江西省乐平中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（1、3-27 班）

**基本信息** 高一下学期期中数学试卷，以三角函数、平面向量为核心，通过新定义题型（如“相伴函数”）和几何与向量综合应用（如菱形动点问题），考查抽象能力、几何直观与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|三角函数定义、向量夹角、函数零点|基础层递进，如第1题三角函数定义到第7题存在性问题| |多项选择|3/18|向量性质、函数单调性与周期|选项分层，如第10题结合图像平移考查函数性质| |填空题|3/15|三角函数周期、向量坐标运算|情境化设计，如第13题平面直角坐标系中求最值| |解答题|5/77|三角变换、函数图像、新定义问题|综合应用，如第19题“相伴向量”融合向量与函数，第18题菱形动点问题考查空间观念|

江西省乐平中学2025-2026学年高一下学期期中考试 数学试卷（3-27班) 5 考试时间：120分钟满分：150分 命题人：程立花审题人：胡柳彬 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合要求的， 1.已知角0的终边经过点P(-1,3),则cos0= A.-0 10 B.月 C.-3 D.30 10 2.已知向量ā，满足1a非2,16非3，a6=-3,若a-6与ā的夹角为牙，则k=（) A.0 B. c.0或- D.0或号 3.如图，在VABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N, 若西=m孤，C=孤，m>0>0,则启+32的最小值（) A.2 B.8 C.9 D.18 4.在VABC中，已知MB+C=B-AC=2A,则向量AC在C上的投影向量为() A.-BC B.-8c C.nc 4 D.记 5.已知ina+csa=5，a∈0，r,则n&二的值为() A.-25 15 B.-25 c.25 D.25 15 5 6.。设函数f八)=0sr+胃)在区间(Q,网上恰好有两个零点，则u的取值范围是（) A.(3剖 B.(居别 c.割 D.) 7.已知9e(0,受，若aeR,存在xe[a-平，a+牙，使得sinr+cosr22sin8成立，则0的最大值为(） A.1 B.君 c.牙 D.3 第1页，共4页 架 扫描全能王创建 8.已知平面向量a,6,,且间=1已知向量6与所成的角为60°，且5-26-对任意实数1 恒成立，则a+2+a-的最小值为() A.V5+1 B.25 C.5 D.4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量a,满足a+五=(5,0)，了-日=(3,4)，则下列结论正确的是() A.同=2d B.a⊥6 C.向量2a+6与6的夹角为45 D.存在非零实数入，使得+而〃a 10.已知函数f)=n(r+}@>0),则下列说法正确的是（) A.当0=3时，f因在(；写）上单调递增 B.若F()f(3=2,且k-x=,则函数f()的最小正周期为究 C.若f()的图象向左平移五个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则0的最小值为3 D.若f在[0,2网]上恰有4个零点，则ω的取值范围为[二，29 12'12 11.下列命题正确的是（) A.在VABC中，(BC+BAC=AC,则VABC的形状-一定是直角三角形 B.若A,B,C,D四点在同一条直线上，且AB=CD,则AB=CD C.平行四边形ABCD中，若|AB+ADHAD-ABI,则四边形ABCD是矩形 AB CA BA CB BC D.三个不共线的向量OA,OB,OC,满足OA =0 =0c C 0 则O是VABC的内心 第II卷（非选择题) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12.已知函数f)=2snax+4eos0x的两个相邻零点间的距离为5，则/得) 13.在平面直角坐标系xOy中，点A(cos8,sin0),B(-sim0,cos8),9e[0,2x).若点P(xy)满足： OP.0A=1,O.O=2,则y的最大值是 第2页，共4页 架 扫描全能王创建 14.在平面凸四边形ABCD中，已知BC=2,AC=1,AB⊥AC,∠ADC=150°，则AD.AB的最小 值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及 验算步骤 15,可知m受=2。 求m(e+到的值： sinacosa (2)求na+sn2a+co82a中的值. 16.已知函数fe-2as2x-到引 (1)若关于x的方程∫(x)+m+1=0在<二时有实数根，求实数m的取值范围： ②若函数y=)+aeR则在0上有3个零点×，（其中<名<马），求%+24+)的 值. 17.已知函数f(x)=Asim(@x+p)（>0,w>0,0<p<π)的部分图像如图所示. 3√5 5π 6 (1)求(x)的解析式： (2)求方程∫(x)=3的解集： 间当导-]时，关于z的方程[-2心41-0有3个不同实提，求m的取值范 围。 第3页，共4页 器 扫描全能王创建 18.如图，E,F分别是菱形ABCD的边CD和BC上的动点，且AB=2,∠DAB=60, D E B (I)若E,F分别是CD,BC的中点，求EF.AC: (2)若E,F分别是CD,BC的中点，G是线段EF上的任意一点，求AG.GB的最大值： (3)若E,F分别为线段DC和BC上的动点，且DE=CF,求2A厅+E的取值范围， 19.设O为坐标原点，定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数"为：∫(x)=asix+bcosx(x∈R),向量 oM=(a,b)称为函数f(x)=sinx+bcosx的“相伴向量.” 设函数4(=2sn行小c后+求（的相件向量： (2)记0M=(0,2)的“相伴函数为f(x),若函数8()=f(x)+23sim-1,x∈[0,2]与直线y=k有且仅 有四个不同的交点，求实数k的取值范围： 3)i记O丽-，列的“相伴函数为F(),若a2x+骨+2-co3z>6cox对任意x到恒成立， 求实数a的取值范围. 第4页，共4页 器 扫描全能王创建 江西省乐平中学 2025-2026 学年高一下学期期中考试 数学试卷（1、3-27 班） 考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：程立花 审题人：胡柳彬 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．已知角的终边经过点，则 A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，若与的夹角为，则（　　） A．0 B． C．0或 D．0或 3．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．设函数在区间上恰好有两个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．存在非零实数，使得 10．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，在上单调递增 B．若，且，则函数的最小正周期为 C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为3 D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为 11．下列命题正确的是（    ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形中，若，则四边形是矩形 D．三个不共线的向量，满足，则是的内心 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12．已知函数的两个相邻零点间的距离为，则__________. 13．在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 14．在平面凸四边形ABCD中，已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程 及验算步骤. 15．可知． (1)求的值； (2)求的值． 16．已知函数. (1)若关于的方程在时有实数根，求实数的取值范围； (2)若函数在上有3个零点，（其中），求的值. 17．已知函数（，，）的部分图像如图所示． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围． 18．如图，分别是菱形的边和上的动点，且. (1)若分别是的中点，求； (2)若分别是的中点，是线段上的任意一点，求的最大值； (3)若分别为线段和上的动点，且，求的取值范围. 19．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.” (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； (3)记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 1．A 【解析】因为，，所以． 故选：A． 2．A 【详解】因为，，， 所以， ，又与的夹角为， 所以， 所以，故，， 解得. 3．D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及“爪子”定理，得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为点是的中点，则，又，则， 又三点共线，则，所以，得到， 由，得到，所以， 又，则， 当且仅当，即时取等号， 所以. 4．D 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 5．A 【分析】利用平方关系求出，的值，再切化弦即可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以， 因为，等式两边平方得， 所以，故，所以， 所以，故， 因此. 6．C 【详解】当时，， 结合余弦函数的图象，可得，解得. 7．B 【分析】求出给定命题的否定，再利用辅助角公式化简并换元得，由周期性探讨函数在上的最大值中的最小值，建立不等式求出范围，然后否定结论即得答案. 【详解】命题“，存在，使得成立”的否定为： ，对，不等式恒成立， 而，，令， 函数，函数的最小正周期为，不妨令， 当时，，此时，则； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，； 当时，，函数在上递减，在上递增， ； 当时，，， 由，对，不等式恒成立，得， 即，而，解得， 因此当，存在，使得成立时，， 所以的最大值为. 8．B 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 9．ABC 【分析】先求得向量，的坐标表示，再由向量数量积，共线，垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以，， 对于A选项，， ，所以，故A正确； 对于B选项，，所以，故B正确； 对于C选项，，，设向量与的夹角为， 则，所以向量与的夹角为，故C正确； 对于D选项，若，则，，， 则，解得，故D错误. 10．AD 【分析】对A，由复合函数单调性即可判断；对B，由题可得，由此即可判断；对C，由题意得，，结合的范围即可判断；对D，根据，，得到，进一步列出不等式组即可求解. 【详解】对于A，当时，，，则， 由正弦函数单调性可知在上单调递增，故A正确； 对于B，由可知，一个为函数的最大值，一个为函数的最小值. 又因为，则当且仅当，即，所以函数的最小正周期为π，故B错误； 对于C，若的图象向左平移个单位长度后，得到的函数解析式为， 其图象关于轴对称，则，，所以，， 又因为，则的最小值为4，故C错误； 对于D，，，则， 若在上恰有4个零点，则当且仅当，得，故D正确. 11．ACD 【详解】因为，所以， 得，则， 故的形状一定是直角三角形，故A正确； 由于四点的相对顺序不确定，故B错误； 因为，且是平行四边形，所以， 所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 因为与中的外角平分线平行，且， 所以是的角平分线， 同理，是的角平分线，是的角平分线， 故是的内心，故D正确. 12．或 【分析】令可得，结合正切函数周期性可得，代入求解即可. 【详解】令，可得， 因为函数的两个相邻零点间的距离为，则，解得， 若，则，可得； 若，则，可得； 综上所述：或 13． 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，， 由题意得解得， ，， 当时，取最大值为， 所以y的最大值是. 14． 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 15．(1)； (2). 【分析】（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解； （2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解. 【详解】（1）， 所以； （2）由正弦、余弦二倍角公式得： ． 由于，则， 所以， 即. 16．(1) (2) 【分析】（1）通过将方程转化为，结合求解范围，进而得到的取值范围； （2）利用余弦函数的对称性确定三个零点的关系，进而求出的值，再代入计算结果即可. 【详解】（1）将方程变形为，即， 因为，即当时，，则， 因为， 故，所以. （2）因为函数在上有3个零点， 等价于方程在上有3个根， 令，由，可得， 则问题转化为在上有3 个根. 根据余弦函数的对称性可得，，则， 故， 即， 所以. 17．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式； （2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解； （3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解. 【详解】（1）解：由图可知：，所以， 又，，所以，可得， 由图像过点，可得， 所以，，即，. 因为，所以，当时，，因此. 又图像过点，所以，所以， 因此. （2）解：当时，可得，即， 所以或， 解得或， 所以方程的解集为：或. （3）解：将方程化为 ，解得或. 作出函数在的图像，如下图所示， 由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点. 又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意. 所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，求出向量的坐标，即可求； （2）设，求出，，表示出，利用二次函数的性质可得答案； （3）设，表示出，利用二次函数的性质可得答案. 【详解】（1）以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示：则， ，由分别是的中点， ， ； （2）由（1）知，设，则， .当时，取得最大值为-2. （3）设，由得，，当时， 取得最大值为，当时，取得最小值为的范围为 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可； （2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可； （3）根据题意，将问题转化为对任意恒成立，再根据恒成立问题求解最值即可. 【详解】（1）解：， 所以函数的“相伴向量”； （2）解：由题知：， ， 因为时，；时， 所以，在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减 又， 所以的函数图象大致如图： 所以，当图象与有且仅有四个不同的交点时，， 所以，实数的取值范围为； （3）解：由题得， 所以， 由题得， 所以， 因为，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 设，当时，取到最大值， 所以，即的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $