2026年浙江杭州中考数学专题复习：平行四边形的问题

2025-2026学年浙江省杭州中考专题：平行四边形的问题 1.如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（ ） A B. C. D. 2.如图，的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形ABCD，其中BC的中点在y轴上，且BC∥x轴．取靠近D的四等分点E（即AE：DE＝3：1），连结EB并延长交x轴于点F，连结AF，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（　　） A．BC的长度 B．△AEF的面积 C．△ABE的面积 D．△ABF的面积 4.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，则BE的长为　 　 ． 5.如图，点O是▱ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将▱ABCD折叠，使点A，B分别落在A'，B'处，NB'交CD于点E，A'B'交AD于点F，若点E是CD的中点，且，则△AMO与四边形MOCD的面积比为 　 　 ． 6.如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点A（1，2），B（7，2），D（0，1），反比例函数的图象在第一象限内经过点C，且与AB交于点E．则点E的横坐标为 　 　 ． 7.如图，E，F分别是▱ABCD两边的中点，连接EF，交AC于点M，则的值为 　 ． 8.如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为　 　 ． 9.如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝6，BC＝8．E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△HEF，连接AH，BH，则△ABH面积的最小值为　 ． 10.如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是______． 11.如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　 　 ，cos∠EAD的值为 　 ． 12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC＝2BD＝8，求四边形ABCD的面积． 13.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 14.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG． （1）求∠EGF的度数； （2）当FG是圆的直径， ①求证：四边形BEGF是平行四边形； ②若D是的中点，BC＝6，求AB的长． 15.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E． （1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 16.如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． （1）求证： ． （2）如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 17.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州中考专题：平行四边形的问题 1.如图，在中，，连接对角线，点为中点，且，点是射线上一点，连接，作，交延长线于点．令，，则关于的函数表达式是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解：设交于点，过点作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即：， ∴； 故选B． 2.如图，的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④．其中成立的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：中， ， 平分， ， 为等边三角形，即， ， ，， ， ， ， ， ， 故①正确； 的对角线，交于点， ， ， ， ， ， 故②错误； ，， ， ， ， ， 故③正确； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述正确的有①③④共3个， 故选：C． 3.如图，在平面直角坐标系内有一平行四边形ABCD，其中BC的中点在y轴上，且BC∥x轴．取靠近D的四等分点E（即AE：DE＝3：1），连结EB并延长交x轴于点F，连结AF，反比例函数经过点C，若要知道k的值，只需知道（　　） A．BC的长度 B．△AEF的面积 C．△ABE的面积 D．△ABF的面积 【解答】解：过点C作CT⊥x轴，连接AC与BE交于一点Q，过点A作AW⊥FE，过点C作CH⊥FE，连接OC，CF，如图所示： ∵AE：DE＝3：1， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴△AEQ∽△CBQ， ∴， ∵， ∴， ∵AW⊥FE，CH⊥FE， ∴∠AWQ＝∠CHD＝90°， ∵∠AQW＝∠CQH， ∴△AQW∽△CQH， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵BC∥x轴，CT⊥x轴， ∴，， ∵BC的中点在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数经过点C， ∴YC×CT＝k， ∴， 即， ∴， ∴要知道k的值，只需知道△ABF的面积， 故选：D． 4.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，则BE的长为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，DE⊥AB， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝∠BCD，∠EDC＝∠AED＝90°， 延长ED至点G，使DG＝AE＝9，连接CG， ∵∠GDC＝180°﹣∠FDC＝90°＝∠AED，DE＝CD， ∴△CGD≌△DAE（SAS）． ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF， 设∠BCF＝∠DCF＝α， 则∠G＝∠A＝∠BCD＝2α，∠DFC＝90°﹣∠DCF＝90°﹣α， ∴∠GCF＝180°﹣∠G﹣∠DFC＝90°﹣α＝∠DFC， ∴CG＝FG＝DG+DF＝9+6＝15， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝12﹣9＝3． 故答案为：3． 5.如图，点O是▱ABCD对角线AC的中点，沿过点O的直线MN将▱ABCD折叠，使点A，B分别落在A'，B'处，NB'交CD于点E，A'B'交AD于点F，若点E是CD的中点，且，则△AMO与四边形MOCD的面积比为 　 　 ． 【解答】解：连接OF，OE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵点E是CD的中点，点O是AC的中点， ∴OE∥AD∥NC，， ∴△COE∽△CAD， ∴， 由平行四边形是中心对称图形可得OM＝ON，AM＝NC， 由折叠性质得∠FMO＝∠BNO＝∠ONE， ∵OE∥AD， ∴∠NOE＝∠OMF， ∴△ONE≌△OMF， ∴MF＝NE，， ∵AM＝NC，， ∴， 则， ∴△AMO与四边形MOCD的面积比为， 故答案为：． 6.如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点A（1，2），B（7，2），D（0，1），反比例函数的图象在第一象限内经过点C，且与AB交于点E．则点E的横坐标为 　 　 ． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AB∥x轴，点A（1，2），B（7，2），D（0，1）， ∴点C的坐标（6，1）， ∵反比例函数的图象在第一象限内经过点C， ∴k＝6， ∴反比例函数解析式为：y， 当y＝2时，x＝3， ∴点E的横坐标为3． 故答案为：3． 7.如图，E，F分别是▱ABCD两边的中点，连接EF，交AC于点M，则的值为 　 ． 【解答】解：连接BD交AC于点O． 连接BD交AC于点O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，BO ＝OD． ∵E、F分别是平行四边形ABCD两边的中点， 设AB＝CD＝2x，AD＝BC＝2y． 在△ABD中，E 是AD中点，F是AB中点， ∴EF∥BD． ∴△AEM∽△ADO． ∵E是AD中点， ∴， 又∵△AEM～△ADO， ∴， ∵，即AO＝2AM， 又∵AC， ∴AC＝4AM． ∴MC＝AC﹣AM＝4AM﹣AM＝3AM． ∴． 故答案为：． 8.如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AB＝AE，AD＝DE，若∠B＝70°，则∠CDE的度数为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠B+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ADC＝∠B＝70°， ∵AB＝AE， ∴∠AEB＝∠B＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB＝70°（两直线平行，同位角相等）， ∵AD＝DE， ∴∠AED＝∠DAE＝70°， ∴∠ADE＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣40°＝30°， 故答案为：30°． 9.如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝135°，AB＝6，BC＝8．E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△HEF，连接AH，BH，则△ABH面积的最小值为　 ． 【解答】解：由题可知，点H在以点E为圆心，HE为半径的圆上运动， 因为AB的长不变，所以△ABH面积的最小， 所以点H到AB的距离最短． 因为AB∥CD，所以过点C作CP⊥AB，垂足为P． ∵∠C＝135°， ∴∠ABC＝45° ∴BP＝PC， 由勾股定理得， 2CP2＝BC2． ∵BC＝8． ∴， ∴点E到AB的距离为， ∵AB＝6，点E为边线段CD的中点， ∴HE＝3， ∴点H到AB的距离最短，最短距离为， 所以△ABH面积． 故答案为：． 10.如图，在平行四边形中，是点B关于对角线的对称点，连结交于点E，连结交于点F，交于点G．，，则的面积是______． 【答案】 【详解】解： 由翻折得：， ∵平行四边形 ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11.如图，在▱ABCD中，点E是CD边上的一点，若AB＝5，CE＝2，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连结AG，点A在EG的延长线上，BG恰好平分∠ABE，则AG的长为 　 　 ，cos∠EAD的值为 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵将△BCE沿BE翻折得△BGE， ∴∠CBE＝∠GBE，∠CEB＝∠AEB，CE＝GE， 设∠CBE＝∠GBE＝α ∵BG恰好平分∠ABE， ∴∠ABG＝∠GBE＝∠CBE＝α ∴∠ABE＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠CEB＝∠ABE＝2α， ∴∠AEB＝∠ABE＝2α ∴AE＝AB， 又∵CE＝GE， ∴AG＝AE﹣GE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3； 方法一：如图所示，延长BE交AD的延长线于点F，过点B分别作AE，AF的垂线，垂足分别为H，M， ∵AB＝AE，∠AEB＝∠ABE＝2α， ∴∠BAE＝180°﹣4α， ∵BC∥AD， ∴∠F＝∠CBE＝α，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝（180°﹣3α）﹣（180°﹣4α）＝α， ∴∠F＝∠EAF＝α， ∴EF＝EA＝5， ∵DE＝CD﹣CE＝AB﹣CE＝5﹣2＝3，AB∥DE， ∴△FED∽△FBA， ∴， ∴， ∴，则， 在Rt△ABH，Rt△BEH中， BE2﹣EH2＝AB2﹣AH2， ∴， 解得：， 则，， 在Rt△BGH中，， ∵∠BGH＝∠C＝∠BAM， ∴sin∠BGH＝sin∠BAM， ∴， ∴， 在Rt△BMF中，， ∴， 方法二：延长DE交AB延长线于F，过E作EH⊥AF于H，如图： ∵BC∥AD， ∴∠F＝∠CAE＝α，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣2α， ∵∠ABE＝∠AEB＝2α， ∴∠BAE＝180°﹣4α， ∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE＝α， ∴∠EAF＝∠F， ∴EF＝AE＝AB＝5， ∵EH⊥AF， ∴AH＝FH， ∵BC∥AD， ∴， ∴AD：DF＝2：3， 设AD＝4x，则DF＝6x，AH＝FH＝5x， ∴DH＝x， 在Rt△DEH中，EH2＝DE2﹣DH2， 在Rt△AEH中，EH2＝AE2﹣AH2， ∴DE2﹣DH2＝AE2﹣AH2， 即9﹣x2＝25﹣25x2， 解得：x， ∴cos∠EADx． 故答案为：． 12.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝CD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形． （2）若AC＝2BD＝8，求四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴AB∥CD， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝2BD＝8， ∴BD＝4，，， ∵AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：， ∴四边形ABCD的面积＝AB•BD＝24＝8． 13.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，得到四边形DEFG． （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度． 【解答】解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点， ∴DG∥BC，DGBC， ∵E、F分别是OB、OC的中点， ∴EF∥BC，EFBC， ∴DG＝EF，DG∥EF， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∵M为EF的中点，OM＝3， ∴EF＝2OM＝6． 由（1）有四边形DEFG是平行四边形， ∴DG＝EF＝6． 14.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABC的平分线BE交AD于E，过C，D，E三点的圆交BC于F，且BE恰好是圆的切线，G是上一点，连接EG，FG． （1）求∠EGF的度数； （2）当FG是圆的直径， ①求证：四边形BEGF是平行四边形； ②若D是的中点，BC＝6，求AB的长． 【解答】（1）解：在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，BE恰好是圆的切线，如图，∠ABC的平分线BE交AD于E，连接CE， ∴CE是直径，∠BEC＝90°． ∵∠ABC的平分线BE交AD于E， ∴∠ABE＝∠CBE＝45°， ∴∠BCE＝90°﹣45°＝45°， ∵， ∴∠EGF＝∠BCE＝45°； （2）①证明：连接EF， ∵CE，FG是圆的直径， ∴∠EFC＝∠FCE＝90°， ∴CF∥EG， ∴∠CFG＝∠EGF＝45°， ∵∠CBE＝45° ∴∠CBE＝∠CFG， ∴BE∥FG， ∴四边形BEGF是平行四边形； ②解：延长BC，AD相交于点H， ∵∠BCE＝∠CBE＝45°， ∴BE＝CE， ∵BC＝6， ∴． ∵EF⊥BC， ∴． ∵D是的中点， ∴∠DEG＝∠DEC． ∵CF∥EG， ∴∠DEG＝∠H， ∴∠H＝∠DEC， ∴． ∵∠EFH＝∠ABC＝90°，∠H＝∠H， ∴△ABH∽△EFH， ∴， ∴， ∴． 15.如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E． （1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【解答】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴∠BAC＝∠DCB，AD∥BC， ∵AE，CF方便平分∠BAD，∠BCD， ∴∠DAE＝∠ECF， ∵AD∥CB， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠ECF， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 16.如图，在平行四边形 中，过 三点的 交 于点 ，连结 ． （1）求证： ． （2）如图 2 ，已知 为 的切线，连结 并延长交 于点 ． ①求证： ； ②若 ，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【小问1详解】 证明： ． ， ； 【小问2详解】 ①证明：如图，延长 交 于点 ，连结 ， 切 于点， ， ∵， ∴ ， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②如图3，延长交的延长线于点M，设，则． 由， ∴， ∴． 由，得， ， 解得． 由 得. ∵， ∴， ∴ ． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， ∴． 设，则，得 ， 解得， ∴， ∴． 17.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE． （1）求证：四边形BFDE是平行四边形． （2）若∠ABD＝90°，AB＝2BO＝4，求线段BE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是AO、CO的中点， ∴OE＝OF， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：∵AB＝2BO＝4， ∴BO＝2， ∵∠ABD＝90°， ∴AO2， ∵点E为AO的中点， ∴BEAO． 1 学科网（北京）股份有限公司 $