云南昆明市第八中学2025-2026学年度下学期期中考试高一数学试卷

昆八中2025-2026学年度下学期期中考 高一数学试卷 考试时间：120分钟满分：150分命题：王光睿审题：杨朝锋 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知a,b,c是空间中的三条直线，且a⊥b,则“b/c”是“a⊥c”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若z(1-i)=2+3i,则复数z的虚部是 A. R月 C. 0.月 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+b=2 ccosB，,则C= A君 R c n. 4.已知向量a为单位向量，向量b在a上的投影向量为-2a,则a.b= A日 B.-2 C.-1 D.0 5.已知集合A={xy)y=},B={xy=2,则AnB中元素的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 6.正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰 盒、古建筑的窗户、古井口等.已知6个边长均为2的正六边形的摆放位置如图所示，C是这6个正六边 形内部（包括边界）的动点，则AC.AB的最大值为 A.12 B.16 C.18 D.20 若+》 / 1 tan d+I 4.则sm2a+到 6 A c.4 D月 8.若正实数a,b满足2“-8=2b-a,则下列不等关系一定成立的是 A.a<3b B.a>3b C.a<b' D.a>b 1/4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.函数f()=Asin(or+p)(A,D,9是常数，且A>0,0>0,0<p<匹)的部分图象如图所示， 、 下列结论正确的是 A.0=2 7π B.9骨 6 12 C.f(0)=1 D.将f(x)的图象向左平移”个单位，所得到的函数是偶函数 6 10.已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1-x)=f(1+x),f(x)+f(4-x)=1,则 A.f B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.4是f(x)的周期 11.在如图所示的透明的正三棱台形容器ABC-AB,C内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水 平面DEF与底面平行，且水平面DEBF与下底面ABC的距离为，AB=6,A码=2，正三技台形容器 ABC-ABC,的高为2，下列结论正确的有 A.正三棱台形容器ABC-4BC的体积为265 B B.正三棱台形容器ABC-AB,C的侧面积为8√6 C.等边三角形DEF的边长为3 D.水的体积为52V5 9 B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如果复数z满足3-1+3+2=3，那么2-1-的最大值是 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中， B P为DD的中点，Q为正方形AADD内一动点， O. D 且B,QW平面BC,P,则点Q的轨迹的长度为. A 14.在△ABC中，D在边AB上，CD平分∠ACB,若AC=3,BC=1,且CD=√2，则AB= 2/4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,PA⊥AD,BCIIAD,AB⊥AD, PA=AB=√3，AD=3,BC=2,AD=3AE,F为PC的中点. (I)求证：EF∥平面PAB; (2)若P,B,C,D在同一个球面上，证明：这个球的球心在平面ABCD上 E B os) 16.(45分)已知函数f)=(s4十c04 -2W5cos2+V5-1. 4 4 (1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间： (2)将f()的图象先向左平移”个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的)（纵坐标不变），得到函数8)， 6 若8(6)=2， A,∈元，匹，求cosx的值. 17.(5分)已知函数f)=x+1g二6。 x+6 (1)求f(x)的定义域： (2)判断∫(x)的奇偶性，并证明你的结论： 3,+0恒成立，求k的取值范围。 22 (3)若f(x)≥k对于x∈ 3/4 18.(17分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos(B-C)=cosA(2V3 bsin C-a) (1)求∠A (2)在△ABC所在平面内取一点D(D与B在AC两侧)，且DC=2,DA=1, (①)若∠ADC=120°，AE=2EC,求DE的长： (i)若∠B=60°，求△BCD面积的最大值. 19.(17分)意大利著名物理学家达芬奇思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然 下垂，那么项链所形成的曲线是什么？可以用双曲函数来描述该形状，基本的双曲函数有：双曲正弦函数 sinx=e-,e和双曲余弦函数cosh=e+e 2 2 (1)求cosh2x-sinh2x的值： (2)求不等式：sinh(2x-1)+sinh(x-2)<0的解集： (3)若函数y=2 mcosh(2x)-2sinh(x)-3的图象在区间[0，n2]上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围 4/4昆八中2025-2026学年度下学期期中考 高一数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.A 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.D 【详解】设u+亚=日，则a=日- 6 6 1 由aa+6 得tanB+1 =4 =4, tan a+ tan 9 6 sine cos0 sin20+cos20 即cos0'sin6 sinθcosa 5咖28m204,则s如201 1 2 1 8.A 【详解】24-8=24-23b=2b-a. 若a>3b>0,则2-2b>0,2b-a<0,与2-2b=2b-a矛盾. 若0<a<3b,则2-2b=2b-a<0,则0<2b<a<3b,成立. 若a=3b,则24-2b=0,代入原式得2b-a=0,即2b-3b=0,解得b=0,与题千中b是正 实数矛盾， 综上，a>3b与a=3b均不成立，则a<3b一定成立. 取a=,代入等式得g+2b=3,根据零点存在性定理可得0<b<此时a>,C不成立： 取b=2,代入等式得2“+a=68,根据零点存在性定理可得5<a<6,此时a<b3,D不成立. 答案第1页，共10页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.AB 10.ACD 【详解】在fG+f4--1中，令x=2,可得f2)+f2)-l,所以fQ-2放A正确： 由f(1-x)=f(1+x),可得f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确： 在f0-)=f+)中，令x=1,可得f(0)=f(2),又由选项A知f2)=)故f(0)= 若f()是定义在R上的奇函数，则f0)=0与f@=)不后，故f()不是奇函数，故B 错误； 由f(x)+f(4-x)=1,可得f(x)的图象关于点 22 对称，又因为f(x)的图象关于直线 x=1对称， 故T=4×(2-1)=4,故D正确. 11.AC 详解】由题意等边三角形ABC的面积为x6x6x)=93 等边三角形ABC,的面积为x2×2x5-5,又正三棱台形容器ABC-ABC的高为2， 所以正三棱台形容器ABC-ABC的体积为×2×W5+5+N5x)=26W5 3 3 故A正确： 设BC的中点为M,BC的中点为M1,三角形ABC的中心为O, 三角形ABC,的中心为O,则MM,为侧面梯形的高，如图： A OM 在截面AAMM中，00=2，AM=3V5,AM1=V3,又A0=20M,AO=20M, 答案第2页，共10页 所以MM 25 4W5 3 3 以正三棱台形容器ABC-ABC的侧面积为3xx2+6)x4S=16√5，故B错误 3 设等边=角形DEF的边长为，由△ABC”DEF,所以2-2.-2，解得x-3, 3 26-2 即DE=3,故C正确： 等边三角形DEF的面积为x3×3x5_9 2 4 正三枝台AC-Dr的高为， 所以水的体积为VAC-DEr= 13 9W5+95 63W +9 4 5x9W3 ,故D错误 32 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.√10 【详解】令z=x+yi且xy∈R,则Vx-12+y2+V(x+2)2+y2=3, 所以其表示点Z(x,y)到A1,0)、B(-2,0)两点的距离和3，而A,B的距离为3， 所以Z(x,y)在A,B两点之间运动（含端点)， 由-1-表示点Z(x,y)到点C(1,)的距离，故其最大距离为BC上V10, 所以k-1-的最大值是√0 故答案为：√0 13.√2 【详解】如图，分别取AA,AD的中点H,G,连接BG,GH,HB,AD,HP, 因为P为DD的中点，得HPIIAD,IIBC,HP=AD=BC,则四边形HPCB,是平行四边 形，故B,H1IPC, 因为BHc平面B,GH,PC,E平面B,GH,故PC//平面B,GH, 又因为AB/1AB,11D,C,AB=AB,=D,C,则四边形ABCD,是平行四边形，故BCI1AD, 答案第3页，共10页 因为GHI1AD,故BC /IGH,又BC,a平面B,GH,GHc平面B,GH,可得BC,II平面B,GH, 且PC∩BC=C,PC,BCC平面BC,P,故平面B,GHII平面BCP. 又因为BQII平面BCP,故BQC平面BGH,故点Q的轨迹为线段GH,其长为√2. 故答案为：√， D G B D 14.4 3 【详解】由CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD,令∠ACD=∠BCD=a,∠CDA=日， 则∠CDB=元-B, AC AD 在△ACD中，由正弦定理有： sine sina BC BD 在△BCD中，由正弦定理有： sin(π-a)sina' 所以AD-AC-3-3,即AD=3BD, BD BC 1 在△ACD中，由余弦定理有： AD2=AC2+CD2-2AC.CDcosa=9+2-2x3x2cosa=11-6v2cosa, 在△BCD中，由余弦定理有： BD=BC2+CD2-2BC.CDcosa=1+2-2x1x2cosa=3-2v2cosa, 又AD=3BD,所以AD2=9BD',所以11-6N2cosa=9(3-2V2cosC), 解得cosa-25,所以AD=后，Bm- 3 3 所以AB=AD+BD=5+5_4E 3 3 答案第4页，共10页 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.(13+15+15+17+17) 15.(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】(1)证明：取PB中点M,连接MF、AM, :M、F分别为PB、PC的中点， MFIRC.MF=号BC=1, :AD=3AE,E点在AD上，AE-AD-1, BC//AD, .MF/1AE且MF=AE, ∴.四边形AEFM为平行四边形， .EF//AM, :EFL平面PAB,AMC平面PAB, .EF/平面PAB. .6分 （2)证明：·.PA⊥平面ABCD, .PA⊥AE, .PE=√PA2+AE2=2, ·.AB⊥AD, ..BE=AB2+AE2=2, .AE=1,AB=3,BE=2, im∠ABE=),∠ABE=30, .∠EBC=60°， BE=BC=2,∴.CE=2, P、B、C、D在同一个球面上，且PE=BE=CE=DE=2, E为球心， 球心在平面ABCD上... .13分 答案第5页，共10页 16.(1)最小正周期为4π，单调递减区间是 5元+4k, +4k,k∈Z: 3 (2)-1+V37 8 【详解】(1) r-(f+o-25caw+5-1i+2otoam}6- 2 3分 f(x)的最小正周期为T=4兀，5分 由+2 A5s死+2km,keZ,解得5π+4m≤x≤ 232 1m+4k,k∈Z, 3 所以函数∫(x)的单调递减区间是 3 8分 x+ (2)将f(x)的图象先向左平移”个单位长度，得到函数y=2sin 6π 2 再将其横坐标缩小为原来的与，纵坐标不变得到函数g(x)=2sinx- 4 .10分 塑意有如飞母到5，Ⅱ导（小则m、对）反 则c0s=C [飞}=wm经m-}m月 、 62x22x21+3 282 8 15分 答案第6页，共10页 17.(1)(-0,-6)U(6,+m) (2)奇函数，证明见解析 19 6w3 【详解】(1)由-6>0，可得(x-6)(x+6)>0, x+6 解得x>6或x<-6,所以f(x)的定义域为(-n,-6)(6,+0)....3分 (2)f(x)为奇函数： 证明如下： 由(1)可知，∫(x)的定义域关于原点对称， 因为f(-)=x+1gx-6 -x+g+6 -x-1g*-6 -f(x), -x+6 x-6 x+6 所以f(x为奇函数。8分 (3)fy=x+1g-6 +lg1-12 因为函数y=gx为增函数， x+6 x+6 函数y1-2在 22 x+6 3，+上为增函数， 所以函数y=lg1- 12) 22 +6 3,+ao 在 上为增函数， 又因为函数y=x [学上为塔函数，所以f在[+上为增函数。 故fdmf2婴-受+多62+803 g1=22-1=19 +6 3 Γ3 3 由于f(x)≥k对于x∈ 则ks19 .19 ,即k的取值范围为-0,3 ..15分 答案第7页，共10页 8a管a5-1 3 【详解】 (1)acos(B-C)=cosA(2bsinC-a) acos(B-C)=cosA.2v3bsin C+acos(B+C) →a[cos(B-C)-cos(B+C)]=cosA·2W3 ibsinC 2asin Bsin C=cos A.2v3bsin C →asin B=V3cosA.b 由正弦定理知a=b →asin B=bsin A带入有 sin A sin B tan A=3 A∈(0π) A= 35分 (2)DE-ioc 3 2 S±pADc4pC24I6E 999-9 叫厚 .9分 (3)△ABC此时为正三角形. 记∠ACD=,∠ADC=B.AC=a 在△ACD中，由正弦定理知a =I sin B sina sin(a+B) a 1 -→asina=sinB..① sinB sina a →asin(a+B)=2sinB sinB sin(a+B) asin acosB+acosasin B=2sin B 将①带入上式有sin BcosB+acosasin B=2sinB →acosa=2-cosB Ws-u.2-sin(@+a)-u 5 cosa+I sina(2-cosp)+sinp=v3+sin- 当B=5匹时，S有最大值V5+1.17分 6 答案第8页，共10页 19.(1)1 (2)（-∞，10 3√1+3 024 【样1we-到 =c2"+e2+2e2+e2r-2 1· .3分 4 4 (2)因为sinh(←刘=e_e =-sinhx,.xeR恒成立，故y=sinhx是奇函数. 2 又因为y=e在R上严格递增，y=e在R上严格递减， 故y=sinr=e-e是R上的严格增函数， 2 所以sinh(2x-l)+sih(x-2)<0,即sinh(2x-l)<-sinh(x-2)=sinh(2-x), 所以2x-1<2-x,解得x<1, 即所求不等式的解集为(-∞，1)；.9分 (3)因为f(x)=2cosh(2x)-2sinh(x)-3的图象在区间[0，n2]上与x轴有2个交点， 所以m(e2+e2）-(e-e）-3=0, 即m(e2+e2)）-(e*-e)-3=0在x∈[0，ln2]有2个实数根， 所以m-e-e+3在x0,h2]有2个实数根， e2xte-2x 令e-e)+3=,易知=(e-e)+3在e0h2]上单润递增，所以e3引 a-女n4-6 m t 令0+6，引 。91 白对勾西效性质可，)在[3而)上单调造减，在（而引上单润递神， 又8)-号8（而）-2而-68）-格作函数草图如图。 答案第9页，共10页 17 18 23 i6 311 多 当2-6女号时，函数0=+-6与=有情个文点 m 即函数f(x)的图象在区间[0，n2]上与x轴有2个交点， 所以sm<+3,即3+3 4 24 17分 答案第10页，共10页