数学（江苏连云港卷）学易金卷：2026年中考考前预测卷

2026年中考考前预测卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A．﹣2026 B． C． D．2026 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：的倒数是﹣2026． 故选：A． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek﹣V3模型参数可达6710亿个，其中数6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6710×103 B．671×109 C．6.71×1011 D．0.671×1012 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：6710亿＝671000000000＝6.71×1011． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．如图是九年级（3）班某题的答题情况统计图，根据图中信息，该班同学此题得分的众数为（　　） A．0分 B．1分 C．3分 D．5分 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解． 【解答】解：根据统计图可得3分的人数有21人，次数最多，故众数为3 故选：C． 【点评】本题考查了条形统计图，求众数，掌握众数的定义，从统计图中获取信息是解题的关键． 4．下列计算正确的是（　　） A．（2a﹣3）（3+2a）＝4a2﹣9 B． C．（3a2b+a）÷a＝3ab D．（a﹣2）2＝a2﹣4 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：（2a﹣3）（3+2a）＝4a2﹣9，故选项A正确，符合题意； （﹣2a2）3•a2＝﹣4a8，故选项B错误，不符合题意； （3a2b+a）÷a＝3ab+1，故选项C错误，不符合题意； （a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A．x+2＝x﹣1 B．5x﹣1＝2x+2 C．5（x+2）＝2（x﹣1） D．5（x﹣1）＝2（x+2） 【分析】两边同乘分母的最简公分母，消去分母即可． 【解答】解：原方程两边同乘（x+2）（x﹣1），得5（x﹣1）＝2（x+2）， 故选：D． 【点评】此题考查了解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF，若AC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【分析】由矩形性质得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解． 【解答】解：在矩形ABCD中，AC＝BD＝8， ∴， ， ∴AF＝FO， 即点F是边OA的中点， ∵点E是边AD的中点， ∴EF为△AOD的中位线， ∴， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五；不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．人数和羊价各是多少？若设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（　　） A．5x+45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D． 【分析】根据每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， 5x+45＝7x+3， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 8．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线开口向下 C．抛物线与x轴另一个交点是（2，0） D．当x＝1时，y有最大值3 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴与在对称轴处取得最值，即可判断A、B与D；根据抛物线的对称性，可由抛物线的对称轴与x轴的一个交点坐标，直接得到另一个交点坐标，即可判断C． 【解答】解：从函数图象可知抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，当x＝1时，y有最大值是3． 故A、B、D正确． ∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点是（﹣2，0），对称轴为x＝1， ∴抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的另一个交点是（4，0）． 故C错误． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的解析式求法，解答本题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　（x﹣1）（a﹣3）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝（x﹣1）（a﹣3）， 故答案为：（x﹣1）（a﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 10．若的整数部分为a，小数部分为b，则a+2b＝　　 ． 【分析】根据16＜19＜25，可确定的整数部分，而无理数由整数部分加小数部分，由此可确定的小数部分． 【解答】解：∵16＜19＜25， ∴45， ∴的整数部分为4，小数部分为， ∴a＝4，b， ∴a+2b＝4． 故答案为：． 【点评】本题考查了估算无理数的大小相关知识，确定无理数的整数部分是解题的关键． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根，则k的取值范围为 k＜1　 ． 【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×k＞0， 解得：k＜1， ∴k的取值范围为k＜1． 故答案为：k＜1． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12．如图，在地球截面图中，AB、CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，测得∠EDN＝66°34'，则∠BOD的大小为 　23°26′　 ． 【分析】由垂直的定义得到∠ODE＝90°，由平角定义求出∠ODC＝23°26′，由平行线的性质推出∠BOD＝∠ODC＝23°26′． 【解答】解：∵OM⊥EF， ∴∠ODE＝90°， ∵∠EDN＝66°34′， ∴∠ODC＝180°﹣90°﹣66°34′＝23°26′， ∵AB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝23°26′． 故答案为：23°26′． 【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠BOD＝∠ODC． 13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在第二象限，其中A点坐标为（﹣5，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，得到线段A1B1，则点A1的坐标为　（2，5）　 ． 【分析】过点A1作A1D⊥x轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，则∠A1DO＝∠ACO＝90°，根据A点坐标得到AC＝2，OC＝5，根据旋转的性质得到OA＝OA1，∠AOA1＝90°，证明△OAC≌△A1OD（AAS），得到AC＝OD＝2，OC＝A1D＝5，根据点A1在第一象限即可求出点A1的坐标． 【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A1作A1D⊥x轴于点D，则∠A1DO＝∠ACO＝90°， ∵A点坐标为（﹣5，2）， ∴AC＝2，OC＝5， 由旋转得：∠AOA1＝90°，OA＝OA1， ∴∠AOC+∠OAC＝∠AOC+∠A1OD＝90°， ∴∠OAC＝∠A1OD， ∵∠A1DO＝∠ACO＝90°，OA＝OA1， ∴△OAC≌△A1OD（AAS）， ∴OC＝A1D＝5，AC＝OD＝2， ∵点A1在第一象限， ∴点A1的坐标为（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，求旋转后点的坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度．如图，旗杆AB垂直于地面，李明在C处测得∠ACB＝15°．他沿CB方向走了28m，到达点D处，测得∠ADB＝30°．请你帮助兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为 　14　 m． 【分析】先利用三角形的外角性质可得：∠DAC＝∠ACD＝15°，从而可得DA＝DC＝28m，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：∵∠ADB是△ACD的一个外角， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°﹣15°＝15°， ∴∠DAC＝∠ACD＝15°， ∴DA＝DC＝28m， ∵∠ABD＝90°， ∴ABAD＝14（m）， ∴旗杆的高度为14m， 故答案为：14． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．如图，AB为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，且∠ABC＝60°，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M，交BC于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP交⊙O于点D，交AC于点E，若CD＝1，则AC的长为 　　 ． 【分析】由作图得BD平分∠ABC，再根据勾股定理求解． 【解答】解：过D作DF⊥AC于F，连接AD， 由作图得：BD平分∠ABC， ∴∠ACD＝∠ABD∠ABC＝30°，， ∴AD＝CD， ∴AC＝2CF， 在Rt△CDF中，∠ACD＝30°，CD＝1， ∴CF＝CDcos∠ACD， ∴AC， 故答案为：． 【点评】本题考查了基本作图，掌握圆周角定理是解题的关键． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是　　 ． 【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠BAG＝∠AGB，推出AB＝BG，设AB＝2x，AD＝3x，则AB＝CD＝BG＝2x，AD＝BC＝3x，GC＝x，证明△CEG∽△BAG，得出S△BAG＝4S△CEG，证明△ADF∽△GBF，得出，推出，，从而得出，，求出得到，即可得出答案． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AGB， ∴∠BAG＝∠DAG， ∴∠BAG＝∠AGB， ∴AB＝BG， ∵AB：AD＝2：3， ∴设AB＝2x，AD＝3x，则AB＝CD＝BG＝2x，AD＝BC＝3x， ∴GC＝x， ∵AB∥CD， ∴△CEG∽△BAG， ∴， ∴S△BAG＝4S△CEG， ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△GBF， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键． 三．解答题（共11小题，满分102分） 17．（6分）计算：． 【分析】先化简绝对值、计算算术平方根和零指数幂，最后计算加减即可． 【解答】解： ＝3． 【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18．（6分）解方程：． 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 19．（6分）解一元一次不等式组：． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＜﹣2， 解不等式②得，x＜1， 所以不等式组的解集为x＜﹣2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 20．（8分）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．碳酸钙制取二氧化碳：CaCO3CaO+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2 （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为 　　 ； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 【分析】（1）根据题意，可以计算出小红从四个实验中任意选一个实验，选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率； （2）先画出相应的树状图，然后即可计算出两个实验均能制取氧气的概率．． 【解答】解：（1）小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：； （2）树状图如下： 由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 21．（8分）为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校对部分学生劳动教育积分做了随机抽样分析．设被抽样的每位学生的劳动成绩为x分（低于60分为不合格），劳动成绩分为四个等级，将分类结果整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．请根据图表信息，解答下列问题： 等级 成绩（x） 人数 A 80≤x≤100 m B 70≤x＜80 15 C 60≤x＜70 n D x＜60 4 （1）求统计表中m，n的值； （2）求扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1800名学生中有多少名学生获得A等级的分数． 【分析】（1）根据“B等级”的有15人，占调查人数的，求总人数即可，进而求出m和n的值即可． （2）求出“D等级”的学生人数占调查人数的百分比，即可求出相应的圆心角的度数； （3）求出样本中“A等级”的学生占调查学生总数的百分比，即可估计总体中“A等级”的学生所占的百分比，进而求出总体“A等级”的人数． 【解答】解：（1）“B等级”的有15人，占调查人数的，故共抽取学生数为（名）， n＝60×15%＝9， m＝60﹣15﹣9﹣4＝32； （2）依题意， 答：D等级所对应的扇形圆心角的度数为24°； （3）依题意，（名）， 答：有960名学生获得A等级的分数． 【点评】本题考查频数分布表、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键． 22．（10分）一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为28°，10s后火箭到达B处，此时测得仰角为45°．求火箭从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：tan28°≈0.53，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88） 【分析】根据AC的长及28°的正弦值和余弦值分别求出AO和BO的长，进而根据CO的长和45°的正切值求得OB的长，减去OA的长即为AB的长度，除以火箭所用时间即为火箭从A处到B处的平均速度． 【解答】解：在Rt△AOC 中，∠AOC＝90°，∠ACO＝28°，AC＝8km， ∴AO＝AC•sin28°≈8×0.47＝3.76（km）， OC＝AC•cos28°≈8×0.88＝7.04（km）， 在Rt△BOC 中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴BO＝OC•tan45°＝7.04×1＝7.04（km）， ∴AB＝BO﹣AO＝7.04﹣3.76＝3.28（km）， ∴火箭从A处到B处的平均速度为3.28÷10＝0.328≈0.3（km/s）， 答：火箭从A处到B处的平均速度为0.3km/s． 【点评】本题考查解直角三角形的应用．熟练应用锐角三角函数求得OA和OB的长度是解决本题的关键． 23．（10分）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 【分析】（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，可得：，即可解得甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）设购买m个甲种笔记本，根据甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，可得m≥75，设所需费用为w元，w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270，由一次函数性质得购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元． 【解答】解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得， ∴甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元； （2）设购买m个甲种笔记本，则购买（100﹣m）个乙种笔记本， ∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍， ∴m≥3（100﹣m）， 解得m≥75， 设所需费用为w元， ∴w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270， ∵1.8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴m＝75时，w最小，最小值为1.8×75+270＝405（元）， 此时100﹣m＝25， 答：购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元． 【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式． 24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCA的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥AC，垂足为E，连接AD、BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，AF的长为2，求⊙O的半径和AC的长． 【分析】（1）连接OD，通过等边对等角和角平分线的定义得到∠ODC＝∠ACD，利用平行线的性质与判定即可得证； （2）通过证明△FBD∽△FDA，求出线段DF和BF的长度，根据△FAE∽△FOD，求得，再根据∠B＝∠FDA，∠B＝∠ECD，通过三角函数的定义即可求解． 【解答】（1）证明：如图所示，连接OD， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CD平分∠OCA， ∴∠OCD＝∠ACD， ∴∠ODC＝∠ACD， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∵OD是圆的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵∠BDO+∠ADO＝90°，∠FDA+∠ADO＝90°， ∴∠BDO＝∠FDA， ∵∠BDO＝∠B， ∴∠B＝∠FDA， ∴△FBD∽△FDA， ∴tan∠B， ∴DF＝2AF＝4，BF＝2DF＝8， ∴AB＝BF﹣AF＝6， ∴⊙O的半径为3； ∵AE∥OD， ∴△FAE∽△FOD， ∴，即， ∴， ∵∠B＝∠FDA， ∴，即， ∴， ∵∠B＝∠ECD， ∴，即， ∴， ∴． 【点评】本题考查圆与相似综合，切线的判定，已知正切求边长，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25．（12分）如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点D与点E． （1）若点E坐标为（3，9），求该反比例函数的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接OB交反比例函数的图象于点F，若OB＝3OF，求点D的坐标； （3）如图3，连接OB和OE，过点D作x轴的平行线交OB于点G，连接EG，若∠AOE＝3∠AOB，猜想BG与OE的数量关系，并证明． 【分析】（1）直接把E（3，9）代入，求解即可； （2）过点F作FG∥AB交OA于G，得△OGF∽△OAB，得出进而得到，再根据矩形的性质与点E的坐标，求出点F的坐标，进而求出点D的坐标即可； （3）先证明四边形BEGD为矩形，再连接DE，再利用 矩形的性质与等腰三角形的判定，求解即可． 【解答】解：（1）把E（3，9）代入得： ， 解得：k＝27， ∴； （2）过点F作FG∥AB交OA于G，如图， 则△OGF∽△OAB， ∴， ∵OB＝3OF， ∴， ∵矩形OABC，E（3，9）， ∴点B的纵坐标为9，即AB＝9， ∴FG＝3，即点F的纵坐标为3， 当y＝3时，则， ∴x＝9， ∴F（9，3）， ∴OG＝9， ∴OA＝27， 当x＝27时，则， ∴D（27，1）； （3）BG＝2OE，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点D与点E， ∴设A（a，0），B（a，b），C（0，b）， 则，， 设直线OB的解析式为y＝mx， 把B（a，b）代入，得， ∴直线OB的解析式为， ∵DG∥x轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，∠BGD＝∠AOB， 把代入得， ∴， ∵， ∴EG∥y轴， ∴EG∥AB， ∵DG∥x轴， ∴DG∥BC， ∴∠HGD＝∠AOB， ∵矩形OABC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形BEGD为矩形， 连接DE，如图， ∴BG＝ED，BH＝GH＝HD＝EH， ∴∠HGD＝∠HDG， ∴∠EHG＝∠HGD+∠HDG＝2∠HGD＝2∠AOB， ∵∠AOE＝3∠AOB， ∴∠BOE＝2∠AOB， ∴∠BOE＝∠EHG， ∴， ∴BG＝2OE． 【点评】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定k的临界点是（3）中解题的关键． 26．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为BC，CD上的点，AE与BF相交于点O，且满足∠AOF+∠D＝180°． （1）如图1，若四边形ABCD是矩形．求证：． （2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，此时AC平分∠BAD，tan∠DAC，tan∠DCA，AE⊥BF，求． 【分析】（1）先证∠AOF＝∠BOE＝90°，再证△ABE∽△BCF，即可得证； （2）在AD延长线上截取CM＝EA，证△CMD∽△BFC，即可得解； （3）如图，构造矩形BCNM，点A在矩形边MN上，则，过B作BH⊥AC于点H，易证tan∠HBC＝tan∠DCA，tan∠BAH＝tan∠DAC，从而设参可求AC、BC，再在Rt△ACN中求出CN，即可得解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠D＝∠C＝90°， ∵∠AOF+∠D＝180°， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE＝90°﹣∠ABF， ∴△ABE∽△BCF， ∴； （2）解：（1）中的结论是否依然成立依然成立；理由如下： 如图，在AD延长线上截取CM＝EA， 则四边形AECM是等腰梯形， ∴∠DAE＝∠M， ∵AD∥BC， ∴∠MDC＝∠FCB， ∵∠AOF+∠D＝180°， ∴∠DAE+∠BFD＝180°， ∵∠BFC+∠BFD＝180°， ∴∠DAE＝∠BFC＝∠M， ∴△CMD∽△BFC， ∴， ∵CM＝AE，AB＝CD，BC＝AD， ∴； （3）如图，构造矩形BCNM，点A在矩形边MN上， 由（1）结论可知， 过B作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝∠BCD＝90°， ∴∠HBC＝∠DCA＝90°﹣∠BCH， ∵tan∠DCA， ∴tan∠HBC， 设HC＝a，则BH＝2a，BCa， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAH＝∠DAC， ∴tan∠BAH＝tan∠DAC， 在Rt△ABH中，tan∠BAH， ∴AHa， ∴AC＝AH+CHa， 在Rt△ACN中，tan∠ACN， ∴CNa， ∴1． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．（14分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，由DG∥AH，可得，当时，有最大值为，此时； （3）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3，设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b，当时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3，当时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3，M（0，m），N（0，n），再由MO？NO＝2，可得﹣mn＝2，即﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2，整理得，3k+b＝﹣2，由此可知直线PQ经过点（3，﹣2）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0） 将点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（t，﹣t2+2t+3）， 过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，如图2， ∴G（t，﹣t+3），H（﹣1，4）， ∴DG＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，AH＝4， ∵DG∥AH， ∴． ∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2， ∴， ∵点D为直线BC上方抛物线上， ∴0＜t＜3， 当时，有最大值，此时； （3）直线PQ过定点（3，﹣2），理由如下： 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3， 设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+n， 当时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3， 当时，x2﹣1＝2﹣k2，﹣x2＝n﹣3， M（0，m），N（0，n）， ∵MO•NO＝2， ∴﹣mn＝2， ∴﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2， 整理得3k+b＝﹣2， ∴直线PQ经过点（3，﹣2）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，三角形的面积等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[AJ[B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A]IB][C][D] 6.[A][B][C][D] 7AJIBJIC]ID] 8[A]IB]IC][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 10 11. 1) 13 15. 16. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(10分) B 8km ☒ 45 28° C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) D E B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) y个 y个 E E E C B C B B D D C D A AO A 图1 图2 图3 26.(12分) 图1 图2 A D 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(14分) y y D C M 0 A B A 0 x 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考考前预测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ---一--------------------------- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][W][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C1[D] 3.A1[B1[C1[D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 7.[AJ[B1[C1[D1 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9 10. 11. 13 15. 16 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共102分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 18.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(8分) (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) 22.(10分) B A 8km ☒ 45° 288 C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) 24.(10分) D E B 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) y↑ y↑ y E E c E C C B B D G D A A 图1 图2 图3 26.(12分) D 0 B E 图1 图2 图3 各用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27.(14分) y体 片 D 名 E A B N 0 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A．﹣2026 B． C． D．2026 2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek﹣V3模型参数可达6710亿个，其中数6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6710×103 B．671×109 C．6.71×1011 D．0.671×1012 3．如图是九年级（3）班某题的答题情况统计图，根据图中信息，该班同学此题得分的众数为（　　） A．0分 B．1分 C．3分 D．5分 4．下列计算正确的是（　　） A．（2a﹣3）（3+2a）＝4a2﹣9 B． C．（3a2b+a）÷a＝3ab D．（a﹣2）2＝a2﹣4 5．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A．x+2＝x﹣1 B．5x﹣1＝2x+2 C．5（x+2）＝2（x﹣1） D．5（x﹣1）＝2（x+2） 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF，若AC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五；不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．人数和羊价各是多少？若设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（　　） A．5x+45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D． 8．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线开口向下 C．抛物线与x轴另一个交点是（2，0） D．当x＝1时，y有最大值3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 10．若的整数部分为a，小数部分为b，则a+2b＝　 　 ． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 12．如图，在地球截面图中，AB、CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，测得∠EDN＝66°34'，则∠BOD的大小为 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在第二象限，其中A点坐标为（﹣5，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，得到线段A1B1，则点A1的坐标为　 　 ． 14．某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度．如图，旗杆AB垂直于地面，李明在C处测得∠ACB＝15°．他沿CB方向走了28m，到达点D处，测得∠ADB＝30°．请你帮助兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为 　 　 m． 15．如图，AB为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，且∠ABC＝60°，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M，交BC于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP交⊙O于点D，交AC于点E，若CD＝1，则AC的长为 　 　 ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）解一元一次不等式组：． 20．（8分）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．碳酸钙制取二氧化碳：CaCO3CaO+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2 （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为 　 　 ； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 21．（8分）为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校对部分学生劳动教育积分做了随机抽样分析．设被抽样的每位学生的劳动成绩为x分（低于60分为不合格），劳动成绩分为四个等级，将分类结果整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．请根据图表信息，解答下列问题： 等级 成绩（x） 人数 A 80≤x≤100 m B 70≤x＜80 15 C 60≤x＜70 n D x＜60 4 （1）求统计表中m，n的值； （2）求扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1800名学生中有多少名学生获得A等级的分数． 22．（10分）一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为28°，10s后火箭到达B处，此时测得仰角为45°．求火箭从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：tan28°≈0.53，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88） 23．（10分）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCA的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥AC，垂足为E，连接AD、BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，AF的长为2，求⊙O的半径和AC的长． 25．（12分）如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点D与点E． （1）若点E坐标为（3，9），求该反比例函数的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接OB交反比例函数的图象于点F，若OB＝3OF，求点D的坐标； （3）如图3，连接OB和OE，过点D作x轴的平行线交OB于点G，连接EG，若∠AOE＝3∠AOB，猜想BG与OE的数量关系，并证明． 26．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为BC，CD上的点，AE与BF相交于点O，且满足∠AOF+∠D＝180°． （1）如图1，若四边形ABCD是矩形．求证：． （2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，此时AC平分∠BAD，tan∠DAC，tan∠DCA，AE⊥BF，求． 27．（14分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数是（　　） A．﹣2026 B． C． D．2026 2．人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek﹣V3模型参数可达6710亿个，其中数6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6710×103 B．671×109 C．6.71×1011 D．0.671×1012 3．如图是九年级（3）班某题的答题情况统计图，根据图中信息，该班同学此题得分的众数为（　　） A．0分 B．1分 C．3分 D．5分 4．下列计算正确的是（　　） A．（2a﹣3）（3+2a）＝4a2﹣9 B． C．（3a2b+a）÷a＝3ab D．（a﹣2）2＝a2﹣4 5．将分式方程化为整式方程，正确的是（　　） A．x+2＝x﹣1 B．5x﹣1＝2x+2 C．5（x+2）＝2（x﹣1） D．5（x﹣1）＝2（x+2） 6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且，连接EF，若AC＝8，则EF的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五；不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱．人数和羊价各是多少？若设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（　　） A．5x+45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D． 8．如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴的一个交点是（﹣2，0），顶点是（1，3），下列说法中不正确的是（　　） A．抛物线的对称轴是直线x＝1 B．抛物线开口向下 C．抛物线与x轴另一个交点是（2，0） D．当x＝1时，y有最大值3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．因式分解：a（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝　 　 ． 10．若的整数部分为a，小数部分为b，则a+2b＝　 　 ． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不等实数根，则k的取值范围为 　 　 ． 12．如图，在地球截面图中，AB、CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，测得∠EDN＝66°34'，则∠BOD的大小为 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，线段AB在第二象限，其中A点坐标为（﹣5，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，得到线段A1B1，则点A1的坐标为　 　 ． 14．某班数学兴趣小组的同学进行数学实践活动：测量了学校旗杆的高度．如图，旗杆AB垂直于地面，李明在C处测得∠ACB＝15°．他沿CB方向走了28m，到达点D处，测得∠ADB＝30°．请你帮助兴趣小组的同学计算出旗杆的高度为 　 　 m． 15．如图，AB为半圆O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，且∠ABC＝60°，按以下步骤操作：①以点B为圆心，以适当的长为半径画弧交AB于点M，交BC于点N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP交⊙O于点D，交AC于点E，若CD＝1，则AC的长为 　 　 ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AG平分∠BAD分别交BD，BC，DC延长线于点F，G，E，记△ADF与△CEG的面积分别为S1，S2，若AB：AD＝2：3，则的值是　 　 ． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程：． 19．（6分）解一元一次不等式组：． 20．（8分）化学实验课上，邱老师带来了四个常考的实验，让同学们随机选择一个实验来制取氧气． A．高锰酸钾制取氧气：2KMnO4K2MnO4+MnO2+O2↑ B．碳酸钙制取二氧化碳：CaCO3CaO+CO2↑ C．电解水：2H2O2H2↑+O2↑ D．一氧化碳还原氧化铜：CuO+COCu+CO2 （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为 　 　 ； （2）小红先从这四个实验中随机选一个实验，小明再从剩下的三个实验中随机选一个，利用列表或画树状图的方法求两个实验均能制取氧气的概率． 21．（8分）为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校对部分学生劳动教育积分做了随机抽样分析．设被抽样的每位学生的劳动成绩为x分（低于60分为不合格），劳动成绩分为四个等级，将分类结果整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．请根据图表信息，解答下列问题： 等级 成绩（x） 人数 A 80≤x≤100 m B 70≤x＜80 15 C 60≤x＜70 n D x＜60 4 （1）求统计表中m，n的值； （2）求扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数； （3）根据抽样调查的结果，请你估计该校1800名学生中有多少名学生获得A等级的分数． 22．（10分）一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为28°，10s后火箭到达B处，此时测得仰角为45°．求火箭从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：tan28°≈0.53，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88） 23．（10分）为了传承中华优秀传统文化，增强文化自信，爱知中学举办了以“争做时代先锋少年”为主题的演讲比赛，并为获奖的同学颁发奖品．张老师去商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本30个，共用190元，且买10个甲种笔记本比买20个乙种笔记本少花10元． （1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）张老师准备购买甲乙两种笔记本共100个，且甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍，因张老师购买的数量多，实际付款时按原价的九折付款．为了使所花费用最低，应如何购买？最低费用是多少元？ 24．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OCA的角平分线交⊙O于点D，F在直线AB上，且DF⊥AC，垂足为E，连接AD、BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若，AF的长为2，求⊙O的半径和AC的长． 25．（12分）如图1，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点D与点E． （1）若点E坐标为（3，9），求该反比例函数的表达式； （2）如图2，在（1）的条件下，连接OB交反比例函数的图象于点F，若OB＝3OF，求点D的坐标； （3）如图3，连接OB和OE，过点D作x轴的平行线交OB于点G，连接EG，若∠AOE＝3∠AOB，猜想BG与OE的数量关系，并证明． 26．（12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为BC，CD上的点，AE与BF相交于点O，且满足∠AOF+∠D＝180°． （1）如图1，若四边形ABCD是矩形．求证：． （2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，此时AC平分∠BAD，tan∠DAC，tan∠DCA，AE⊥BF，求． 27．（14分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C A D B B C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（x﹣1）（a﹣3） 10． 11．k＜1 12．23°26′ 13．（2，5） 14．14 15． 16． 三、解答题（本大题共11个小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 解： ＝3．·················································································6分 18．（6分） 解：， 3﹣x＝2（x﹣3）， 解得：x＝3，·········································································4分 检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0， ∴x＝3是原方程的增根， ∴原方程无解．·····································································6分 19．（6分） 解：， 解不等式①得，x＜﹣2， 解不等式②得，x＜1， 所以不等式组的解集为x＜﹣2．·······················································6分 20．（8分） 解：（1）小红从四个实验中任意选一个实验，则选到实验A．高锰酸钾制取氧气的概率为； 故答案为：；··········································································3分 （2）树状图如下： 由上可得，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两个实验均能制取氧气的结果有2种， ∴两个实验均能制取氧气的概率为．·················································8分 21．（8分） 解：（1）“B等级”的有15人，占调查人数的，故共抽取学生数为（名）， n＝60×15%＝9，·······································································2分 m＝60﹣15﹣9﹣4＝32；··································································4分 （2）依题意， 答：D等级所对应的扇形圆心角的度数为24°；············································6分 （3）依题意，（名）， 答：有960名学生获得A等级的分数．···················································8分 22．（10分） 解：在Rt△AOC 中，∠AOC＝90°，∠ACO＝28°，AC＝8km， ∴AO＝AC•sin28°≈8×0.47＝3.76（km）， OC＝AC•cos28°≈8×0.88＝7.04（km）， 在Rt△BOC 中，∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴BO＝OC•tan45°＝7.04×1＝7.04（km）， ∴AB＝BO﹣AO＝7.04﹣3.76＝3.28（km）， ∴火箭从A处到B处的平均速度为3.28÷10＝0.328≈0.3（km/s）， 答：火箭从A处到B处的平均速度为0.3km/s．··········································10分 23．（10分） 解：（1）设甲种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得， ∴甲种笔记本的单价是5元，乙种笔记本的单价是3元；··································4分 （2）设购买m个甲种笔记本，则购买（100﹣m）个乙种笔记本， ∵甲种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍， ∴m≥3（100﹣m）， 解得m≥75，·······································································8分 设所需费用为w元， ∴w＝5×0.9m+3×0.9（100﹣m）＝1.8m+270， ∵1.8＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴m＝75时，w最小，最小值为1.8×75+270＝405（元）， 此时100﹣m＝25， 答：购买75个甲种笔记本，购买25个乙种笔记本，所花费用最低，最低费用是405元．········10分 24．（10分） （1）证明：如图所示，连接OD， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵CD平分∠OCA， ∴∠OCD＝∠ACD， ∴∠ODC＝∠ACD， ∴OD∥AC， ∵DF⊥AC， ∴OD⊥DF， ∵OD是圆的半径， ∴DF是⊙O的切线；···································································4分 （2）解：∵∠BDO+∠ADO＝90°，∠FDA+∠ADO＝90°， ∴∠BDO＝∠FDA， ∵∠BDO＝∠B， ∴∠B＝∠FDA， ∴△FBD∽△FDA， ∴tan∠B， ∴DF＝2AF＝4，BF＝2DF＝8， ∴AB＝BF﹣AF＝6， ∴⊙O的半径为3； ∵AE∥OD， ∴△FAE∽△FOD， ∴，即， ∴， ∵∠B＝∠FDA， ∴，即， ∴， ∵∠B＝∠ECD， ∴，即， ∴， ∴．·······················································10分 25．（12分） 解：（1）把E（3，9）代入得： ， 解得：k＝27， ∴；············································································2分 （2）过点F作FG∥AB交OA于G，如图， 则△OGF∽△OAB， ∴， ∵OB＝3OF， ∴， ∵矩形OABC，E（3，9）， ∴点B的纵坐标为9，即AB＝9， ∴FG＝3，即点F的纵坐标为3， 当y＝3时，则， ∴x＝9， ∴F（9，3）， ∴OG＝9， ∴OA＝27， 当x＝27时，则， ∴D（27，1）；········································································6分 （3）BG＝2OE，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形OABC的边AB，BC分别交于点D与点E， ∴设A（a，0），B（a，b），C（0，b）， 则，， 设直线OB的解析式为y＝mx， 把B（a，b）代入，得， ∴直线OB的解析式为， ∵DG∥x轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，∠BGD＝∠AOB， 把代入得， ∴， ∵， ∴EG∥y轴， ∴EG∥AB， ∵DG∥x轴， ∴DG∥BC， ∴∠HGD＝∠AOB， ∵矩形OABC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形BEGD为矩形， 连接DE，如图， ∴BG＝ED，BH＝GH＝HD＝EH， ∴∠HGD＝∠HDG， ∴∠EHG＝∠HGD+∠HDG＝2∠HGD＝2∠AOB， ∵∠AOE＝3∠AOB， ∴∠BOE＝2∠AOB， ∴∠BOE＝∠EHG， ∴， ∴BG＝2OE．······································································12分 26．（12分） （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABE＝∠D＝∠C＝90°， ∵∠AOF+∠D＝180°， ∴∠AOF＝∠BOE＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE＝90°﹣∠ABF， ∴△ABE∽△BCF， ∴；····································································2分 （2）解：（1）中的结论是否依然成立依然成立；理由如下： 如图，在AD延长线上截取CM＝EA， 则四边形AECM是等腰梯形， ∴∠DAE＝∠M， ∵AD∥BC， ∴∠MDC＝∠FCB， ∵∠AOF+∠D＝180°， ∴∠DAE+∠BFD＝180°， ∵∠BFC+∠BFD＝180°， ∴∠DAE＝∠BFC＝∠M， ∴△CMD∽△BFC， ∴， ∵CM＝AE，AB＝CD，BC＝AD， ∴；········································································6分 （3）如图，构造矩形BCNM，点A在矩形边MN上， 由（1）结论可知， 过B作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝∠BCD＝90°， ∴∠HBC＝∠DCA＝90°﹣∠BCH， ∵tan∠DCA， ∴tan∠HBC， 设HC＝a，则BH＝2a，BCa， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAH＝∠DAC， ∴tan∠BAH＝tan∠DAC， 在Rt△ABH中，tan∠BAH， ∴AHa， ∴AC＝AH+CHa， 在Rt△ACN中，tan∠ACN， ∴CNa， ∴1．······························································12分 27．（14分） 解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0） 将点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；·······················································2分 （2）设D（t，﹣t2+2t+3）， 过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，如图2， ∴G（t，﹣t+3），H（﹣1，4）， ∴DG＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，AH＝4， ∵DG∥AH， ∴． ∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2， ∴， ∵点D为直线BC上方抛物线上， ∴0＜t＜3， 当时，有最大值，此时；···············································7分 （3）直线PQ过定点（3，﹣2），理由如下： 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3， 设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+n， 当时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3， 当时，x2﹣1＝2﹣k2，﹣x2＝n﹣3， M（0，m），N（0，n）， ∵MO•NO＝2， ∴﹣mn＝2， ∴﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2， 整理得3k+b＝﹣2， ∴直线PQ经过点（3，﹣2）．···························································14分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $