专题04 特殊平行四边形中5种折叠问题（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题04 特殊平行四边形中5种折叠问题 题型一：把一个顶点折叠到一边上 题型二：把一个顶点折叠到对角线上 题型三：把一个顶点折叠到另一个顶点上 题型四：把一个顶点折叠到图形内或图形外 题型五：多次折叠 题型一：把一个顶点折叠到一边上 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）如图，正方形的边长为4，点M，N分别在上，将正方形沿折叠，使点D落在边上的点E处，折痕与相交于点Q，点G为中点，连接，随着折痕位置的变化，的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上．将矩形纸片沿直线折叠，使点B落在边上，记为点M，点C落在点N处，连接交于点P，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点M与点D重合时，；③面积的最小值是；④中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，，，则__________________ ． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）如图，矩形纸片，，，E为边上一点．将沿所在的直线折叠，点C恰好落在边上的点F处． （1）的长为________； （2）过点F作，垂足为点M，取的中点N，连接，则的长为________． 题型二：把一个顶点折叠到对角线上 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点的直线折叠，使得点的对应点恰好落在上，折痕交于点，延长交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽六安·月考）如图，点E在矩形的边上，沿将折叠，点B的对应点F恰好在对角线上． （1）若点F是矩形的对角线的交点，则的度数是__________； （2）若，则的长为__________． 7．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，将菱形沿着，折叠后，点，重合于对角线上一点，求证：四边形是平行四边形．    题型三：把一个顶点折叠到另一个顶点上 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好与点重合．若，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D．5 9．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，矩形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为， 若，， 的长是______． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图1，在矩形中，已知对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，点为线段上任意一点，求的最小值； (3)如图2，将矩形变形得到平行四边形，直线分别交边、于点、，将平行四边形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为点．若，，，求的长． 题型四：把一个顶点折叠到图形内或图形外 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．运动时间为，将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形，射线经过点时，可以是（   ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为，若， ①则的长为________． ②则的长为________． 13．（2023·安徽宣城·一模）如图，在正方形中，是边上的一点，，将正方形边沿折叠到，延长交于点，连接．则（1）_______．（2）_______． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，并延长交于点Q，连接，． 根据以上操作 （1）______°； （2）若正方形纸片的边长为，当时，______． 15．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形，其中，若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是________． 16．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在矩形中，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点． （1）若，则的度数是________； （2）若，，则图中阴影部分的面积为________． 17．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，矩形中，，在边上取一点P，将沿折叠得到，点D的对应点为Q，当射线恰好经过的中点M时，的长为________． 18．（24-25八年级下·安徽池州·期末）如图，矩形中，，对折矩形，使得与重合，折痕为；展平后再沿折叠，使得点落在上的点处；再次展平，连接，，并延长交于点． （1）是______三角形； （2）若点分别为线段上的动点，则的最小值是______． 19．（24-25八年级下·安徽铜陵·期末）在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片，使得边与边重合，得到折痕，P为边上任意一点，沿着折叠，使得点B落在处．已知，，请完成如下探究： （1）若点落在折痕上，线段的长度______； （2）线段的最小值______． 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，点B恰好落在上的点F处． （1）如图1，当时，______． （2）如图2，当时，______． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ______； （2）若点落在线段上时，的长度为 ______． 22．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF，再把纸片展平，点是边上一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在上，延长交边于点，交延长线于点． （1）的度数为__________； （2）的值为__________． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·月考）如图，将矩形纸片对折，使边与完全重合，得到折痕，再一次折叠纸片，使点A落在上，得到折痕． (1)求的度数； (2)当射线恰好经过点D时，求的值． 24．（22-23八年级下·安徽黄山·期中）（1）如图1，在矩形中，E是的中点，将沿折叠得到，点F在矩形内部，延长交于点G．求证：； （2）如图2，将（1）中的“矩形”这一条件改为“平行四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论是否仍然成立？请说明理由； （3）若将（1）中的“矩形”这一条件改为“任意四边形”，其他条件不变，（1）中“”这一结论仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请增加一个条件，使它成立（无需证明）． 25．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点E．与交于点F．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，，求的面积． 26．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识．数学活动课上，老师让同学们翻折正方形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验． 【问题背景】： 如图，在边上任意选取一点，以为折痕，折叠纸片，使点的对应点落在正方形内部． 【问题探究】： 探究一： 根据以上操作，如图，若点为折痕的中点，连接，得到四边形，你知道当满足什么数量关系时，才能使得四边形为菱形？为什么？ 探究二： 如图，延长，交边于点，连接， ①的度数大小会随着点的位置变化而发生改变吗? 请说明理由． ②已知正方形纸片的边长为10，当时，请计算的长． 27（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，在矩形中，点是射线上一个动点，连接并延长交直线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点． (1)求证：； (2)若． （）如图，点是边的中点时，求的长； （）当点在线段上，且时，求的长． 28．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）如图，长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点的对应点为．    (1)若点刚好落在对角线上时，求和的长； (2)当时，求的长； (3)若点刚好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长为______ 29．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在正方形中，点为边的中点，连接，将沿着翻折，点的对称点为点，记与的交点为．    (1)如图1所示，连接并延长交边于点，求证：点是的中点； (2)如图2所示，延长交边于点，求证：点是的中点； (3)如图3所示，若，过点作，分别交，于点，，求的值． 题型五：多次折叠 30．（22-23八年级下·安徽淮北·期末）如图，将面积为16的正方形纸片沿着折叠，使得点A落在点G处，再将沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作的平行线与交于点H，则EH的长为（    ）． A．3 B． C． D． 31．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形纸片，，，点，分别在，上，将纸片沿着折叠，点，分别落在点，处，且点在线段上（可与点，重合）． （1）如图1，当点与点重合时，________cm； （2）如图2，当时，________cm． 32．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．    (1)如图1，当点和点重合时，求证：； (2)如图2，当点正好落在矩形的对角线上时，求的长度． 33．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）（1）如图1，在矩形中，、分别是、上的点，将矩形沿直线翻折，点恰好落在点处，点落在点处． ①求证：． ②若，，求折痕的长． （2）如图2，将矩形沿直线翻折，点、分别落在点、处，，，，连接，当点为的三等分点时，直接写出的值． 34．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知矩形纸片，，．如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点．再将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交边于点，连结，如图2． (1)求证：． (2)若，，求折痕的长． (3)当时，求出，之间应满足的数量关系． 35．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）（1）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点．求证，四边形是菱形； 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明．请结合图，补全证明过程； （2）【应用】如图，将矩形沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交矩形的边于点，若，，则折痕的长为_______． （3）【拓展】如图，将沿直线翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，直线分别交的边于点，若，，，求四边形的面积． 36．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 37．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多的建筑都采用了黄金矩形的设计．下面我们折叠出一个黄金矩形： 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，折痕为． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，矩形（图4）就是黄金矩形． 【尝试理解】 （1）如图4，矩形中，的值为_____． 【深入探究1】 （2）如图3，求证：四边形为菱形． 【深入探究2】 （3）按照以上四个步骤折叠得到的矩形是黄金矩形，请说明理由． 38．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组活动中产生的问题．如图所示，在矩形中，，，将矩形纸片进行折叠：    问题解决： （1）如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则 ， ； 实践探究： （2）如图2，希望小组将矩形沿着（点，分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求折痕的长． 39．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）在长方形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点的对应点为点，射线与线段交于点．    (1)如图1，当点和点重合时，求证：； (2)如图2，连接，，若，求的面积． 40．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽． 动手实践： （1）如图1，A小组将矩形纸片折叠，点D落在边上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点A折叠使点D落在折痕上的点N处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积． 深度探究： （3）如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点G，H，将四边形沿折叠，使A点的对应点始终落在边上（点不与点D，F重合），点E落在点处，与交于点T．探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值． 41．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图1， 点E，F是正方形边上的点，连接，将和分别沿对折，点A、点C交于对角线上一点 P． (1)的度数为 °； (2)如图2，过点P作边的垂线， 分别交于点M、N、H， 求证：四边形是菱形． (3)如图3， 连接，求的值． 42．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 操作一：如图1，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作三：如图3，将边和边对折后在上重合，得到折痕和； 把正方形纸片展平，折痕，与的交点分别为，，连接，得图4． 根据以上操作，得到以下结论： （1）_____，的形状是_____ 【探究与证明】 （2）如图5，连接，过点作，分别交，，于点，，． 求证：四边形是菱形． 【拓展与计算】 （3）设，，求与之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）． 43．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为完美长方形． (1)【操作发现】将一张三角形纸片按如图1所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为12，，则完美长方形的边的长为_____，面积为_____． (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片按如图2所示的方式折叠成完美长方形．若的面积为20，，求完美长方形的周长． (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片按如图3所示的方式折叠成完美长方形．若，，求完美长方形的周长与面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04特殊平行四边形中5种折叠问题 题型归纳 题型一：把一个顶点折叠到一边上 题型二：把一个顶点折叠到对角线上 题型三：把一个顶点折叠到另一个顶点上 题型四：把一个顶点折叠到图形内或图形外 题型五：多次折叠 题型专练 题型一：把一个顶点折叠到一边上 1.(23-24八年级下·安徽滁州期末)如图，正方形ABCD的边长为4，点M,N分别在AB,CD上，将正方 形沿MN折叠，使点D落在边BC上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q,点G为EF中点，连接GQ, 随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为() D G B E A.3 B.2+V5 C.4 D.25 【答案】D 【详解】如图，取AD中点P,连接OP、QC, G B :正方形ABCD的边长为4， .∠BCD=90°，ADCD4 0p-40=2 由折叠的性质可知，QP=QG,Q为DE中点， :aCDE为直角三角形， 1/62 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .CQ=二DE=QE, 、 .GQ+QE=OP+QC≥CP, :CP=VCD2+PD2=V42+22=2V5, ·Qp+QC≥2V5, ∴.GQ+QE的最小值为2√5， 故选：D 2.（24-25八年级下·安徽六安期末)如图，在矩形纸片ABCD中，AD=3,AB=9,点E,F分别在边 AB,CD上.将矩形纸片沿直线EF折叠，使点B落在边CD上，记为点M,点C落在点N处，连接MB交 EF于点P,连接BF.下列结论：①四边形MFBE是菱形；②点M与点D重合时，EF=√O;③△MPF 9 面积的最小值是；④BP=BC中，所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， .AB∥CD, .∠BMF=∠EBM,∠EFM=∠FEB, 有折叠的性质得：ME=BE,MF=BF,EF⊥BM,BP=MP, △MFP≌aBEP, .MF =BE, 四边形MFBE是菱形，故①正确： 点M与点D重合时，如图： N (M)D 设AE=x,则DE=BE=9-x, 在RtADE中，AD2+AE2=DE2, 2/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 32+x2=(9-x)2,解得：x=4, BE=5, BD=√AD2+AB2=V32+92=3√0，四边形MFBE是菱形， :BP=IBD=3 2 ,EF=2EP,∠BPE=90°， EP=BE2-BP2 3V10 V10 2 2 “EF=2x-0,故②正确： 2 如图，当EF经过点C时，BE最短，此时四边形CBEM的面积最小，四边形CBEM为正方形， D M CF B 此时Suw-3a子X3×3=子故③正确： 1 4 4 在BCF和△BPF中，∠C=LBPF=90°，BF=BF, 根据题意找不到其他的条件相等，则无法判断BCF和△BPF全等，故无法判断BP与BC相等，所以④错 误； 故选：A 3.(24-25八年级下.安微合肥期中)如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F处， AB=6,BC=10,则CE= D 【答案】 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=6,BC=AD=10,∠B=∠C=90°， 由折叠可知，AF=AD=10,DE=FE, 在Rte ABF中，BF=√AF2-AB2=8, .CF=BC-BF=2, 3/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设EC=x,则DE=FE=6-x, 在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：CF2+EC2=FE2, 即22+x2=(6-x)2, 8 解得：x= 31 ÷EC=8 放答案为：子 4.(24-25八年级下.安微淮北月考)如图，矩形纸片ABCD,AB=6,BC=10,E为边CD上一点.将 △BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落在AD边上的点F处. N E M B (1)DF的长为 (2)过点F作FM⊥BE,垂足为点M,取AF的中点N,连接MN,则MN的长为 【答案】 234 【详解】解：(1)由折叠的性质可得BF=BC=10, :四边形ABCD是矩形， .AD=BC=10,∠BAD=90°， AB=6, AF=VBF2-AB2=V102-62=8, DF=AD-AF=10-8=2, 故答案为：2； (2)如图，连接AC,FC, N D 由翻折的性质可知，BE垂直平分线段CF, CF⊥BE, 又：FM⊥BE, 4/62 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .F,M,C共线， ∴FM=MC, :四边形ABCD是矩形， ∠ABC=90°， AC=VAB2+BC2=V62+102=2V34, N是AF的中点，M是CF的中点， :MN是△ACF的中位线， .MN-4C 故答案为：√34. 题型二：把一个顶点折叠到对角线上 5.(24-25八年级下·安微合肥期中)如图，在菱形ABCD中，∠A=70°，连接BD,将菱形ABCD沿过点B 的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在BD上，折痕BE交CD于点E,延长EF交AD于点G,则 ∠DGE的度数为() A.45° B.50° C.55 D.60 【答案】c 【详解】解：：四边形ABCD是菱形，∠A=70°， .AD‖BC,∠A=∠C=70°，∠ABC=1I0°， :BD是对角线， :∠CBD=1∠ABC=55°， 2 ∠ADB=∠CBD=55°， :将菱形ABCD沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在BD上， ∠BFE=∠C=70°， ∴.∠BFG=180°-∠BFE=110°， :∠BFG=∠FDG+∠FGD, ∴∠DGF=∠BFG-∠FDG=110°-55°=55°， 故选：C· 6.(24-25八年级下·安微六安月考)如图，点E在矩形ABCD的边BC上，沿AE将△ABE折叠，点B的对 5/62 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 应点F恰好在对角线BD上. D (1)若点F是矩形ABCD的对角线的交点，则∠DBC的度数是 (2)若AB=2,AD=4,则BF的长为 【答案】 30° 45 5 【详解】解：(1)：点F是矩形ABCD的对角线的交点， AF BF, 由折叠知AB=AF,∠BAE=∠FAE, ·△ABF是等边三角形， ∠BAF=60°， ∠BAE=)∠BAF=30 .AB=AF,∠BAE=∠FAE, AE⊥BF, ∠DBC=∠BAE=30°： 故答案为：30° (2)BA=BF,∠BAE=∠FAE, AE⊥BD. 如图，令AE与BD相交于点O. D 在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=V22+42=2√5， 根据三角形面积公式知)×BDxA0=)×AB×AD, 即×25×A0=×2×4, 2 0As45 6/62 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.OB=AB2-042 45 25 5 由折叠知OB=OF, ·BF=20B= 4V5 5 故答案为：4v⑤ 5 7.(22-23八年级下.安徽安庆期末)如图，将菱形ABCD沿着EF,GH折叠后，点B,D重合于对角线 BD上一点M,求证：四边形AEMG是平行四边形. A B 【详解】证明：由折叠得EB=EM, .∠EBM=∠EMB, ∠AEM=∠EBM+∠EMB=2∠EBM, :在菱形ABCD中，∠EBF=2∠EBM,AD∥BC, ∠AEM=∠EBF, EM∥BF, .AD∥EM, 同理可得AE∥MG, :.四边形AEMG是平行四边形. 题型三：把一个顶点折叠到另一个顶点上 8.(24-25八年级下·安微合肥期末)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好与A点重合，若 AB=4,BC=8,则BF的长为() A(C D 111111111 B A.3 B.3√2 C.4 D.5 【答案】A 7162 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好与A点重合， AF=CF,∠B=90°， 设AF=CF=x,则BF=BC-CF=8-x, AB2+BF2=AF2, 42+(8-x)2=x2, 解得：x=5, BF=8-5=3, 故选：A. 9.(24-25八年级下.安微马鞍山期末)如图，矩形纸片ABCD,AD∥BC,将长方形纸片折叠，使点D与 点B重合，点C落在点C处，折痕为EF,若AB=6,AD=8,AE的长是 D B 【答案】 4 【详解】解：根据折叠的性质得到，DE=BE, :AD=8, .DE=BE=AD-AE=8-AE :四边形ABCD是矩形， ∠A=90°， :.AB2+AE2=BE2, :AB=6, 62+AE2=(8-AE), ·AE=7 4 7 故答案为：4 10.(23-24八年级下.安微毫州期末)如图1，在矩形ABCD中，已知对角线AC的垂直平分线与边AD、 BC分别交于点E、F. 8/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D' D E D 图1 图2 (1)求证：0E=0F; (2)若CD=3,CF=4,点P为线段AC上任意一点，求PE+PD的最小值； (3)如图2，将矩形ABCD变形得到平行四边形ABCD,直线EF分别交边AD、BC于点E、F,将平行四 边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为点D,若AB=2√2，BC=4, ∠C=45°，求AE的长. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， AD∥BC, AEO CFO, EF垂直平分AC, 0A=0C, 在△A0E和aCOF中， I∠AEO=∠CFO ∠AOE=∠COF, OA=OC △AOE≌ACOF(AAS), .OE=OF; (2)解：如图1，连接DF交AC于点P,连接PE, D 图1 由(1)可知，△A0E≌△C0F, :AE=CF, :EF垂直平分AC, :AE =CE,AF=CF, .AE CE=AF CF, :四边形AFCE是菱形， ·E、F两点关于AC对称， 9162 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :PE =PF, :PE PD PF +PD 2 DF, 即当点D、P、F三点共线时，PE+PD有最小值为DF的长， 在Rt△DCF中，CD=3,CF=4, .DF=CD2+CF2=5, 即PE+PD的最小值为5； (3)解：如图2，过点A作AM⊥CB交CB延长线于点M, :四边形ABCD是平行四边形，∠C=45° AB=CD,AD∥CB,AB∥CD,LBAD=∠C=45°，∠ABC=∠D, 由折叠的性质可知，AF=CF,CD=AD',∠D=∠D',∠D'AF=∠C=45°， AB=AD',∠ABC=∠D',∠BAD=∠DAF, ∠BAD-∠EAF=∠D'AF-∠EAF,即∠BAF=∠D'AE, 在△ABF和△AD'E中， ∠BAF=∠DAE AB=AD' ∠ABF=∠DI :AABF≌△AD'EASA, :.AE=AF, 'AB∥CD, .∠ABM=∠C=45°， ∴△ABM是等腰直角三角形， AB=VAM2+BM2=V2AM=√2BM=2√2， .AM BM =2, CM=BC+BM=4+2=6, 设AF=x,则CF=x,FM=CM-CF=6-x, 在RtAAMF中，AM2+FM2=AF2, .22+(6-x=x2, 10 解得：x= 3， 即AF=10 4E=10 10/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E D 图2 题型四：把一个顶点折叠到图形内或图形外 11.(25-26八年级下.安徽合肥期中)如图，在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=14cm,动点P从D点出 发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运动，同时动点Q从B点出发以2cm/s的速度沿BC向C点运动，若其 中一个动点到达终点，另一动点也同时停止.运动时间为t,将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得 到四边形PD'C'Q,射线QC经过点A时，可以是() D A.t=3 c.1=10 D.t=4 【答案】D 【详解】解：连接AC' D' .D 四边形ABCD是长方形， B .AD∥BC,∠B=90°， .∠APQ=∠PQC 由翻折的性质可知：∠PQC=∠PQC', :射线QC经过点A,即A,C,Q三点共线， .∠AQP=∠PQC', ∠APQ=∠AQP, .AP=AO 由题意得：DP=t,BQ=2t, :AP AD-DP=14-1. 在Rt△ABQ中，AB2+BQ2=AQ, 62+(2)2=(14-1)2, 11/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得4=4,52=- 40 (舍去). :点Q到达终点的时间为14÷2=7s, .0≤1≤7， 1=4符合题意 12.(22-23八年级下.安微蚌埠期中)如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠， 点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF,若AD=4, D Bi… ①则GE的长为 ②则BF的长为 【答案】 2V5-4 25-2 【分析】设BF=x,则FG=x,CF=4-x,在RtAGEF,Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2,得到关 于x的方程，解方程即可求解。 【详解】解：：正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，AD=4 .DE=CD=2,∠D=90° 在RtAADE中，AE=VAD2+DE2=2V5, 根据折叠的性质可知AG=AB=4, GE=AE-AG=25-4, 在RtaGEF中，EF2=(2V5-4)2+x2 在Rt△FCE中，EF2=(4-x)2+22, (25-4)2+x2=(4-x)2+22, 解得：x=25-2 .BF=2V5-2, 故答案为：25-4；2V5-2. 13.(2023安徽宣城一模)如图，在正方形ABCD中，E是AD边上的一点，DE=4,AE=8,将正方形边 CD沿CE折叠到CF,延长EF交AB于点G,连接CG,AF.则(1)LGCE=·(2)SA4GE= 12/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :D B 【答案】 45°/45度 24 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， ∴.CD=BC,∠D=∠B=∠BCD=90°， 由折叠的性质得：∠CFE=∠D=9O°，CF=CD,LDCE=∠FCE, ∴∠CFG=180°-∠CFE=90°，CF=BC, ∴∠CFG=LB, CG=CG, ∴.RtACFG≌RtACBG, ·.LBCG=∠FCG, ∴.∠ECG=LFCG+LECF=LBCG+LDCE, GCE=，∠BCD=45 故答案为：45° (2):RtACFG≌RtACBG, .FG=BG, :四边形ABCD是正方形， AD=AB,∠BAD=90°， :DE=4,AE=8, .AB AD AE DE =12, 设AG=x,则BG=FG=12-x, 由折叠的性质得：EF=DE=4, .EG=FG+EF=12-X+4=16-X, 在Rt△AEG中，AG2+AE2=EG2, x2+82=(16-x2, 解得：x=6, 即AG=6, 1 SAAGE= 2×6x8=24. 故答案为：24 14.（23-24八年级下·安微阜阳期中)综合与实践课，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动. 13/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平； 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM,并延长 PM交CD于点Q,连接BQ,BM. 根据以上操作 (1)∠PBQ= (2)若正方形纸片ABCD的边长为8cm,当FQ=2cm时，AP= cm. 【答案】 45° 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形，∠A=∠C=∠ABC=90°，AB=AC,由折叠的性质知 LA=LBMP=90°，∠ABP=∠MBP,AB=BM,BC=BM,∠C=∠BMQ=90°，BQ=BQ, RB0M≌R80cIL,&∠MBe-∠C80,∠P80=∠P8M+∠MB0=ABC=45, 故答案为：45°； (3)由折叠的性质可得DF=CF=4cm,AP=PM, :Rt△BQM≌Rt△BQC, ∴.CQ=Mg, 当点Q在线段CF上时，：FQ=2cm, :MO=co=2cm DO=6cm, PO2=PD2+DO2, (AP+2)2=(8-AP)2+36, 24 :AP= 当点Q在线段DF上时， AP D FO 2cm :M9=C0=6cm, DO=2cm, .PO2=PD2+DO2, .(AP+6)2=(8-AP)2+4, 14/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 综上所述：AP的长为 24 8 一cm或-cm. 故答案为： 24 或7 15.(24-25八年级下.安微宣城期末)如下图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD,其中 A0,0),B4,0),D(0,2),若将ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处，则点E的坐标是 E D (A) B 1216 【答案】 55, 【详解】解：连接AE,BE,作EF⊥AB于点F, E G (4) B :A0,0,B4,0,D0,2, AB=4,AD=2, :矩形ABCD, ∠ABC=90°，BC=AD=2, AC=AB2+BC2=25, “折叠， ·AE=AB=4,AG垂直平分BE, ÷BE=28G,4B8C=4c-BG. 4×2=2√5BG, BG=45 5 BE=85 5 15/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设AF=x,则：BF=4-x, 由勾股定理，得：EF2AE2AF2BE2BF2, 42-x2= 8v5 5 -(4-x2, 解得：x=2 r号 EF=VAE2-AF2=16 传9) 故答案为： E 1216 55 16.(24-25八年级下.安微毫州期末)如图，在矩形ABCD中BC>AB),将△BCD沿对角线BD翻折，点 C落在点C处，BC'交AD于点E. (1)若AB=BD,则∠AEC'的度数是 (2)若AB=4,BC=6,则图中阴影部分的面积为 C D B 【答案】 120° 26 3 【详解】解：(1)连接AC,且交BD于点O D :四边形ABCD是矩形， :AC=BD,∠BAD=90,A0=AC=BD=BO,AD∥BC, 2 2 16/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :A8=D .AB=A0=BO, :△AB0是等边三角形， ∠ABD=60°，∠ADB=90°-60°=30°， :AD∥BC, ∴.∠CBD=∠ADB=30°， :折叠， LCBD=∠CBD=30°， 即∠C'BC=60°， :AD∥BC, ∴∠AEB=LC'BC=60 ∠AEC'=180°-60°=120°； 故答案为：120°； (2):四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°，AD=BC=6, 由(1)得∠CBD=∠CBD=30°，∠CBD=∠ADB=30°， 即∠CBD=LADB, :BE ED, 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2, 即ED2=AB2+(AD-ED)2, ED2=16+(6-ED)2, 解得ED=13 :图中阴影都分的面积=分FDx4B-×号4- 23 3， 故答案为： 26 3 17.(24-25八年级下·安徽六安，期末)如图，矩形ABCD中，AB=10,AD=3,在边CD上取一点P,将 △APD沿AP折叠得到△APQ,点D的对应点为Q,当射线PQ恰好经过AB的中点M时，DP的长为 M 17/62 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1或9 【详解】解：当Q在矩形的内部时， :矩形ABCD中，AB=10,AD=3,将△APD沿AP折叠得到△APQ,射线PO恰好经过AB的中点M, AQ=AD=3,DP=DQ,∠APD=∠APM,∠ADP=∠AQP=90°，AB∥CD, w号8=5 ·QM=VAM2-AQ2=4, :AB∥CD, ∴∠APD=∠PAM, .∠APM=∠PAM, .AM PM =5, .PO PM-OM =1, .DP=PO=1. 当Q在矩形的外部时， .P0=PM+QM=5+4=9, .DP=PO=9. D B M 故答案为：1或9. 18.(24-25八年级下.安微池州·期末)如图，矩形ABCD中，AB=4,对折矩形ABCD,使得AD与BC重 合，折痕为EF;展平后再沿BM折叠，使得点A落在EF上的点N处；再次展平，连接BN,MN,并延 长MN交BC于点G. M A D E H B G (1)△BMG是 三角形： (2)若点P、H分别为线段BM、BN上的动点，则PN+PH的最小值是 【答案】 等边 25 18/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：（1)如图，连接AW、AP, M H G 由翻折可得AE=BE,EF⊥AB,AB=BN,∠ABP=LPBN,∠AMB=∠BMG, ·EN为线段AB的垂直平分线， .AN BN, .AN BN AB, △ABN为等边三角形， ∠ABN=60°， .∠ABP=LPBN=30°， :四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC .∠AMB=∠BMG=∠MBG=60°， ·.△BMG为等边三角形， 故答案为：等边； (2)由翻折可得，BM垂直平分AN, :AP NP, :PN +PH=AP+PH, :当A、P、H三点共线，且AH⊥BN时，AP+PH=AH有最小值， M A B .∠AHB=90°， :∠ABH=60°， ∠BAH=30°， :.BH=AB=2, 2 AH=√AB2-BH2=V42-22=2V5, 故答案为：25. 19/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(24-25八年级下·安微铜陵期末)在数学探究活动中，明明进行了如下操作：如图，先对折矩形纸片 ABCD,使得AD边与BC边重合，得到折痕EF,P为BC边上任意一点，沿着EP折叠△EBP,使得点B 落在B处.已知AB=4,AD=6,请完成如下探究： D B C (1)若点B落在折痕EF上，线段DB'的长度 (2)线段DB'的最小值 【答案】 25 2W10-2 【详解】解：(1)：四边形ABCD是矩形， ∠B=90°， 由折叠的性质可知：AE=DF=EB=EB'=2,EF=AD=6,∠EB'P=∠B=90°，∠DFB'=∠CFB'=90°， B'F=EF-B'E=6-2=4, 在RtADFB'中，由勾股定理得： DB'=VDF2+BF2=V22+42=2V5, 故答案为：25： (2)连接DE, FDB'≤DE-EB' .DB'的最小值为DE-2, A 在RtAADE中，由勾股定理得： DE=VAD2+AE2=V62+22=2√10， 故DB'最小值为：2√10-2， 故答案为：2V10-2. 20.(24-25八年级下.安微合肥期末)如图，在口ABCD中，∠ABC=a,AB=6,BC=10,点E是边BC 上一点，连接DE,将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在DE上的点F处. (1)如图1，当a=90°时，BE= (2)如图2，当a=60°时，BE= 20/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B E 图1 图2 【答案】 13-√73 【详解】(1)在ABCD中，∠ABC=Q,AB=6,BC=10, :.CD=AB=6,AD=BC=10,AD /BC, 当a=90°时，则口ABCD是矩形， LC=90°， 由折叠性质得：∠BEA=∠FEA, AD∥BC, DAE BEA, ∠DAE=∠FEA, .ED=AD=10, 在Rt△CDE中，由勾股定理得：EC=√ED2-CD2=V102-62=8, BE=BC-EC=10-8=2, 故答案为：2： (2)过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H,如图所示： A B----- E 在口ABCD中，∠ABC=a,AB=6,BC=10, :.CD=AB=6,AD=BC=10,AD /BC, 当a=60°时， ∠DCH=∠ABC=a=60° 在△DCH中，∠CDH=90°-∠DCH=30°， :.CH-CD=3, 2 由勾股定理得：DH=VCD2-CH2=√62-32=35， BH=BC+CH=10+3=13, 由折叠性质得：∠BEA=∠FEA, :AD∥BC, 21/62 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DAE BEA, :ZDAE ZFEA, .ED=AD=10, 在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH=VED2-DH=102-(35=V7丽， .BE=BH-EH=13-√73， 故答案为：13-√73. 21.(23-24八年级下·安徽合肥期末)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E为AD边上一动点，过E点 作EF⊥BC,，垂足为F,连接AF,以AF为轴将△ABF进行翻折，得到AAB'F,连接EC. (1)若A,B,C三点在同一条直线上时，FC的长度为： (2)若B点落在线段EC上时，FC的长度为· D B 【答案】 5 4或2 【详解】解：(1)如图， E D B B :AB=6,BC=8, AC=VAB2+BC2=V62+82=10,BF=8-FC, :以AF为轴将△ABF进行翻折，得到aABF, BF=B'F=8-FC,∠B=∠AB'F=90°，AB=AB'=6, .BC=4, .在RtaB'FC中，B'F2+B'C2=FC2, (8-FC)2+42=FC2, 解得：FC=5, 故答案为：5： (2)如图，过点E作EH⊥AF于H,过点B作B'W⊥AF于N, 22/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B B :以AF为轴将△ABF进行翻折，得到△ABF, AB=AB'=6,∠BAF=∠B'AF, :EF⊥BC, ∠EFB=∠ABC=∠BAD=90°， :四边形ABFE是矩形， AB=EF,AB∥EF,AE=BF, ∠BAF=∠AFE=∠B'AF, 在△EFH和△B'AN中， T∠AFE=∠BAF ∠FHE=∠ANB, EF=AB' ·△EFH≌△B'AN(AAS), .EH B'N EH⊥AF,B'N⊥AF, ∴EH∥B'N, :四边形EHNB'是平行四边形， HN∥EB',即AF∥EC, 又，AE∥FC, :四边形AECF是平行四边形， :AE=CF, .BF CF=4, 如图，当B与点E重合时， (B)E D B F 同理可得：四边形ABFE是矩形， .AE=AB, 23/62 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABFE是正方形， .AE AB'=AB=6=BF, .CF=BC-BF=8-6=2, 故答案为：4或2. 22.(24-25八年级下.安微淮南·期中)如图，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕EF, 再把纸片展平，点G是边AD上一点，将ABG沿BG折叠，使点A的对应点A恰好落在EF上，延长GA交 边CD于点P,交BC延长线于点H. G D E C H (1)∠ABG的度数为 (2) CP 的值为 DP 【答案】 30 5-1 2 【详解】解：(1)：四边形ABCD是正方形， ∠A=90°，AD∥BH, .∠DGH=∠H, 由折叠得，AD∥EF∥BH,AE=BE,A'G=AG,∠BA'G=∠A=90°，∠GBA'=∠GBA, :AD∥EF∥BH,AE=BE, .GA'=HA', :∠BA'G=LBA'H=90°，BA'=BA', △BA'G≌△BA'H(SAS, ∠GBA'=∠HBA', .∠ABG=∠A'BH=∠A'BG=30°， 故答案为：30°， (2)设AG=A'G=a,则BG=2AG=2a, AB=BG2-AG2=3a, AB=AD=CD=3a, :DG=AD-AG=3a-a, :∠ABG=∠A'BH=∠A'BG=30°， 24/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠DGP=∠H=60°， .∠DPG=∠HPC=30°， :PG =2DG =2v3a-2a, PD=PG2-DG2=3a-a, .CP=CD-DP=3a-(3a-3a)=2a-3a, :CP=2v3a-3a_5-1 DP 3a-3a 2 故答案为： V3-1 23.(23-24八年级下.安微合肥·月考)如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AD与BC完全重合，得到折痕 MN,再一次折叠纸片，使点A落在MN上，得到折痕BE. A Mi B (1)求∠ABE的度数： 2)当射线B4'恰好经过点D时，求侣的值 BC 【答案】(1)30° 3 【详解】(1)解：如图：连接AA', :矩形纸片ABCD对折，使边AD与BC完全重合，得到折痕MN, MN垂直平分AB, .AA'=AB, 由折叠的性质可得出AB=AB,∠ABE=∠A'BE, ·AA'=AB=A'B, ·△AAB为等边三角形， ∠ABA'=60°， .∠ABE=∠A'BE=∠ABA'=30°. 25/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (2)根据题意，作图如下，即射线BA'恰好经过点D, B :四边形ABCD是矩形， ∠ABC=∠C=90°，AB=CD,AD=BC, 由(1)可知∠ABA'=60°， ∠DBC=90°-∠ABA'=30°， 1 ·CD=5BD 在Rt△BCD中，CD2+BC2=BD2, 则设CD=x,则BD=2x, BC=BD2-CD2=4x2-x2=3x, :.CD-ABx BC AD3x 3 24.(22-23八年级下.安徽黄山期中)(1)如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠 得到△AFE,点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.求证：GF=GC; (2)如图2，将(1)中的"矩形ABCD”这一条件改为"平行四边形ABCD”,其他条件不变，(1)中 “GF=GC”这一结论是否仍然成立？请说明理由； (3)若将(1)中的“矩形ABCD”这一条件改为“任意四边形ABCD”,其他条件不变，(1)中“GF=GC” 这一结论仍然成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请增加一个条件，使它成立（无需证明）. A D B E B E 图1 图2 26/62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)证明：如图1，连接CF, D 3 G 20 B E C 图1 :四边形ABCD是矩形， .∠B=∠AFE=∠BCD=90°， ∠EFG=180°-∠AFE=90°， .∠EFG=∠BCD, :点E为BC的中点， .BE EC, 根据折叠可知，BE=EF, .EF=CE, ∠1=∠2， .∠EFG-∠1=∠BCD-∠2， 即∠3=∠4， ..GF=GC. (2)结论仍然成立.；理由如下： 如图2，连接CF, D B 图2 :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD, ∠B+∠BCD=180°， 根据折叠可知，∠AFE=∠B, :∠AFE+∠EFG=180°， .∠BCD=LEFG, :点E为BC的中点， 27/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BE EC, 根据折叠可知，BE=EF, .EF =CE, ∠1=∠2， ∴∠EFG-∠1=∠BCD-L2, 即LCFG=LFCG, .GF=GC (3)不成立；需要增加的条件为AB∥CD: GF=GC, LCFG=∠FCG一定成立， :点E为BC的中点， .BE=EC, 根据折叠可知，BE=EF, .EF CE, ·∠1=∠2一定成立， .∠CFG+∠1=∠FCG+∠1， 即∠BCD=∠EFG, :∠AFE+∠EFG=180°， 根据折叠可知，∠AFE=∠B, ·∠B+LBCD=180°， AB∥CD一定成立， :需要增加的条件为AB∥CD. 25.(22-23八年级下.安微阜阳期末)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点E.AE与 CD交于点F. (1)求证：△DAF≌△ECF; (2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度数； (3)若AD=3,AB=4,求△ACF的面积. 【详解】(1)将矩形ABCD沿对角线AC折叠，则AD=BC=EC,∠D=LB=LE=90°， 28/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在△DAF和△ECF中， '∠DFA=∠EFC ∠D=∠E DA=EC :DAF≌ECF(AAS: (2):△DAF≌△ECF, ∠DAF=∠ECF=40°， :四边形ABCD是矩形， ∠DAB=90°， ∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°， :∠EAC=LCAB, ∠CAB=25°. (3):△DAF≌△ECF, :CF=AF, 设CF=AF=x, :四边形ABCD是矩形， .CD =AB=4, :DF =4-x, 在RtAADF中，AD2+DF2=AF2, 即32+(4-x)2=x2, 解得x=25 Sa=cF4D=×25x3=75 2 28 16 26.(23-24八年级下.安微黄山期末)综合与实践 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，折纸过程中蕴含着丰富的数学知识.数学活动课上，老师让同学们翻 折正方形纸片ABCD进行探究活动.同学们经过动手操作，发展了空间观念，并积累了数学活动经验。 【问题背景： 如图，在边AD上任意选取一点P,以BP为折痕，折叠纸片，使点A的对应点M落在正方形ABCD内部. P B 【问题探究】： 29/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 探究一： 根据以上操作，如图1，若点E为折痕BP的中点，连接AE,ME,得到四边形AEMP,你知道当AD,AP满 足什么数量关系时，才能使得四边形AEMP为菱形？为什么？ 图1 探究二： 如图，延长PM,交边CD于点Q,连接BQ, ①∠PBQ的度数大小会随着P点的位置变化而发生改变吗？请说明理由。 ②已知正方形纸片ABCD的边长为10，当CQ=2时，请计算AP的长. D 图2 【答案】探究一：当AD=√5AP时，四边形AEMP为菱形，理由见解析；探究二：①∠PBQ的度数大小不 会菊着P点的位置变化面发生政变，理由见解折，②4长为9 【详解】探究一 当AD=√3AP时，四边形AEMP为菱形， 理由如下： ,·正方形ABCD, AB=AD,∠BAD=90°， 翻折， ∴.△ABP≌AMBP, ∴.AP=MP,AB=BM,∠BAP=∠BMP=90°， .E是BP的中点， 30/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.AE=-BP=ME=PE, :AD=3AP, :AB=3AP, PB=AB2+AP2=3AP2+AP2=2AP, :AE=AP, :AE AP=MP=ME, :四边形AEMP为菱形： 探究二： ①∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生改变， 理由如下： :延长PM交边CD于Q点， A D ∴∠BMQ=90°， M 正方形ABCD, ∴.AB=BC,∠BCD=∠ABC=90°， .BM=BC,∠BCQ=∠BMQ=90°， ∴.在Rt△BMQ和Rt△BCQ中， BM=BC BO=BO RtABMO≌RtABCO(HL), ∠MBQ=∠CB0-2 MBC, 翻折， :∠ABP=∠MBP=∠ABM, 2 ∠P0=∠P8M+208M-4BM+CBM=4c-号x0r=45 :∠PBQ的度数大小不会随着P点的位置变化而发生改变， ②：正方形纸片ABCD的边长为10， .AD=CD=10,∠ADC=90°， :△ABP≌△MBP,△BMQ≌△BCQ, 31/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.AP=MP,CQ=MQ, 设AP=x, .PD=10-x,PM=x, ∠D=90°， ..PO2=PD2+DO2 即(x+2)2=(10-x)2+82, C0=2, ∴.MQ=2,DQ=8, ∴.PQ=x+2, 解得x=20 , 点AP长为 0 27(24-25八年级下·安徽六安期末)如图1，在矩形ABCD中，点E是射线BC上一个动点，连接AE并延 长交直线DC于点F,将△ABE沿直线AE翻折到△AB'E,延长AB'与直线CD交于点M. D B B B E (1)求证：AM=MF; (2)若AB=6,BC=8. (i)如图2，点E是边BC的中点时，求CM的长； (i)当点F在线段CD上，且CF=4时，求CM的长 【详解】(1)证明：：四边形ABCD为矩形， AB∥CD, ∠AFD=∠BAF, 由折叠可知，∠BAF=∠MAF, ·∠AFD=∠MAF, .AM=MF (2)解：(i):点E是边BC的中点， 32/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :.BE=CE=IBC=4, :四边形ABCD为矩形，BC=8, AB∥CD,∠B=∠BCD=LADC=90°，AD=BC=8, .∠AFD=∠BAF, 又：∠AEB=LFEC, .△AEB≌△FEC(AAS), .AB=CF=6, 设CM=x,则由(1)知，AM=MF=x+6,DM=6-x, 在R1aADM中，AD2+DM2=AM2, 82+(6-x2=(x+6)2, 8 解得x=3 C的长为 (立)当点F在线段CD上，则点E在线段BC的延长线上，如图所示， M B A D C 当CF=4时，设CM=x,则AM=MF=x-4,DM=x-6, 在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2, .82+(x-6)2=(x-4)2, 解得x=21, CM的长为21. 28.(22-23八年级下.安徽安庆期中)如图，长方形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,点E是边CB上的 一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C. 33/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D 备用图 备用图 (1)若点C刚好落在对角线BD上时，求BC'和CE的长； (2)当BC'∥DE时，求BE的长； (3)若点C刚好落在线段AD的垂直平分线上时，请直接写出CE的长为 【答案】(1)BC'=4cm,CE=3cm (2)BE=4cm 3)9±3V5)cm 【详解】(1)解：如图1，由折叠可得DC'=DC=6, D E 图1 :∠C=90°，BC=8, “Rt△BCD中，BD=VCB2+CD2=V82+62=10, .BC'=10-6=4cm, 设EC=C'E=x, 在RtABCE中，由勾股定理得(8-x)2=42+x2, x=3, .CE =3cm (2)解：如图2，由折叠得，∠CED=∠C'ED, E 图2 :BC'∥DE, ∠EC'B=∠CED,∠CED=∠C'BE, ∠EC'B=∠C'EB, ∴.BE=C'E=EC=4cm; 34/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)解：设AD的垂直平分线，交AD于点M,交BC于点N,分两种情况讨论： ①当点C在矩形内部时，如图3， M E 图3 :点C在AD的垂直平分线上， DM=4, .DC'=DC=6, 由勾股定理得：MC'=√62-42=2V5, NC'=6-2√5， 设EC=x,则CE=x,NE=4-x, NC2+NE2 =CE2, (6-252+4-x2=x2, 解得：x=9-35, 即CE=9-3V5; ②当点C在矩形外部时，如图4， M B 图3 :点C在AD的垂直平分线上， .DM=4, :DC'=6, :由勾股定理得：MC=2V5, .NC'=6+25, 设EC=y,则CE=y,NE=y-4 NC2+NE2 CE2, 35/62 西学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (6+25+(y-42=y2, 解得：y=9+3V5, 即CE=9+35, 综上所述，CE的长为9±3V5)cm, 故答案为：(9±3V5)cm 29.(22-23八年级下.安徽阜阳，期末)如图所示，在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，连接AE,将 ADE沿着AE翻折，点D的对称点为点F,记DF与AE的交点为G. P G G E E F B H H B H 图1 图2 图3 (1)如图1所示，连接DF并延长交边BC于点H,求证：点H是BC的中点； (2)如图2所示，延长AF交边BC于点M,求证：点M是HC的中点： D2的值， B如图3所示，若AD=4,过点F作FQ1AD,分别交AE,AD于点P,Q,求 【详解】(1)证明：如图， :四边形ABCD是正方形，设AD=2a, .AD CD BC2a,∠ADC=LBCD=90°，AD∥BC, :点E为边CD的中点， :DE=CE=CD=a, 2 又：将ADE沿着AE翻折，点D的对称点为点F, ∴∠DGE=∠AGD=90°，AD=AF,DG=FG, ∴.∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∠1=∠3， 在ADE和△DCH中， [∠ADC=∠DCH AD=DO ∠1=∠3 △ADE≌△OCH(ASA 36/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .DE=CH=a, :.HC=BC, 点H是BC的中点； A 2 D 3 O E B H C (2)如图，连接CF, AD=AF, ∠2=∠4， :AD∥BC, ∠2=∠6， 又：∠4=∠5， ∠5=∠6， :MF =MH, :点G是DF的中点，点E是CD的中点， GE∥CF, ∴∠DFC=∠DGE=90°， ∠5+∠7=90°，∠6+∠8=90°， ∠7=∠8， .MF =MC, .MH=MC, 点M是HC的中点； A D E B H M (3)解：：在正方形ABCD中，点E为边CD的中点，AD=4, 37/62 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DE=IDC=14D=2, 2 AE=VAD2+DE2=V42+22=2√5， :∠AGD=90°， S△ADE= DG·AE=AD·DE 2 2 :DG=DDE_4×24W5 AE25=5, DF=2DG-85 设DQ=x,则AQ=4-x, :FQ⊥AD, 在Rt△AFQ与RtADFO中， AF2-A02=FO2=DF2-D02, 8 x= 5, D0=8 ,A0=AD-D0=4-8=12 5-5 8 D-5-2 A0 12 3 5 的值为号 AO 题型五：多次折叠 30.(22-23八年级下，安徽淮北期末)如图，将面积为16的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在 点G处，再将DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H,则 EH的长为(). D G H B C 38/62 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 B.1 D. 5 4 2 【答案】D 【详解】解：：面积为16的正方形纸片ABCD, .AB=BC=AD=DC=4,∠A=∠D=∠ABC=90°，AB∥CD, :正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再将△DEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G 处， :AE=EG,BG=AB=4,∠EGB=∠A=909,∠ABE=∠EBF,∠BEG=∠AEG, DF=FG,EG=DE,∠EGF=∠D=90,∠GEF=∠DEG, ·AE=ED= AD=2,∠BEF=∠BEG+∠FEG=∠AEG+∠DEG)=90°， BE=V42+22=2V5, 设GF=x,则EF2=4+x2,BF=x+4, 在RtABEF中，BF2=EF2+BE2, (x+4)2=4+x2+20,解得x=1, ∴BF=BG+GF=4+1=5, :∠ABE=∠EBG, :EH∥CF,AB∥CD, ∴AB∥EH, ∠ABE=∠BEH, ∠EBG=LBEH, :BH =EH, 同理：EH=HF, .BH HF, -听- 故选D 31.(24-25八年级下.安徽合肥，期中)如图，矩形纸片ABCD,AB=3cm,AD=4cm,点E,F分别在 AD,BC上，将纸片沿着EF折叠，点A,B分别落在点A,B处，且点B在线段CD上（可与点C,D重 合) (1)如图1，当点B与点D重合时，CF= cm; (2)如图2，当DE=DC时，CF= cm. 39/62 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A Ar- D(B Ar- B B B F 图1 图2 【答案】 8/0.875 2 【详解】(1)解：当点B与点D重合时， Ar- D(B F C :AD BC =4cm,AB CD =3cm, 由折叠的性质知DF=BF, 设CF=x,则DF=BF=4-x, 在RtACFD中，CF2+CD2=DF2, .x2+32=(4-x)2, 7 解得：x=8' 即CF=gcm: 7 (2)如图，连接BE,BE, 4r- D B 由折叠的性质知BE=B'E,B'F=BF, DE=DC=3, AE=4-3=1, 由勾股定理得：BE=√2+32=√0， BE =B'E=10, 40/62 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ÷DB'=VB'E2-DE2=V0-32=1, CB'=3-1=2, 设CF=x,则B'F=BF=4-x, 在RtACFB'中，CF2+CB2=B'F2, x2+22=(4-x)2, 解得：x=3 即cF=3cm: 2 故答案为：2 3 32.(22-23八年级下·安徽合肥期末)在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E是AD边上的一点，将 △ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F,射线EF与线段BC交于点G. D(E) G 图1 图2 (1)如图1，当点E和点D重合时，求证：BG=DG; (2)如图2，当点F正好落在矩形的对角线AC上时，求CG的长度.。 【详解】(1)解：当点E和点D重合时，则AE=AD,对角线BD=BE, :△ABE沿BE折叠， AB=BF,AD=DF,∠A=∠F, :四边形ABCD是矩形， .AB=CD,AD=BC,∠A=LC=90°， AB=BF=CD,∠F=∠C=90°， 在△BFG,△DCG中， ∠F=∠C=90° ∠BGF=∠DGC, BF=DC ∴.△BFG≌△DCG(AAS), .BG=DG. (2)解：将△ABE沿BE折叠，点F正好落在矩形的对角线AC上， 41/62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EA=EF,即△AEF是等腰三角形， ∠EAF=∠EFA, :∠EFA与∠CFG是对顶角， ∠EFA=∠CFG, :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,则∠EAC=LACB, ∴.∠GFC=∠GCF,即△CFG是等腰三角形， ..GC=GF, GC=GF=x,AB=6,AD=10, :△ABE沿BE折叠，射线EF与线段BC交于点G,即点E,F,G三点共线， ∠EAB=∠EFB=90°，则∠BFG=180°-∠EFB=180°-90°=90°， 在Rt△BFG中，GF=x(x>O),BF=AB=6,BG=BC-CG=10-x, ÷BF2+GF2=BG2,即62+x2=(10-x)2,解得，x=16 1 CG的长度为 16 33.(23-24八年级下·安徽芜湖期中)(1)如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将矩 形沿直线EF翻折，点C恰好落在点A处，点D落在点D处 ①求证：AE=AF. ②若AB=6,BC=8,求折痕EF的长. (2)如图2，将矩形ABCD沿直线EF翻折，点C、D分别落在点C、D处，AB=3,AD=6,BF=1, 连接CE,当点E为AD的三等分点时，直接写出 E的值 EF D 图1 图2 【详解】解：(1)①证明：：将矩形沿直线EF翻折，点C恰好落在点A处， :ZAFE ZEFC, :AD∥BC, :ZAEF ZEFC, ∠AEF=∠AFE, :AE AF; 42/62 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②如图1，过点F作FH⊥AD,垂足为H, D D 将矩形沿直线EF翻折，点C恰好落在点A处， 图1 ·AF=CF,∠AFE=∠EFC, AF BF2 AB, (8-BF)2=BF2+62, 解r-子 BC=8, AF =CF-BC-BF=25 :由①可得AE=AF= 25 4 :∠B=∠BAD=∠AHF=90°， :四边形ABFH是矩形， AB FH=6.AH BF- .EH=AE-AH=25_1_9 442 p=E2+Hf2+6-5 (2) 的值为326或0 CE 13 5 理由：①如图2，当AE=2DE时， D D :AD=6, M 图2 .AE=4,ED=2, 过点E作EM⊥BC于点M, 43/62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :四边形ABME为矩形， :BM =AE=4,EM AB=3, FM=BM-BF=4-1=3, EF=VFM2+EM2=V32+32=3√2， :将矩形ABCD沿EF折叠， .ED=ED'=2,C'D'=CD=3,∠D=∠D'=90°， CE=VCD2+DE2=V32+22=√3， EF 32 326 CE1313 ②如图3，当DE=2AE时， D E--- D .AE=2,ED=4, B FN 图3 过点E作EN⊥BC于点N,同理可得FN=1,EN=3, :EF=√FN2+EN2=P+32=√0， 同理可得ED=ED'=4,CD'=CD=3,∠D=∠D'=90°， :CE=VCD2+D'E2=V32+42=5, EF10 CE的值为326或0 E 综上所述， 13 5 34.(23-24八年级下.安徽六安，期末)己知矩形纸片ABCD,AB=a,BC=ba>b)·如图1，将矩形纸片 ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点A处，折痕DE交边AB于点E·再将图1中的矩形 纸片ABCD沿过点E的直线折叠，使点C落在AD边上的点C处，点B落在点B处，折痕EF交边DC于点， 连结EC',如图2. 44/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图1 图2 (1)求证：AC'=B'E. (2)若a=8,b=6,求折痕EF的长. (3)当EC'=EF时，求出a,b之间应满足的数量关系 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠ADA'=90°， 由折叠的性质可知：∠A=∠DA'E=90°，AE=A'E, .四边形AEAD是矩形， AE=A'E, :四边形AEAD是正方形： :AE AD, 在矩形ABCD中，AD=BC,∠A=∠B=90°， 由折叠的性质可知BC=B'C,∠B=∠B'=90°， .AE =B'C', .EC'=C'E, .aAEC'≌aB'C'E(HL), .AC'=B'E (2)解：过点E作EM⊥CD于点D,如图所示： C D B' E M B :∠B=∠C=LCME=90°， 四边形EBCM是矩形， .BE=CM,BC=EM=6, AC'=B'E=BE,AD AE=6,AB=8, 45/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .BE=2=B'E=AC'=CM, CD=4, 设CF=C'F=x,则DF=8-x, 在RtaDC'F中，由勾股定理得：x2=42+(8-x)2, 解得：x=5, ∴FM=CF-CM=3, ∴EF=√FM2+EM2=3V5; (3)解：：AE=AD=AB-BE, .BE=AB-AD =a-b=AC', 当EC'=EF时，过点E作EN⊥CD于点N,连接EC,如图所示： C' D B' E ----1N --------- B 由折叠可知EC=EC'=EF,CF=CF, .FN CN =BE =a-b, .CF=2CN=2a-2b=C'℉， ∴DF=CD-CF=2b-a, AC'=BE a-b, .DC'=AD-AC'=2b-a, .DF DC'=2b-a, ·△DCF是等腰直角三角形， C'F=√2DF,即2a-2b=√2(2b-a, 解得：a=√2b; 35.(23-24八年级下安徽安庆期末)(1)【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材的部分内容：如 图1，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证，四边形AFCE是菱 形； 分析：要证四边形AFCE是菱形，由己知条件可知EF⊥AC,所以只需证明四边形AFCE是平行四边形， 又知EF垂直平分AC,所以只需证明OE=OF.请结合图1，补全证明过程： (2)【应用】如图2，将矩形ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D,直 线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F,若AB=6,BC=8,则折痕EF的长为 46/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)【拓展】如图3，将口ABCD沿直线EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D,直线 EF分别交ABCD的边AD、BC于点E、F,若AB=√2，BC=2,∠BCD=45°，求四边形AFCE的面积. E D B F 图1 图2 图3 【详解】解：(1)：四边形ABCD是矩形， AE∥CF, .∠EA0=∠FC0, :EF垂直平分AC, A0=C0,∠A0E=∠C0F=90°， :.△AOE≌aCOF(ASA), .OE=OF, 又：A0=C0, :四边形AFCE是平行四边形， .EF⊥AC, :平行四边形AFCE是菱形， (2)如图，过点F作FH⊥AD于H, D' CH B C :将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴.AF=CF,LAFE=LEFC, AF2=BF2+AB2, (8-BF)2=BF2+36, ÷F 4 AF=CF=25 :AD∥BC, ∴.∠AEF=∠EFC=∠AFE, 47/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ÷AE=AF=25 :∠B=LBAD=LAHF=90°， 四边形ABFH是矩形， AB=FH=6.AH=BF- 9 :EF= V 2 +62=15 故答案为： 15 (3)如图，过点A作AN⊥BC,交CB的延长线于N,过点F作FM⊥AD于M, M :四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°， ∠ABC=135°， ∠ABN=45°， :AN⊥BC, .∠ABN=∠BAN=45°， ÷AN=BN=54B=I, 2 :将▣ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合， AF=CF,LAFE=∠EFC, :AD∥BC, .ZAEF ZEFC ZAFE, ·AF=AE, .CF=AE :四边形AFCE是平行四边形 AF2=AN2+NF2, AF2=1+(3-AF)2, AE=AF= 3 48/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 5 :平行四边形AFCE的面积是AE,AN=二x1= 3 3 36.(24-25八年级下.安徽合肥期中)已知在长方形ABCD中，AB=4,BC=3.按下列要求折叠，试求出 所要求的结果 G (1) (2) (3) (1)如图(1)所示，把长方形ABCD沿对角线BD折叠得△EBD,BE交CD于点F,求SFm: (2)如图(2)所示，折叠长方形ABCD,使AD落在对角线BD上，求折痕DE的长； (3)如图(3)所示，折叠长方形ABCD,使点D与点B重合，求折痕EF的长. 【答案】(L)S,BFD= 75 169 2)DE=35. 2 (B)EF-15 · 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， .∠C=90°，AB∥CD,AB=CD, ∠ABD=∠BDC, 由折叠得：∠ABD=∠DBE, ∠BDC=∠DBE, DF=BF, 设CF=x,则BF=DF=CD-CF=4-x, 在RtABCF中， 由BF2-CF2=BC2得，（4-x)2-x2=32, 7 .x= 8 25 .DF=4-x= 8 ·SBFD= DF.BC=x25 28 35 16 (2)解：∠A=90°，AB=4,AD=BC=3, BD=5, 49/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由折叠得：DF=AD=3,EF=AE,LBFE=∠DFE=∠A=90°， BF=5-3=2, 设AE=EF=x,则BE=4-x, 在Rt△BEF中，由BE2-EF?=BF2得， (4-x)-x2=4, 3 x=2' .AE= 2 DE=√AD2+AE2 35 (3)解：作EH⊥BF于点H, D G 则LA=∠ADC=AHE=90°， :四边形ADEH是矩形， :点D与点B重合， EF垂直平分BD, :BE =DE, ):CE,又点O是长方形ABCD :.AF =CE-8' 同(1)BF=BE=DE=25 2579 .EH BC=3,FH=BF-BH=BF-CE= 88=4 :EF =EH2+FH2= 15 =4 37.(24-25八年级下.安微芜湖期末)综合实践： 宽与长的比是5-1（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.世界各国 2 许多的建筑都采用了黄金矩形的设计.下面我们折叠出一个黄金矩形： 50/62 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【动手操作】 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平. 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平， 第三步，折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3中所示的AD处，折痕为AP 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE,矩形BCDE(图4)就是黄金矩形 B M B E 图1 图2 图3 图4 【尝试理解】 (1)如图4，矩形BCDE中， CD的值为， DE 【深入探究1】 (2)如图3，求证：四边形ABPD为菱形. 【深入探究2】 (3)按照以上四个步骤折叠得到的矩形MNDE是黄金矩形，请说明理由. 【详解】解：(1)：矩形BCDE是黄金矩形， CD V5-1 DE 2 故答案为： 5-1: (2)证明：由题可得BP∥AD, :∠BPA=LDAP 由折叠的性质得AB=AD,∠BAP=∠DAP ∠BPA=∠BAP ·AB=BP :AD BP 又：BP∥AD :.四边形ABPD为平行四边形 又：AB=AD :四边形ABPD为菱形： (3)矩形MNDE是黄金矩形，理由如下： 根据题意设NC=MN=DE=x, :矩形BCDE是黄金矩形， 51/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :CD-5-1 ED 2 cD=5-1 2 ND=CD+NC-5-1 x+x= V5+1 2 MN 2-5-1 ∴.ND V5+1 V5+12 2 ∴.矩形MWDE是黄金矩形 38.(24-25八年级下安徽安庆期中)在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数 学活动，请你解答各小组活动中产生的问题.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,将矩形 纸片进行折叠： B-- 图1 图2 问题解决： (1)如图1，奋斗小组将该矩形沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B,则DE=-cm,S。AEc=-cm'; 实践探究： (2)如图2，希望小组将矩形ABCD沿着EF(点E,F分别在边AD,边BC上)所在的直线折叠，点B的 对应点为点D,连接BE,求折痕EF的长， 【答案】(1)3,10(2)EF=25 【详解】解：(1)由翻折的性质可得，∠ACB=∠ACE, :四边形ABCD为矩形， AD∥BC, ∠EAC=LACB, .∠EAC=LACE, :EA=EC, 假设DE=xcm,则EA=EC=(8-x)cm, 由勾股定理得EC2=DE2+CD, 即(8-x)2=x2+4, 解得x=3, 52/62 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :DE 3cm,EA EC 5cm 5c-4E-CE=x5x4=10. 故答案为：3,10： (2)如图，连接BD, E F 图2 由翻折的性质可得，∠EFB=∠EFD,BF=DF, ADI BC, ∴.∠DEF=∠EFB, ∴∠EFD=∠DEF, DE DF, ∴DE=BF,且DE∥BF, :四边形BFDE为平行四边形， 又BF=DF, oBFDE为菱形， BE∥DF,BE=DE, 又A'E∥DF, ∴点A,E,B在同一条直线上， 同(1)可得，AE=3,DE=5, S菱形BFDE=DE·AB=5×4=20, 由够定理得BD=VBC2+CD2=4V5, SEF BD=20 解得EF=2√5 39.(22-23八年级下.安徽芜湖期末)在长方形ABCD中，AB=6,AD=8,点E是AD边上的一点，将 △ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F,射线EF与线段BC交于点G, 53/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D(E) A D GC 图1 图2 (1)如图1，当E点和D点重合时，求证：BG=DG; (2)如图2，连接DF,CF,若DF=CF,求CDF的面积. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC, ∠ADB=∠DBC, :将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F,射线EF与线段BC交于点G, ·∠ADB=∠BDF, ·∠BDF=∠DBC, .:BG=DG; (2)解：如图，作FM⊥CD于M,交AB于N, .∠NMC=90°， DF=CF, 1 DM=CM-CD. :四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, ∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=6,BC=AD=8, :.四边形BCMN是矩形， ÷BN=CM=CD=x6=3,∠kYB=90,MN:8C=. 2 :将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为点F, .BF AB=6, 在R△BNF中，FN=√BF2-BN2=V62-32=3V5, :FM MN-FN =8-33, :.5acDr=CD.FM=1x6x(8-3/3)=24-93. .CDF的面积为24-9√5. 54/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D M GC 40.(23-24八年级下·安徽马鞍山期末)问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题 的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），己知矩形纸片宽AD=6. D D G E B 图1 图2 图3 动手实践： (1)如图1，A小组将矩形纸片ABCD折叠，点D落在AB边上的点E处，折痕为AF,连接EF,然后将 纸片展平，得到四边形AEFD,试判断四边形AEFD的形状，并加以证明 (2)如图2，B小组将矩形纸片ABCD对折使AB与DC重合，展平后得到折痕PO,再次过点A折叠使点 D落在折痕PO上的点N处，得到折痕AM,连结MN,展平后得到四边形ANMD,请求出四边形ANMD的 面积. 深度探究： (3)如图3，C小组将图1中的四边形EFCB剪去，然后在边AD,EF上取点G,H,将四边形AEFD沿 GH折叠，使A点的对应点A始终落在边DF上（点A不与点D,F重合），点E落在点E处，AE与EF交 于点T.探究：当在DF上运动时，△FTA'的周长是否会变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该 定值 【详解】解：(1)四边形AEFD是正方形，理由如下： :四边形ABCD是矩形， ∠D=90°，AB∥CD, ∴LFAE=∠DFA, 由第一步折叠可知：LFAE=LDAF,AD=AE,FD=FE, ∠DAF=∠DFA, .AD=FD, .AD=AE=FD=FE, .四边形AEFD是菱形， 又：∠D=90°， :.四边形AEFD是正方形： 55/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)连接DN, D M 0 B 由折叠得，AP=PD=AD=3,AN=AD=6,PQ⊥AD,∠DAM=∠NAM, .DN=AN=6, :DN=AN=AD=6, ∴△ADN是等边三角形， .∠DAN=60°， :∠DAM=∠DAN=30°， 2 设DM=x,则AM=2x, 由勾股定理得，AD2+DM2=AM2, 62+x2=(2x)2, 解得，x=2√5（负值舍去） :DM =23 由折叠得，Sm=Sm=号4DxDM=方×6x25, 1 S四边形AwD=2SADM=12V3; (3)△FT4的周长不变，为定值12.理由如下： 如图，连接AA',AT,过点A作AM⊥A'T于点M, D A M G >E” H: E 由折叠可知，AG=GA',∠GA'E=∠GAE=90°， .∠GAA'=∠GA'A, ∠AAE=∠AA'T, :DF∥AE, ∠DA'A=∠A'AE=∠AA'T, 56/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AA'=AA', △DAA'≌△MAA'AAS, :DA'=MA',AD AM, ·AM=AD=AE, AT=AT, .RtAAMT≌Rt△AET(HL, .MT=ET, :△FTA'的周长=A'F+TF+A'T=A'F+TF+A'M+TM=A'F+TF+AD+ET=DF+TF=6+6=12, △FTA的周长为12. 41.(24-25八年级下·安徽合肥期末)如图1，点E,F是正方形ABCD边AD,CD上的点，连接BE、BF ,将△ABE和BCF分别沿BE、BF对折，点A、点C交于对角线BD上一点P. A D E 图1 图2 图3 (1)∠EBF的度数为_°： (2)如图2，过点P作边BC的垂线，分别交AD、BC、BF于点M、N、H,求证：四边形CFPH是菱形. )如图3，连接EH,求BF CH2 的值。 【详解】(1)解：：将△ABE和BCF分别沿BE、BF对折，点A、点C交于对角线BD上一点P. 1 1 ∠ABE=∠DBE=-∠ABD,∠CBF=∠DBF=∠CBD :四边形ABCD是正方形， ∠ABC=90°， ∠EBF=∠EBD+∠FBD-ABD+CBD-∠ABD+∠CBD-ABC=45. 故答案为：45°. (2)证明：由翻折知∠ABD=∠CBD=LABC,∠ABE=∠DBE=∠ABD, 2 1 ∠CBF=∠DBF=∠CBD, 2 ∠ABE=∠CBF, :四边形ABCD为正方形， 57/62 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BAE=LBCF=90°，BA=BC, △BAE≌△3CF(AAS, :AE=CF, 又：AD=CD, :DE=DF, 又：∠ADC=90°， .∠DFE=45°， 又：△ACD是等腰直角三角形， :∠DCA=∠DFE=45°， EF∥AC, :MN∥CD, .四边形CFPH是平行四边形， :BCF分别沿BF折叠得到△BPF, :CF=PF, :四边形CFPH是菱形 (3)解：设NC=a,则HN=a,CH=CF=PF=AE=V2a, ∴CH2=2a2, :等腰直角三角形DEF,LBDE=LBDC=45°， .BD⊥EF,PE=PF, :PD=-EF=EP=PF=2a, 2 DE=√PE2+PD2=2a, :∠EPM=∠MPD=45°，EP=PD, ∴EM=ED=a :AM=AE+EM=2a+a, :LA=∠ABC=∠AMN=LBNM, :四边形AMNB是矩形， :BN=AM=2a+a=(2+1)a BH2=Bw2+NH2=[2+1a+a2=(4+22)a2, BH2 CH2 4+2g-2+5 2a2 42.（24-25八年级下.安徽芜湖·期末)综合实践 【操作与发现】数学兴趣小组以折叠正方形纸片展开数学探究活动，操作如下： 58/62 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 操作一：如图1，对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展平； 操作二：如图2，再次对折正方形纸片ABCD,得到折痕BD,把纸片展平， 操作三：如图3，将边AB和边BC对折后在BD上重合，得到折痕BE和BF; 把正方形纸片展平，折痕BE,BF与AC的交点分别为G,H,连接EH,得图4. 、区 图1 图2 图3 图4 根据以上操作，得到以下结论： (1)∠EBF=°，△BEH的形状是 【探究与证明】 (2)如图5，连接EF,过点H作MN∥CD,分别交AD,BC,EF于点M,N,P. 求证：四边形CFPH是菱形， 【拓展与计算】 (3)设AB=a,CH=b,求a与b之间的数量关系（用等式表示，不写过程，直接写出结果）. 【详解】解：(1)解：如图，连接BD,EF, 由题意得，∠ABE=∠DBE,∠CBF=∠DBF, :四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠BAE=LBCF=LABC=90°， ∠ABE+LDBE+LCBF+∠DBF=90°， .2∠DBE+∠DBF)=90°， ∠DBE+∠DBF=45°，即∠EBF=45°； :将边AB和边BC对折后在BD上重合，得到折痕BE和BF, ∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠CBF=22.5°， ∠BEA=90°-∠ABE=67.5°，∠CFB=90°-∠CBF=67.5°， :正方形中∠DAC=45°，∠ACD=45°， ∠AGE=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AEG, .AE=AG, 同理：∠CFH=∠CHF=67.5°，CH=CF, :AB=BC,∠BAE=∠BCF=90°，∠ABE=∠CBF=22.5°， .△ABE≌△CBF, ∴AE=CF=CH, :∠BAC=45°，∠AHB=∠CHF=67.5°， 59/62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠ABH=180°-45°-67.5°=67.5°=∠AHB, :BC=AB=AH, :∠EAH=∠IHCB=45°，AE=CH, .△AEH≌△CHB, .EH =BH, LBEH=∠EBF=45°， .∠BHE=90°， ∴△BHE为等腰直角三角形； E B (2)证明：由(1)知AE=CF, 又：正方形ABCD中，AD=CD, :DE DF, 又：∠ADC=90°， LDFE=45°， 又：△ACD是等腰直角三角形， ∠DCA=∠DFE=45°， EF∥AC, :MN∥CD, :四边形CFPH是平行四边形， :由(1)知CH=CF, :四边形CFPH是菱形： (3)由(1)知，AB=AH=a, .AC=AH+CH=a+b, 在Rt△ABC中，AC=VAB2+BC2=√2a, a+b=2a, :b=2-la或2a2=(a+b2或a=2+1b. 43.（24-25八年级下.安徽宿州期末)综合与实践 定义：将一张纸片折叠，若折叠后的纸片恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，则称这样的长方形为 完美长方形 60/62 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 HD D H B F D B B 图1 图2 图3 (1)【操作发现】将一张三角形纸片ABC按如图1所示的方式折叠成完美长方形EFGH.若ABC的面积为 12,BC=6,则完美长方形EFGH的边FG的长为，面积为一· (2)【类比探究】将一张平行四边形纸片ABCD按如图2所示的方式折叠成完美长方形AEFG.若▣ABCD的 面积为20，BC=5,求完美长方形AEFG的周长， (3)【拓展延伸】将一张平行四边形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠成完美长方形EFGH.若 EF:FG=3:4,AD=15,求完美长方形EFGH的周长与面积。 【答案】(13：6； (2)13: 3)周长为42.面积是108. 【详解】(1)解：由折叠可知，BF=DF,CG=DG,AH=DH=CH, :DF+DG=BF+CG,点H是AC中点， :FG=DF+DG=BC=3, 如图，过点A作AM⊥BC于M,AM交EH于点N, :S,c=)BC-AM=)×6×AM=12, B F DMG .AM=4, 由折叠可知：MN=AN=2, :EF HG=MN=2, ·完美矩形的面积为： 故答案为：3；6； (2)解：由折叠可知：BE=HE,CF=HF，S△ABE=S△AHE,S图边形AHFG=S阳边形DCPG, 5 BEF=BC),矩形AEFG的面积为：20÷2=0 2 :AE=10÷=4, 2 61/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 /13 :矩形AEFG的周长=2×4+。 (3)解：由折叠可知：点E、G分别是AB、CD的中点， .E-B DG-DC. 如图，连接EG, BF 由题意可知：AB=CD,AB∥CD, AE=DG,AE∥DG, :四边形AEGD是平行四边形， :AD=EG, :EF:FG=3:4,AD=15, 在RtHEF中，设EF=3x,则FG=4x, 根据勾股定理得：EF2FG2EG2, .(3x)2+4x)2=152, 解得：x=3, EF=9,FG=12, 此完美矩形的周长为2×(9+12)=42.面积是9×12=108. 62/62