专题07函数复习讲义（复习重点+核心题型+巩固提升）-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

专题07函数复习讲义（人教版） 高效复习◆重点 1.核心：掌握函数定义、表示方法及自变量取值范围，能判断函数关系，结合实际问题、动点问题列函数解析式，规范解题，规避易错点。 2.函数基础：理解函数核心概念，判断变量间的函数关系，掌握三种表示方法及特点。 3.取值范围：熟练掌握整式型、分式型及实际问题中自变量取值范围的求解方法。 4.应用与计算：能列实际、动点问题的函数解析式，规范解题；结合描点法分析动点函数图像。 核心题型◆归纳 题型1用表格表示变量间的关系 题型2用关系式表示变量间的关系 题型3用图像表示变量间的关系 题型4函数的概念 题型5函数的解析式 题型6求自变量的取值范围 题型7求自变量的值或函数值 题型8函数图像识别 题型9用描点法画函数图像 题型10从函数图像获取信息 题型11动点问题的函数图像 题型12函数的三种表示方法 题型13 提升测试 重点知识◆梳理 知识点01 函数的基础概念 1.函数定义：一个变化过程中，有两个变量x（自变量）和y（因变量），对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。 2.自变量与因变量： 自变量（x）：在变化过程中，能够主动发生变化、可自主选取数值的变量，是引发其他变化的原因。其取值需同时满足数学意义（如分式分母不为0）和实际意义（如时间、人数不能为负数）， 例如：时间t、行驶路程s. 因变量（y）：在变化过程中，随自变量的变化而被动变化的变量，是变化产生的结果。其数值由自变量的每一个确定值唯一确定，不能独立于自变量存在，常例如：速度v随时间t变化时，v为因变量；面积S随边长a变化时，S为因变量。 核心关联：二者是“主动变化→被动变化”的依存关系，且必须满足函数“x每一个确定值对应唯一y值”的核心特征。 3.关键点：对应唯一性，是判断函数关系的核心依据，即因变量的每一个值，都由自变量的唯一确定值所决定，与自变量、因变量的依存关系相呼应。 4.函数的三种表示方法： (1)列表法：直观简洁，适用于有限个变量对应值的场景。 (2)解析式法：常见标准形式：整式型y=ax+b（a、b为常数）、分式型y=（a为常数且a≠0） 例如：y=2x+1、y= . (3) 图像法：直观形象，可快速判断函数增减性、变化趋势。 5.三种方法对比： 解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。 列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。 图像法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。 知识点02描点法画函数图像： 1.定义：通过“列表、描点、连线”三步，绘制函数图像的基础方法。 2.规范步骤： （1）列表：根据自变量取值范围，选取若干x值，计算对应y值，整理成表格。 （2）描点：在平面直角坐标系中，准确标出对应坐标点（x,y）。 （3）连线：用平滑曲线或直线依次连接各点。 易错提示：① 选取x值需符合取值范围；② 坐标准确，不混淆x、y轴；③ 连线贴合点的走势。 知识点03关于自变量的取值范围 1.整式型：y=ax+b：x取全体实数。 2.分式型y=，（a≠0）：x≠0即分母不为0。 3.实际问题型：x需符合实际意义。如时间、人数不能为负数。 知识点04动点问题的函数图像 1.含义：用函数图像表示动点运动中两个相关变量的对应关系，反映运动状态及变化规律。（通常t为自变量，路程、面积等为因变量） 2.关键分析思路： （1）明确运动要素：轨迹、速度、范围，区分自变量与因变量。 （2）分阶段分析：按运动状态划分阶段，明确各阶段变量关系或解析式。 （3）判断图像特征：确定各阶段图像形状、增减性及拐点。 （4）验证合理性：结合描点法，排除不符合运动规律的图像。 3.常见类型与特征： （1）匀速运动：图像为直线，斜率表示速度，正负表示增减趋势。 （2）变速运动：图像为曲线，坡度变化反映速度变化。 （3）动点停止：图像为平行于x轴的线段。 易错提示：① 忽略运动阶段性；② 混淆自变量与因变量；③ 忽略运动范围。 知识点05函数的实际应用 1.解题步骤：审题→设元→求解析式→验证→作答。 2.常见应用场景：行程、计费、工程问题，核心是找准变量关系，列解析式。 题型解析◆精准备考 题型1用表格表示变量间的关系 1．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 【答案】D 【分析】根据表格信息逐一判断选项即可得到错误结论． 【详解】解：选项A：快递费用随着交寄物品质量的变化而变化，故自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用，A说法正确； 选项B：由表格数据可知，交寄物品质量增大时，快递费用也随之增大，B说法正确； 选项C：查表可得，当交寄物品质量为时，快递费用为元，C说法正确； 选项D：计算相邻费用的差值，当交寄物品的质量从增加到时，快递费用增加元，可知交寄物品质量每增加，快递费用增加元，不是元，D说法不正确． 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件，即可解答． 【详解】解：由表中可知，每降价5元，日销售量增加30件， 则当售价为260元时，该商品日销售量为（件）； y与x之间的关系式是． 3．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 【答案】(1)该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量 (2)； (3)随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少 【详解】（1）解：该表反映了海拔高度和空气含氧量的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； （2）解：观察表格可知，在海拔高度的地方空气含氧量是；海拔高度的地方空气含氧量是； （3）解：观察表格可知，随着海拔高度的增加，空气含氧量逐渐减少． 题型2用关系式表示变量间的关系 1．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据剩余水量=原有水量-放出水量，推导与的函数关系式即可． 【详解】解：∵水池原有水量为500立方米，每小时放水2立方米， ∴t小时一共放出水量立方米， 剩余水量等于原有水量减去放出水量， 可得． 2．某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 【答案】 【分析】根据活动方案，应付款等于加上超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵超过100元的部分按八折优惠， ∴． 3．如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，展开的画面面积就是的面积；当时，矩形的面积的面积； （2）先根据展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，计算展开的画面面积，再分别代入（1）中的关系式可得的值，计算总时间，即可解答． 【详解】（1）解：如图，当时，， 如图，当时，； 综上，（单位：关于点的运动时间（单位：的函数表达式为：； （2）解：， 当时，，， ∴， 当时，，（不符合题意）， 答：播放结束时展开的画面面积是． 题型3用图像表示变量间的关系 1．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【详解】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 2．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 【答案】30 【分析】本题考查图象法表示两个变量的关系，观察图象找出销售单价和销售量之间的关系，由销售单价140元时的对应销售量为40即可解题． 【详解】解：由图象找出销售单价和销售量的对应数值， 可得销售单价每增加10元，销售量对应减少10件， 因为销售单价为140元时，销售量为40件， 所以销售单价为150元时，是在140的基础上再增加10元，所以销售量要在40的基础上减少10件，所以为30件． 故答案为：30． 3．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s (2)6； (3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米 【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1次追上乙时，根据所跑路程相等列出方程求出t是解题的关键． （1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案； （2）根据甲100秒跑了600米，乙150秒跑了（米）计算速度即可； （3）设t秒时，甲第1次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离． 【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s． 故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s． （2）解：甲的速度为：（米/秒）， 乙的跑步速度为： （米/秒）． 故答案为：6；． （3）解：设t秒时，甲追上乙， 根据题意得： 解得： ， 则（米）， 答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225米． 题型4函数的概念 1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） 10A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项B不符合题意； C、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线不能表示y是x的函数，故选项C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，该曲线能表示y是x的函数，故选项D不符合题意． 2．寒假白白一家自驾游福州，爸爸开车到加油站加油，白白发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则其中的常量是__________．（请填写“金额”、“油量”或“单价”） 【答案】单价 【详解】解：由题意得，常量是单价． 3．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 【答案】(1)是， (2) 【分析】（1）根据函数的概念及待定系数法可进行求解； （2）由题意易得水位还需上涨系统会发出警报，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由表格可知：水位高度y是时间x的函数， 当x的值每增加1，y的值增加3， ∴这个函数解析式； （2）解：由题意得：， ∴； 答：再过系统会发出警报． 题型5函数的解析式 1．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形的四条边相等，原菱形边长为，新菱形边长增加， ∴新菱形的边长为， ∴新菱形周长，整理得． 2．在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】先计算出正方形纸片的总数量，再根据剩余纸片数等于总纸片数减去折叠个正方体所用纸片数，推导得到关于的函数关系式． 【详解】解：由题意可知，正方形纸片的总数量为张， 折叠个正方体所用纸片数量为张， 根据剩余纸片数量等于总纸片数量减去所用纸片数量，可得． 3．如图，在一个高为，底边长为的三角形中剪去一个三角形，当三角形的底边长由小到大变化时，图中三角形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． (2)设三角形的底边，请写出三角形的面积与的关系式； (3)当底边的长从变到时，三角形的面积是如何变化的？ 【答案】(1)的长，三角形面积； (2) (3)三角形的面积从变到． 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义作答即可； （2）由题意可知，，高为，再结合三角形面积公式求解即可； （3）结合（2）所得关系式求解即可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是的长，因变量是三角形ABD面积； （2）解：，， ， 高为， ， 即； （3）解：由（2）可知，， 当时，，当时， 即当底边的长从变到时，三角形的面积从变到． 题型6求自变量的取值范围 1．已知n边形的内角和，其中，自变量n的取值范围（    ） A．全体实数 B．全体整数 C．大于3 D．大于或等于3的整数 【答案】D 【分析】根据多边形的基本定义，确定边数n的限定条件，即可得到自变量n的取值范围． 【详解】解：∵n是多边形的边数，多边形是由至少条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，且边数必须为整数， ∴的取值范围是大于或等于的整数． 2．在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，只需分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不能为0，可得，解得． 3．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【点睛】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 题型7求自变量的值或函数值 1．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 【答案】B 【分析】根据表格中两个变量对应值的变化规律即可求解． 【详解】解：由表格中两个变量对应值的变化规律可得，， 当时，． 2．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 【答案】 【详解】解：点在函数的图象上， ． 3．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）直接把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2） 解：由（1）可把代入得：． 题型8函数图像识别 1．下列各图中满足是的函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于两个变量x、y，若对于x的任意值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、C、D这三个选项中，对于x的某些值，y有两个值与之对应， B选项中，对于x的任意值，y都有唯一的值与之对应， 故只有B选项中的图形满足是的函数图象． 2．如图所示的是我省某市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的最高气温为______． 【答案】 【分析】观察图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示温度，再根据温度随着时间的变化可得答案． 【详解】解：观察图象可知这一天的最高温度在之间是． 3．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【分析】根据函数图象给出的信息解题即可． 【详解】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （3） 解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 题型9用描点法画函数图像 1．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小王用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 1 2 3 … … 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于中心对称； ③当时，该函数图象有最低点，当时，该函数图象有最高点； ④该函数图象可由函数经过平移得到； ⑤若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了函数的图象和性质，根据函数的图象及性质即可求解，能从表格和图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点在该函数图象上，故①正确； 设点在函数的图象上，即， 把点关于中心对称的点代入得到， 则， ∴也在函数的图象上， ∴该函数图象关于中心对称；故②正确； ∵， ∴， 当时，， 即， 即当时，函数的图象有最高点， 当时，， 即， 即当时，函数的图象有最低点， 故③正确； ∵， ∴函数的图象无法由函数经过平移得到； ⑤由得到，， ∵关于的方程有两个实数根， ∴也有两个实数根， ∴， 即， ∴或， 故⑤错误， ∴正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 3．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为__________时两款电池相对容量相同； (3)在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据画图即可； （2）（3）根据表格中的数据可得答案； （4）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由表格中的数据可得，在温度为时两款电池相对容量相同； （3）解：由表格中的数据可知，或下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由如下： 由函数图象可知，在温度较低时，1号磷酸铁锂电池的容量相对于2号锰酸锂电池的容量大，故考虑到续航持久性，应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车． 题型10从函数图像获取信息 1．如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意和函数图象，分析点和点的运动过程，由时，求出点的速度和的长；由到达点的时间确定的值；根据矩形面积公式判断②；根据当时，点到达点，计算此时的面积判断③；分段讨论时的值判断④．　 【详解】解：由题意可知，点的速度为，，则点运动到点的时间为； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点，此时，即 ， 此时， ∴， 解得， ∴点的速度为，故①正确； ∴矩形的面积为，故②错误； 当时，点到达点，此时， 此时点运动路程为， ∵， ∴点在边上，且距离点， 即此时的底边，高为， ∴，即，故③正确； 观察图2可知，当时，图象发生转折，说明此时点到达点， ∴， 当点到达点时，此时， ∴当时，分情况讨论： 当点在上时（），，，，解得（负值舍去）； 当点在上时（），的最小值为时的，最大值为，故不可能为； 当点在上时（），点已停在点，， 点走过的总路程为，则， ， 令，解得， 综上所述，或，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 2．甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 【答案】①② 【分析】当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离；当时，甲、乙两人相遇；当时，甲、乙两人开始背向而行；当时，乙到达地，而甲继续向地运动． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据图象可知，当时，甲、乙两人分别在，两地，此时甲、乙两人之间的距离即为，之间的距离，结论①正确． 当时，甲、乙两人相遇，两人运动的总路程为，所以． 当时，甲、乙两人开始背向而行，当时，两人的距离，所以，结论③错误． 当时，乙到达地，而甲继续向地运动， 此时乙共运动，用时，则， 所以， 所以乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确． 当乙到达地后，甲继续运动了，所用时间， 所以，结论④错误． 综上所述，正确的序号是①②． 3．石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 【答案】(1)8；3； (2) (3)35元 【分析】（1）根据函数图象可知a和b的值，进而可求出c的值； （2）用起步价加上超过3千米部分的费用可得答案； （3）根据（2）所求求出时y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：由（1）得； （3）解：在中，当时，， 答：他应付乘车费35元． 题型11动点问题的函数图像 1．在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三个部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，第三部分从纪念馆返回学校，得出每个部分y随x的变化情况，结合函数图象可得答案． 【详解】解：整个函数图象可以分为三部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，此时y随x的增大而增大； 第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，此时y不发生变化； 第三部分从纪念馆返回学校，此时y随x的增大而减小，且变化的速度比第一部分的慢； ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意； 2．如图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小爱操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，经过了，，三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的图象如图2所示． 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：________________________（填“”“”或“”）； （2）当时，________． 【答案】 【分析】(1) 由判定为等边三角形，求出矩形边长与对角线长，再结合图象中随的变化趋势确定运动路线． (2) 根据运动路线和速度，确定时机器人在$BC$上的位置，利用勾股定理求出到观测仪的距离． 【详解】解：∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ，， ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， 机器人从出发，时，说明第一段走了到达距为的点， 若先走，则到、、的距离均为，后续的变化无法达到图象所示的最高点， ∴ 第一段为，此时， 从继续运动，要使达到最大值，需到达点（）， ∴ 第二段为， 从继续运动，从降为，到达点（）， ∴ 第三段为， 最后从到达， ∴ 运动路线为． ∵ 机器人速度为， ∴ 当时，机器人运动了， ∵ ， ∴ 机器人已过点，在上且， ∵ ， ∴ ． 3．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作一个圆，其上的某个座舱可视作圆上一点，该点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的关系如图2所示． (1)根据图2填表： 时间（） 0 3 6 9 15 … 高度（） 2 22 42 2 22 … (2)根据图中的信息，求出该摩天轮的直径； (3)该摩天轮运行过程中，在内，此座舱高度为的时刻有________个； (4)观察函数图象，请至少写出这个函数的2条性质． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3) (4)①该函数以12为一个周期；②当时，随着的增大而增大；③时，随着的增大而减小；④函数有最大值；⑤函数有最小值．（答案不唯一） 【分析】（1）结合图象进行填表即可； （2）结合图象确定最低点和最高点，差值即为摩天轮的直径； （3）分析函数图象可知，摩天轮每一次循环，且一个周期会经过两次，结合的时间段，可得出结论； （4）从函数的增减性，最值和周期性的角度，分析性质即可． 【详解】（1）解：表格如下： 时间（） 0 3 6 9 12 15 … 高度（） 2 22 42 22 2 22 … （2）解：由图可知，摩天轮最低点离地面，最高点离地面， ∴摩天轮的直径为； （3）解：由图可知，摩天轮完成一次从最低点到最高点，完成一次从最高点到最低点，且每一次循环， ∴内，有3次从最低到最高，2次从最高到最低， ∴座舱高度为的时刻有个； （4） 解：①该函数以12为一个周期；②当时，随着的增大而增大；③时，随着的增大而减小；④函数有最大值；⑤函数有最小值．（答案不唯一） 题型12函数的三种表示方法 1．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 2．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查函数，根据函数的基本概念，自变量和因变量的定义，函数的表示方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：在关系式 中，是自变量，是因变量，说法①正确； 的数值可以取任意实数，说法②正确； 是变量，但它的值随的变化而变化，与有关，说法③错误； 用关系式表示的函数可以用图象表示，说法④错误； 与的关系可以用列表法和图象法表示，说法⑤正确． 故答案为：①②⑤． 3．通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 【答案】(1)随着的升高，在降低 (2)3 (3)， 【分析】本题主要考查函数的表格表示法的识别能力，函数的表示法有：解析式法，图象法，表格法，都需要熟悉并熟练掌握． （1）根据表格数据，距离地面越远，温度越低，所以随着h的升高，t在降低； （2）根据表格求解即可； （3）根据规律，高度每升高1千米，温度降低求解即可． 【详解】（1）解：随着的升高，在降低． （2）解：由表格可知，当高空温度是，此时距离地面3千米． （3）解：∵根据表格可得，高度每升高1千米，温度降低， ∴， 当千米时，℃； 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据函数的定义，对于自变量 的每一个值，因变量 都有唯一确定的值与之对应.在图象上体现为：作垂直于 轴的直线，该直线与函数图象最多只有一个交点. A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有多个交点，故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点，故 不是 的函数； D. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点，故 是 的函数. 【点睛】 2．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 【答案】A 【分析】根据表格获取数据，逐一分析各选项即可判断正误． 【详解】解:A. ∵从增加到时，减少 ，从增加到 时，减少 ， ∴每增加，减小的值不是固定的 ，故A错误，符合题意； B. 由表格数据可知，当 时， ，B正确，不符合题意； C. 观察表格数据，支撑物高度越大，小车下滑时间越小， 因此随着逐渐升高，逐渐变小，故C正确，不符合题意； D. 木板长度不变，即小车下滑路程不变， ∵随着升高，逐渐变小， ∴平均速度逐渐加快，故D正确，不符合题意． 3．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】A 【分析】根据定义判断5和m的属性即可得到结果． 【详解】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量． 购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量． 因此5是常量，是变量． 4．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 5．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：根据表格数据描点，如图， ， 则点，，在同一直线上，点没在这条直线上， 故选：D. 6．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【分析】本题考查的是列函数关系式，从表格中获取信息，通过分析漏刻水位随时间的变化规律，判断各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第4次数据是不准确的；选项B不符合题意 选项C：修正第4次数据后，每2分钟水位仍增加，第7次对应，水位为，选项C不符合题意； 4. 选项D：由题意可得水位与时间的函数关系式为， 当时，，而非，选项D符合题意； 故选：D 二、填空题 7．函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】解：要使函数有意义，需满足分式分母不为，即， 解得 ． 8．购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 【答案】 3 x，y 【分析】根据常量与变量的定义，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．结合题目中各量的变化情况判断即可． 【详解】解：本题中，笔记本的单价始终为3不变，总金额y随购买笔记本的数量x的变化而变化，因此是常量，和是变量． 9．如图，矩形菜园的一边是足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长度恰好为28米．设长为x米，长为y米，则y关于x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】注意到边不需要篱笆来围即可根据已知条件列等式． 【详解】由矩形的性质和题意得，故． 10．小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 【答案】10 【分析】本题考查用图象表示两个变量的关系，根据图象 【详解】解：根据图象，得汽车每行驶，油箱中的剩余油量减少， ∴当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是， 故答案为：10． 11．某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 【答案】120 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，通过计算表格中每种情况下的总零件数，发现结果均为120件，因此确定每天需要完成的零件总数为120件． 【详解】解：设每天需要完成的零件总数为件． 由表格数据：当每人每天生产60件时，需2人，则； 当每人每天生产40件时，需3人，则； 当每人每天生产30件时，需4人，则． 故该车间每天需要完成A零件120件， 故答案为：120． 12．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 三、解答题 13．已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式求解即可； （2）将代入求解即可； （3）将代入求解即可； 【详解】（1） 解：∵，当时，， 将代入解析式得， 解得， 因此； （2）解：将代入得； （3）解：将代入得， 整理得， 解得 ． 14．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 15．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为___________时，两款电池相对容量相同； (3)在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先描点，再连线，即可画出与的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可． 【详解】（1）解：与的函数图象如图． （2）解：由表可知，在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：由表可知，在温度为或时，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 16．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51，见解析 (3)①7；② 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 17．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【分析】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【详解】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 18．已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07函数复习讲义（人教版） 高效复习◆重点 1.核心：掌握函数定义、表示方法及自变量取值范围，能判断函数关系，结合实际问题、动点问题列函数解析式，规范解题，规避易错点。 2.函数基础：理解函数核心概念，判断变量间的函数关系，掌握三种表示方法及特点。 3.取值范围：熟练掌握整式型、分式型及实际问题中自变量取值范围的求解方法。 4.应用与计算：能列实际、动点问题的函数解析式，规范解题；结合描点法分析动点函数图像。 核心题型◆归纳 题型1用表格表示变量间的关系 题型2用关系式表示变量间的关系 题型3用图像表示变量间的关系 题型4函数的概念 题型5函数的解析式 题型6求自变量的取值范围 题型7求自变量的值或函数值 题型8函数图像识别 题型9用描点法画函数图像 题型10从函数图像获取信息 题型11动点问题的函数图像 题型12函数的三种表示方法 题型13 提升测试 重点知识◆梳理 知识点01 函数的基础概念 1.函数定义：一个变化过程中，有两个变量x（自变量）和y（因变量），对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数。 2.自变量与因变量： 自变量（x）：在变化过程中，能够主动发生变化、可自主选取数值的变量，是引发其他变化的原因。其取值需同时满足数学意义（如分式分母不为0）和实际意义（如时间、人数不能为负数）， 例如：时间t、行驶路程s. 因变量（y）：在变化过程中，随自变量的变化而被动变化的变量，是变化产生的结果。其数值由自变量的每一个确定值唯一确定，不能独立于自变量存在，常例如：速度v随时间t变化时，v为因变量；面积S随边长a变化时，S为因变量。 核心关联：二者是“主动变化→被动变化”的依存关系，且必须满足函数“x每一个确定值对应唯一y值”的核心特征。 3.关键点：对应唯一性，是判断函数关系的核心依据，即因变量的每一个值，都由自变量的唯一确定值所决定，与自变量、因变量的依存关系相呼应。 4.函数的三种表示方法： (1)列表法：直观简洁，适用于有限个变量对应值的场景。 (2)解析式法：常见标准形式：整式型y=ax+b（a、b为常数）、分式型y=（a为常数且a≠0） 例如：y=2x+1、y= . (3) 图像法：直观形象，可快速判断函数增减性、变化趋势。 5.三种方法对比： 解析式法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。 列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。 图像法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。 知识点02描点法画函数图像： 1.定义：通过“列表、描点、连线”三步，绘制函数图像的基础方法。 2.规范步骤： （1）列表：根据自变量取值范围，选取若干x值，计算对应y值，整理成表格。 （2）描点：在平面直角坐标系中，准确标出对应坐标点（x,y）。 （3）连线：用平滑曲线或直线依次连接各点。 易错提示：① 选取x值需符合取值范围；② 坐标准确，不混淆x、y轴；③ 连线贴合点的走势。 知识点03关于自变量的取值范围 1.整式型：y=ax+b：x取全体实数。 2.分式型y=，（a≠0）：x≠0即分母不为0。 3.实际问题型：x需符合实际意义。如时间、人数不能为负数。 知识点04动点问题的函数图像 1.含义：用函数图像表示动点运动中两个相关变量的对应关系，反映运动状态及变化规律。（通常t为自变量，路程、面积等为因变量） 2.关键分析思路： （1）明确运动要素：轨迹、速度、范围，区分自变量与因变量。 （2）分阶段分析：按运动状态划分阶段，明确各阶段变量关系或解析式。 （3）判断图像特征：确定各阶段图像形状、增减性及拐点。 （4）验证合理性：结合描点法，排除不符合运动规律的图像。 3.常见类型与特征： （1）匀速运动：图像为直线，斜率表示速度，正负表示增减趋势。 （2）变速运动：图像为曲线，坡度变化反映速度变化。 （3）动点停止：图像为平行于x轴的线段。 易错提示：① 忽略运动阶段性；② 混淆自变量与因变量；③ 忽略运动范围。 知识点05函数的实际应用 1.解题步骤：审题→设元→求解析式→验证→作答。 2.常见应用场景：行程、计费、工程问题，核心是找准变量关系，列解析式。 题型解析◆精准备考 题型1用表格表示变量间的关系 1．某快递公司同城快递的收费标准见下表（交寄物品的质量不足按计算）： 质量/ … 费用/元 … 下列有关表格的分析中，不正确的是（    ） A．在这个变化中，自变量是交寄物品的质量，因变量是快递费用 B．交寄物品的质量越重，快递费用就越高 C．当交寄物品的质量为时，快递费用为元 D．交寄物品的质量每增加，快递费用增加元 2．某商场销售某种商品，原价260元，随着不同幅度的降价(元)，日销售量(件)发生相应变化，关系如下表所示： 降价/元 5 10 15 20 日销售量/件 480 510 540 570 根据以上信息，当售价为260元时，该商品日销售量为________件；若设该商品的售价为元，日销售量为y件，则y与x之间的关系式是___________． 3．在高海拔（为高海拔，为超高海拔，以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据： 海拔高度/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 空气含氧量/（） 299.3 265.5 234.8 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97 (1)如表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？ (3)随着海拔高度的变化，空气含氧量是如何变化的？ 题型2用关系式表示变量间的关系 1．水池蓄水500立方米，每小时放水2立方米，t小时后，水池中的水Q（立方米）与t（小时）的函数关系式为（    ） A．B． C． D． 2．某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 3．如图，在长方形电子屏中，，．一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点P从点A出发沿边以的速度向点C运动，随着的移动，画面逐渐展开． (1)求展开的画面面积S（单位：）关于点P的运动时间t（单位：s）的函数表达式； (2)当展开的画面面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续5s，求播放结束时展开的画面面积． 题型3用图像表示变量间的关系 1．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．某商场调查发现，一商品的销售量与销售单价之间存在如图所示的关系．当销售单价为150元时，销售量约为___________件． 3．甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经距起点100米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中信息，解答下列问题： (1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________． (2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒． (3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离． 题型4函数的概念 1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（   ） 10A． B． C． D． 2．寒假白白一家自驾游福州，爸爸开车到加油站加油，白白发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则其中的常量是__________．（请填写“金额”、“油量”或“单价”） 3．一个水库的水位在某段时间内持续上涨，表格中记录了连续内6个时间点的水位高度，其中x表示时间，y表示水位高度． x 0 1 2 3 4 5 y 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)水位高度y是否为时间x的函数？若是，请求出这个函数解析式； (2)据估计，这种上涨规律还会持续，并且当水位高度达到时，水库报警系统会自动发出警报．请预测再过多久系统会发出警报？ 题型5函数的解析式 1．一个菱形的边长为，它的边长增加后，得到的新菱形的周长为，则与之间的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．在数学综合实践活动中，初二年级举行折正方体的活动．每个正方体由24张正方形纸片折叠组成，数学组为每个班购买了20包正方形纸片，每一包有100张纸片．若某班同学共叠了x个正方体，剩余y张纸片，则函数y关于x的关系式是___________（不要求写出自变量的取值范围） 3．如图，在一个高为，底边长为的三角形中剪去一个三角形，当三角形的底边长由小到大变化时，图中三角形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． (2)设三角形的底边，请写出三角形的面积与的关系式； (3)当底边的长从变到时，三角形的面积是如何变化的？ 题型6求自变量的取值范围 1．已知n边形的内角和，其中，自变量n的取值范围（    ） A．全体实数 B．全体整数 C．大于3 D．大于或等于3的整数 2．在函数中，自变量的取值范围是___________． 3．（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 题型7求自变量的值或函数值 1．变量x，y的一些对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 1 8 27 … 根据表格中的数据规律，当时，y的值是（   ） A．5 B． C．25 D． 2．在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，则_____． 3．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 题型8函数图像识别 1．下列各图中满足是的函数图象的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示的是我省某市某一天的气温随时间变化的情况，则这天的最高气温为______． 3．如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 题型9用描点法画函数图像 1．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小王用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 1 2 3 … … 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于中心对称； ③当时，该函数图象有最低点，当时，该函数图象有最高点； ④该函数图象可由函数经过平移得到； ⑤若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 3．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为__________时两款电池相对容量相同； (3)在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 题型10从函数图像获取信息 1．如图1，在矩形ABCD中，，两动点P，Q同时从点A出发，点P在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点Q沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点Q的运动时间的关系图象如图2所示．则下列结论正确的是（　　） ①点Q的速度是；②矩形的面积为；③；④时，或． A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①④ 2．甲、乙两人分别从，两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，下列结论：①，之间的距离为；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③；④，所有正确的序号是_____．（填序号） 3．石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 题型11动点问题的函数图像 1．在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 2．如图1是一个轨道的示意图，四边形是矩形，对角线，交于点，，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点处安装了一台观测仪．小爱操作机器人以的速度沿轨道匀速运动，机器人从点出发，经过了，，三点各一次并最终到达点．记机器人运动的时间为，机器人到观测仪的距离为，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计．观测仪中所记录的与的函数关系的图象如图2所示． 根据上述信息回答： （1）机器人的运动路线是：________________________（填“”“”或“”）； （2）当时，________． 3．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作一个圆，其上的某个座舱可视作圆上一点，该点离地面的高度（）与旋转时间（）之间的关系如图2所示． (1)根据图2填表： 时间（） 0 3 6 9 15 … 高度（） 2 22 42 2 22 … (2)根据图中的信息，求出该摩天轮的直径； (3)该摩天轮运行过程中，在内，此座舱高度为的时刻有________个； (4)观察函数图象，请至少写出这个函数的2条性质． 题型12函数的三种表示方法 1．下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 2．在关系式中，下列说法：是自变量，是因变量；可以选择任意实数；③是变量，它的值与无关；④用关系式表示的不能用图象表示；⑤与的关系还可以用列表法和图象法表示，其中说法正确的是___________．（填序号） 3．通过地理知识学习我们知道：“随着距离地面越高，温度越低”，某地距离地面高度与温度的关系如下面表格所示： 距离地面高度（千米） 0 1 2 3 4 5 温度（） 20 14 8 2 请根据上面表格，回答下列问题： (1)如果用表示距离地面的高度，用来表示温度，那么随着的变化，如何变化？ (2)当高空温度是时，此时距离地面_____千米． (3)请你写出与的函数表达式，并求出当千米时，此时温度的值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．某学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间，他们得到如表数据： 支撑物的高度 10 20 30 40 50 60 70 80 小车下滑的时间 下列说法错误的是（   ） A．h每增加，t减小 B．当时， C．随着h逐渐升高，t逐渐变小 D．随着h逐渐升高，小车下滑的平均速度逐渐加快 3．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（  ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 4．如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（     ） x 0 1 2 y 10 8 6 2 A． B． C． D． 6．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 …… 0 2 4 6 8 …… 2 2.8 3.6 4.2 5.2 …… 下列说法错误的是（　　） A．在实验开始时，漏刻水位是 B．第4次数据记录出现了错误，正确的漏刻水位应该是 C．第7次数据记录时，漏刻水位应为 D．当漏刻水位为时，对应实验的时间是 二、填空题 7．函数的定义域是__________． 8．购买单价为3元的笔记本，总金额（元）与笔记本数（本）的关系为，其中_____是常量，_____是变量． 9．如图，矩形菜园的一边是足够长的墙，另外三边用篱笆围成，篱笆总长度恰好为28米．设长为x米，长为y米，则y关于x的函数关系式为______． 10．小强将自己家的汽车油箱加满后进行耗油实验，根据记录的数据绘制出了如图所示的趋势图，根据趋势图可推测，当汽车行驶时，油箱中的剩余油量是_________L． 11．某车间每天需要完成一定量的零件的生产任务，每一名工人每天生产的零件数量和需要安排的工人人数如表，那么该车间每天需要完成零件__________件； 每一名工人每天生产的零件数量/件 60 40 30 … 需要安排的工人人数/人 2 3 4 … 12．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 三、解答题 13．已知y与x之间满足，且当时，．求： (1)y与x之间的函数关系式； (2)当时，y的值； (3)当时，x的值． 14．如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 15．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响．下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量的部分实验数据，其中为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量（单位：），为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量（单位：）．注：电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，已经画出了与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为___________时，两款电池相对容量相同； (3)在___________下，锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等． 16．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 17．如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 18．已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $