第2章　相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第二章　相交线与平行线 3　平行线的性质 第2课时　平行线的判定和性质的综合运用 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点　综合运用平行线的判定和性质 1. 如图，直线a，b，c，d，已知c⊥a，c⊥b，直线b，c，d交于 一点，若∠1＝50°，则∠2＝（　B　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 第1题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝104°，则∠4的度数是（　B　） A. 74° B. 76° C. 84° D. 86° 第2题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 如图，下列推理不正确的是（　C　） A. 因为AB∥CD，所以∠ABC＋∠C＝180° B. 因为∠1＝∠2，所以AD∥BC C. 因为AD∥BC，所以∠3＝∠4 D. 因为∠A＋∠ADC＝180°，所以AB∥CD 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （陕西中考）如图，l∥AB，∠A＝2∠B. 若∠1＝108°，则∠2的 度数为（　A　） A. 36° B. 46° C. 72° D. 82° 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个长方形挖去一 个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段.转动刀片时 会形成如图2所示的∠1与∠2，那么∠1与∠2的度数和是 ⁠°. 图1　 图2 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图，AB∥CD，点F在直线AB上，EF⊥FG. 若∠EFB＝160°， 则∠FGD的度数为 ⁠°. 70　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行 线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过 程可知小敏画平行线的依据可以是 （把所有正确结论的序号都 填在横线上）. ①如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②同位角相 等，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④同旁内角互补，两直 线平行. ②④　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图，已知AB∥CF，∠ABC＝85°，∠CDE＝150°，∠BCD＝ 55°，CF与DE平行吗？说明理由. 解：CF与DE平行.理由如下： 因为AB∥CF， 所以∠BCF＝∠ABC＝85°. 因为∠BCD＝55°， 所以∠DCF＝∠BCF－∠BCD＝30°. 因为∠CDE＝150°， 所以∠CDE＋∠DCF＝180°， 所以CF∥DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（　D　） A. 154° B. 144° C. 134° D. 124° 第9题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 一副直角三角尺如图放置，两三角尺的斜边互相平行，每块三角尺 的直角顶点都在另一块三角尺的斜边上，则∠1为（　B　） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60° 第10题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2的度数为 ⁠°. 第11题图 28　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图，AE⊥DE，∠A＝∠B＝50°，∠D＝40°，则∠BCD ＝ ⁠°. 第12题图 130　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图是一个汉字“互”字，其中，AB∥CD，HF∥GE，∠HGE＝∠HFE，M，H，G三点在同一直线上，N，E，F三点在同一直线上.试说明： （1）GH∥EF； 解：（1）因为HF∥GE，所以∠HGE＋∠GHF＝180°. 因为∠HGE＝∠HFE，所以∠HFE＋∠GHF＝180°， 所以GH∥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）∠CMH＝∠BNE. 解：延长MG交直线AB于点P. 因为AB∥CD，所以∠CMH＝∠MPB. 因为GH∥EF，所以∠MPB＝∠BNE， 所以∠CMH＝∠BNE. 14. 如图，已知AB∥CD∥EF，∠CMA＝30°，∠CNE＝80°，CO 平分∠MCN. 求∠MCN，∠DCO的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：因为AB∥CD，所以∠MCD＝∠AMC＝30°. 因为CD∥EF， 所以∠NCD＝∠CNE＝80°， 所以∠MCN＝∠MCD＋∠NCD＝110°. 因为CO平分∠MCN， 所以∠NCO＝ ∠MCN＝55°， 所以∠DCO＝∠NCD－∠NCO＝80°－55°＝25°. 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M＋ k∠N＝360°，则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M＝90°，∠N ＝45°，则∠N为∠M的6系补周角. （1）若∠H＝100°，求∠H的4系补周角的度数； 解：设∠H的4系补周角的度数为x°. 根据新定义得，100＋4x＝360， 解得x＝65， 所以∠H的4系补周角的度数为65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）如图，AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE，∠D＝ 40°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数. 解：过点E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF. 因为AB∥CD，所以EF∥CD. 所以∠D＝∠DEF＝40°. 所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED， 所以∠B＋40°＝∠BED. 因为∠B是∠BED的3系补周角， 所以∠BED＋3∠B＝360°， 所以∠B＋40°＋3∠B＝360°，所以∠B＝80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 本课结束 $第二章　相交线与平行线 1　两条直线的位置关系 第1课时　对顶角、余角和补角 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点1　相交线与平行线 1. 在同一平面内，两条直线可能的位置关系是（　C　） A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 垂直 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 知识点2　对顶角及其性质 2. 在下图中，∠1，∠2是对顶角的图形是（　C　） 3. 下列说法正确的是（　D　） A. 两条直线相交所成的角是对顶角 B. 相等的角必是对顶角 C. 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等 D. 对顶角一定相等 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4. （兰州中考）如图，直线AB与CD相交于点O，则∠BOD＝（　B　） A. 40° B. 50° C. 55° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 知识点3　补角、余角及其性质 5. 若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（　A　） A. 50° B. 60° C. 140° D. 160° 6. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度 数是（　A　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 第6题图 A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7. 如果∠A＝30°，则∠A的余角是 °；如果∠1＋∠2＝90°， ∠1＋∠3＝90°，那么∠2与∠3的大小关系是 ⁠. 8. 如图，直角三角尺的直角顶点A在直线l上.若∠1＝28°，则∠2的大 小为 ⁠°. 第8题图 60　 相等　 62　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9. [教材P39习题T1变式]如图，两条直线a，b相交.如果∠1＝50°，求 ∠2，∠3，∠4的度数. 解：因为∠1＝50°， 所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°， 所以∠3＝∠1＝50°，∠4＝∠2＝130°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10. 已知一个锐角的补角等于它的余角的10倍，求这个锐角的度数. 解：设这个锐角为x°， 则补角为（180－x）°，余角为（90－x）°. 根据题意可得，180－x＝10×（90－x）， 解得x＝80， 所以这个锐角是80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. 如图，三条直线l1，l2，l3相交于一点，则∠1＋∠2＋∠3等于 （　C　） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 12. 已知∠α＝25°30'，则它的余角为（　B　） A. 25°30' B. 64°30' C. 74°30' D. 154°30' C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13. （河南中考）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2 ＝30°，则∠AOE的度数为（　B　） A. 30° B. 50° C. 60° D. 80° 第13题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14. 光的折射：当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改 变，这就是光的折射现象.如图，若∠1＝47°，∠2＝23°，则光的传 播方向改变了 ⁠°. 第14题图 15. 在同一平面内，∠AOB＝25°，∠AOC与∠AOB互余，则∠COB 为 ⁠. 24　 40°或90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1＝15°，∠3＝130°. （1）求∠2的度数； 解：因为∠1＋∠3＝180°，∠3＝130°， 所以∠1＝180°－∠3＝180°－130°＝50°. 因为∠2－∠1＝15°， 所以∠2＝15°＋∠1＝15°＋50°＝65°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）试说明OE平分∠COB. 解：由（1）知，∠2＝65°，∠1＝50°， 所以∠COE＝180°－∠2－∠1＝65°. 所以∠COE＝∠2， 所以OE平分∠COB. 17. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠EOD＝90°. （1）若∠BOE＝58°，求∠AOC的度数； 解：因为∠EOD＝90°，所以∠EOC＝90°. 因为∠BOE＝58°， 所以∠AOC＝180°－∠BOE－∠COE＝180°－58°－90°＝32°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若∠BOD∶∠BOC＝2∶7，求∠AOE的度数. 解：因为∠BOD∶∠BOC＝2∶7，∠BOD＋∠BOC＝180°， 所以∠BOD＝180°× ＝40°，所以∠AOC＝∠BOD＝40°. 因为∠COE＝90°， 所以∠AOE＝∠AOC＋∠COE＝130°. 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18. 如图，将一副标准的三角尺按如下四种不同位置摆放. （1）图①中，∠α与∠β的关系是 ，理由是 ⁠ ⁠； （2）图②中，∠α与∠β的关系是 ，理由是 ⁠ ⁠； ∠α＝∠β　 因为∠α＋ ∠ABF＝∠β＋∠ABF＝90°，所以∠α＝∠β　 ∠α＋∠β＝90°　 因为 ∠EDF＝90°，所以∠α＋∠β＝180°－∠EDF＝90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （3）图③中，∠α与∠β的关系是 ，理由是 ⁠ ⁠ ⁠⁠； （4）图④中，∠α与∠β的关系是 ，理由是 ⁠ ⁠. ∠α＋∠β＝270°　 因为 ∠α＋∠DEF＝∠β＋∠DFE＝180°，∠DEF＋∠DFE＝90°，所以 ∠α＋∠β＝180°－∠DEF＋180°－∠DFE＝360°－90°＝ 270° ∠α＋∠β＝180°　 ∠α ＋∠β＝360°－∠EDF－∠ABC＝180°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 本课结束 $第二章　相交线与平行线 3　平行线的性质 第1课时　平行线的性质 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点1　两直线平行，同位角相等 1. 如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数 是（　C　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 110° 第1题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝122°，则 ∠2的度数为（　B　） A. 48° B. 58° C. 68° D. 78° 第2题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3. 如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度 数为（　A　） A. 62° B. 56° C. 28° D. 72° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 图1是某品牌汽车的图标，图2反映其中直线间的关系，并且AC∥BD，AE∥BF，∠A与∠B相等吗？并说明理由. 解：∠A与∠B相等.理由如下： 因为AC∥BD， 所以∠A＝∠DOE. 因为AE∥BF，所以∠DOE＝∠B. 所以∠A＝∠B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知识点2　两直线平行，内错角相等 5. （贵州中考）如图，AB∥CD，AC与BD相交于点E. 若∠C＝ 40°，则∠A的度数是（　B　） A. 39° B. 40° C. 41° D. 42° 第5题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. [教材P57习题T10变式]如图，一条公路经两次转弯后，方向未变.第 一次的拐角∠ABC是 °，第二次的拐角∠BCD是140°. 第6题图 140　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 如图，直线a∥c，b∥d，∠1＝30°，求∠3的度数. 解：因为a∥c，∠1＝30°， 所以∠2＝∠1＝30°. 又因为b∥d， 所以∠3＝∠2＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知识点3　两直线平行，同旁内角互补 8. 如图，在三角形ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，若 ∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为（　D　） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. （乐山中考）如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截.若∠1＝ 60°，那么∠2＝ ⁠. 第9题图 120°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　C　） A. 35° B. 45° C. 55° D. 70° 第10题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示放置，有下列结论： ①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°， 其中正确的有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第11题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. 如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2－∠1的度数是 ⁠°. 第12题图 80　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 如图，如果AB∥CD，∠α＝140°，∠γ＝20°，则∠β＝ ⁠°. 第13题图 60　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 如图，某考古队挖掘出一块梯形残缺玉片，工作人员从玉片上量得 ∠A＝115°，∠D＝100°.已知梯形的两底AD∥BC，请你帮助工作 人员求出另外两个角的度数. 解：因为AD∥BC， 所以∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°. 因为∠A＝115°，∠D＝100°， 所以∠B＝180°－∠A＝180°－115°＝65°， ∠C＝180°－∠D＝180°－100°＝80°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如图，∠B＝75°，∠ACB＝56°，CD平分∠ACB，DE∥BC， 求∠BDC的度数. 解：因为∠ACB＝56°，CD平分∠ACB， 所以∠BCD＝ ∠ACB＝28°. 因为DE∥BC， 所以∠EDC＝∠DCB＝28°，∠BDE＋∠B＝180°. 因为∠B＝75°，所以∠BDE＝105°. 所以∠BDC＝∠BDE－∠EDC＝105°－28°＝77°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. [分类讨论思想]如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，某 同学为了研究这两个角之间的关系，画出了以下两个不同的图形，请你 根据图形完成以下问题： （1）如图1，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系是 ⁠ ；如图2，如果AB∥CD，BE∥DF，那么∠1与∠2的关系 是 ⁠； ∠1 ＝∠2　 ∠1＋∠2＝180°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）根据（1）的探究过程，我们可得出结论：如果一个角的两边与另 一个角的两边分别平行，那么这两个角 ⁠； （3）利用结论解决问题：如果有两个角的两边分别平行，且一个角比 另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？ 解：设一个角为x°，则另一个角为（3x－60）°. 分两种情况： ①x＝3x－60，解得x＝30，则3x－60＝30； ②x＋3x－60＝180，解得x＝60，则3x－60＝120. 答：这两个角分别是30°，30°或60°，120°. 相等或互补　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 本课结束 $第二章　相交线与平行线 1　两条直线的位置关系 第2课时　垂直 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点1　垂直的定义 1. 两条直线相交构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对 对顶角相等；③有一对邻补角相等；④有三个角都相等.以上条件中， 能判定这两条直线互相垂直的条件有（　C　） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC＝90°，则AB与CD的 位置关系是 ；若已知AB⊥CD，则∠AOC＝∠COB＝∠BOD ＝∠AOD＝ ⁠°. 垂直　 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　垂线的作法 3. 下列各图中，过直线AB外一点P作AB的垂线，三角尺摆放正确的是 （　C　） C A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. 如图，点P是∠AOB的边OB上一点. （1）过点P作OA的垂线，垂足为H； 解：（1）如图，直线PH即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）过点P作OB的垂线，交OA于点C. （2）如图，直线PC即为所求. 知识点3　垂线的性质及点到直线的距离 5. 如图，如果ON⊥a，OM⊥a，那么OM与ON重合（即O，M，N 三点共线），其理由是（　C　） A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂 直 C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直 D. 两点之间，线段最短 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点 D，则下列说法正确的是（　C　） A. 线段AC的长表示点C到AB的距离 B. 线段CD的长表示点A到CD的距离 C. 线段BC的长表示点B到AC的距离 D. 线段BD的长表示点C到DB的距离 第6题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，他们的做法 是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管 长度，其数学道理是 ⁠. 第7题图 垂线段最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点4　与垂直有关的角度计算 8. 如图，AB，CD相交于点O，OE⊥AB，若∠1＝50°，则∠2的度 数为（　B　） A. 30° B. 40° C. 60° D. 70° 第8题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图，已知AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则 ∠AOD＝ ⁠°. 第9题图 118　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有 （　D　） A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 11. 如图，已知CO⊥AB于点O，∠AOD＝4∠DOB＋10°，则 ∠COD的度数为（　D　） A. 52° B. 53° C. 54° D. 56° D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 点P为直线l外一点，点A，B，C为直线l上的三点，PA＝5 cm， PB＝6 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离为（　D　） A. 3 cm B. 4 cm C. 小于4 cm D. 不大于4 cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 如图，国道a上有一出口M，现要在附近公路b旁建一个加油站P. 欲使加油站P到出口M的距离最短，请在公路b上作出点P的位置. 解：过点M作MP⊥b，交b于点P，如图所示，点P即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD. （1）如图1，若∠BOC＝130°，求∠AOE的度数； 解：因为∠BOC＝130°， 所以∠AOD＝130°， ∠BOD＝180°－∠BOC＝50°. 因为OE平分∠BOD， 所以∠DOE＝ ∠BOD＝25°. 所以∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝130 ＋25°＝155°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）如图2，射线OF在∠AOD内部，若OF⊥OE，判断OF是不是 ∠AOD的平分线，并说明理由. 解：OF是∠AOD的平分线.理由如下： 因为OF⊥OE， 所以∠EOF＝90°， 所以∠DOE＋∠DOF＝90°， 所以∠BOE＋∠AOF＝90°. 因为OE平分∠BOD， 所以∠BOE＝∠DOE， 所以∠AOF＝∠DOF， 即OF是∠AOD的平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，且 ∠BOC∶∠DOF∶∠AOC＝1∶2∶4. （1）若∠BOC＝x°，则∠DOF＝ °，∠AOC＝ °（用含x的式子表示）； （2x）　 （4x）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）求∠AOD的度数； 解：因为∠BOC＋∠AOC＝180°， ∠BOC∶∠AOC＝1∶4， 所以∠BOC＋4∠BOC＝180°， 所以∠BOC＝36°.所以∠AOD＝∠BOC＝36°. （3）若∠BOE∶∠BOF＝1∶4，试判断OE与OF的位置关系，并说明 理由. 解：OE⊥OF. 理由如下： 由（2）可知，∠BOC＝36°. 因为OE是∠BOC的平分线， 所以∠BOE＝ ∠BOC＝18°. 因为∠BOE∶∠BOF＝1∶4， 所以∠BOF＝4∠BOE＝72°， 所以∠EOF＝∠BOE＋∠BOF＝90°， 所以OE⊥OF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 本课结束 $第二章　相交线与平行线 专题训练五　与平行线有关的角度计算 类型1　直接利用平行线的性质与判定求角度 1. 如图，AB∥CD，AF与CD相交于点E，∠A＝45°，则∠CEF等 于（　D　） A. 35° B. 45° C. 50° D. 135° 第1题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图，直线a∥b，∠1＝105°，∠2＝60°，则∠3的度数为（　D　） A. 135° B. 105° C. 60° D. 45° 第2题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型2　借助学具的特征求角度 3. 如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1＝40°，则∠2 的大小是（　D　） A. 40° B. 60° C. 70° D. 80° 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. 将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点C在FD的延长线上， 且AB∥FC，则∠CBD的度数为（　B　） A. 10° B. 15° C. 20° D. 25° 第4题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型3　折叠问题中求角度 5. 如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在点D'，C' 的位置.若∠EFB＝55°，则∠AED'等于（　D　） A. 25° B. 65° C. 50° D. 70° 第5题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 如图，将一张长方形纸片按图中方式折叠，图中与∠1一定相等的角 有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第6题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 如图，一张四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把 纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在AD边上的点B'处，AE是折 痕，则∠AEB的度数是 ⁠°. 65　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 类型4　抽象出平行线模型求角度 8. [数学建模]生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示.若想求解某些特殊 状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中BA⊥AE， 垂足为A，CD∥AE，则∠ABC＋∠BCD＝（　A　） A. 270° B. 250° C. 230° D. 200° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9. 如图为一盏可折叠台灯及其平面示意图，其中支架AO与底座OE垂 直，支架AB，BC为固定支撑杆，当灯体CD与底座OE平行时， ∠BAO＝138°，∠BCD＝154°，则∠B的度数为 ⁠°. 74　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本课结束 $第二章　相交线与平行线 专题训练六　平行线中常见的拐点模型 类型1　内凹型 1. 如图，已知AB∥CD，∠A＝35°，∠E＝105°，则∠C的度数为 （　B　） A. 65° B. 70° C. 75° D. 60° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∠1＝15°，则∠2＝（　A　） A. 15° B. 25° C. 35° D. 20° A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化.如图，表示水面的直线 AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后 射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则 ∠CGF的度数是 ⁠°. 第3题图 58　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE. 若∠BED ＝95°，则∠BFD的度数为 ⁠°. 第4题图 47.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 类型2　外凸型 5. 如图是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B＝130°， ∠D＝110°，则∠C的度数是（　A　） A. 120° B. 110° C. 140° D. 90° 第5题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图，若AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是 ⁠ ⁠. 第6题图 ∠α＋∠β－∠γ ＝180°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，点A，E，F共线，AB∥CD，∠A＝130°，∠C＝125°， 则∠CEF等于 ⁠°. 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 类型3　外错型 8. （河南模拟）图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽 象成图2所示的数学问题：已知AB∥CD，∠A＝72°，∠E＝33°， 则∠ECD的度数是（　C　） A. 95° B. 100° C. 105° D. 110° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则 ∠E的度数为 ⁠°. 第9题图 105　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图，若AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD ＝ ⁠°. 第10题图 30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 类型4　综合型 11. 如图，AB∥EF，∠ABP＝ ∠ABC，∠EFP＝ ∠EFC，已知 ∠FCD＝80°，则∠P的度数为（　C　） A. 58° B. 60° C. 65° D. 80° 第11题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图，AB∥CD，∠BED＝60°，∠ABE的平分线与∠CDE的平 分线交于点F，则∠DFB的度数是 ⁠°. 第12题图 150　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 $第二章　相交线与平行线 2　探索直线平行的条件 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点1　内错角 1. 如图，∠1与∠2是内错角，是由 　　　　　构成（　D　） A. AD，BC被AC所截 B. AB，CD被AD所截 C. AB，CD被BC所截 D. AB，CD被AC所截 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 如图，下列各角与∠1是内错角的是（　B　） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 第2题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 如图，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 ；直 线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 ；∠4的内错角 是 ⁠. 第3题图 ∠1和∠3　 ∠2和∠4　 ∠5和∠2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点2　同旁内角 4. [类比思想]数学课上老师用双手形象地表示了“三线八角”图形，如 图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则图中表示的是 （　A　） A. 同旁内角 B. 同位角 C. 内错角 D. 补角 第4题图 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 如图，∠1的同旁内角共有 个. 第5题图 3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 知识点3　内错角相等（同旁内角互补），两直线平行 6. 如图，点E在AD的延长线上，下列条件中，能判定BC∥AD的是 （　C　） A. ∠3＝∠4 B. ∠1＝∠3 C. ∠1＝∠2 D. ∠A＝∠5 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. [开放性试题]如图，要使l1∥l2，需要添加的一个条件是 ⁠ （不添加其他字母或数字）. 第7题图 ∠3＝ ∠2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝110°，∠BCD＝70°， 管道AB，CD的关系是 ，依据是 ⁠ ⁠. 第8题图 AB∥CD　 同旁内角互补，两直 线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 如图，已知直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝∠A，∠BOD＝ ∠B，试说明AC∥BD的理由. 解：因为∠AOC＝∠A， ∠AOC＝∠BOD， 所以∠A＝∠BOD. 因为∠BOD＝∠B， 所以∠A＝∠B，所以AC∥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. [教材P57习题T8变式]如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d 所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（　C　） A. ∠3＝∠4 B. ∠1＋∠5＝180° C. ∠1＝∠2 D. ∠1＝∠4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则图中所有的平行线有（　D　） A. CD∥EF B. AB∥CD∥EF C. AB∥EF D. AB∥CD∥EF，BC∥DE 第11题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 如图，两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是 ∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是 ⁠°. 第12题图 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 完成下面的解题过程. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD. 试 说明BE∥CF. 解：因为AB⊥BC，DC⊥BC， 所以∠ABC＝∠BCD＝ 90°（　 　）. 因为BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD， 所以∠EBC＝ ∠ABC，∠BCF＝ 　 ∠BCD　. 又因为∠ABC＝∠BCD， 所以∠EBC＝∠BCF（　 　）. 所以BE∥CF（　 　）. 垂直的定义　 ∠BCD　 等量代换　 内错角相等，两直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 如图，台球运动中母球P击中桌边的点A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点B，再次反弹经过点C（提示：∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF）. （1）若∠PAD＝32°，求∠PAB的度数. 解：因为∠PAD＝32°，∠PAD＝∠BAE， ∠PAD＋∠PAB＋∠BAE＝180°， 所以∠PAB＝180°－32°－32°＝116°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）已知∠BAE＋∠ABE＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由. 解：BC∥PA. 理由如下：因为∠PAD＝∠BAE，∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE， 所以∠PAB＝180°－2∠BAE. 同理可得∠ABC＝180°－2∠ABE. 因为∠BAE＋∠ABE＝90°，所以∠PAB＋∠ABC＝360°－2（∠BAE＋∠ABE）＝180°.所以BC∥PA. 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 如图，直线a⊥b，垂足为O，△ABC与直线a，b分别交于点E，F，且∠C＝90°，EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC. （1）填空：∠OEC＋OFC＝ ⁠°. 180　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）试说明：EG∥FH. 解：连接EF，在△OEF和△CEF中，由∠C＝90°，a⊥b，得∠OEC＋∠OFC＝180°－∠FOE＋180°－∠FCE＝180°.因为∠MEC＝180°－∠OEC，∠NFC＝180°－∠OFC，所以∠MEC＋∠NFC＝（180°－∠OEC）＋（180°－∠OFC）＝360°－（∠OEC＋∠OFC）＝360°－180°＝180°.因为EG，FH分别平分∠MEC和∠NFC，所以∠CEG＝ ∠MEC，∠CFH＝ ∠NFC. 所以∠CEG＋∠CFH＝ （∠MEC＋∠NFC）＝ ×180°＝90°.又因为∠CEF＋∠CFE＝90°.所以∠CEG＋∠CFH＋∠CEF＋∠CFE＝180°，即∠GEF＋∠HFE＝180°.所以EG∥FH. 本课结束 $第二章　相交线与平行线 本章知识总结 01 考点巩固 02 素养专练 目 录 考点巩固 考点1　相交线 1. 下列图中，∠1和∠2是对顶角的是（　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，M是AB的中点，则点C 到边AB所在直线的距离是（　C　） A. 线段AC的长 B. 线段CM的长 C. 线段CD的长 D. 线段CB的长 第2题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图，以下说法正确的是（　D　） A. ∠GFB和∠HCD是同位角 B. ∠GFB和∠FCH是同位角 C. ∠AFC和∠HCD是内错角 D. ∠GFC和∠FCD是同旁内角 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列选项中，全对的一组是 （　D　） A. ∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60° B. ∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30° C. ∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60° D. ∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则下列说法中正确的是 （　B　） 第5题图 ①∠α的余角只有∠B；②∠DAE是∠α的补角；③∠α与∠ACF互补； ④∠α与∠DAC互余. A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ②④ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图是一把剪刀，若∠AOB＋∠COD＝20°，则∠BOD＝ ⁠°. 第6题图 170　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点2　平行公理 7. （1）如图，因为直线AB，CD相交于点P，AB∥EF，所以CD不 平行于EF（　 ⁠ 　）； （2）因为直线a∥b，b∥c，所以a∥c（　 ⁠ 　）. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一直线的两条 直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：因为BA⊥CA（已知）， 所以∠BAC＝∠2＋∠3＝ （垂直的定义）. 因为∠1＋∠BAC＋∠4＝180°（平角的定义）， 所以∠1＋∠4＝180°－∠BAC＝90°. 又因为AC平分∠DAF（已知）， 所以∠1＝ （　 　）， 所以∠3＝∠4（　 　）. 又因为a∥b（已知），所以∠4＝∠5（　 　）. 所以∠3＝∠5（　 　）. 90°　 ∠2　 角平分线的定义　 等角的余角相等　 两直线平行，内错角相等　 等量代换　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 考点3　平行线的判定与性质 8. 按要求填写步骤和理由.如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠DAF. 试说明：∠3＝∠5. 9. 如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C作直线AB∥ON，CD平 分∠ACM. 当∠DCM＝70°时，求∠O的度数. 解：因为CD平分∠ACM， ∠DCM＝70°， 所以∠ACM＝2∠DCM＝140°， 所以∠MCB＝180°－∠ACM＝40°. 因为AB∥ON， 所以∠O＝∠MCB＝40°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图，∠C＝70°，∠ADE＝70°，∠EDB＝30°，BD平分 ∠ABC，求∠ABC的度数. 解：因为∠C＝70°，∠ADE＝70°， 所以∠ADE＝∠C， 所以DE∥CB， 所以∠EDB＝∠DBC＝30°. 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠DBC＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 素养专练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 【基础巩固】（1）如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1＋∠2＝ °； 【尝试探究】（2）如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角. 90　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ①若∠2＝22°，求∠1的度数； 解：因为CP⊥AC，所以∠ACP＝90°. 因为∠2＝22°，所以∠ACD＝68°. 因为AB∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°， 所以∠CAB＝112°. 因为AP平分∠BAC， 所以∠1＝ ∠CAB＝56°. 解：因为CP⊥AC，所以∠ACP＝90°， 所以∠ACD＝90°－∠2. 因为AP平分∠BAC，所以2∠1＝∠CAB. 因为AB∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°， 即90°－∠2＋2∠1＝180°， 所以2∠1－∠2＝90°. ②试说明：2∠1－∠2＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【尝试探究】（2）如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角. 解：∠1＋2∠2＝90°.理由如下： 因为AP⊥AC，所以∠PAC＝90°， 所以∠BAC＝90°＋∠1. 因为CP平分∠ACD，所以∠ACD＝2∠2. 因为AB∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°， 即2∠2＋90°＋∠1＝180°， 所以∠1＋2∠2＝90°. 【拓展提高】（3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD， 请判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第二章　相交线与平行线 2　探索直线平行的条件 第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理 01 基础分点训练 02 中档提分训练 03 拓展素养训练 目 录 基础分点训练 知识点1　同位角 1. 如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　A　） A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. 下列各图中，∠1，∠2不是同位角的是（　A　） A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知识点2　同位角相等，两直线平行 3. 如图，若∠1＝∠2，则下列结论中，正确的是（　C　） A. AD∥BC B. AB∥CD C. AD∥EF D. EF∥BC 第3题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 如图，若∠1＝∠2，则 ∥ ；若∠2＝∠3， 则 ∥ ⁠. 第4题图 AB　 DE　 BC　 EF　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. 如图，两块三角尺形状大小完全相同，则边AB∥CD的依据是 ⁠ .（写一个即可） 同 位角相等，两直线平行（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 知识点3　平行公理 6. 如图，AB∥CD，CD∥EF，则AB与EF的位置关系是（　B　） A. 相交 B. 平行 C. 相交或平行 D. 无法确定 第6题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7. 如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点，若PQ∥a，QR∥a，那 么P，Q，R三点 （填“是”或“不是”）在同一条直线上，理 由是 ⁠. 第7题图 是　 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8. 如图，点P，Q是直线EF外的两点. （1）过点P作直线AB∥EF，过点Q作直线CD∥EF； 解：如图所示，直线AB，CD即为所求. （2）AB与CD有怎样的位置关系？为什么？ 解：AB∥CD. 理由如下： 因为AB∥EF，CD∥EF， 所以AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 中档提分训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 有下列语句： ①不相交的两条直线叫平行线；②两条直线的位置关系只有两种：相交 和平行；③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平 行；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；⑤过 一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的个数是（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（　C　） A. 因为a∥b，b∥c，所以c∥d B. 因为a∥c，b∥d，所以c∥d C. 因为a∥b，a∥c，所以b∥c D. 因为a∥b，c∥d，所以a∥c C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11. 如图，AB∥CD，EF∥AB，AE∥MN，BF∥MN，由图中字母 标出的互相平行的直线有（　C　） A. 4组 B. 5组 C. 6组 D. 7组 第11题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12. [开放性试题]如图，在不添加任何字母的条件下，写出一个能判定 AB∥CE的条件 ⁠. 第12题图 ∠A＝∠ECF（答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13. 如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为点A，∠1＝ 70°，若要使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针旋 转 ⁠°. 20　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14. 请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： 如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为 什么？ 解：BE∥DF. 理由如下： 因为AB⊥BC（已知），所以∠ABC＝ ⁠， 即∠3＋∠4＝90°（　 　）. 又因为∠1＋∠2＝90°（　 　）， 且∠2＝∠3（已知）， 所以∠1＝∠4（　 　）， 所以BE∥DF（　 　）. 90°　 等量代换　 已知　 等角的余角相等　 同位角相等，两直线平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PG平分 ∠APQ，QH平分∠CQF，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并 说明理由. 解：PG∥QH，AB∥CD. 理由如下：因为∠1＝∠2，所以PG∥QH. 因为PG平分∠APQ，QH平分∠CQF，所以∠APQ＝2∠1，∠CQF ＝2∠2.所以∠APQ＝∠CQF. 所以AB∥CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓展素养训练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 在同一平面内，已知A，B，C是直线l同侧的三个点. （1）若AB∥l，BC∥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为 什么？ 解：在同一条直线上.因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l平行，而在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以AB，BC为同一条直线，所以A，B，C三点在同一条直线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若AB⊥l，BC⊥l，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？为 什么？ 解：在同一条直线上.因为直线AB，BC都经过点B，且都与直线l垂直，而在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以AB，BC为同一条直线，所以A，B，C三点在同一条直线上. 本课结束 $