河北南宫中学等校2025-2026学年高一下学期4月期中测评数学试题

高一数学测评 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册6.1一8.6.1。 家 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是 A.三棱锥 B.四棱锥 数 C.五棱锥 D.四棱柱 2.已知之=2一33，则z= A.1-3i B.1+3i C.3+i D.3-i 封 3.如图，封闭图形ABC由线段AB,BC和曲线AC组成，其中A,O,B三点共线， 曲线AC是以O为圆心，OA为半径的一段弧，且AC所对的圆心角为，将该图 形绕着AB所在的直线旋转一周得到旋转体，则 A该旋转体由子个球体和1个圆锥体组成 B.该旋转体由2个球体和1个圆锥体组成 C.该旋转体由子个球体和1个圆台体组成 线 D,该旋转体由2个球体和1个圆台体组成 4+3i 器 4.已知x=1-2则z- A.5 B.5 C.25 D 5 5.已知向量a=(x,1),b=(3,2),c=(-4,y),且ab,a⊥c,则x十y= 人号 c-号 10 D 3 【高一数学¤第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 6.欧拉公式e=cos0+isin0是由数学家欧拉发现的，被誉为数学上最优美的公式之一.已知 (o+)_5+25 5 5 ,则tan20= A-吉 R-是 7.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选择与塔底B在同一水平面内的 两个测量点C与D,先测得∠BCD=45°，∠BDC=105°，CD=40米，并 在点C处测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB= A.60E+206米 B.605,206米 5 3 c.60E-206米 D.605+206米 3 8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC,侧面BCC1B1是正方 形，BC=√2AB=2,M是线段BC1上的动点，当AM+B1M取得最 A B 小值时，△AB,M的面积为 A号 B.√6 c D.3√2 B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若复数z=(m2一4)十(m十2)i(m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限，则m的值可能是 A.-4 B.-3 C.3 D.4 10.棱长为2的正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，下列结论 正确的是 A.该正方体外接球的体积为32√3π D B.直线AE与GH异面 C.AE⊥CF D.四面体BCDF的表面积为4十4√2 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,若C=号，且△ABC的面积S= 4,则 A.acos B+bcos A=√3 B.a+b≥23 C.sin 1E(xlx=cos A+cos B) D.关于B的方程3sinB+cosB 2sinB=1存在2个不相等的实数根 【高一数学辽第2页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知z1=2-i,之2=3十2i,则之1一之2的虚部为 ▲ 13.如图，△A'BC'是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的 直观图，A',C分别在y',x'轴上，且A'B'=B'C=3,A'B'⊥ B'C',A'B'∥O'C',则在△ABC中，BC=▲· 14.已知向量a,b,c满足|a|=6,|b|=5,a·b=18,且(c-a)· (c一2b)=-12,则|c-b|的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3 asin B=4 bcos A. (1)求sinA; (2)若a=3,△ABC的面积为5，求△ABC的周长. 16.(15分) 一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器的内部装满了水，容器壁厚度忽 略不计 (1)求该容器的表面积与容积； (2)若另一个圆锥体容器的底面半径为2，母线长为2√2，将圆柱体容器内的水全部倒人圆 锥体容器（水的损耗忽略不计），且圆锥体容器的底面水平放置，求圆锥体容器中水面的 高度 17.(15分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,PD的中点，H是棱PA上的 动点 (1)若H为PA的中点，证明：HG平面PBC (2)若PH-PA,证明：直线EF与HG相交于一点 【高一数学¤第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 18.(17分) 如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，F是线段BE上的点（含 端点). (1)若E京=2FB,用AB,AD表示A京， (2)求AC.A市的取值范围； (3)延长AF到点G,使得CG⊥AE,若AF=√10，求EG. E 欧 19.(17分) 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E,F分别是CC1,A1D1上的点，且CE=1, A1F=2. 到 (1)求直线A1B与EF所成角的余弦值 (2)设G是线段EF上的动点（含端点）， (1)判断三棱锥G-A1BD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最 小值 (1)当CG/年面A,BD时，求器的值， 9 B 线 【高一数学¤第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF高一数学测评参考答案 1.C三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五 棱锥的顶点数为6. 2.D之=i2-33=-1+3i,则泛=i(-1一3i)=3一i 3.B由题可知，该蔗转体由2个球体和1个圆锥体组成。 4B11=件-5 2x-3=0, 5.A因为a%,a⊥c,所以 -4x+y=0, 2'x+y=5 y=6, 6D由题可知a(g+)-2则"0}-2，解得am0 3,则tan20= 2tan 03 1-tan20 4' BC CD 7.A由题可知∠CBD=30,则sin∠BDC-sin∠CBD,则BC=80sin105°=80sin(45°+60) =202+V6)米.因为∠BCA=30,所以AB=BC-20,6十60,2米. √5 8.C如图，将△BB1C1沿着BC1翻折，使其与△ABC1共面，可知当 A,M,B1三点共线时，AM十B1M取得最小值.过B1作B1N」 BC1,因为BC=√2AB=2,侧面BCC1B1是正方形，所以BC1= 2√2，B1N=√2=AB,易知AB⊥BC1,则M为BN的中点，则AM M =B,M=y10 ，AB,=5,则△MB,M的边AB,上的为 (四)-(9)-1，则△AB,M的面积为2×5X1- 1m2-4>0, 9.AB由题可得 解得m<-2,故选AB. m+2<0, 10.BCD因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球的半径为√3，体积 E 为暂()3=43，A不正确原正方体还原如图所示，易得直线AEC 与GH异面，AE⊥CF,B,C均正确.易知BC=BF=2,BD=CF= D 22,DF=2W3,则可得BD⊥BF,CD⊥CF,△BDF与△CDF的面 B 积均为2×2X2厄=2W2,△BCD与△BCF的面积均为2×2×2= 2,故四面体BCDF的表面积为4十4√2，D正确， 【高一数学·参考答案¤第1页（共5页）】 1AcD因为C-音，所以S=-空-号a6s血C-。 ab,则c=5. 由sinC-sin(A十B)=sin Acos B+cos Asin B,可得c=acos B十bcos A=√3，A正确. 因为c=a+b-2 bosC,所以3=a2+82-ab=(a十b)2-3ab≥a+》,当且仅当a =b时，等号成立，则a十b<25,B不正确.cosA十c0sB=c0sA十cos(-A)=0sA snA=sin(A+若).由0<A<经，得晋<A+吾<，因为晋<1<，所以sin1C {xx=cosA+cosB),C正确.V3sinB+cosB一2sinB 323sin2B+2sin Bcos B-/3 2sin B _sin 2B-3cos 2B sin(2B-) 2sin B sin B 1,则sm(2B-罗）=sinB.由0<B<,得-号< 2B吾<，则2B一晋=B或2B一否+B=,得B=答或B-,D正确， 12.一3之1一之2=一1一3i,虚部为-3. 13.9由题可知，A'C'=OA'=3√2，则在实物图中，OA=6√2，OC=6,AB=3,则BC= √32+(6√2)2=9. 14.5如图，记OA=a,Oi=b,0元=c,O)=2b,则0A=6, 0D=10o乙A0D=8合-号可得AD=8取AD 的中点E,则c-a=OC-OA=AC=AE+EC,c-2b= O元-O币=DC=DE+EC=-AE+EC,则(c-a)·(c 2b)=(AE+EC)·(-AE+EC)=EC2-A2=EC2-16=-12,则1E式1=2，故C是以E 为圆心，2为半径的圆上的动点，c-b=O心-O=BC.易得BE=号A0=3,所以1≤ BC≤5. 15.解：(1)因为3 asin B=4 bcos A,所以3 sin Asin B=4 sin Bcos A.…2分 又sinB≠0，所以3sinA=4cosA. 3分 由mA十coSA=1,可得rA=1. …5分 因为sinA>0,所以sinA= …6分 (2)因为△ABC的面积为5，所以2 bcsin A=5,…7分 得bc=25 2 …8分 【高一数学·参考答案¤第2页（共5页）】 5, 9分 则a2=b2+c2-26cosA=(6+c)2-1c=(6十c)2-40 …11分 因为a=3,所以(b十c)2=49,…12分 则b十c=7,则△ABC的周长为10.…13分 16.解：(1)因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2，…2分 则该容器的表面积为2πX12十2πX1X2=6π，…4分 容积为元X12X2=2元.…6分 (2)由题可得圆锥体容器的高为2.… 7分 设水面的高度为，半径为，则22-5，即么=2。 …9分 则3(r2十4x十2rh=2x,… 11分 则(r2+2x+4)(2-r)=6, 12分 整理得r3=2,. 14分 则r=2,h=2一2，即圆锥体容器中水面的高度为2一2.…15分 17.证明：(1)因为H为PA的中点，G为PD的中点，所以HG∥AD.…2分 又四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以底面ABCD为正方形，则BC∥AD,…3分 从而HG/BC.…4分 因为HG中平面PBC,BCC平面PBC,所以HG平面PBC.… …6分 (2)连接AC,BD,使ACOBD=S,ACOEF=Q,则AO 2 3 …7分 延长AD,EP,使得他们交于点M,则品合号得AM AD, 8分 取PA的中点N,连接GN,则GN∥AD.… 9分 延长HG并与AD的延长线交于点M,… 10分 则盛品 11分 因为PHA,所器治-日 …………12分 则AM=3NG=多AD, 13分 则AM=AM,则M,M重合，… …14分 【高一数学·参考答案¤第3页（共5页）】 故直线EF与HG相交于一点.… …15分 18.解：1)因为E萨-2F,所以应-子A+号应， 2分 又E是CD的中点，所以A它=A市+D庀-AD+}A成， …3分 从而A=号A+号(A心+2A)-吾A店+号A心. …4分 (2)(方法一)因为F是线段BE上的点，所以A庐-xA疤+(1-x)A店=xAD+(1-)A店 (0≤x≤1).… 6分 又AC=A+A店，所以AC.A庐=(AD+A8)·[zAD+(1-)A] …7分 =xA市2+(1+2)AD.AB+(1-2)A2=16-4x.… …8分 由0≤x≤1，得12≤16-4x≤16，故AC.A疗的取值范围为[12,16].…10分 (方法二)AC.A疗=AC1 AF cos∠CAF,…5分 分别记E,B在AC上的射影为E1,B1· 由向量的投影可知，当F运动到点E处时，AC·AF取得最小值AC1AE,当F运动到 点B处时，AC.A疗取得最大值ACAB.…6分 定AC,BE的交点为0.易得0E=号8E-2.0A-号4C-4 31 …7分 则0E,=0E25 01=15,0B=20E,=4v⑤ 15…8分 则AE-5AB,- 5，… …9分 则ACAE1=12,AC1|AB1=16,故AC.A京的取值范围为[12,16].…10分 (3)由题可知AE⊥BE,…11分 因为AE=22,AF=I0,所以EF=2=号BE.…12分 又AE⊥CG,所以BE/CG,… …13分 则需把-号从而4G-号-号×分+=子+子正. …14分 成=AG-A花-是a成-}应-号A店-}A市，… …15分 则亦-得a-A店.A市+6的- 4 16分 则EG=1EG=√26 21 17分 【高一数学·参考答案¤第4页（共5页）】 19.解：(1)过点E作EM∥A1B,连接FM,可知∠FEM即为直线A1B与EF所成的角.… …1分 由正方体的棱长为4，CE=1,A1F=2,可得D1M=1,FM=√5，EM=3√2，EF=√29，… …2分 则cos∠FEM=EF2+EM-FM=29+18-5_7V58 2EF·EM 2×√29X3V258, …3分 故直线4B与EF所成角的余弦值为S8 …4分 (2)(1)三棱锥G-A1BD的体积不是定值.…5分 假设三棱锥G-A1BD的体积是定值，则EF平面A1BD.… …6分 由(1)可知EM∥A1B,且EM在平面A:BD,则EM平面A1BD. 。st10t。e00。*000“7分 因为EF∩EM=E,所以平面EFM∥平面A1BD.又FMC平面 EFM,所以FM/平面A1BD,这显然不成立，故假设不成立，即三棱锥G-ABD的体积不 是定值.…8分 由图可知，线段EF在平面A1BD的同侧，且在线段EF的所有点中，F到平面A1BD的距 离最小，所以当G与F重合时，三棱锥G-A1BD的体积最小，…9分 且VeA如=V:A®=VA=号×号×2X4X4=9,则三校维GA,BD体积的最小值为 16 3 …10分 (i)连接B1C,B1D1,CD1,易得B1D1∥BD,且B1D1C平面A1BD,所以B1D1∥平面 A1BD.同理可得B1C/平面A1BD,则平面B1CD1平面A1BD.…11分 此时线段EF∩平面A1BD=G,满足CG/平面A1BD.…12分 设E,F到平面B1CD1的距离分别为d1,d,则C一d EG d …13分 △B1CD1是边长为4V2的等边三角形，则S△B,cD,= X(42)2=8月.…14分 3 由Va,=Vo,高e可得号×83d=了×2×1X4X4,解得d,- 3· …15分 由Vm,=Ve,F,可得号×8v5d,=号×分×2X4X4,解得d:- 1 2 3,…16分 则怒品 …17分 【高一数学·参考答案¤第5页（共5页）】