专项04 一次函数与反比例函数的综合问题5大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项04 一次函数与反比例函数的综合问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年广东省中考数学真题，一次函数与反比例函数综合题呈现三大特征：一是位置固定、分值较高，稳定出现在解答题第20-23题位置，单题分值约6-10分，是函数模块的核心考查形式；二是考查模式成熟，近五年真题结构高度一致——先求函数解析式（联立求解待定系数），再求交点坐标，最后结合面积求点坐标或取值范围；三是渗透物理情境，如2022年第17题以弹簧伸长问题为背景考查一次函数实际应用。 ## 2026年广东命题趋势预测 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，一次函数与反比例函数综合题将呈现三大趋势： 一、题型位置稳定，核心考点不变 预计2026年该题仍出现在解答题第20-22题位置，延续“求解析式→求交点→面积相关”的三步设问模式。联立方程求交点、待定系数法求解析式、利用铅垂高求面积等核心方法仍是必考内容。 二、素养立意下情境创新增强 2026年命题将突出真实情境创设，可能融入物理（如弹簧伸长、欧姆定律）、跨学科素材，要求考生从实际问题中抽象出函数关系。同时，开放性设问和分类讨论（如等腰三角形存在性问题）比重将增加。 三、与几何综合的融合度提升 预计将延续“函数+面积+四边形”的综合考查模式，如与平行四边形判定、菱形性质等几何知识结合，考查数形结合和代数推理能力。代数是解决图形问题的工具，这一趋势将进一步强化。 ## 2026年预测 2026年广东中考一次函数与反比例函数综合题将呈现两大趋势： 一是题型结构稳定，位置固定在解答题第20-22题，分值保持6-10分。核心考查模式不变：联立求交点、待定系数求解析式、结合面积求点坐标或取值范围。 二是情境化与探究性增强。试题可能融入物理等跨学科情境，弱化纯计算；同时增加等腰三角形存在性、平行四边形判定等几何分类讨论，强化数形结合与分类讨论思想。基础方法掌握扎实仍是得分关键，建议加强“设参求点”和面积割补法训练。 题型01 一次函数与几何图形的综合问题 析典例·建模型 1．（2025·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C． (1)求点C的坐标； (2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接． ①当为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①抛物线的解析式为或， ②的取值范围为： 【分析】这道题综合考查了一次函数、二次函数、菱形的性质以及直角三角形的判定等知识，掌握这些性质定理是解题关键． （1）先将点代入直线：，求出的值，得到直线的解析式，然后联立直线与的解析式，解方程组求出交点C的坐标； （2）①先根据菱形的性质求出点的坐标，再结合抛物线顶点在直线上，得到．由题意易得，然后分两种情况（、)），利用直角三角形的性质和坐标关系列方程求解抛物线的解析式； ②分别求出抛物线经过菱形边和上关键点时的值，从而确定的取值范围． 【详解】（1）解：直线：与x轴交于点， 将，代入， 得：， ， ： ：与：交于点C 联立方程组得：，解得： （2）①由题意得，点与点关于轴对称， ， 由抛物线的解析式可知抛物线的顶点的坐标为． 点在直线上， ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． 由题意易得， 当时，，即，解得（不符合题意）， 把代入中， 得， ， 此时抛物线的解析式为； 当时，，即，解得，把代入中，得， ， 此时抛物线的解析式为． 综上所述，抛物线的解析式为或． ②当抛物线对称轴左侧图象经过点时，如答图， 将代入，得， 解得：， 当抛物线顶点经过点时，如答图， 得 的取值范围为：． 研考点·通技法 1. 数形结合求解析式：已知两点坐标用待定系数法（y=kx+b）。根据图像性质（过象限、增减性）可快速判断k、b符号，用于选择或验证。 2. 与方程不等式关联：求交点坐标即联立方程求解；y1 > y2的解集为图像上方部分对应的x范围。注意边界取等号。 3. 实际应用建模：抓住“单价、速度、效率”等常量确定k，初始值确定b。注意自变量取值范围（如时间非负、数量整数），分段函数要分段讨论。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·一模）【定义】 在平面直角坐标系中： 【1】对于两点和，若，则称点Q是点P的“等距点”． 【2】对于一点，则称点为点M的“k对称点”，例如，点为点的“1对称点”． 【运用】 (1)在平面直角坐标系中，已知点，． 在点，，，． ①点______是点的“等距点”． ②点______是点的“2对称点”． ③点______既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． (2)已知点P是直线上的点，记点P的“1对称点”为点Q．若点Q恰好是点P的“等距点”，求此时点P的坐标． (3)已知点A是射线上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线上，点B是点A的“等距点”．点A的“k对称点”为点C．求线段的最小值． 【答案】(1)①；②；③ (2)或 (3)8 【分析】（1）①根据“等距点”的定义解答即可；②根据“2对称点”的定义解答即可​； ③根据“等距点”和“2对称点”的定义解答即可． （2）设，则P的“1对称点”为，由是的等距点得，分两种情况分别求解即可． （3）设，由题意得，根据是的等距点，得，解得，则点，，故点的“对称点”为，得出点的轨迹是直线，根据点到直线垂线段最短求出点到直线的垂线段长度即为的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ①满足，符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 中，不符合等距点定义； 故点是点的“等距点”； ②∵，则的对称点坐标为，即，对应​； ③​的2对称点坐标为，即，对应​，验证得，符合等距点定义，即点​既是点的“等距点”又是点的“2对称点”． （2）解：设，则P的“1对称点”为， 由是的等距点得：， ∴， ∴， 分两种情况：当时，解得：，则； 当时，解得：，则． （3）解：设， 由题意：的横坐标等于的纵坐标，即， 又在上，则， ∵是的等距点， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴点，， ∴点的“对称点”为， ∴点的轨迹是直线， 点到直线的最短距离为垂线段长度：， 即的最小值为． 2．（2026·广东珠海·一模）如图，直线与轴，轴分别交于点、，以为边向右作矩形，， (1)如图1，当时，直接写出点的坐标； (2)如图2，连接，将沿翻折，点的对应点为点，若点在轴上， ①延长交轴于点，求证：四边形为平行四边形； ②求直线的解析式； (3)连接，求的取值范围． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)①证明见解析；②直线函数表达式为或． (3) 【分析】（1）过点作轴，交轴于点，由三角函数求解出的值，易得的值，证明，可得，求出，，由此可得点的坐标； （2）①根据翻折和矩形的性质，证明，由角度等量代换，可证出，结合，可证出四边形为平行四边形；②由面积相等的性质，求出的长度，证明，得出，，可得点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）同（1）中的过程，用表示出点的坐标，可得，根据方程根的判别式，可得出的取值范围，最终得出的取值范围． 【详解】（1）解：过点作轴，交轴于点，如下图所示： 当时，， 解得， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为． （2）解：①令交于点，如下图所示： 在矩形中， ∵翻折的性质， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ②∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，或， ∴点坐标为或点坐标为， 令直线函数表达式为， 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． 将点、代入 ， 得，解得， ∴直线函数表达式为． ∴直线函数表达式为或． （3）解：由图可知，直线中，y随x的增大而减小， ∴即， 当时，， ∴点坐标为， 由勾股定理得， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 即， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， 化简得， ∵， ∴， 假设的值为， 即， 即， 该关于的方程有解， 即， 得， 解出， ∴， ∴， ∴． 题型02 一次函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2026·广东深圳·一模）成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品．若购买A奖品4个和B奖品5个，需210元；购买A奖品5个和B奖品6个，需255元． (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品个，购买这300个奖品的总费用为W元． ①求W关于的函数关系式； ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能使总费用最少？ 【答案】(1)A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元 (2)①；②该学校购进A奖品90个，B奖品210个时总费用最少 【分析】（1）设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得； （2）①先求出购买B奖品为个，再根据（1）的结果即可得； ②利用一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：设A奖品的单价是元，B奖品的单价是元， 由题意得：， 解得， 答：A奖品的单价是15元，B奖品的单价是30元； （2）解：①由题意可知，购买B奖品为个， 则， 即关于的函数关系式为； ②∵购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个， ， ∵，， ∴在内，随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时， 答：该学校购买A奖品90个，B奖品210个，才能使总费用最少． 研考点·通技法 1. 建模列式：根据题意确定自变量（如时间、数量）与因变量（如费用、路程），找出等量关系，列出一次函数解析式 y = kx + b，并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 2. 分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 3. 方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式y1 > y2求出优劣分界点，结合实际背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·一模）某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组先购买向日葵花苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1) 2.2元 (2) 购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时总费用最少，最少总费用为335元 【分析】（1）设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，根据用660元购进第二批该品种花苗，所购数量是第一批数量的3倍，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍，列出不等式，求出的范围，根据总费用是两种幼苗的费用之和列出一次函数解析式，利用性质求最值即可. 【详解】（1）解：设第一批向日葵花苗的单株进价为元，则第二批向日葵花苗的单株进价为元 ，由题意，得： ， 解得 ， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 则第二批单株进价为（元）； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗株，购买总费用为元，则购进月季幼苗株 ，由题意，得：，解得 ； ∵ ， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值 ， （株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元. 2．（2026·广东深圳·二模）综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买6台四足机器人和5台人形机器人共需57万元； 5台人形机器人的售价比11台四足机器人贵23万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众150人次； 每台人形机器人每日可服务观众280人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元． 问题解决 (1)求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】(1)每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元 (2)采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次 【分析】（）设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元，根据题意列出方程组，然后解方程组即可； （）设采购四足机器人台，则采购人形机器人台，根据题意得，求得，设每日总服务人次为，则有，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台四足机器人售价为2万元，每台人形机器人售价为9万元； （2）解：设采购四足机器人台，则采购人形机器人台， 根据题意得：， 解得：， ，即， ， 设每日总服务人次为， ， ， 随增大而减小， 当取最小值5时，有最大值，此时， 答：采购四足机器人5台、人形机器人7台时，每日总服务人次最多，最多为2710人次． 题型03 一次函数与反比例函数的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 研考点·通技法 1. 联立求交点坐标：将一次函数与反比例函数解析式联立，化为关于x的一元二次方程，解得交点横坐标，再回代求纵坐标。注意判别式验证交点个数。 2. 利用对称性：若两个交点关于原点对称，则一次函数必过原点。反比例函数图像是中心对称图形，常结合图形找等量关系。 3. 面积与不等式：求两函数图像围成的三角形面积，常作垂线分割。比较函数值大小时，以交点为界，分区间结合图像上下位置写出x范围，注意分母不为零。 破类题·提能力 1．（2025·广东中山·一模）如图，直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，其中点D坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)在x轴上取一点，当的面积为12时，求m的值． (3)当时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围； 【答案】(1)反比例函数解析式为； (2)或； (3)x的取值范围为或． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别求出点的坐标，再结合，得出点D的坐标为，再把点D的坐标代入，进行计算，即可作答． （2）因为直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点，则，解得，得出，结合的面积为12，列式计算，即可作答； （3）由，，运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：在直线中，当时，， ∴点A的坐标为， 当时，， 解得：， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入反比例函数解析式得：， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与坐标轴交于点A、B，与双曲线交于C、D两点， ∴， 得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得或； （3）解：∵，， 观察图象可得：当时，x的取值范围为或． 2．（2026·广东广州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，求的面积 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）由图象观察函数y=的图象在一次函数y=kx+b图象的上方对应的x的取值范围； （3）求出C点的坐标，从而求出的面积． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为， ， 将点，代入直线中得， ， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，不等式的解集是或； （3）解：设与x轴交于点C， 令，得， 解得， ， ， ． 题型04 反比例函数与几何图形的综合问题 析典例·建模型 1．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 研考点·通技法 1. 设点坐标表示几何量：设反比例函数上点的坐标（如 (t, ），利用横纵坐标表示线段长、面积。常作坐标轴垂线构造直角三角形。 2. 利用面积不变性：反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为 |k|，三角形面积为 。结合全等、相似或平移求未知点坐标。 3. 分类讨论防遗漏：涉及动点或图形位置变化时（如点在不同象限），分情况讨论。注意几何条件如“等腰三角形”需列方程并检验解是否在函数图像上。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）结合反比例函数和正比例函数的交点，得出点与点关于原点对称，，证明，利用相似三角形的性质得出，即可求出的值； （2）设，表示出相关点的坐标，然后表示出相关线段的长度，利用锐角三角函数得出，利用平行线的判定定理即可得出结论； （3）令，则，求出线段的解析式为，联立解析式求出交点坐标，然后分别求出相关线段的长度，求其比值判定是否为黄金分割点即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 2．（2026·广东湛江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，，，双曲线与矩形的两边、分别交于D、E两点，连接、、，将沿翻折后得到． (1)探究一：如图2，若点D为中点时，点又恰好落在线段上，点E的纵坐标为________（用含n的式子表示）； (2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线上，是否存在m的值使点落在x轴上，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质得到的坐标，进而求出D的坐标，可知，将的横坐标代入反比例函数解析式计算即可； （2）证明四边形是正方形，证，即可求得，设，则，则可表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得，则面积即可求解； （3）首先解方程组求得的坐标，利用表示出的长度，作于点，则，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标． 【详解】（1）解：，，矩形， 的坐标是， ∵点D为中点， 的坐标是：， 在双曲线上， ， 又的横坐标是，把代入， 则， 点E的纵坐标为； （2）解：设正方形的边长是，则，， 则的坐标是：，的坐标是， 则， ． 四边形是正方形． ∴，，， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 又平分， ， ， 设，则， ∴的坐标是， 代入得：， ∴， ∴正方形的面积是； （3）解：根据题意得：， 解得：或（舍去）， 则的坐标是． ∵的横坐标是， ∴的横坐标是， ∴， ∵将沿翻折后得到， ∴， 在中，当时，， ，， 如图所示，作于点． 折叠， ， ， 又， 则， ， ， 解得：， ∴在中，， 则， ， ， 把代入中得：， ． 题型04 反比例函数的实际应用问题 析典例·建模型 1．（2025·广东汕头·三模）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流（单位：A）与电阻（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ (2)若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1)蓄电池的电压是，这个函数的解析式为 (2)不小于 【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，通过物理中的电学公式（U为定值），明确电流I与电阻R成反比例关系是解决本题的关键． （1）利用图象上的已知点坐标，代入反比例函数表达式，通过待定系数法求出电压U和函数表达式； （2）根据（1）中求出的函数关系，结合电流限制条件求出可变电阻的范围． 【详解】（1）解：设蓄电池的电压为，由电学知识，得：， 观察图象，可知当时，， 因而， 故这个函数的解析式为； 所以蓄电池的电压是，这个函数的解析式为； （2）解：由（1）知，，得：． 因为电流I与电阻R成反比例关系，所以， 所以该用电器的可变电阻应控制在不小于的范围内． 研考点·通技法 1. 建立反比模型：根据题意识别成反比例的量（如行程vt = s、压力F = pS、矩形面积一定时长宽关系），设函数关系式为y =，利用已知一对对应值求k。 2. 自变量范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度、时间 > 0），画图像时只保留第一象限分支。注意端点能否取等号（如“不超过”含等号）。 3. 求值或比较：已知一个变量求另一变量直接代入；比较大小利用增减性（k>0时，y随x增大而减小）或取特殊值。注意单位统一，结论要符合实际情境。 破类题·提能力 1．（2025·广东佛山·三模）随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕．运动需要有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全．某综合实践小组准备研究心率与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系．在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率 40 60 70 76 82 … (1)判断初中所学函数是否能很好地表示随变化的规律，说明理由； (2)经探究是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式； (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过．结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要休息？ 【答案】(1)不能，理由见解答 (2) (3)300秒 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征和待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）分别根据一次函数、反比例函数和二次函数的变量变化特征判断即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）根据题意列关于的不等式并求其解集即可． 【详解】（1）解：初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． 理由如下： ∵当自变量的增加值相同时，的增加值不同， ∴不是的一次函数， ∵与的积不是一个定值， ∴不是的反比例函数， ∵当自变量的增加值相同时，相邻值的增加值的差不相同， ∴不是的二次函数， ∴初中所学函数不能很好地表示随变化的规律． （2）解：设，即（为常数，且）， 将和分别代入， 得， 解得， ∴ y与之间的函数表达式为， （3）解：根据题意，得， 解得：， ∴跳绳运动持续时间300秒需要休息． 2．（2025·广东广州·二模）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型05 一次函数与反比例函数的新定义型综合问题 析典例·建模型 1．（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为． 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点的“纵横差”； (2)求函数的“纵横极差”； (3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键． （）根据“纵横差”的定义求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可； （）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为； （2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为， 又∵当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值是， ∴函数的“纵横极差”为； （3）解：∵， ∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为， 根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时， 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，符合条件； 若，则的最大值在处取得，即最大值为， ∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去， 综上所述，的值为． 研考点·通技法 1. 读懂新定义：圈出新定义中的关键词（如“关联点”“友好函数”），将其转化为数学条件（如坐标关系、函数形式）。用具体数值代入帮助理解。 2. 联立与方程思想：根据新定义列出关于点坐标或系数k,b的方程（组），利用一次函数与反比例函数联立后的判别式、根与系数关系求解。 3. 数形结合验证：画出大致图像，验证解是否符合定义中的隐含条件（如交点个数、象限位置）。多解时注意取舍，答案通常用含参数的表达式表示。 破类题·提能力 1．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 2．（2025·广东深圳·三模）定义：已知是自变量的函数，当（为常数，）时，称函数为函数的“级函数”．点和点分别在函数和的图象上，此时称点为点关于的“级点”． 例如：函数，当时，，则函数是函数的“级函数”点为点关于的“级点”． (1)如图，点在反比例函数的图象上，当点为点关于的“级点”时，求点的坐标； (2)函数为函数的“级函数” 求的值； 若点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当点在点上方时，请直接写出自变量的取值范围______； (3)函数为函数的“级函数”，点在函数的图象上，点为点关于的“级点”，当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，请直接写出和的值． 【答案】(1) (2)①；② (3)，或 【分析】本题主要考查了新定义以及二次函数的性质，正确理解新定义是本题解题的关键． （1）写出的解析式，代入值，求得点坐标即可； （2）①根据“级函数”的定义，列出方程，根据常数项求出值，再根据一次项系数求出值即可；设点坐标，求出点坐标，根据点在点上方，求出的取值范围即可； （3）写出的解析式，根据点坐标求出，再根据当时，二次函数的最大值和最小值的差为，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点为点关于的“级点”， ∴， 将代入上式，得， ∴； （2）解：①∵函数为函数的“级函数”， ∴， ∴， ，； 故； 由知，， 设，则， 当点在点上方， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）解：∵函数为函数的“级函数”， ∴， 在上， ∴， ， ∴， 上述抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得：， 当时，即时，， 解得：， 当时，即时，此时函数最大值为：， 最小值为， 令， 解得：， 当时，，不符合题意，当时，，，不符合题意； 综上所述，或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)第时学生的注意力更集中 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）分别求出当，时，的y值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设曲线所在的函数关系式为， 把点代入，得 ， ∴曲线所在的函数关系式为． （2）解：当时，， 当时，． ∵， ∴第时学生的注意力更集中． 2．（2025·广东·三模）如图，点与点在反比例函数的图象上，且，连接，，过点A作轴于点C，交于点D，． (1)求证：； (2)求a，n的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查待定系数法，解直角三角形，等腰三角形的判定，综合运用相关知识是解题的关键． （1）把点代入，得到，从而，因此，得到，根据三角形外角的性质得到，根据等角对等边得证结论； （2）过点B作轴于点H，则，，由得到，把代入，即可求出n的值，进而得到a的值，即可解答． 【详解】（1）证明：把点代入，得， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． （2）解：，， ， 如图，过点B作轴于点H， ， ，， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， ， ， ． 3．（2026·广东深圳·一模）根据以下素材，完成问题一和问题二． 背景 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”正式亮相．寓意喜气洋洋，其乐融融． 图片 素材一 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜洋洋”玩偶的进价贵20元． 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同． 素材三 该商店计划购进“喜洋洋”和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜洋洋”玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶全部售完． (1)“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋”玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值． 【答案】(1)每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”玩偶的进价为90元 (2)；2700 【分析】（1）设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元，根据用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同列，列分式方程求解即可； （2）根据题意列出，由一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设每个“喜洋洋”玩偶的进价为x元，每个“乐融融”玩偶的进价为元， 则 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 答：每个“喜洋洋”玩偶的进价为70元，每个“乐融融”的进价为90元； （2）解：根据题意得：， 根据题意可得：， 解不等式得：， ∵， ∴W随着a的增大而减小， ∴当时，才能使总利润最大， 最少费用是（元）， 此时（套）， 答：“喜洋洋”玩偶买了60个，“乐融融”玩偶买了140个，则卖出所有吉祥物的总利润最大为2700元． 4．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过上的点D，与交于点E，E是的中点，连接． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求直线的解析式． 【答案】(1)点D的坐标为； (2)直线的解析式为或． 【分析】（1）先求出点的坐标，从而求出反比例函数的解析式，再求出，即可得出点的坐标； （2）按照和进行分类讨论，计算每种情况对应的点和点的坐标，用待定系数法即可得直线的解析式． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵，为的中点， ∴，，． ∴， ∴． ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线上， ∴． ∴， ∴点的坐标为． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴当和相似时，可分两种情况： 当时，， 即， ∴． ∴易得，即与重合． 此时设直线BF的解析式为， 把点的坐标代入，得， ∴， ∴直线的解析式为． 当时，， 即， ∴, ∴, ∴此时设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述，若和相似，则直线的解析式为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，三角形相似的性质． 5．（2025·广东中山·三模）【问题背景】 如图，在直角坐标系中，一次函数图象分别直线和交于点A和点B，与y轴交于点C，且满足点A和点B都在x轴上方，． 【构建联系】 （1）求证：． （2）当点C是的中点时，求证：． 【深入探究】 （3）若满足，是否存在一个二次函数，使得此函数图象同时过点A、点B和点O，若存在，求此二次函数的表达式．若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在， 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，熟练掌握一次函数和二次函数的性质是关键． （1）设点A坐标为，点B坐标为，过点A作轴，垂足为点M，过点B作轴，垂足为N．证明．则，即可得到结论； （2）根据点A和点B都在直线l上得到方程组，由方程组即可得到结论； （3）设此函数的表达式为．联立得．则．求出．得到．进一步即可求出答案． 【详解】解：设点A坐标为，点B坐标为． （1）如答图，过点A作轴，垂足为点M，过点B作轴，垂足为N． 则 ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）由（1）得，． 当点C位的中点时，得． ∵点A和点B都在直线l上， ∴ ，得，． （3）存在，二次函数表达式为． ∵二次函数的图象过点O， ∴设此函数的表达式为． 联立， 得． ∴． 根据题意，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ 二次函数的表达式为． 6．（2026·广东佛山·一模）【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究． 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是______； ②若一次函数不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数____________． 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数一定是“不动点函数”吗？请说明理由． 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数的图象上有两个不同的不动点． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2)反比例函数不一定是“不动点函数”，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握“不动点函数”的定义是解此题的关键． （1）①根据“不动点函数”的定义，令，则，求解即可；②根据“不动点函数”的定义写出符合题意的函数即可； （2）若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到，再分两种情况：当时；当时，分别分析即可得出结果； （3）求出二次函数的顶点坐标为，结合题意可得，若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程，整理可得，求出，从而可得方程有两个不相等的实数解，即可得证． 【详解】（1）解：①令，则， 解得：， ∴该函数图象上的不动点坐标是； ②若一次函数不是“不动点函数”，满足条件的一次函数为； （2）解：反比例函数不一定是“不动点函数”，理由如下： 若反比例函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 两边同时乘以，得到， 当时，方程无实数解，此时反比例函数不是“不动点函数”； 当时，方程的解为，此时反比例函数是“不动点函数”； 综上所述，反比例函数不一定是“不动点函数”； （3）证明：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴， 整理可得：， 若二次函数是“不动点函数”，则令，可得方程， 整理可得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解，即二次函数的图象上有两个不同的不动点． 7．（2025·广东清远·一模）如图，中的，，顶点在第四象限，直角边在轴上，是斜边的中点，连接并延长交轴于点，的面积为，已知点在反比例函数的图象上． (1)求的值； (2)如图，点是点关于直线的对称点，点在过点的射线：上，且点位于第三象限内，若的面积是面积的倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合，解直角三角形，三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到，得到，然后利用代入求解即可； （2）首先求出，然后得出，根据题意得到，如图，过点作，垂足为，交轴于点，得到，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，是斜边的中点 在中，，且 ， 点在第四象限 点在反比例函数的图象上 ； （2）由题意，点是点关于直线的对称点 把代入，得 在射线的反向延长线上，即，，均在直线上 点是点关于直线的对称点 轴 的面积是面积的倍 如图，过点作，垂足为，交轴于点 ， 点的横坐标为 点在直线上 点的坐标为． 8．（2025·广东珠海·三模）已知反比例函数经过矩形，交于点E，交于点 (1)如图1，若反比例函数图象经过的中点D，已知，，求此反比例函数的解析式； (2)如图2，将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若，求的值； (3)若将矩形沿对折，点A恰好与点C重合，连接，点B、G关于对称，点B，G的横坐标分别为m，，以点O为圆心，长为半径作若，当与相切时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，由点D是的中点，可得，再运用待定系数法即可求得答案； （2）设，则，再利用折叠性质及解直角三角形得出点F的坐标，联立方程得出，即可求得答案； （3）当时，，，由折叠得出矩形是正方形，再由轴对称得出四边形是正方形，设与交于点T，再利用切线的性质即可求得答案． 【详解】（1）四边形是矩形，，， ， 点D是的中点， ， 反比例函数点D， ， 反比例函数的解析式为， （2）设，则，如图， 将沿着折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，，， ，， ， 在中，， 当时，， ， ， ， 又， ， ， ， ； （3）当时，，， 将矩形沿对折，点A恰好与点C重合， 矩形是正方形， ，，， ， 又， 是等腰直角三角形， 点B、G关于对称，点G的横坐标为n， 四边形是正方形， ，， 如图，设与交于点T，则， ， ， 以点O为圆心，长为半径作与相切， ， ， ， 解得：或舍去， 的值为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项04一次函数与反比例函数的综合问题 ee。e●ee●。●。。。。●。。。。。。。●e●0e●●00●00●。●●●9●●●。●●●●●●●●●●●●e。●。e●●●e●●●。●●●。。。●●●。●。●9●。●●●● 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 根据近五年广东省中考数学真题，一次函数与反比例函数综合题呈现三大特征：一是位置固定、分值较 高，稳定出现在解答题第20-23题位置，单题分值约6-10分，是函数模块的核心考查形式；二是考查模 式成熟，近五年真题结构高度一致一一先求函数解析式（联立求解待定系数），再求交点坐标，最后结 合面积求点坐标或取值范围；三是渗透物理情境，如2022年第17题以弹簧伸长问题为背景考查一次函 数实际应用。 #2026年广东命题趋势预测 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，一次函数与反比例函数综合题将呈现三大趋势： 一、题型位置稳定，核心考点不变 预计2026年该题仍出现在解答题第20-22题位置，延续“求解析式→求交点→面积相关”的三步设问模 式。联立方程求交点、待定系数法求解析式、利用铅垂高求面积等核心方法仍是必考内容。 二、素养立意下情境创新增强 2026年命题将突出真实情境创设，可能融入物理（如弹簧伸长、欧姆定律）、跨学科素材，要求考生从 实际问题中抽象出函数关系。同时，开放性设问和分类讨论（如等腰三角形存在性问题)比重将增加。 三、与几何综合的融合度提升 预计将延续“函数+面积+四边形”的综合考查模式，如与平行四边形判定、菱形性质等几何知识结合， 考查数形结合和代数推理能力。代数是解决图形问题的工具，这一趋势将进一步强化。 #2026年预测 2026年广东中考一次函数与反比例函数综合题将呈现两大趋势： 一是题型结构稳定，位置固定在解答题第20-22题，分值保持6-10分。核心考查模式不变：联立求交点、 待定系数求解析式、结合面积求点坐标或取值范围。 1/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二是情境化与探究性增强。试题可能融入物理等跨学科情境，弱化纯计算；同时增加等腰三角形存在性、 平行四边形判定等几何分类讨论，强化数形结合与分类讨论思想。基础方法掌握扎实仍是得分关键，建 议加强“设参求点”和面积割补法训练。 PART 02 解题建模·通技法 >题型01一次函数与几何图形的综合问题<了 析典例建模理 1.(2025·广东·模拟预测)综合运用 如图，在平面直角坐标系中，直线I:y=x+2与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点B,与直线： y= 2x交于点C (1)求点C的坐标； (2)抛物线y=(x-h)+k的顶点F在直线马上，以BC为边向右作菱形BCDE,点D恰好与原点O重合，连 接EF, ①当△DEF为直角三角形时，求抛物线的解析式； ②若抛物线同时与菱形的边BC,CD有公共点时，求的取值范围. 研考点通技法 11. 数形结合求解析式：己知两点坐标用待定系数法(y=x+b)。根据图像性质（过象限、增减性）可快速 判断k、五符号，用于选择或验证。 「2.与方程不等式关联：求交点坐标即联立方程求解；>2的解集为图像上方部分对应的x范围。注意边 界取等号。 「3.实际应用建模：抓住“单价、速度、效率”等常量确定k,初始值确定b。注意自变量取值范围（如时 间非负、数量整数)，分段函数要分段讨论。 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破类题提能力 1.(2026广东深圳一模)【定义】 在平面直角坐标系xOy中： 【1】对于两点P(x,)和Q(x2,y2),若x-x2=y1-y2,则称点Q是点P的“等距点”. 【2】对于一点M(x,y),则称点N(2k-x,-y)为点M的k对称点”，例如，点N(2-x,-y)为点M(x,y)的1 对称点”. 【运用】 (1)在平面直角坐标系x0y中，已知点P(2,),P,(3,1). 在点9(-1,4)，Q2(2,0),Q(2,-1),9(1,-1). ①点 是点P的“等距点”. ②点 是点P的2对称点 ③点 既是点的“等距点”又是点P的“2对称点” (2)已知点P是直线y=2x+1上的点，记点P的“1对称点”为点Q.若点Q恰好是点P的等距点”，求此时 点P的坐标. (3)已知点A是射线y=2x+I(x20)上的点，点B的横坐标与点A的纵坐标相等且点B在直线y=x+2上， 点B是点A的“等距点”.点A的“k对称点”为点C.求线段BC的最小值. 2.(2026广东珠海·一模)如图，直线y=-bx+3b与x轴，y轴分别交于点A、B,以AB为边向右作矩形 ABCD,S矩形ABcD=30, 图1 图2 备用图 (1)如图l,当tan∠BAO=二时，直接写出点C的坐标： (2)如图2，连接BD,将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为点E,若点E在y轴上， 3/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①延长CB交y轴于点F,求证：四边形AFBD为平行四边形： ②求直线AB的解析式： (3)连接0C,求0C的取值范围. >题型02一次函数的实际应用问题<〈 析典侧：建模里 1.(2026广东深圳一模)成都市某中学数学组组织学生举行“数学创意大赛”，需购买A、B两奖品.若购 买A奖品4个和B奖品5个，需210元：购买A奖品5个和B奖品6个，需255元. (1)A、B两奖品的单价各是多少元？ (2)学校计划共购买奖品300个，设购买A奖品Q个，购买这300个奖品的总费用为W元. ①求W关于a的函数关系式： ②若购买A奖品的数量不少于40个，同时又不超过90个，则该学校购进A奖品、B奖品各多少个，才能 使总费用最少？ 砑考点通技法 厂.建板列式：根据题数确定自变量《如时间、最量)与因变量《如费用、路和，找出等量关系，列出二】 !次函数解析式y=cx+b,并标注自变量取值范围（如人数为正整数、时间非负）。 !2.分段处理：涉及阶梯计费（如出租车、水电费）或不同优惠方案时，根据不同范围分段写出函数式，并 !明确各段区间。求函数值时先判断自变量所在区间。 !3.方案决策：比较两种方案时，列出各自函数表达式，作差或解不等式n>2求出优劣分界点，结合实际 背景（如购买数量为整数）选择最优方案。注意画图像辅助理解交点意义。 破送题提能力 1.(2026广东深圳一模)某学校初三学生计划种植向日葵，寓意一举夺魁.学校采购组先购买向日葵花 苗，第一次用200元购进某品种向日葵花苗后，发现数量不足，又用660元购进第二批该品种花苗，所购 数量是第一批数量的3倍，单株进价贵了0.2元. (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价： (2)学校计划再购进该品种向日葵和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3 倍.向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元，学校应该如何安排进货，才能使购 买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026广东深圳二模)综合与实践 2026年央视春晚节目《武B0T》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界.某市科技馆为普及科 技文化，计划采购宇树科技Go2四足机器人与G1人形机器人用于科普展示.根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 购买6台G02四足机器人和5台G1人形机器人共需57万元； 素材1 5台G1人形机器人的售价比11台Go2四足机器人贵23万元. 每台G02四足机器人每日可服务观众150人次； 素材2 每台G1人形机器人每日可服务观众280人次. 素材3 科技馆计划采购两款机器人共12台，采购总预算不超过73万元. 问题解决 (1)求每台G02四足机器人、每台G1人形机器人的售价分别是多少万元？ (2)采购G02四足机器人和G1人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ >题型03一次函数与反比例函数的综合问题<〈 析典侧：.建摸梨 1.(2026广东广州一模)如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，一次函数y=x-2的图象与x轴 交于点A(-1,0),与反比例函数y=m的图象交于点B(-2,),射线B0与反比例函数的图象交于点C,连 接AC. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； 5/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)根据图象，直接写出不等式m>x-2>0的解集： (3)求ABC的面积 考点通技法 |1.联立求交点坐标：将一次函数与反比例函数解析式联立，化为关于x的一元二次方程，解得交点横坐标， |再回代求纵坐标。注意判别式验证交点个数。 |2.利用对称性：若两个交点关于原点对称，则一次函数必过原点。反比例函数图像是中心对称图形，常结 丨合图形找等量关系。 」3.面积与不等式：求两函数图像围成的三角形面积，常作垂线分割。比较函数值大小时，以交点为界，分 |区间结合图像上下位置写出x范围，注意分母不为零。 破类题提能力 1.(2025广东中山一模)如图，直线片=2x+4与坐标轴交于点A、B,与双曲线y,=《交于C、D两点， 其中点D坐标为2，n). B (1)求反比例函数的解析式： (2)在x轴上取一点M(m,0),当aAMC的面积为12时，求m的值， (3)当>y2时，根据图象直接写出此条件下x的取值范围： 2.(2026广东广州一模)如图，一次函数y=:+b的图象与反比例函数y=”的图象相交于点A2,3)和 点B(-3,n. 6/16 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 84 6 4 A 2 642 024 68 B 4 6 (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)根据图象，直接写出不等式+b>m的解集； (3)设直线AB与x轴交于点C,求△AOC的面积 >题型04反比例函数与几何图形的综合问题<《〈 析典侧，建模型 1.(2026广东梅州一模)如图，在平面直角坐标系x0y中，口0ABC的边0C在x轴上，点B的坐标为 (9,3),点C的坐标为(5,0)，反比例函数y=k≠0，x>0的图象经过点4，与OB交于点E. (1)求该反比例函数的表达式： (2)点G是y轴上的动点，连接GA,GE,求GA+GE最小值时点G坐标； (3)连接AE,在反比例函数图象上是否存在点P(点P与点E不重合)，使得S.o4P=So4E？若存在，求出 点P的坐标；若不存在，请说明理由. 考点通技法 7/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 设点坐标表示儿何量：设反比例函数上点的坐标（如化冬），利用横纵坐标表示线段长、面积。常作！ 坐标轴垂线构造直角三角形。 2. 利用面积不变性：反比例函数上任意点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为个，三角形面积为K。结！ 2 」合全等、相似或平移求未知点坐标。 3. 分类讨论防遗漏：涉及动点或图形位置变化时（如点在不同象限），分情况讨论。注意几何条件如“等 腰三角形”需列方程并检验解是否在函数图像上。 破送题提能力 1. (2026广东东莞模拟预测)反比例函数y=和一次函数y=心+b的图象交于点4和点B,过点A作 AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,AC与BD的延长线交于点E. 图1 图2 (1)如图1，当b=0时，当△ABE的面积为4时，求k的值： (2)如图2，当b为任意值时，连接CD,猜想CD与AB有什么位置关系，并说明理由； (3③)当b=0时，在图1中，延长DC交反比例函数y=在第一象限的图象于点M,过点M作MN⊥x轴于点 N,过点A作AP⊥y轴于点P,交NM的延长线于点Q,求证：点C、点M分别为线段ON和NQ的黄金分 割点 2.(2026广东湛江一模)如图1，在平面直角坐标系中，40，)，Cm.0,双曲线y=2x>0)与矩形 OABC的两边AB、BC分别交于D、E两点，连接OD、OE、DE,将△DBE沿DE翻折后得到△DB'E. 图1 图2 图3 图4 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)探究一：如图2，若点D为AB中点时，点B又恰好落在线段OD上，点E的纵坐标为 (用含n 的式子表示)； (2)探究二：如图3，若OE平分∠DOC,当四边形DB'EB是正方形时，求矩形OABC的面积： (3)探究三：如图4，若点D在直线y=子x上，是香存在m的值使B点落在x轴上，若存在，求出点E的坐 标；若不存在，请说明理由 >题型04反比例函数的实际应用问题<了 析典例建模理 1.(2025·广东汕头·三模)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：2) 之间的函数关系如图所示. IA (8,6) 8 R19 (1)蓄电池的电压是多少？你能写出这个函数的解析式吗？ (2)若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过12A,则该用电器的可变电阻应控制在什么范围？ 研考点通技法 .建立反比模型：根据题意识别成反比例的量（如行程1=、压力F=心、矩形面积一定时长宽关系）， 设函数关系式为)y炎，利用已知一对对应值求k。 ·2.自变量范围：结合实际意义确定自变量取值范围（如长度、时间>0)，画图像时只保留第一象限分支。 ·注意端点能否取等号（如“不超过”含等号）。 3.求值或比较：己知一个变量求另一变量直接代入；比较大小利用增减性(>0时，y随x增大而减小)或！ 1取特殊值。注意单位统一，结论要符合实际情境。 破类题提能力 1.(2025·广东佛山三模)随着“双减”政策落地，同学们参加体育运动的时间比以往更加充裕.运动需要 有一个合适的心率，既能达到较好的运动效果，又能保障运动安全.某综合实践小组准备研究心率与跳绳 9/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系.在九年级随机抽取了20位男生，测试了跳绳持续时间与心 率，通过计算得到跳绳持续时间与平均相对心率的数据如下： 跳绳持续时间x(单位：秒) 0 30 60 90 140 平均相对心率y(% 40 60 70 76 82 (1)判断初中所学函数是否能很好地表示y随x变化的规律，说明理由： (2)经探究(y-100是(x+(a是常数)的反比例函数，求y与x之间的函数表达式： (3)从运动健康着想，平均相对心率不宜长时间超过90%，结合以上内容，问跳绳运动持续时间多少秒需要 休息？ 2.(2025·广东广州·二模)如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水 的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分 析，发现L2的长度Cm和重物B的质量xW之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： A B 桔槔 T1177T7117 ◆y/cm 8 5 3 10 203040 50 x/N x/N 10 16 20 25 40 50 y/cm 8 5 4 3.2 1.6 (1)在图1中描出表中数据对应的点(x,y); (2)根据表中数据，从y=ar+ba≠0)和y=《(k≠0)中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物B的质量 为xN和L的长度为Cm的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； 10/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)在(2)的条件下，若点A的坐标为(20,0)，点B的坐标为(0,2)，在(2)中所求函数的图象上存在点C ,使得S。4c=40,请求出所有满足条件的点C的坐标. >题型05一次函数与反比例函数的新定义型综合问题<〈 析典侧.建模理 1.(2025广东·二模)【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点A(x,y)的纵坐标y与横坐标 x的差“y-x”称为点A的“纵横差”.在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函 数的“纵横极差”.例如：点A-8,的“纵横差”为1-(-8)=9；函数y=2x+1图象上所有点的“纵横差可以 表示为y-x=2x+1-x=x+1;当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数y=2x+1(3≤x≤6)的 “纵横极差”为7 【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题： (1)求点B4,9)的“纵横差”； (2求函数y=生+x-5≤x≤-1)的纵横极差； (③)若h为实数，函数y=么+x1≤x≤5列的纵横极差”为4，求的值。 研考点通技法 !1.读懂新定义：圈出新定义中的关键词（如“关联点”“友好函数”），将其转化为数学条件（如坐标关！ !系、函数形式)。用具体数值代入帮助理解。 !2.联立与方程思想：根据新定义列出关于点坐标或系数k,b的方程（组），利用一次函数与反比例函数联· ·立后的判别式、根与系数关系求解。 ·3.数形结合验证：画出大致图像，验证解是否符合定义中的隐含条件（如交点个数、象限位置）。多解时· 注意取舍，答案通常用含参数的表达式表示。 破送题提能力 1.(2025广东中考真题)定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时， 则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点， (I)如图，点P是线段MN的中外比点，MP>PN,MN=2,求PN的长. 11/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M (②)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外比.（保留作图痕迹，不写作法） B (3③)如图，动点B在第一象限内，反比例函数y=(k>0,x>0)的图象分别与矩形04BC的边AB,BC相交 于点D,E,与对角线OB相交于点F.当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D,E,F是否分别为AB ,BC,OB的中外比点，并证明. YA B D A 2.(2025广东深圳三模)定义：已知y是自变量x的函数，当y2=y,+1(k为常数，k≠0)时，称函 数y为函数y的“k级函数”.点Am,n)和点B(m,kn+1)分别在函数y和y的图象上，此时称点B为点A关 于片的“k级点”. 例如：函数y=x,当k=2时，2=2y,+1=2x+1,，则函数是函数片的“2级函数”点B(m,2m+)为点 Am,m)关于y的“2级点”. A(1,b) 备用图 ①)如图，点A1,b)在反比例函数片=二的图象上，当点B为点A关于y的“2级点时，求点B的坐标： (2)函数y2=ax-14为函数y,=-x+5的“k级函数” ①求a的值； ②若点A在函数乃的图象上，点B为点A关于片的“k级点”，当点A在点B上方时，请直接写出自变量x的 取值范围； 12/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)函数为函数y,=-x2+2x+c的“-3级函数”，点C在函数y的图象上，点D(2,-8)为点C关于y的-3级 点”，当t-1≤x≤t时，若二次函数y的最大值和最小值的差为3，请直接写出c和t的值. ☑PART 03 实战刷题•冲高分 (建议用时：45分钟) ·刷摸拟 1.(2026广东汕尾一模)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课 的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定 状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x(单位：mi)的变 化规律如图所示（其中AB,BC分别为线段，BC∥x轴，CD为反比例函数图象的一部分），其中AB段的 关系式为y=2x+20, 40 20 A 10 25 (1)求出曲线CD所在的函数关系式： (2)通过计算比较：开始上课后，第5min时与第30min时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 2.(2025广东三模)如图，点4(5，m)与点B(a,m在反比例函数y-3 (x>0)的图象上，且a>√5， 连接OA,OB,过点A作AC⊥x轴于点C,交OB于点D,∠ADB=60°. 13/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：D0=DA: (2)求a,n的值. 3.(2026广东深圳一模)根据以下素材，完成问题一和问题二. 2025年11月9日晚，第十五届全运会在广东奥体中心举行开幕式，全运会的吉祥物“喜 背景 洋洋”和“乐融融”正式亮相.寓意喜气洋洋，其乐融融. 图片 某商店购进一批“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶，其中每个“乐融融”玩偶的进价比每个“喜 素材一 洋洋”玩偶的进价贵20元. 素材二 该商店用700元购进“喜洋洋”玩偶的数量与用900元购进“乐融融”玩偶的数量相同. 该商店计划购进“喜洋洋和“乐融融”两种玩偶共200个，总费用不超过16800元，若“喜 素材三 洋洋玩偶的售价为80元/个，“乐融融”玩偶的售价为105元/个，这批“喜洋洋”玩偶和“乐 融融玩偶全部售完， (1)“喜洋洋”玩偶和“乐融融”玩偶的进价分别是多少元/个？ (2)若该商店购进“喜洋洋玩偶a个，总获利w元，请你写出w与a的函数关系式，并求出w的最大值. 4.(2025·广东深圳模拟预测)如图，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为2,3， 反比例函数y=(x>0)的图象经过BC上的点D,与AB交于点E,E是AB的中点，连接DE. AD B (1)求点D的坐标： (2)点F是OC边上一点，若△FBC和aDEB相似，求直线BF的解析式. 5.(2025广东中山三模)【问题背景】 如图，在直角坐标系中，一次函数：y=c+2图象分别直线：y=kx(k,<0)和，：y=k,x(k,>0)交于点A和点B, 与y轴交于点C,且满足点A和点B都在x轴上方，∠AOB=90°. 14/16 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 【构建联系】 (1)求证：k·k2=-1. (2)当点C是AB的中点时，求证：k=+k 2 【深入探究】 (3)若满足k=k,+k2,是否存在一个二次函数，使得此函数图象同时过点A、点B和点O,若存在，求此 二次函数的表达式.若不存在，说明理由 6.(2026广东佛山一模)【问题背景】对于一个函数，如果存在自变量x。=m时，其对应的函数值 y。=m,那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m,m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y=x 中，当x=1时，y=1,则我们称函数y=x2为“不动点函数”，点(1,1为该函数图象上的一个不动点.某数 学兴趣小组围绕该定义，对一次函数、反比例函数和二次函数进行了相关探究. 【探究1】一次函数图象的不动点： (1)①若一次函数y=-3x+2是“不动点函数”，则该函数图象上的不动点坐标是 ②若一次函数y=x+b(k≠0)不是“不动点函数”，请写出一个满足条件的一次函数 【探究2】反比例函数图象的不动点： (2)反比例函数y=《(k≠0)一定是不动点函数”吗？请说明理由。 【探究3】二次函数图象的不动点： (3)若二次函数y=x2+bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求证：二次函数y=x2+bx+c的图象上 有两个不同的不动点. 7.（2025广东清远一模)如图1，Rt△ABC中的LABC=90°，AB=4,顶点A在第四象限，直角边BC在 x轴上，D是斜边AC的中点，连接DB并延长交y轴于点E,△BCE的面积为6，已知点A在反比例函数 y=(x>0)的图象上. 15/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y E O B C 图1 图2 (1)求k的值； 4 (2②如图2，点F是点A关于直线y=1的对称点，点P在过点E的射线EG:y=x+2(x≤0)上，且点P位 于第三象限内，若△PAE的面积是△OAF面积的2倍，求点P的坐标. 8.(2025广东珠海三模)已知反比例函数y=《(x>0)经过矩形0ABC,交4AB于点E,交BC于点F. VA 图1 图2 备用图 (1)如图1，若反比例函数图象经过OB的中点D,己知CB=8,OC=4,求此反比例函数的解析式： (②如图2，将△BEF沿着EF折叠，点B恰好落在x轴上的点D处，若∠4DE=30°，求二的值： CE (3)若将矩形OABC沿OB对折，点A恰好与点C重合，连接EF,点B、G关于EF对称，点B,G的横坐 标分别为m,n(m>n),以点O为圆心，EF长为半径作⊙O.若m=2,当⊙0与EF相切时，求k的值. 16/16