7.5正态分布(2)导学案 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

高效课堂导学案 人教 A 版（2019）选三 数学 第七章 随机变量及其分布 1 学科网（北京）股份有限公司 7.5 正态分布（2） 一、导 学 习 目 标 1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 2. 了解变量落在区间[μ- σ , μ+σ] ，[μ-2σ , μ+2σ] ，[μ-3σ , μ+3σ]内的概率大小. 3.会用正态分布去解决实际问题． 学习重难点 重点：正态分布的特征，概率的表示，正态分布的均值、方差及其含义. 难点：描述正态分布随机变量的概率分布. 二、思、议、展、评 （一）课前预习 自主梳理 知识点一 正态曲线 若随机变量X 的概率密度函数为f(x)= ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X～ N(μ , σ2) ，特别地，当μ =0， 时，称随机变量X服从 ． （二）合作探究（分小组合作探讨以下问题，并在导学案上写出答案） (探究一) 知识点二 正态曲线的特点 1 ．对∀x ∈R，f(x)>0 ，它的图象在 x 轴的 ． 2 ．曲线与 x 轴之间的面积为 . 3 ．对称性：曲线是单峰的，它关于直线 对称． 4 ．曲线在 处达到峰值 5．当 一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ 的变化而沿 x 轴平移，如图①. 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高 ”，表示随机变量X的分布 比较集中；σ较大时，曲线“矮胖 ”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. （三）典例分析 【题型 1 正态曲线的特点】 例 1 设两个正态分布 N(μ1 ， σ )(σ1>0)和 N(μ2 ， σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( ) A．μ 1<μ2 ，σ1<σ2 B．μ 1<μ2 ，σ1>σ2 C．μ 1>μ2 ，σ1<σ2 D．μ 1>μ2 ，σ1>σ2 高效课堂导学案 人教 A 版（2019）选三 数学 第七章 随机变量及其分布 2 学科网（北京）股份有限公司 【题型 2 利用正态曲线的对称性求概率】 例2 已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)= 变式 1、已知随机变量 X 服从正态分布 N (2， σ2)，且 P (X＜4)＝0.8，则 P (0＜X <2)等于 ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 变式 2、若随机变量 X～N (10，σ2)，P (9≤X≤11)＝0.4，则 P (X>11)= (探究二)知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及 3σ原则P(μ- σ ≤X≤μ+σ)≈ ; P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈ ; P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈ . 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 N(μ , σ2)的 随机变量X 只取[μ-3σ , μ+3σ]中的值，这在统计学中称为 3σ原则． 【题型 3 利用正态分布的 3 原则求概率】 例 3. 设 X～N(1,22) ，求：(1)P(－1≤X≤3)； (2) P(-3＜X≤5) （3）P（-5＜X≤7） （4）P(3＜X≤5). （5）P(X>5). 变式 3、.某市高二年级男生的身高 X(单位：cm)近似服从正态分布 N(170,5²)，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率： (1)P(165<X≤175)= (2)P(X≤165)= (3)P(X>175)= 方法总结：利用正态分布求概率的两个方法： (1)对称法 （2）“3 σ ”法 高效课堂导学案 人教 A 版（2019）选三 数学 第七章 随机变量及其分布 三、检（当堂检测，感受高考） 1 ．(2024·全国·模拟预测) 已知随机变量X 服从正态分布N(8, σ 2) ，且P(X < 5) = 0.3 ，则P (8 ≤ X ≤ 11) = ． 2 ．(22-23 高二下·四川资阳·期末）若随机变量X 服从正态分布N(3, σ 2) ，且P(X <1) = 0.28 ，则P(X ≤ 5) 的值为 ． 3 ．（2024·江苏泰州·模拟预测）某校高三 800 名学生的考试成绩近似服从正态分布N(89, 132) ，某生成绩为 102 分，则该生成绩的年级排名大约是 ( ) （附：参考数据：X ~ N(μ , σ 2) ，则，P(μ _ σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0.6827 ，P(μ _ 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ ) ≈ 0.9545 ， P(μ _ 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ ) ≈ 0.9973 ．） A ．第 18 名 B ．第 127 名 C ．第 245 名 D ．第 546 名 4 ．［2020·重庆南开中学高考模拟］据统计，某脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布 N （80 ，52），则果实横径在［75，90]内的概率为 ( ) 附：若 X～N ( μ , σ2），则 P ( μ- σ ≤X≤ μ+σ) ≈0.682 7 ，P ( μ-2 σ ≤X≤ μ+2 σ ) ≈ 0.954 5. A. 0.682 7 B. 0.841 3 C. 0.818 6 D. 0.954 5 四、归纳总结,反思提升 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 五、作业布置 1. 已知随机变量X ~ N(0, 1) ，且P(_1≤ X ≤1) ≈ 0.6827 ，则P(X > 1) ≈ ( ) A ．0.1587 B ．0.1827 C ．0.3173 D ．0.8413 2. 已知随机变量ξ 服从正态分布N (3, σ 2) ，且P(0< ξ< 3) = 0.4 ，则P(ξ > 6) = 3 学科网（北京）股份有限公司 $