5.3分式方程 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

3分式方程 第1课时 分式方程的概念　 教学设计 课标摘录 能根据现实情境理解分式方程的意义，能针对具体问题列出分式方程，理解分式方程解的意义。 教学目标 1.理解分式方程的概念；能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的概念。 2．经历“实际问题——分式方程模型”的过程，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 3．发展学生分析问题、解决问题的能力。 教学重难点 重点:理解分式方程的概念，会判断一个方程是不是分式方程。 难点:根据实际问题列分式方程。 教学策略 本节课教学先呈现几个整式方程让学生回顾特征，再给出含分式的实际问题，引导列出等式。让学生对比两组式子，观察分母差异，自主发现新等式中分母含未知数这一特点。组织学生用自己的语言描述这类等式，教师再规范定义。接着提供混合式子，让学生判断是否为分式方程，在辨析中强化 “分母含未知数” 的核心特征。结合实例说明分式方程的实际意义，让学生体会概念的形成源于解决问题的需要，加深对概念本质的理解。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 京张高速铁路正线全长174km，高速列车的平均行驶速度是快速列车的3倍。高速列车从北京市到张家口市的行使时间比快速列车少2小时。 如果设快速列车的平均行驶速度为xkm/h，那么 （1）你能找出这一情境中的所有等量关系码？ （2）如果设快速列车的平均速度是xkm/h,那么x满足怎样的方程？ （3）如果设高速列车从北京市到张家口市的行驶时间是yh, 那么y满足怎样的方程？ 答案解析：（1）高速列车的平均行驶速度=3×快速列车的平均速度；快速列车从北京市到张家口市的行使时间-高速列车从北京市到张家口市的行使时间=2小时 （2） -=2 （3）=3 新知初探 探究 分式方程　 活动1 尝试·思考 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校领导同学们自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为4800元，八年 级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两集年级人均捐款额恰好相等。如果设七年 级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？ 解：根据题意可得：- 活动2 观察·交流 由上面的问题，你得到了哪些方程？观察这些方程，它们有什么共同特点？与同伴进行交流。 方程-=2 ，=3 ，- ，分母中都含有未知数，像这样的方程叫作分式方程. 活动3 随堂练习 1．判一判：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）2x＝1；（7）． 2.一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少? 答案解析： 1.解：∵分母中含有未知数的方程是分式方程， ∴（1）（3）（4）（5）（7）是分式方程，（2）（6）是整式方程． 2.解：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得 思考：结合问题 1 和 2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？ 列分式方程的步骤： （1）审清题意，适当设出未知数； （2）根据题意找等量关系，列出分式方程. 任务　意图说明 教学分式方程概念，旨在让学生通过对比整式方程，自主发现分母含未知数这一本质特征，培养观察与归纳能力。通过实际问题引出等式，让学生感受概念源于实际需求，体会数学与生活的联系。在辨析练习中强化对核心特征的理解，避免形式化记忆，为后续学习解法奠定认知基础，同时渗透从具体到抽象、类比迁移的思维方法，提升数学思维素养。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第1课时 分式方程的概念 1.分式方程的概念 2.随堂练习 2.分式方程的特点 教学反思 本次教学中，通过对比整式方程引出分式方程概念，学生能较快抓住分母含未知数的特征，但部分学生仍易混淆分式与分式方程。实际问题的引入虽让概念更具体，却因情境稍复杂分散了注意力。辨析练习量不足，导致少数学生对 “整式方程” 与 “分式方程” 的界限模糊。后续需简化情境，增加对比辨析题，引导学生从本质上区分，强化对概念核心要素的理解。 3分式方程 第2课时 分式方程的解法　 教学设计 课标摘录 掌握分式的基本性质，能解可化为一元一次方程的分式方程。 教学目标 1.会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性。 2.理解分式方程可能产生无解的原因。 教学重难点 重点:熟练掌握解分式方程的一般步骤，明确解分式方程验根的必要性。 难点:明确分式方程验根的必要性。 教学策略 在分式方程解法的教学中，可从学生熟悉的整式方程入手，通过类比引出分式方程的概念，降低认知门槛。教学时，先引导学生观察分式方程特点，明确分母含未知数这一关键，再结合实例让学生理解为何要去分母 —将分式方程转化为整式方程求解。着重讲解找最简公分母的方法，通过不同例题对比，让学生掌握去分母时需注意的细节，如每一项都要乘公分母、分数线的括号作用等。解完后强调验根的必要性，结合具体错误案例分析增根产生的原因，帮助学生形成 “转化 — 求解 — 检验” 的完整解题思路，同时通过分层练习巩固方法，逐步提升应用能力。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 问题1：列分式方程的一般步骤 审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系 设：选择恰当的未知数,注意单位 列：根据等量关系正确列出方程 问题2：如何解分式方程？ 新知初探 探究一　解分式方程 活动1 你能设法求出上一节课列出的分式方程 =的解吗？ 化成一元一次方程来求解. 解分式方程和解整式方程有什么区别？ 解分式方程的思路是： 活动2 例1 解方程 解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2). 解这个方程，得x＝3. 检验：将x＝3代人原方程，得 左边＝1，右边＝1，左边＝右边. 所以，x＝3是原方程的根. 你能否从中总结出分式方程的解法呢？ 归纳总结：解分式方程的一般步骤 1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. （转化思想） 2.解这个整式方程. 3.检验 . 4.写出原方程的根. 任务一　意图说明 教学分式方程的解法，旨在让学生掌握 “转化” 的数学思想，学会将分式方程化为整式方程求解，体会未知向已知转化的过程。通过引导学生理解去分母的依据和操作要点，培养其严谨的运算习惯。　 探究二 增根　 活动3 思考·交流 在解方程时，小亮的解法如下： 方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得：x=2 你认为x=2是原方程的根吗？与同伴交流 在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根． 产生增根的原因是什么？ 对于分式方程，当分式中分母的值为零时无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根. 验根的方法：(1)把解直接代入原方程进行检验； （2）把解代入原方程中分式的分母，看分母的值是否等于零，若有等于零的分母，即为增根。 (3)把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零，若等于零，即为增根。 分式方程有增根，一定存在使最简公分母等于0的未知数的值，解这类题的一般步骤为： ①把分式方程化为整式方程； ②令最简公分母为0，求出未知数的值，这里要注意：必须验证未知数的值是否是整式方程的根，如本例中x＝0就不是整式方程的根； ③把未知数的值代入整式方程，从而求出待定字母的值． 分式方程无解必须具备：最简公分母等于0或去分母后的整式方程无解． 随堂练习 1.解方程： 解：方程两边同乘 (x - 1)(x + 1)，得4(x + 1) = 2x + 6. 解得x = 1. 检验：当 x = 1 时， (x - 1)(x + 1) = 0， 因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 2.解方程： 解：方程两边都乘2x,得：960-600=90x 解这个方程，得x=4 经检验，x=4是原方程的根. 任务二　意图说明 强调验根环节，帮助学生认识增根产生的原因，理解分式方程解的特殊性，树立检验意识。同时，通过实例应用，让学生感受分式方程在解决实际问题中的价值，提升分析和解决问题的能力，为后续学习更复杂的方程奠定基础。教学分式方程无解，意在让学生深入理解分式方程解的特殊性。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第2课时 分式方程的解法 1.解分式方程的步骤 3.分式方程无解 2.例1 教学反思 在分式方程解法的教学中，虽通过类比整式方程帮助学生理解转化思想，但部分学生仍对最简公分母的确定和去分母时的漏乘问题掌握不牢。对增根产生的原因，仅靠理论讲解效果有限，学生虽知要验根，却难深刻理解其必要性。练习设计梯度不足，未能充分兼顾不同层次学生。后续需增加具体操作演示，用错误案例对比分析，强化易错点训练，同时设计分层任务，让学生在实践中深化对转化思想和验根重要性的认识，提升解题严谨性。 3分式方程 第3课时 分式方程的应用　 教学设计 课标摘录 1.能针对具体问题列出分式方程。 2.能根据具体问题的实际意义，检验分式方程的合理性。 教学目标 1.用分式方程的数学模型反映现实情况中的实际问题，用分式方程解决现实情境中的问题。 2.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力。 教学重难点 重点:审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型。 难点:寻找实际问题中的等量关系。 教学策略 让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义，掌握必要的基础知识与基本技能，发展应用意识，建立模型观念。增强学好数学的愿望和信心．在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围． 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 应用整式方程解实际问题的步骤： 那么如何运用分式方程解决实际问题呢？ 新知初探 探究 分式方程的应用　 活动1 例 某单位将沿街的一部分房屋出租。每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96000元，第二年为102000元。 问题1：你能找出这一情景中的相等关系吗？ (1)第二年房屋租金=第一年房屋租金+500元 (2)第二年出租房屋间数=第一年出租房屋间数 (3)出租房屋的总租金=每间房屋的租金×出租房屋间数 问题2：根据这一情景你能提出哪些问题？ (1)求出租房屋的总间数 (2)分别求两年每间出租房屋的租金 第（1）问题：求每年出租的房屋总间数； 解:设出租的房屋总间数为x间，依题意，得 解得x=12 经检验x=12是所列方程的根。 所以出租的房屋总间数为12间。 第（2）问题：分别求这两年每间房屋的租金。 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第二年每间房屋的租金为(x+500)元，依题意，得 解得 x=8000 经检验x=8000是所列方程的根 x+500=8500 所以，第一年和第二年每间房屋的租金分别为8000元 和8500元。 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:清题意，并设未知数； 2.找:相等关系； 3.列:出方程； 4.解:这个分式方程； 5.验:根（包括两方面 :(1)是否是分式方程的根； (2)是否符合题意）； 6.写:答案. 活动2 例2 师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120 个这种工艺品所用的时间？ 解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品 (x+10)个，根据题意，得 。 解这个方程，得 x=40。 经检验，x=40是所列方程的根。 40+10=50. 所以，师傅每天加工这种工艺品50, 徒弟每天加工这种工艺品40个。 活动3 随堂练习 1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 2.某次列车平均提速 v km/h．用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 活动4 归纳总结 应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有3种： （1）行程问题： 路程=速度×时间； （2）工程问题： 工作量=工时×工效； （3）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价. 任务一　意图说明 分式方程应用教学旨在巩固相关知识，让学生熟练列写、求解及检验过程。同时，结合生活实际问题，引导学生提取信息、找等量关系，将实际问题转化为分式方程模型，培养分析和解决实际问题的能力，渗透数学建模思想。过程中发展逻辑思维与严谨性，激发学习兴趣和自信心，促进分数、整式等知识融会贯通，形成完整知识体系。　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第3课时 分式方程的应用 1.例 2. 例2 3.归纳总结 （1）列分式方程解应用题步骤 （2）应用题题型 教学反思 分式方程应用教学中，学生能在实际问题中巩固方程解法，但部分学生提取信息、找等量关系仍困难，建模意识薄弱。检验环节常被忽视，对增根及实际意义的验证不严谨。教学中应多举例引导分析，强化等量关系梳理，强调检验重要性，通过小组讨论提升合作解题能力，让学生更深刻感受数学与生活的联系。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $