2025年九年级中考数学冲刺练习一次函数中平行四边形存在性问题

2025年九年级中考数学冲刺练习一次函数中平行四边形存在性问题 1．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A．直线与直线交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为． (1)求点B的坐标及k的值； (2)在直线上找一点D使，求点D的坐标； (3)设F是坐标平面内一个动点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点F的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两坐标轴于点A、B，直线与直线交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为，点C的横坐标为4． (1)求直线的函数解析式： (2)将沿x轴方向平移，在y轴上存在点E，使得以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标，并直接写出平移方式． 4． 如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 5．如图，直线与轴、y轴分别交于点E，F．点E的坐标为，点A的坐标为． (1)求直线的解析式和点F的坐标； (2)若点是第二象限内的直线EF上的一个动点．当点P运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)探究：在（2）的情况下，当的面积为，求点P的坐标，并说明理由． (4)在（3）的条件下，试求一点Q，使以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形．直接写出点Q的坐标，不需证明． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，点在直线AB上． (1)求直线的解析式． (2)P为x轴上一动点，连接，当最小时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作轴于点．点是轴上一动点，过作轴的垂线，分别与直线，交于点，． (1)设的长为，点的横坐标为，求与的函数表达式； (2)若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与直线，x轴分别交于点，． (1)求直线的表达式． (2)若D，E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．点为的中点，点在线段上，，点为线段上一动点，连接、、． (1)点坐标为________，点坐标为________； (2)求直线的表达式； (3)若的面积为4，求点坐标； (4)在（3）的条件下，点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形．若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 12．若直线分别交x轴、y轴于A、C两点，点P是该直线上在第一象限内的一点，轴，B为垂足，且． (1)求点B和点P的坐标； (2)点D是直线上一点，是直角三角形，求点D的坐标； (3)y轴上是否存在点Q，以Q、C、P、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若的面积为，求； (3)在（2）的条件下，点在图象上，点是轴上的一动点，是否存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 14．如图，直线：与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．轴与直线交于点D． (1)求点A和点B的坐标； (2)点P在直线上，且的面积为， ①求出点P的坐标； ②点Q为平面内一点，当点P在直线下方时，以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合要求的点Q坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴，轴上，线段，的长是方程组的解，点是直线与直线的交点，点在线段上，． (1)求点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)是直线上的点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形（邻边相等的平行四边形）？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学冲刺练习一次函数中平行四边形存在性问题》参考答案 1．(1)6 (2)存在，点E的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解． 【详解】（1）∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， 对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）解：，，， ， 当为平行四边形的边时，， ∴ ∴点的横坐标为：或， 点Q的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为，即； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键． 2．(1)，k的值为1； (2)或； (3)或或． 【分析】（1）把点B的横坐标代入直线可得，再代入可得的值； （2）如图，由（1）得：由直线为，可得，在直线上取满足条件的点，结合，可得，再利用中点坐标公式求解即可； （3）先根据直线，求解，再分三种情况讨论求解即可； 【详解】（1）解：∵点B的横坐标为．直线与直线交于点B， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，由（1）得：直线为， ∴， 在直线上取满足条件的点， ∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：如图，∵直线， ∴， 当以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形时； ①以为对角线时，，，， 结合平移的性质可得：； ②以为对角线时，，，， 结合平移的性质可得：； ③以为对角线时，，，， 结合平移的性质可得：； 综上：或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，中点坐标公式的灵活应用，平行四边形的性质，平移的性质，掌握合适的方法解题是关键. 3．(1) (2)或 向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位 【分析】本题考查一次函数的综合应用，平行四边形的性质： （1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出平面内一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，再将点沿轴平移至点即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为； 设直线的函数解析式为， 将点，代入， 得：， 所以 则直线的函数解析式：； （2）解：设存在一个点，使以A、C、D、F为顶点的四边形是平行四边形，设点的坐标为， ∵，当时，， 解得：， ∴点A的坐标为． 若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：    ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 所以的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为（11，4）； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为或或． 把点沿轴移动到轴，得到或，即将向右平移3个单位或向左平移11个单位或向左平移5个单位，得到点或，则：以A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形． 4．(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 5．(1)直线解析式为点的坐标为 (2)（） (3) (4)或或 【分析】（1）把点的坐标为代入求出即可解决问题； （2）是以为底边，点的纵坐标为高的三角形，根据，列出函数关系式即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题； （4）分为对角线，为对角线，为对角线三种情况，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式，进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 一次函数解析式为， ∴当时，， ∴； （2）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵是第二象限内的直线上的一个动点， ； （3）解：∵， ∴当的面积为时， ， 把代入一次函数，得， ∴点的坐标为． （4）解：由于，，， 当以点P，A，O，Q为顶点的四边形为平行四边形时，分三种情况： 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴的中点坐标也为 ∴； 当为对角线时，同法可得：； 当为对角线时，同法可得：； 综上：或或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，坐标与图形，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题，属于中考常考题型． 6．(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 7．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）利用函数图象即可得解； （3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 ∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或， 解得：或，即或， 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：， 解得：，即， 综上所述，点的坐标为或或． 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）过点B作轴的对称点，连接，显然由对称得,，故，当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点，可求直线的表达式为，令，即可求解； （3）利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 代入点得，， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：过点B作轴的对称点，连接， 当时，， ∴ 由对称得,， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，此时点P为直线与x轴交点， 设直线的表达式为， 代入点坐标得，， 解得：， ∴设直线的表达式为， 当是，， 解得， ∴此时． （3）解：∵平行四边形， ∵， ∴点B向点P的平移方式与点A向点的平移方式一样， ∵， ∴点B向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点P， ∴点A向右平移个单位，向下平移2个单位得到向点 而， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，“将军饮马”求最值，平行四边形的性质 ，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．(1)当时，；当时， (2)当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平行四边形的性质．解（2）题时，要注意到． （1）用分别表示出、的坐标，则可表示出与之间的关系式； （2）由条件可知，利用平行四边形的性质可知，由（1）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为，过作轴的垂线，分别与直线，交于，， 把代入中可得，即， 把代入中可得，即， 当时，； 当时，； （2）由题意可知， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 则， ，解得或， 即当的值为或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 10．(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，， ∴解得 ∴直线的表达式为； （2）解：存在. ∵与x轴交于点B， ∴. 设，， ①当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得 ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴ 解得 ∴. 综上所述，点D的坐标为或． 11．(1)， (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据一次函数解析式，分别令，可以得两点的坐标； （2）根据两点的坐标，求出与的长度，再根据和点C为的中点来确定C与D的坐标，然后根据待定法可以计算出直线的解析式； （3）根据的面积的面积的面积的面积的面积，求解即可； （4）设点，点，分情况讨论∶①以，为对角线，②以，为对角线，③以，为对角线分别列二元一次方程组，求解即可． 【详解】（1）解∶∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， 时，， 点， 当时，， ， ， 故答案为：，； （2）解∶∵点， ， ∵点C为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式：， 将点，点代入直线解析式 得 ， 解得 ， ∴直线的解析式为； （3）解：设点， ， ， 的面积， ， ， 的面积， 的面积， 的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， ， 解得， ， ∴点E坐标为 ； （4）解：存在以D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴设点，点， ①当四边形以， 为对角线时， ∵点，， ∴， 解得， ， ∴点； ②当四边形以， 为对角线， ∵点，， ， 解得， ， ∴点， ③当四边形以， 为对角线， ， 解得， ， ∴点， 综上，满足条件的点Q坐标为或或； 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．(1)， (2)点D的坐标是或 (3)点Q的坐标为或． 【分析】（1）设设，则，由列方程求出x的值，即得到点B和点P的坐标； （2）当点D与点P重合时，是直角三角形；当点D与点P不重合时，设，而，，再利用勾股定理建立方程求出点D的坐标即可； （3）画出图形，根据平行四边形的性质分三种情况得出点Q坐标． 【详解】（1）解：如图，设，则， 对于，当时， 由，得，； 当时，， ∴，， ∵点P在第一象限，且， ∴， 解得， ∴，． （2）解：由（1）得，点D与点P重合，此时， ∴是直角三角形， 此时； 如图，点D在线段上，， 此时是直角三角形， 如图， 设，而，， ∴， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴； 综上所述，点D的坐标是或； （3）解：存在．如图， 当四边形是平行四边形时， 此时，， ∴； 当四边形是平行四边形时， 此时，， ∴； 当四边形是平行四边形时， 结合平移的性质可得（不合题意，舍去）； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，一元二次方程的解法等知识点，在解第（2）题、第（3）题时，应进行分类讨论，求出所有符合条件的结果，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 13．(1)， (2)5 (3)存在，或 【分析】（1）把代入得出值，可得点坐标，联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组求出、的值即可求出点坐标； （2）本题先过点作轴于点，交于，过作于，设，求出直线的解析式为：，然后求得，然后根据的面积为，可得，求得，，最后根据，即可求解； （3）由题意设，，分当平行四边形以为对角线时；当平行四边形以为对角线时；当平行四边形以为对角线时，三种情况讨论，结合中点坐标公式列式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴， 联立一次函数与反比例函数解析式得：， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作轴于点，交于，过作轴于，设，设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴点和点横坐标相等， 当时，， ∴，， ∵的面积为， ∴，即， 整理得：， 解得：，， 由题可得：， ∴， ∴，直线的解析式为：， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在，理由如下： 假设存在以、、、为顶点的四边为平行四边形， ∵点在图象上，点是轴上的一动点， ∴设，， ∵，， 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 当平行四边形以为对角线时， 得， 解得：， ∴； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边为平行四边形，或. 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，涉及相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 14．(1)点、的坐标分别为、 (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标； （2）①设直线交y轴于点H，先求出点C的坐标，设，求出直线的解析式为，得到点H的坐标为，根据的面积，由此求解即可；②设点Q的坐标为，分以为对角线，以为对角线，以为对角线，由中点坐标公式列方程组即可得到结论.． 【详解】（1）解：对于，令，则，令，解得， 故点、的坐标分别为、； （2）解：①∵点C与点A关于y轴对称，， ∴， 设直线交轴于点， 设， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴， 则的面积， 即， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②由（1）（2）知，，，，设点， ∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴①Ⅰ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点， Ⅱ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴点； Ⅲ、以为对角线，由中点坐标公式得， ∴， ∴， 综上所述，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点坐标为或或． 15．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）解二元一次方程组得到，，进而得到、的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线求解，即可求出点的坐标； （2）设点的坐标为，结合求出点的坐标，再设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）根据直线的解析式推出，再结合菱形的判定与性质分情况讨论当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，，当四边形为菱形时，当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时，结合勾股定理，菱形性质，坐标与图形求解，即可解题． 【详解】（1）解：解方程组，得， ， ， 即． 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， 点的坐标为． （2）解：设点的坐标为， ， ，解得． 点在线段上， ， ． 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：存在．理由如下： 直线的解析式为， 记直线与轴交于点， ． 如图，当四边形为菱形时，， ， 有， 设点的坐标为， 有， 解得， 得点的坐标为； 当四边形为菱形时，，由， 同理可得点的坐标为； 易知直线与轴的交点的坐标为， ， 当四边形为菱形时，点的坐标为； 易知当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形时， 由菱形对角线互相垂直平分可得， 点与点关于对称，且， ， 点的坐标为． 综上所述，以，，，为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，解二元一次方程，勾股定理，菱形性质与判定，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想分析问题． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$