精品解析：北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习高二数学试卷

北京交大附中2025-2026学年第二学期期中练习 高二数学 2026.04 考生须知 1.本题共4页，共三部分，20道题，满分120分.考试时间90分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号. 3.答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】 由题意可知数列的公比. 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由切点在切线上，切线斜率为在切点处的导数值即可计算求解. 【详解】所求为. 故选：C. 3. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理计算即可. 【详解】端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子， 则每位同学都有4种不同的购买方式种数，故总共有种不同的购买方式种数. 故选：D 4. 已知函数，则“”是“有极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时的范围即可. 【详解】，，． 若，则恒成立， 为增函数，无极值； 若，即，则有两个极值． 所以“”是“有极值”的必要不充分条件． 故选:B 5. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而判断函数值的正负，即可排除BD，通过函数的单调性排除C，推出结果即可. 【详解】令，则， 由得，即函数在上单调递增， 由得，即函数在上单调递减， 所以当时，， 由此知的定义域为， 于是对任意，有，则，故排除BD， 因为函数在单调递减，则函数在递增，故排除C， 则可知A中图象符合题意. 6. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 7. 已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【详解】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知：. 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 8. 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，则n的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 则，即， 化简得，得， 所以， 因为，所以n的最小值是11. 9. 已知函数，以下结论中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 有无数个零点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确. 【详解】对于A，定义域为，， 为偶函数，A正确； 对于B，令，即，，解得：， 有无数个零点，B正确； 对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则； ，， 不是的极小值点，C错误； 对于D，，； 则当，，即时，取得最大值，D正确. 故选：C. 10. 设函数，则（ ） A. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 【答案】A 【解析】 【分析】函数分段去绝对值，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】去绝对值可得. 时，，因此函数在单调递增； 时，. （i）时，，因此在单调递增. 当时，，，因此在区间有零点，且在区间和都没有零点； 当时，，故在区间和都没有零点，故C选项和D选项均错误. （ii）时，令得，因此函数在区间单调递减，在单调递增. 当时，. （1）时，在区间存在唯一零点，而在区间没有零点. （2）时，在区间没有零点. 当时，. ①时，，因此在区间和都有零点，此时，故在区间也有零点. ②时，在区间没有零点. 综上所述，本题正确答案是A. 故选：A 【点睛】方法点睛： 本题考查分段函数、函数与导数，先分段处理绝对值函数，利用导数分类讨论函数单调性，根据零点存在定理探讨在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点或都没有零点对应的情况，本题分类较多，运算时间长，若要分析完善，将耗费大量时间. 二，填空题（共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11. 函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，， ，解得， 故函数的单调递减区间为. 12. 在数列中，，，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】通过列举数列的项，可得数列是周期为的周期数列，由此可得. 【详解】因为，，且，所以 ，，，，， 所以数列是周期为的周期数列. 所以. 13. 在的二项展开式中，项的系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为，， 所以， 所以项的系数是. 14. 已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，判断其单调性，作出其大致图象，数形结合，将关于的方程有三个不等的实根转化为有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内，结合二次方程根的分布，求得答案. 【详解】由题意得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示， 令，，由方程有三个不等的实根， 即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内， 令，， 则有两个不等的实根，设为， 则，所以不妨令， 则，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____． ①函数有3个不动点； ②函数至多有两个不动点； ③若函数没有不动点，则方程无实根； ④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由不动点的定义，逐项建立方程，并构造函数，根据方程与函数的关系，利用导数研究函数的单调性，可得答案. 【详解】对于①，令，，，当且仅当时取等号， 则函数在上单调递减，而，即函数在上只有一个零点， 所以函数只有一个不动点，故①不正确； 对于②，因为二次函数至多有两个零点，则函数至多有两个不动点，故②正确； 对于③，由题意可得方程无实根，即无实根，则， 当时，二次函数的图象开口向上，则恒成立，即，恒有， 由，则，即，所以方程无实根； 当时，二次函数的图象开口向下，则恒成立，即，恒有， 由，则，即，所以方程无实根； 综上所述，方程无实根，故③正确； 对于④，由点在曲线上，则，又，即有， 易知函数在定义域内单调递增，若，则，显然与矛盾， 因此，当时，，即当时，， 对，，可得， 令，，由，而两个等号不能同时取到， 即当时，，则函数在上单调递增，有， 即，则，故④正确. 故答案为：②③④. 三､解答题（共5小题，共55分，应写出必要的文字说明､演算步骤和证明过程） 16. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n项和公式计算基本量，进而可得； （2）直接由前n项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，首项为， 由题意可得，化简得， 解得，，所以. 【小问2详解】 由（1）可知. 由，得，即， 即，解得或. 因为，所以n的最小值是6. 即使成立的n的最小值为6. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若的各项都为正数，记，求． 【答案】（1）或 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法求解参数即可. （2）利用前项和与通项公式的关系求解通项公式即可. （3）结合题意确定，再结合指数幂的性质和等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 对于，令， 可得，解得或. 【小问2详解】 当时，，此时， 则， 当时，则，可得， 得到，即， 则，化简得， 可得是以为首项，为公比的等比数列， 故. 【小问3详解】 因为的各项都为正数，所以， 则. 19. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：； （3）已知曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求切线方程，再由切线方程为，即可求解； （2）方法1：由，等价于，令，利用导数研究单调性，进而求即可得证； 方法2：由（1），，得，令，利用导数研究单调性，又，存在唯一的，进而得的单调性，即可求，进而得证； （3）先求切线的方程，进而得，由等价于，令，利用导数研究单调性，进而证明即可. 【小问1详解】 由题意有：， 所以， 所以切线方程为， 所以，解得； 【小问2详解】 （2）方法1：由（1），， 由，等价于， 令， ， 令，解得， 变化如下表 2 + 0 - 递增 最大值 递减 所以， 因此，从而， 方法2：由（1），， 所以， 令， 所以所以在上递减， 又因为， 因此存在唯一的， 即，推出， 的变化如下表 + 0 - 递增 最大值 递减 在上递增，上递减， 所以， 【小问3详解】 由题意得的方程为， 令，得到， 由等价于， 等价于，等价于， 令，证明即可， ， 解得（舍），（舍），， 的变化如下表 1 + 0 - 递增 最大值 递减 从而， 即. 20. 对于行列（）的数表，定义变换：任选一组，其中，，对于中第行和第列个数，将每个数同时加，或者将每个数同时减，其余的数不变，得到一个新数表. （1）已知对依次进行次变换，如下：，写出，，，的值. （2）已知，，那么是否可以依次进行有限次变换，将变换为？说明理由. （3）已知行列的数表，那么是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由. 【答案】（1），，，； （2）不可以，理由见解析 （3）可以，400 【解析】 【分析】（1）通过直接模拟矩阵变换过程求解未知量，重点在于根据变换规则反向推导每次操作选择的行列号，需注意每个元素在变换中的受影响次数和变化量. （2）利用不变量思想，分析每次变换对矩阵所有元素和的影响，得出总和的变化规律，通过比较初态与目标态的和是否满足该规律判断可行性. （3）通过分类讨论建立线性方程组，根据元素所在位置（分为前10行10列区域、边缘行列、角点）分别计算其受不同类型变换的累积影响，将目标矩阵与零矩阵的差值转化为整数方程组求解，并在整数解中寻找总操作次数的最小值，最后构造具体变换序列验证可行性. 【小问1详解】 经过T变换得到，显然没有变，从1变为2， 所以和均增加1，故， 经过T变换得到，显然没有变，从1变为2， 故和均增加1，故，， 经过T变换得到，满足要求， 综上，，，，； 【小问2详解】 不可以，理由如下： 由题可知，每次T变换，数表中的所有数的和增加或减少5， 因为A中所有数的和为0，所以经过有限次T变换后，各数之和应为5的倍数， 而B中所有数的和为9，不合要求， 故不可以依次进行有限次T变换，将A变换为B. 【小问3详解】 可以，且k的最小值为400， 当所选i，时，所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为x， 当所选且，或者且时， 所有加1的变换T与减1的变换T次数之差设为y， 当所选时，加1的变换T与减1的变换T次数之差设为z， 由于， 由于i，，，和为100，故， 由于，或，时，，和为， 故， 由于，故， 联立可得，解得， 所以， 其中符合题意的400次变换T构造如下： 当所选i，时，各进行一次减1的变换T，共进行100次变换T，得到 当所选且，或者且时， 各进行10次加1的变换T，共进行200次变换T，得到 当所选时，进行100次减1的变换T，得到 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025-2026学年第二学期期中练习 高二数学 2026.04 考生须知 1.本题共4页，共三部分，20道题，满分120分.考试时间90分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号. 3.答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答. 一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知，则的公比是（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 端午节是中国四大传统节日之一，端午节当天，3名同学要从超市购买粽子，现有4种不同口味的粽子，每名同学只购买其中一种口味的粽子，则不同的购买方式种数是（ ） A. 4 B. 16 C. 32 D. 64 4. 已知函数，则“”是“有极值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，则的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，，则n的最小值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 已知函数，以下结论中错误的是（ ） A. 是偶函数 B. 有无数个零点 C. 的最小值为 D. 的最大值为 10. 设函数，则（ ） A. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）也有零点 B. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都有零点，则在区间（0，1）没有零点 C. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）有零点 D. 若在区间（-2，-1）和（-1，0）都没有零点，则在区间（0，1）也没有零点 二，填空题（共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 11. 函数的单调递减区间为__________. 12. 在数列中，，，且，则___________． 13. 在的二项展开式中，项的系数是______． 14. 已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________. 15. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是_____． ①函数有3个不动点； ②函数至多有两个不动点； ③若函数没有不动点，则方程无实根； ④设函数（，为自然对数的底数），若曲线上存在点使成立，则的取值范围是． 三､解答题（共5小题，共55分，应写出必要的文字说明､演算步骤和证明过程） 16. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）求使成立的n的最小值. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求的值； （2）求的通项公式； （3）若的各项都为正数，记，求． 19. 设函数，曲线在处的切线方程为. （1）求的值； （2）证明：； （3）已知曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标为，证明：. 20. 对于行列（）的数表，定义变换：任选一组，其中，，对于中第行和第列个数，将每个数同时加，或者将每个数同时减，其余的数不变，得到一个新数表. （1）已知对依次进行次变换，如下：，写出，，，的值. （2）已知，，那么是否可以依次进行有限次变换，将变换为？说明理由. （3）已知行列的数表，那么是否可以依次进行次变换，将其变换为？若可以，求的最小值；若不可以，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $