专题03 不等式（组）中含参数问题（7大题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

专题03 不等式（组）中含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 1 题型二、根据不等式的解集求参数 2 题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围 4 题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围 6 题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 8 题型六、整式方程(组)与不等式结合求参数的问题 10 题型七、整式方程(组)与不等式组结合求参数的问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可得，则，再解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， ∴原不等式为， 解得， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 4．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，绝对值，根据一元一次不等式的定义可得且，求解即可，正确把握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴的值为， 故答案为：． 题型二、根据不等式的解集求参数 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 8．（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围 9．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解的情况求参，熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． 先解不等式，求得，再根据不等式的最大整数解是3，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的最大整数解是3， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先不等式的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的解法，整数解的确定，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式的解集为， ∵不等式恰有1个负整数解，为， ∴， 解得， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得，根据不等式的解集得出，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 12．（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围 13．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）若不等式组有4个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，由不等式组解集的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出不等式组的解集，再根据它有4个整数解，求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解只可能是3，2，1，0， 所以， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于的解题的关键．求出不等式组的解集，再根据该不等式组恰好有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解不等式组 得：， ∵该不等式组恰好有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为，0． ∴． 15．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 16．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键． 先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，求和即得． 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 17．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ． 故答案为：8． 18．（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 19．（24-25七年级下·四川广元·期末）如果不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组解集求参数，由不等式组解集求法“同小取小”得到，解不等式即可得到答案．熟记一元一次不等式（组）的解法是解决问题的关键． 【详解】解：不等式组的解集是， ， 解得， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 题型六、整式方程(组)与不等式结合求参数的问题 21．（25-26八年级下·全国·期中）若方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于等于，转化为一个一元一次不等式求解集的问题． 解方程得到的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 两边除以得． 由于方程的解是非负数，即， ． 去分母得， 移项得， 解得． 故答案为：． 22．（24-25七年级上·四川眉山·期中）关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，先解一元一次方程得出，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：解关于的方程 得 为负数， 解得： 故答案为：． 23．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x，y的方程组，方程组的解x与y的和不小于4，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先用表示出的值，再由x与y的和不小于4得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ， 故答案为：． 24．（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次不等式，先利用加减消元法求得，再根据已知得到关于m的不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】解：将关于x，y的方程组中的两个方程相加，得， ∴， ∵此方程组的解满足， ∴，解得， 故答案为：． 题型七、整式方程(组)与不等式组结合求参数的问题 25．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 26．（25-26八年级上·重庆江北·月考）若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 27．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如果关于x的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组． 根据不等式组的解集，可得，解二元一次方程组，结合解为整数，可得或或，从而可得符合条件的所有整数的和． 【详解】解：， 由得， 由得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解关于，的二元一次方程组， 得， ∵，均为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵， ∴或或， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 28．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x、y的二元一次方程组的解为整数（x、y均为整数），则符合条件的整数m的值有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并能根据x、y均为整数确定整数的值； 先解不等式组，结合其解集得出，再解方程组得出其解，结合解均为整数和确定m的最终取值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 解方程组，得， 为整数，为整数， 可取， 可取， 满足且为整数的的值为． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北保定·期末）若不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据不等式解集的情况求参数，首先分别解两个不等式，再根据不等式组无解的条件确定参数的范围． 【详解】解： 移项得：， 解得：； 移项得：， 两边乘以（不等号方向改变）：． 分情况讨论： 当时，两边除以得：． 要使不等式组无解，需满足与无交集，即． 解得：； 当时，两边除以（不等号方向改变）得：． 此时与必有交集（例如时，解集为，包含），故不等式组有解，不满足条件． 当时，原不等式变为，恒成立，此时第二个不等式解集为全体实数，与有解，不满足条件． 综上，当且仅当时，不等式组无解， 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 4．（24-25七年级下·江西宜春·期末）关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 5．（24-25七年级下·四川巴中·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解不等式，准确理解新定义是解题的关键．根据新定义将不等式转化为关于的一元一次不等式组，求出解集后根据整数解的个数确定的范围。 【详解】解：， 即， 解得， 解集中有3个整数解， 故整数解为， 故， 解得． 故选C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的不等式是一元一次不等式，则________． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式是一元一次不等式， ∴且， 解得：， 故答案为：1． 7．（24-25七年级下·江苏南通·期末）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】此题考查的是含参数的一元一次不等式组，掌握解集的取法：“同大取大”是解决此题的关键． 根据解集的取法：“同大取大”即可列出关于m的不等式，从而求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得： ， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：． 故答案为： 8．（24-25七年级下·海南海口·期末）如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数．如，．若满足，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义在一元一次不等式组中的应用，按照定义正确列不等式组是解题的关键．由题意得不等式组，求解即可． 【详解】解：∵表示不小于的最小整数，， ∴， 可变为, 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集是， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为____________ 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式，两个方程相减得到，再根据列出关于的不等式，可解得的范围，得到符合条件的所有整数m的值，最后求和即可． 【详解】解： 得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，， ∴符合条件的所有整数m的取值之和为， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知关于的不等式组． （1）若该不等式组无解，则的取值范围是_____； （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，熟练掌握由一元一次不等式组的解集求参数是解题的关键． （1）先分别求出两个不等式的解，再根据不等式无解的含义列不等式求解即可； （2）首先根据不等式组有解求得 ，再根据题意得到或，分别求解即可． 【详解】解：（1）， 解①，得， 解②，得， 若该不等式组无解，则， 解得． 故答案为：． （2）若该不等式组的解集中，每一个值均不在的范围中， 则首先要满足不等式有解， ， 解得， 其次要满足或， 解得或， 的取值范围是或． 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得，方程组的解满足， ∴， 解得． 12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式组． (1)当为何值时，该不等式组的解集为； (2)若该不等式组只有个正整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的能力，并根据不等式组的整数解个数得出关于的不等式组． （1）先解每个不等式得出其解集，结合已知的不等式组的解集得出关于的方程，解之即可； （2）根据不等式组只有个正整数解知解之即可． 【详解】（1）解不等式，得：， 解不等式， 则不等式组的解集为 该不等式组的解集为， 解得； （2）不等式组只有个正整数解， 解得． 13．（24-25八年级上·全国·期末）定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． (1)求的值． (2)若，求x的取值范围． (3)若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式、一元一次不等式组，熟练掌握不等式和不等式组的解法是解题关键． （1）利用新运算的规则直接进行计算即可; （2）根据新运算的定义可得，从而可得，解不等式即可得； （3）根据新运算的定义可得不等式组，分别解两个不等式，再根据不等式组恰有三个整数解可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：； （2）解：由题意得：， ∵， ∴， 解得：． （3）解：由题意得：， ， ∴不等式组可转化为 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组恰有三个整数解， ∴， 解得． 14．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“关联解”．例：已知方程与不等式，当时，同时成立，则称“”是方程与不等式的“关联解”． (1) 是方程和下列不等式（组）______的“关联解”；（填序号） ①；②；③； (2)若关于x，y的二元一次方程组和不等式组有“关联解”，且m为整数，求m的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“关联解”的定义是解题的关键． （1）根据“关联解”的定义判断即可； （2）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （3）先求出不等式组的解集，不等式组有5个整数解，即可得出，然后解方程得：，根据“关联解”的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解：①把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； ②把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； ③解不等式组得， ， ∴不是不等式则的解； 故答案为：①； （2）解：解方程组，得， ∵二元一次方程组和不等式组有“关联解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有5个， 令整数的值为，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“关联解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 15．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 16．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【详解】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03不等式（组）中含参数问题 一月录知 A题型建模·专项突破 题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值.1 题型二、根据不等式的解集求参数 .2 题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围。 .4 题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围 …6 题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围… .8 题型六、整式方程（组）与不等式结合求参数的问题…10 题型七、整式方程组)与不等式组结合求参数的问题 12 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 1.(24-25七年级下·安徽宣城期中)若(m-2)x2m1-1<5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集 为 2.(24-25七年级下湖南湘西期末)已知(m+4)x3+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 3.(24-25七年级下·吉林长春期中)已知(m-3)xm-2≤5是关于x的一元一次不等式，则m的值为 4.(24-25八年级下·辽宁沈阳·期末)若3mx2m--7>8是关于x的一元一次不等式，则m=· 题型二、根据不等式的解集求参数 5.(25-26八年级上浙江杭州期中)关于x的不等式2m-x<6的解集为x>3,则m的值为 6.(25.26八年级下全国周测)关于x的一元一次不等式m21≤-2的解集为24，则m-2025的值 3 为一 7.25-26八年级下全国课后作业)若不等式-2,21的解都能使不等式4x<2x++1成立，则实 数a的取值范围是」 8.(25-26八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2(x-到=x+@)的解适合不等式-3x+1>20,则 a的取值范围为」 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三、利用不等式的整数解求参数的取值范围 9.(24-25七年级下·湖南郴州·期末)己知关于x的不等式1+2x≤a的最大整数解是3，则a的取值范围 是 10.(2425七年级下·湖北十堰期末)已知，不等式2x-1>2a+3恰有1个负整数解，则a的取值范围为 11.(24-25七年级下·安微合肥期中)若不等式2x+3<m有三个非负整数解，则m的取值范围是。 12.(24-25六年级下·上海期末)关于x的不等式-k-x+6>0的解集中恰有四个非负整数，则k的范围 为 题型四、利用不等式组的整数解求参数的取值范围 x-m>0 13.(25-26九年级上·广东深圳开学考试)若不等式组 +2x≤7有4个整数解，则m的取值范围是」 1-2x>x-2 14.(24-25七年级下·河南商丘期末)已知关于x的不等式组 X一m>0恰好有三个整数解，则m的取值 范围是 /x+15 ≥x+3 15.(25-26九年级上黑龙江佳木斯期中)关于x的不等式组 2 的最大整数解和最小整数解的差 4x+1≥a 是3，则满足条件α所有的整数解的和是一· 3x-6≤-2x+4 16.(24-25七年级下·安徽准南·期末)若关于x的不等式组 m-3x,1的解集中仅有2个整数解，则m ≤X- 4 2 的整数解之和为 题型五、根据不等式组的解集的情况求参数的取值范围 x+m> 17.(25-26九年级上陕西西安·开学考试)若不等式组 n-x>-4 的解集为1<x<2,则(4m+n)'的值 为 18.(24-25八年级下·河南焦作·期中)若关于x的不等式组： x-a<3无解，则a的取值范围是」 5-2x<x-1 x<3a+2 19.(24-25七年级下·四川广元期末)如果不等式组 x<2a-1 的解集是x<2a-1,则a的取值范围是_ 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 20.(24-25八年级上·浙江金华·月考)关于x的方程3-2x=3(k-2)的解是自然数，且关于x的不等式组 x-2(x-1)≥4 (3(2k+x)sx 无解，则符合条件的整数k的值的积为」 题型六、整式方程（组）与不等式结合求参数的问题 21.(25-26八年级下·全国·期中)若方程5x-2a=8的解是非负数，则a的取值范围是 22.(24-25七年级上·四川眉山期中)关于x的方程3+k(x-2)-4x=k(x+3的解为负数，则k的取值范围 4x+2y=2k+5 23.(24-25七年级下辽宁营口期末)已知关于x,y的方程组 x一y=-k+2，方程组的解x与y的和不 小于4，则k的取值范围为一 24.(2024宁夏银川一模)已知关于x,y的方程组 2x+y=2m+4'若此方程组的解满足x+y≥2，则m x+2y=-7+m 的取值范围是」 题型七、整式方程（组）与不等式组结合求参数的问题 25.(25-26七年级上江苏苏州月考)关于x的方程2(x-a)=a+5的解是整数，且关于y的不等式组 [5y-)y+“有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 0≤y-2 x+2_X>1 26.(25-26八年级上·重庆江北月考)若数k使关于x的不等式组32无解，且使关于y的方程 x-k≥-1 y-2_二=1的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为， 62 x-4 -x<-4 27.(25-26八年级上·重庆渝中.开学考试)如果关于x的不等式组 3 的解集为x>4,且整数m x-m>0 使得关于x,y的二元一次方程组 x+y=8 的解为整数(x,y均为整数)，则符合条件的所有整数m的 3x+y=1 和为 x-m>0 28.(24-25八年级下·江西南昌·期末)如果关于x的不等式组 3 的解集为x>-1,且整数m使得 x+1 -x<1 02 2x+y=4 关于x、y的二元一次方程组 2x-y=的解为整数G、y均为整数)，则符合条件的整数m的值有_ 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国单元测试)若k-(k+2)x>0是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是() 1 A.x<2 B.x>-2 D.x< 2 2x+9≤3 2.(24-25八年级下·河北保定期末)若不等式组 4-ar<2无解，则a的取值范围为() A.a22 B.a>2 C.a<-2 D.a≤-2 1 3t小 2 -x 3 3.(25-26九年级上江苏宿迁期末)关于x的不等式组 1 1 有且只有三个整数解，则a的最大 31 a-2) 值是() A.2 B.3 C.4 D.5 4.(24-25七年级下·江西宜春期末)关于x,y二元一次方程组{ 2x-y=m+1 的解满足x-2y>1,则m的 x+y=2 取值范围是() A.m<-2 B.m>-2 C.m>2 D.m<2 5.(24-25七年级下.四川巴中期末)对于任意实数m,n,定义一种新运算m※n=mn-m-n+3,等式的右 边是通常的定义一种新运算m※n=mn-m-n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如： 2※6=2×6-2-6+3=7，请根据上述定义解决问题：若a<4※x<8,且解集中有3个整数解，则a的取值 范围是() A.-1<a≤2 B.-1≤a<2 C.-4≤a<-1 D.-4<≤-1 二、填空题 6.(24-25七年级下.甘肃武威期末)若关于x的不等式(m+1)xm<2025是一元一次不等式，则= 7.(24-25七年级下江苏南通·期末)不等式组 x>m-4的解集是x>2,则m的取值范围是 x-3>-1 8.(24-25七年级下，海南海口·期末)如果x是一个有理数，我们定义{x表示不小于x的最小整数.如 3.2}=4,{-2.6}=-2,{7}=7.若x满足2x+4}=6,则x的取值范围是 4/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5x+y=m+1 9.(24-25七年级下·重庆期末)已知关于x、y的方程组 x-3y=2m 的解满足-1<x+y<1,则符合条件 的所有整数m的取值之和为 2a-x>3 10.(24-25七年级下·河南新乡·期末)已知关于x的不等式组 2x+8>2a (1)若该不等式组无解，则a的取值范围是； (2)若该不等式组的解集中，每一个值均不在-1≤x≤5的范围中，则的取值范围是 三、解答题 3x+2y=m+2 11.(24-25七年级下·江苏宿迁·期末)已知关于x,y的方程组 2x+3y=4m+3 (1)若方程组的解满足x+y=1,求m的值。 (2)若方程组的解满足x-y>1,求m的取值范围. 2x+4>0 12.(24-25七年级下·湖南衡阳·期末)已知关于x的不等式组 3x-k<61 (I)当k为何值时，该不等式组的解集为-2<x<3; (2)若该不等式组只有2个正整数解，求k的取值范围. 13.(24-25八年级上全国·期末)定义新运算为：对于任意实数a、b都有a⊕b=(a-b)b-1,等式右边都 是通常的加法、减法、乘法运算，比如1⊕2=(1-2)×2-1=-3. (1)求3⊕4的值 (2)若x⊕2<5，求x的取值范围. [x⊕1≤2 (3)若不等式组 2x⊕3>a 恰有三个整数解，求实数a的取值范围。 14.(25-26八年级上·湖南长沙开学考试)使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程 (组)和不等式（组）的“关联解”.例：己知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时 2x-3=2×2-3=1,x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“关联解”. (1)x=-1是方程2x+3=1和下列不等式（组） 的“关联解”；（填序号） 「x-2>0 >3;③ 2 x-5<0 [3x-2y=3m+2 和不等式组 x-少<i有关联解，且m为整数，求m的 x>y-5 (2)若关于x,y的二元一次方程组 2x-y=m-5 值。 x>m-1 (3)若关于x的方程x+4=3m的解是关于x的不等式组 x-1≤3m 的“关联解”，且此时不等式组有5个整数解， 试求m的取值范围， 5/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 15.(24-25七年级下湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1=a×0+2b×1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1=-6,T(4,2)=3. ①求a,b的值； T(2m,5-4m≤1 ②若关于m的不等式组 T(m,3-2m)>p 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义），则a,b应满足怎样的关系 式？ 16.(24-25七年级下·江苏扬州·月考)使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组） 和不等式（组）的“调和解”. 例：已知方程2x-3=1与不等式x+3>0,当x=2时，2x-3=2×2-3=1,x+3=2+3=5>0同时成立， 则称“x=2”是方程2x-3=1与不等式x+3>0的“调和解”. 0已知有三个不等式：①x方子，@23》<4，@生<3，判新方程+51的解是不等式的调 2 和解”（填不等式前的序号）： 四是方程x-2y=4与不等式组的调和解，求+2如的取值范围 x>3 (2)若 y=n 2(x+1)>m-1 ③)若关于x的方程一5-？-1与关于x的不等式-之2x+12恰有7个调和解为整数.求m的取值 63 2 3 范围. 6/6