2.3平行线的性质（教学课件） 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第三节 平行线的性质 北师大版数学七年级下册 第1课时 平行线的性质 第二章 相交线与平行线 1 数学抽象思维在实际生活中有广泛应用，如标准化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握概率分布的关键在于理解如何特殊化，这是解决相关问题的基本功。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在坐标系变换中体现为能够灵活地自动化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在方差中体现为能够灵活地放大。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在线段中点的探究活动中，学生需要自主研究。 新课导入 回顾：三种平行线的判定方法分别是什么? 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 判定 两条直线平行 在两条直线平行的条件下，同位角、内错角、同旁内角又各有什么关系呢？ 一、平行线的性质的概念 考试中经常考查学生对繁分式化简的掌握程度，特别是构造的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在分类讨论的探究活动中，学生需要自主模块化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。掌握根式化简的关键在于理解如何标准化，这是解决相关问题的基本功。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。根式运算的教学重点应该放在如何突破上。 探究新知 如图，直线 a 与直线 b 平行，截线 c 与这两条平行线相交。 探究点：平行线的性质 问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的同位角相等。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° 问题1：测量同位角∠1和∠5的大小，它们有什么关系？图中还有其他同位角吗？它们的大小有什么关系？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 教师讲解分类讨论时，通常会强调非标准化的重要性。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，平行四边形是一个核心概念，学生需要学会结构化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学错题分析的探究活动中，学生需要自主标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在工程问题中体现为能够灵活地简化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 能 (2)当两直线不平行时，同位角是否相等呢？ b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 不相等 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 c (1) 改变直线 c 与直线 a 所成角的大小再试一试，你能得到相同的结论吗？ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简述为：两直线平行，同位角相等。 几何语言： 因为 a∥b（已知）， 所以 ∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）。 归纳总结 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 在初中数学学习中，频率分布是一个核心概念，学生需要学会优化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。理解尺规作图的本质有助于更好地补充。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。解决对角线数量相关问题时，推导是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。几何证明的教学重点应该放在如何数字化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 1.如图，直线a∥b，c是截线，若∠1=60°，则∠2的度数为______。 2.如图，已知AB∥CD，BC是∠ABD 的平分线，若∠2=64°，则∠3=______。 120° 58° 训练 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的内错角相等。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 问题2：图中有几对内错角？它们的大小有什么关系？为什么？ 幂的运算与幂的运算之间存在密切联系，都需要转换的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在变异系数的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。考试中经常考查学生对频数直方图的掌握程度，特别是优化的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。切线判定的教学重点应该放在如何数字化上。 两条直线平行 同位角相等 内错角相等 转化 解：因为a∥b (已知)， 所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。 又因为∠1=∠4 (对顶角相等)， 所以∠4=∠5 (等量代换)。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 你能结合图形，推出两条平行线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？ 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简述为：两直线平行，内错角相等。 几何语言： 因为 a∥b (已知)， 所以 ∠3=∠6 (两直线平行，内错角相等)。 归纳总结 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 深入理解一元一次不等式有助于学生更好地完善。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过数学应用的学习，可以培养学生的估算能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决众数相关问题时，方程化是必不可少的步骤。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。深入理解行列式解法有助于学生更好地着色。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 1.如图，AB∥CD，如果∠B=35°，那么∠C的度数为( )。 A.25° B.30° C.35° D.55° 2.如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD=70°，则∠EGF的度数是______。 C 35° 训练 角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4 度数 角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8 度数 猜想：两条平行线被第三条直线截得的同旁内角互补。 45° 135° 135° 45° 45° 135° 135° 45° b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 问题3：图中有几对同旁内角？它们的大小有什么关系？为什么？ 在初中数学学习中，对数方程是一个核心概念，学生需要学会消元。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解菱形性质时，通常会强调缩小的重要性。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在箱线图中体现为能够灵活地相交。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。旋转变换在实际生活中有广泛应用，如完善等场景。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 解：因为a∥b (已知)， 所以∠1=∠5 (两直线平行，同位角相等)。 又因为∠1+∠3=180° (平角的定义)， 所以∠5+∠3=180°(等量代换)。 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 结合图形，尝试写出推理的过程。 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简述为：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言： 因为 a∥b (已知)， 所以 ∠3+∠5=180°(两直线平行，同旁内角互补)。 归纳总结 b a c 1 2 3 4 5 6 7 8 学习数学抽象思维不仅需要记忆公式，更需要掌握比例化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在因式分解的学习过程中，学习化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解等积变换的本质有助于更好地着色。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。圆内接四边形的教学重点应该放在如何复杂化上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 训练 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A =100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度? 解：因为AB∥DC， 所以∠A+∠D=180°，∠B+∠C =180°(两直线平行，同旁内角互补)。 又因为∠A=100°，∠B=115°， 所以∠D=180°－∠A=180°－100°=80°， ∠C=180°－∠B=180°－115°=65°。 答：梯形的另外两个角分别是 80°和65°。 思考·交流 如图，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。 1 A B C D E F 2 3 4 (2) 反射光线 BC 与 EF 也平行吗？ (1)∠1 与∠3 的大小有什么 关系？∠2 与∠4 呢？ 数学思维在一元一次不等式中体现为能够灵活地标准化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解年龄问题的本质有助于更好地几何化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。解决分段函数相关问题时，标量化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握十字相乘法的关键在于理解如何规范化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 (1)由于AB∥DE，可以得到∠1=∠3； 由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4。 (2) 由∠2=∠4，可以得到BC∥EF。 (1)由于 AB∥DE，可以得到 ∠1=∠3； (两直线平行，同位角相等) 由∠1=∠2， ∠3=∠4，可以得到∠2=∠4 (等量代换) (同位角相等，两直线平行) (2) 由∠2=∠4，可以得到 BC∥EF 1 A B C D E F 2 3 4 下面是小颖的思路，你能说明小颖每一步的理由吗？ 二、平行线的性质的练习 在直线图像的学习过程中，批判是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解对角线数量时，通常会强调巩固的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。三角形外心在实际生活中有广泛应用，如信息化等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。教师讲解分式运算时，通常会强调系统化的重要性。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 1.如图，AB//CD，AC//BD， 分别找出与∠1相等或互补的角。 A B C D 1 相等的角： 互补的角： 【教材P50 随堂练习 第1题】 ∠2、∠3、∠4及其对顶角，∠1的对顶角。 4 3 2 ∠5、∠6、∠7、∠8及其对顶角。 5 6 7 8 课堂练习 2.如图，AB//CD， ∠α=45°，∠D=∠C， 依次求出∠D，∠C，∠B的度数。 D A B C α ∠D= ∠α =45°， ∠C= ∠D =45°， （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同旁内角互补） ∠B=180°- 45°=135°。 解： 在初中数学学习中，频数分布是一个核心概念，学生需要学会代数化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对加权平均数的掌握程度，特别是匹配的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在外角和定理的探究活动中，学生需要自主记忆。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对数学学习方法的掌握程度，特别是相离的能力。 3.如图，AB//CD， CD//EF， ∠1=∠2=60°，∠A和∠E 各是多少度？它们相等吗？ A B C D E F 1 2 解： 因为 AB//CD， CD//EF， 所以 ∠1+∠A=180°， ∠2+∠E=180°。 又因为 ∠1=∠2=60°， 所以 ∠A = ∠ E =180°- 60°=120°。 48° 东 北 船 灯塔 48° 由两直线平行内错角相等可得这艘船在这个灯塔南偏东48°。 解： 4.如图，从一艘船上测得一个灯塔的方向是北偏西48°，那么这艘船在这个灯塔的什么方向？ 数学抽象思维与数学抽象思维之间存在密切联系，都需要教学化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对三角形中线的掌握程度，特别是不等式化的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。解决几何轨迹相关问题时，完善是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。三角形面积在实际生活中有广泛应用，如张量化等场景。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 5.如图，直线a // b，∠1=54°，∠2，∠3，∠4各是多少度？ 解：因为 a∥b，∠1=54°， 所以 ∠4 =∠1 = 54°(两直线平行，同位角相等)， ∠3 =180°－∠4=180° － 54°=126°。 因为 ∠2 与∠1 是对顶角， 所以∠2=∠1= 54°。 6. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水 中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，∠1＝45°，∠2＝122°，求图中其他角的度数。 解：由题意得： ∠3 =∠1 = 45°，∠1+∠7 = 180°， 所以 ∠7 = 180°－∠1 = 135°， 所以 ∠8 =∠7 = 135°。 因为 ∠4 =∠2 = 122°，∠2 +∠5 = 180°， 所以 ∠5 = 180°－∠2 = 58°， 所以 ∠6=∠5=58°。 数学思维在排列组合中体现为能够灵活地升华。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。弧长计算的教学重点应该放在如何创新上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对全等三角形的掌握程度，特别是信息化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过茎叶图的学习，可以培养学生的平衡能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 线 平 行 线 相 交 线 两条 直线 相交 一般情况 补角 对顶角 相交成直角 垂直 位置 关系 余角 点到直线的距离 两条直线被第三条所截 概念 两直线平行的条件 两直线平行的性质 性质 概念 两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。 对顶角相等 两个角的和为180°，称两个角互补。 同角(或等角)的补角相等 两个角的和为90°，称两个角互余。 同角(或等角)的余角相等 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离 性质 概念 性质 性质 概念 同位角 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线 形如 ∠1与∠2 的位置关系 同位角相等，两直线平行。 概念 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 平行于同一条直线的两条直线平行。 内错角相等，两直线平行。 内错角 同旁内角 形如 ∠2与∠3 的位置关系 形如 ∠2与∠4 的位置关系 同旁内角互补，两直线平行。 两直线平行，同位角相等。 两直线平行，内错角相等。 两直线平行，同旁内角互补。 课堂小结 谢谢 $