2）解：当时，； 当时，； 当时，， ∴； 综上，； （3）解：当时，由，解得； 由，解得， ∴的值为或； （4）解：存在，理由如下： ∵， ∴当的面积等于矩形面积的时，， ∵时，， ∴存在，使得的面积等于矩形面积的． 过关检测◆提升 一、单选题 1．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 2．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 【答案】C 【分析】根据函数图象分别求出当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，当时，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断． 【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件， 故此选项正确，不符合题意； B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，， 故此选项正确，不符合题意； C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 当时，日销售利润为（元）； 当时，日销售利润为（元）， ∴第20天和第30天销售利润不相等， 故此选项错误，符合题意； D、当时，日销售利润为（元）， 当时，日销售利润为（元）． ∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润， 故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式． 3．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可． 【详解】快速公交从A地出发，全程，用时， 因此快速公交速度为 ， ∴解析式为： ； 普通公交从B地出发，速度向A地行驶， 因此离A地的距离解析式为： ， 联立方程： ，解得 ， 代入，得， 因此P点坐标为． 4．某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数解分段计费问题，熟练掌握运用一次函数解分段计费问题的方法是解题的关键． 根据出租车收费标准，起步价10元覆盖，超过后每公里加收2元，当时，总费用由起步价和超过部分的费用组成． 【详解】解：∵起步价10元覆盖，则超过部分为， 根据题意得：． 故选：A． 5．小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出函数关系式，结合实际意义确定自变量的取值范围，进而判断图象形状及位置． 【详解】解：蜡烛原长25厘米，每小时燃烧5厘米， 剩下的高度与燃烧时间的函数关系式为， 且 ，解得， 自变量的取值范围是， 该函数图象是一条线段，端点分别为和， 观察选项，只有D选项符合． 6．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 二、填空题 7．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 8．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 【答案】 74 5 56300 【分析】本题考查了一次函数的应用．设加工C零件的工人为人，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人，设利润为P，根据题意列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：设加工C零件的工人为人，则C零件总数为件，A零件总数也为件，则加工A零件的工人为人，则加工B零件的人数为人， （1）当时，人， 此时B零件总数，符合条件， ∴当安排2名工人加工C零件时，加工B零件的有74人； （2）利润分段计算：当 (即)时，A零件利润为； 当时，A零件利润为：； 设利润为P，则 当时，， ∵， ∴为增函数，最大值在时取得，； 当时， ， ∵， ∴为减函数，最大值在时取得，元； 综上所述，当，即安排5名工人生产C零件时，利润最大，最大利润为56300元． 故答案为：74；5；56300． 9．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间． 【详解】解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 10．小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据题意，付款金额由两部分组成，前15斤按原价计算，超过部分打8折，据此列出函数关系式即可；本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意，前15斤的费用为（元）， 超过15斤部分的费用为（元）， 因此； 故答案为：． 11．为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 【答案】8 【分析】利用待定系数法求出 实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， 根据题意得该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∵实验室湿度不得低于， ∴， 当时，x取得最大值， 此时， 解得：， 即该日这台除湿机开机后最多可连续工作8小时． 12．如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①② 【分析】根据一次函数的增减性可判断①和②，把代入，求出与的关系，解不等式可判断③与④． 【详解】解：∵点在第一象限且满足， ∴点在线段(不包括端点)上， ∴一次函数图象经过， 随的增大而增大， 结论①：当时，，当时，；①正确； 结论②：当时，，时，同理，随增大而增大，因此时，，②正确； 结论③：当时，，由，时，，因此，即，与结论矛盾，③错误； 结论④：当时，， 题目规定在第一象限，因此，，不存在满足的符合条件的一次函数，该结论不成立，④错误； 综上，正确结论的序号是． 三、解答题 13．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 14．某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)不等式为，的取值范围是 (2)函数关系式为，当时总利润最大，最大利润为180元 【分析】（1）用表示出购进香蕉的质量，根据“总进价不超过380元”列出不等式，结合的实际范围求解得到的取值范围； （2）先计算出每千克苹果和香蕉的利润，再结合质量得到总利润与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出最大利润． 【详解】（1）解：设购进苹果千克，则购进香蕉千克， ∵苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元，总进价不超过380元， ∴ 解得， ∵， ∴的取值范围是； （2）解：由题意得，苹果每千克利润为（元），香蕉每千克利润为（元）， ∴总利润为， 一次项系数， 随的增大而增大． ， 当时，取得最大值． 将代入函数得：（元）， 答：当为80时总利润最大，最大利润是180元． 15．某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 【答案】(1) (2)， (3)，它表示“书法社”和“音乐社”同学相遇的时间和距离社区文化站的距离 【分析】（1）根据速度=路程÷时间求解即可； （2）根据图象，得中央广场与区少年宫的距离为，区少年宫与社区文化站的距离为，根据公式计算即可； （3）利用待定系数法，相遇的意义求解即可． 【详解】（1）解：根据图象，得中央广场与社区文化站的距离为，“书法社”骑自行车用时间为， 故速度为； （2）解：根据题意，得旅游观光车的速度是自行车速度的3倍， 故旅游观光车的速度为； 根据图象得区少年宫与社区文化站的距离为，社区文化站与中央广场的距离为， 故“音乐社”从少年宫到文化站用时为， 即； 因为“音乐社”从社区文化站与中央广场用时为， 所以； （3）解：设“书法社”运动的图象解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 设返回文化站运动的图形解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为； 根据题意，得， 解得， 故. 点P表示的实际意义是“书法社”同学骑自行车从中央广场到社区文化站的途中，与“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从社区文化站前往中央广场的途中相遇． 16．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 17．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 【答案】(1)， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 (2) (3)当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； （3）解：由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 18．如图，直线经过，两点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标________； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围________． 【答案】(1)； (2) (3)或且 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据时，可得答案； （3）求出直线经过点B和经过点D时k的值，以及直线与直线平行时k的值，结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴直线过定点； （3）解：当直线恰好经过点B时，则，解得， 当直线与直线平行时，则， 当直线恰好经过点D时，则，解得， ∴由函数图象可知，或且． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10实际问题与一次函数复习讲义 高效复习◆重点 1.掌握一次函数的基本性质，并能够熟练运用一次函数的基本性质解决相关实际问题； 2.应用提升：熟练运用一次函数解决行程、计费、利润、方案选择等常见实际题型，规避高频易错点，提升解题准确率与实际应用能力。 核心题型◆归纳 题型1分配方案问题（一次函数的实际应用） 题型2最大利润问题（一次函数的实际应用） 题型3行程问题（一次函数的实际应用） 题型4梯度计价问题 题型5其他问题（一次函数的实际应用） 题型6一次函数与几何综合 题型7提升测试 重点知识◆梳理 1.一次函数解决实际问题的基本步骤 （1）审题：通读题目，明确已知条件、所求问题，区分自变量与因变量，梳理出核心等量关系； （2）设元：设自变量x、因变量为y，设出一次函数解析式y = kx + b（k ≠0），注明各变量的实际意义； （3）找量：提取或推导两组x与y的对应值，确保符合实际场景； （4）求式：运用待定系数法解方程组，确定一次函数解析式； （5）求解：根据所求问题，代入x求y、代入y求x，或利用一次函数性质解决最值、方案选择等问题； (6)检验：将解题结果代入实际场景，检验其合理性，确保符合实际意义。 题型解析◆精准备考 题型1分配方案问题（一次函数的实际应用） 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 2．小静准备到甲或乙商场购买一些商品，两商场同种商品的标价相同，而各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购买满一定数额a元后，再购买的商品按原价的收费；在乙商场累计购买50元商品后，再购买的商品按原价的收费．若累计购物x元，当时，在甲商场需付钱数，当时，在乙商场需付钱数为．下列说法：①；②当累计购物大于50元时，选择乙商场一定优惠些；③当累计购物超过150元时，选择甲商场一定优惠些；④．其中正确的说法是________（填序号） 3．2026年春晚《武BOT》的机器人功夫表演，震撼世界，也凸显了我国在机器人领域的强大实力．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A，B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 1 300 信息二 A型机器人每台每天可分拣快递24万件； B型机器人每台每天可分拣快递20万件． (1)求A，B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买A，B两种型号智能机器人共12台，费用不超过800万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 题型2最大利润问题（一次函数的实际应用） 1．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 3．某超市计划购进A、B两种品牌的保温杯共100个，已知A品牌保温杯的进价为50元/个，售价为70元/个；B品牌保温杯的进价为30元/个，售价为45元/个． (1)若购进两种品牌保温杯的总费用为4200元，求购进A、B两种品牌保温杯各多少个？ (2)若超市规定B品牌保温杯的进货数量不超过A品牌保温杯进货数量的2倍，设购进A品牌保温杯个，这批保温杯的总利润为元，求的最大值． 题型3行程问题（一次函数的实际应用） 1．在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（   ） A．甲车行驶小时时两车相遇 B．甲车的速度为，乙车的速度为 C．甲车出发小时后乙车才出发 D．当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 2．甲、乙两辆运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶．如图，分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系．则x=______h，甲、乙两车相距． 3．某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示． (1)___________． (2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）； (3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米． 题型4梯度计价问题 1．某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 3．为响应节约用水号召，西安市自来水公司执行三级阶梯水价制度，具体收费标准如下： 每月用水量（吨） 收费标准（元/吨） 不超过12吨 3.5 超过12吨但不超过20吨的部分 6 超过20吨的部分 8.3 (1)若小滨家一个月用水量为x吨，需缴纳水费y元，求y与x的函数关系式； (2)若小滨家3月份的水费账单为131.5元，求小滨家3月份的用水量． 题型5其他问题（一次函数的实际应用） 1．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 2．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，当销售量为66件时，销售金额为___________元． 3．如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为，设链条长度为，链条节数为． (1)观察图形，填写如表： 链条节数/节 2 3 4 … 链条长度 4.2 _____ _____ … (2)上表的两个变量中，自变量是________． (3)请直接写出与之间的函数关系式． (4)若一辆自行车的链条共由50节链条组成，则这根链条总长度是多少？ 题型6一次函数与几何综合 1．如图，已知点，动点在线段上，点按逆时针顺序排列，且，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为（    ） A．4 B．6 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 3．如图，在矩形中，，，点是边上的定点，且．动点从点出发，以的速度沿的方向在矩形的边上匀速运动，最终到达点停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)当点在边上运动时，求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)求点在整个运动过程中，与之间的函数解析式，并写出对应的自变量的取值范围； (3)当的面积为时，求的值； (4)是否存在某一时刻，使得的面积等于矩形面积的？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 过关检测◆提升 一、单选题 1．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 2．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（　　） A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元 C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润 3．为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．某市出租车收费标准：起步价10元（内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了公里，费用为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 5．小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 7．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 8．某工厂安排80名工人在规定时段内全部参与加工三种零件．在该时段内，每名工人只能加工零件2件，或零件1件，或零件4件．工厂要求加工零件的总数至少8件，零件的总数至少11件，零件和零件的总数相等．若加工零件总数不超过20件时，每件获利360元，超过20件时，超过的部分每件少获利30元；加工零件每件获利700元；加工零件每件获利180元． （1）当安排2名工人加工零件时，安排加工零件的工人人数为___________； （2）当安排___________名工人加工零件时，在规定时段内工厂获利最大，最大利润为___________元． 9．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试．甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后，重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 10．小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 11．为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 12．如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题 13．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 14．某水果店购进苹果和香蕉两种水果共100千克，其中苹果每千克进价4元，香蕉每千克进价3元．已知总进价不超过380元．设购进苹果x千克． (1)根据题意列出不等式，并求出x的取值范围； (2)若苹果售价为6元千克，香蕉售价为4元千克，且全部售出，求总利润y（元）与x的函数关系式，并求当x为何值时总利润最大？最大利润是多少？ 15．某校“书法社”和“音乐社”两个社团开展课外实践活动．如图①，“书法社”同学骑自行车从中央广场出发前往社区文化站参加书法展，“音乐社”同学坐小型新能源旅游观光车从区少年宫出发，途经社区文化站后前往中央广场参加活动（两个社团在社区文化站与中央广场之间沿同一路段行驶），两个社团同时出发且匀速行驶．已知旅游观光车的速度是自行车速度的3倍，如图②表示的是两个社团离社区文化站的距离与行驶时间之间的函数图象．观察函数图象回答下列问题： (1)“书法社”骑自行车的速度为　　　； (2)求图象中a与b的值； (3)请求出P点的坐标，并说明点P表示的实际意义． 16．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 17．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 18．如图，直线经过，两点，已知，点是线段上一动点（可与点，重合）；直线（为常数）经过点，交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)无论为何值时直线过定点，直接写出定点坐标________； (3)在点的移动过程中，直接写出的取值范围________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $