5.3 分式方程 教学设计2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第五章 分式与分式方程 北师大版(2024) 5.3 分式方程 一、教学目标 1.经历探索分式方程解法的过程，理解“将分式方程转化为整式方程”的转化思想，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法与规范步骤. 2.通过对增根问题的探究，理解分式方程产生增根的根本原因，掌握分式方程验根的两种常用方法，养成解分式方程必须验根的良好习惯. 3.能熟练、规范地解分式方程，并能根据检验结果判断方程的根是否有效，提升代数运算能力与严谨的数学思维，为后续解决实际问题奠定基础. 二、教学重点及难点 重点：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法与步骤；掌握分式方程的验根方法. 难点：理解分式方程产生增根的原因；能规范完成分式方程的求解与检验全过程. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：同学们，我们先来回顾几个旧知识，为今天的学习做准备. 还记得什么是方程的解吗？ 求解一元一次方程的基本步骤是什么？ 二元一次方程组怎么解？它的核心思想是什么？ 【学生活动】学生结合之前所学，独立思考后举手回答： 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值. 一元一次方程步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 二元一次方程组解法：加减消元法、代入消元法；核心思想是转化，将二元转化为一元一次方程求解. 【师生互动】教师结合学生回答，重点强调“转化”思想，并板书：二元一次方程组转化成一元一次方程求解. 教师追问：我们要学的分式方程，含有分母且分母有未知数，能不能也通过转化，变成我们熟悉的一元一次方程来求解呢？ 设计意图：通过分层回顾旧知，精准唤醒学生对方程解、解法步骤、转化思想的记忆，搭建新旧知识衔接的桥梁，通过追问激发学生对分式方程解法的探究欲望，为后续教学奠定基础. 【探究新知】 探究：分式方程的解法. 教师提问：我们来看上节课列出的分式方程：，大家思考： (1) 如何把它转化为我们熟悉的整式方程？ (2) 怎样去分母？ (3) 在方程两边乘什么样的式子才能把所有分母都约去？ (4) 这样做的依据是什么？解分式方程最关键的问题是什么？ 【学生活动】学生以小组为单位，围绕问题链展开讨论，结合一元一次方程的解法经验，尝试提出“去分母”的思路，思考如何选择合适的式子乘方程两边. 教师引导学生明确： 转化目标：将分式方程转化为一元一次方程来求解； 关键步骤：去分母； 方法：方程两边同乘所有分母的最简公分母； 依据：等式的基本性质（等式两边同时乘同一个不为 0 的数，等式仍然成立）. 答案预设： 方程各分母最简公分母是：2x. 解：方程两边同乘 2x，得， 解得：. 教师提问：是原分式方程的解吗？ 学生思考并尝试检验：将代入原分式方程中，左边＝右边， 因此是原分式方程的解. 【典型例题】 例1. 解方程：. 教师点拨：化成一元一次方程来求解. 解：因为分式中分母不能为 0，所以 x≠2，且 x≠0. 方程的两边都乘 x(x－2)，得x＝3(x－2). 解这个方程，得 x＝3. 检验：将 x＝3 代入原方程，得 左边＝1，右边＝1，左边＝右边. 所以，x＝3 是原方程的根. 设计意图：通过探究与典型例题示范，引导学生自主掌握分式方程“去分母--解整式方程--检验”的完整流程，渗透“分式方程转化为整式方程”的核心思想，明确每一步的依据与注意事项，帮助学生形成规范、严谨的解题习惯 【探究新知】 探究：增根. 教师提问：你会解吗？小亮的解法如下. 小亮：方程的两边都乘 (x−2)，得1－x＝－1－2(x－2). 解这个方程，得x＝2. 那么同学们，你认为 x＝2 是原方程的根吗？与同伴交流. 【师生活动】学生独立尝试解方程，并代入检验，发现当x＝2时，原方程的分母为 0，分式无意义，因此它不是原方程的根，教师引导学生分析原因. 教师讲解增根的概念：在这里，x＝2 不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根. 增根产生的原因： 去分母时，方程两边同时乘的最简公分母是含有未知数的整式，当这个整式的值为零时，所得的整式方程的根会使原分式方程出现分母为零的现象. 因为当分母为零时，分式无意义，所以这个根不是原分式方程的根. 教师提问：既然解分式方程可能产生增根，那我们应该怎么办？ 学生：检验. 教师追问：你能总结出分式方程的验根方法吗？ 【师生活动】学生结合前面的例子，交流讨论，总结出两种验根方法，教师规范学生的表达并板书： (1) 直接检验法：是将求得的根分别代入原分式方程的左边和右边进行检验. 直接检验法不仅能检验求得的根是否使原分式方程有意义，而且能检验求得的根是否正确. (2) 公分母检验法：是把求得的根代入最简公分母中进行检验，若最简公分母为零，则不是原分式方程的根；若最简公分母不为零，则是原分式方程的根. 公分母检验法比较简单，因此被广泛运用. 设计意图：通过“解分式方程出现增根”的矛盾情境，引发学生认知冲突，让学生在自主探究与辨析中理解增根的概念及产生原因，突破本节课的难点；同时引导学生归纳出直接检验法与公分母检验法两种验根方式，明确验根是解分式方程必不可少的关键步骤. 【课堂互动】 教师提问：同学们，我们刚刚已经掌握了分式方程转化为整式方程的方法. 那么结合刚才的解题过程，大家想一想，解分式方程一般需要经过哪几个步骤？ 【师生活动】学生结合解题经验，小组讨论交流，梳理出解分式方程的一般步骤，教师适时进行引导： 去分母：方程两边同乘所有分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程； 解整式方程：按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为 1），求出整式方程的解 x=a； 检验：把求得的整式方程的解 a 代入最简公分母中进行检验； 得出结论： 若最简公分母的值不为 0，则 a 是原分式方程的解； 若最简公分母的值为 0，则 a 不是原分式方程的解（是增根），原分式方程无解. 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.分式方程的解法和步骤． 2.增根的概念和产生的原因． 学科网（北京）股份有限公司 $