精品解析：上海市敬业中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

敬业中学2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 2026年4月 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名､班级､准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 2.本试卷共21道试题，请考生用黑色水笔在答题卷的相应位置作答，写在试卷上的解答一律无效. 一､填空题（本大题共12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分） 1. 的角是第__________象限. 【答案】四 【解析】 【详解】因为，所以的终边与的终边重合， 又为第四象限角，所以的终边落在第四象限. 2. 函数的最小正周期是__________； 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 3. 已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长得到关于圆心角的方程，解之即可得解. 【详解】依题意，设扇形的圆心角为， 因为扇形的半径是，弧长为， 所以由，得，则. 故答案为：. 4. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点的坐标结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为：. 5. 若，且为第二象限角，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的基本关系式首先求得的值，进而求得的值. 【详解】由于，且为第二象限角，所以，所以. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式求值，属于基础题. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求，再结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 因为时，， 所以， 所以 故答案为： 7. 已知，则的值为______________； 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 8. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题意可得，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的朋友可得解析式，再根据正弦型函数的对称轴方程得解. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 令， 解得， 当时，得对称轴方程为， 故答案为：. 10. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所需角度，再由正弦定理，得，进而由余弦定理求解即可. 【详解】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 11. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的值域和已知条件可得，取，求解即可. 【详解】因为， 且， 所以， 不妨取， 则， 所以. 12. 若为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析出的周期为，值域为，分别考虑函数在上包含一个最值点和函数在上不包含一个最值点，结合余弦函数的图象，求解即可. 【详解】由余弦函数性质得的周期为，值域为， 又因为函数在闭区间上的最大值和最小值的差为， 所以， 当函数在上包含一个最值点时，必有一个点为零点， 即当最大值为1，最小值为0或当最大值为0，最小值为时，此时区间长度为； 当函数在上不包含一个最值点时，则函数在上必单调， 不妨设此时函数在上单调递增，取， 由图象可得， 又因为， 因为，所以， 所以，， 所以， 所以，此时 所以，解得； 当时，， 且；当时，， ， 因为，所以，所以， 所以，不满足题意； 综上，，所以. 二､选择题（本大题4题，满分14分，第13，14题每小题3分，第15，16题每小题4分） 13. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 14. 在中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】借助正弦定理完成边角互化，分别证明充分性与必要性，判定两个命题的等价关系. 【详解】在中，因，，则, 先证充分性： 等价于，由正弦定理得，化简得. 再证必要性： 由可得,由正弦定理得，即，进而可得. 综上，“” 是“ ”成立的充要条件. 15. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可. 【详解】 如图，由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以， 所以，即，故， 由图象可得，所以，则， 又，所以，则， 又，所以. 16. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如 .已知，现有下列两个命题，①函数是周期函数；②方程有2个实数根，则（ ）. A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得为偶函数，作出函数的图象，可判断①；分，，且，及或，求解判断②． 【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为，关于原点对称， 又因为， 所以为偶函数， 由可知，在内，当时，， 当，且时，， 当或时，， 则函数的图象如下图所示： 由图可知，不是周期函数，故①错误； 因为当时，，所以， 所以，不存在，使，故无解； 当，且时，， 所以由，得，所以，所以， 如图所示， 此时有一个解； 当或时，， 所以由，得， 综上所述，方程有2个实数根，故②正确． 三､解答题（本大题共5题，满分44分） 17. 已知集合，其中为实数，集合. （1）若，求； （2）若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【小问1详解】 若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； 【小问2详解】 由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 19. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由 ， 解得，故. 【小问2详解】 由（1）可得，又因为，， 所以，则， 故. 20. 如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）当时，求矩形的面积； （2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 【答案】（1） （2），；的最小值为. 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，求得，利用矩形面积公式求解； （2）由题求出，，利用矩形面积公式求出，换元令，得到关于的二次函数，利用二次函数性质求出最小值. 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为， 当时，，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，，所以，， 所以，， 因为， 令，则，即， 因为，所以，故，即， 所以，， 所以当时，取得最小值. 21. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 【答案】（1） （2） （3） 当或时，所有元素之和为； 当时，所有元素之和为； 当时，所有元素之和为. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算可得结果. （2）利用辅助角公式化简函数解析式，结合函数的单调性可求的取值范围. （3）求出函数解析式，画出函数图象，问题转化为直线与图象交点横坐标的和，讨论的范围，结合图象的对称性可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， ∴， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，故在上为减函数，在上为增函数， 当时，在上为减函数，不合题意. 当时，，其中，. 由得，. ∵函数在区间上是增函数， ∴，即，故， ∴，故. 【小问3详解】 当时，. ∵的图象关于直线对称， ∴当时，，. 记中所有元素之和为. 由得，，根据对称性得， 根据，作出在上的图象， 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有三个交点，其中一个交点横坐标为，其余两点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有四个交点，此时有两对关于直线对称的点，故. 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 综上得，当或时，；当时，；当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敬业中学2025学年第二学期高一年级期中考试 数学试卷 2026年4月 （满分100分，考试时间90分钟） 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名､班级､准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 2.本试卷共21道试题，请考生用黑色水笔在答题卷的相应位置作答，写在试卷上的解答一律无效. 一､填空题（本大题共12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分） 1. 的角是第__________象限. 2. 函数的最小正周期是__________； 3. 已知扇形的弧长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数是___________． 4. 已知角的终边经过点，则______． 5. 若，且为第二象限角，则的值为_________. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则___________． 7. 已知，则的值为______________； 8. 函数的定义域为________． 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图像中与轴最近的对称轴的方程是________. 10. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是__________m. 11. 已知，则__________. 12. 若为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题4题，满分14分，第13，14题每小题3分，第15，16题每小题4分） 13. 下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（ ） A. B. C. D. 14. 在中，” “是” “成立的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 16. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如 .已知，现有下列两个命题，①函数是周期函数；②方程有2个实数根，则（ ）. A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立 三､解答题（本大题共5题，满分44分） 17. 已知集合，其中为实数，集合. （1）若，求； （2）若非空集合，求实数的取值范围. 18. 在中，角所对的边分别为，若． （1）求A的大小； （2）若，求的面积． 19. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值. 20. 如图，有一块正方形铁皮，其边长为4米，阴影部分是一个半径为3米的扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好.工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上.设，矩形的面积为平方米. （1）当时，求矩形的面积； （2）写出矩形的面积关于的函数表达式，并求出的最小值. 21. 已知函数. （1）若，试求的值； （2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； （3）定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $