8.1.3向量数量积的坐标运算课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.3向量数量积的坐标运算 《人教B版2019高中数学必修第三册》 探究新知 我们知道，在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1,e2之后，如果对于平面内的向量a，有 a=xe1+ye2（用两个规定方向的向量和表示向量a） 则（x,y）就是向量a的坐标，记作a=(x,y).而且，{e1,e2}是一组单位正交基底，这就是说，  e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0 因此 a·e1=(xe1+ye2)·e1=xe1·e1+ye2·e1=x. 类似地，有a·e2=y 也就是说，a在单位正交基底{e1,e2}下的坐标为(a·e1,a·e2),如图所示．这也可通过向量数量积的几何意义看出来，请读者自行尝试. （提示：在单位向量e1,e2下向量a的坐标，就是在俩基底上的投影，即a·e1和a·e2） 探究新知 由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1,e2}，使得 a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2 因此 a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2) =x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2 =x1x2+y1y2 从而 探究新知 由此可知，利用向量的坐标可以迅速地算出向量的数量积. 也就是说，根据向量的坐标，还能方便地算出它们的模以及夹角等. 而且，当a=(x1,y1),b=(x2,y2)都不是零向量时，因为 |a|2=a·a=x12+y12,|b|2=b·b=x22+y22, 所以 cos<a,b>= 探究新知 在平面直角坐标系中，如果A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 这就是说，利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式. - x1,y2-y1) 提示：=（x1,y1)，=(x2,y2),=-=- x1,y2-y1) - x1)2+（y2-y1)2,因此 探究新知 例1  已知a=(3,-1),b=(1,-2)，求a·b,|a|,|b|,〈a,b〉. 解 由题意可知 a·b=(3,-1)·(1,-2)=3×1+(-1)×(-2)=5, |a|==, |b|==, 又因为 cos<a,b>==, 所以<a,b>= 探究新知 例2  已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)，求∠BAC的余弦值 解 因为 =（3-1,4-2）=（2,2） =（5-1,0-2）=（4,-2） 所以 ·=2×4,+2×(-2)=4 ||= ||== 因此 cos∠BAC=== 探究新知 因为a⊥b的充要条件是a·b=0，因此 这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件. 探究新知 例3  已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求证： 证明 因为 =(2,3)-(1,2)=（1,1）， =(-2,5)-(1,2)=（-3,3）， 所以 ·=（1,1）·（-3,3）=1×(-3)+1×3=0 因此 探究新知 例4  如图8-1-12所示，已知点A(2,1)，将向量绕原点O逆时针旋转得到,求点B的坐标. 解 由已知可得 ||=||，||·||=0. 又因为=(2,1),设B=(x,y),则 =(x,y),从而有 x2+y2=22+12 2x+y=0 解得 x=1 或 x=-1 y=-2 y=2 又因为由图可知x<0，所以B(-1,2) 探究新知 例5  如图8-1-13所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB,PF⊥BC，连接DP,EF.求证：DP⊥EF. 证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，正方形的边长为单位长，建立如图8-1-14所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(1,0),D(0,1)，从而 =(0,1) 由已知，可设P(a,a)，其中0<a<1，则E(a,0),F(1,a)，因此 =(a,a-1),.又因为=a(1-a)+(a-1)a=0, 所以⊥，因此DP⊥EF. 例5说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题. 小结 1.向量的坐标表示:a=(x,y)； 2.向量数量积坐标公式:a·b=x1x2+y1y2 3.向量模长的坐标运算:|a|== 4.两点间向量模长:A(x1,y1)，B(x2,y2),- x1,y2-y1), 5.两向量夹角余弦坐标公式:cos<a,b>= 6.向量垂直:a⊥b⇔=0⇔x1x2+y1y2=0 向量平行/共线：a//b⇔x1y2=x2y1(平行斜率 7.向量投影的坐标公式: b在a方向上的数量投影为 b在a方向上的向量投影（ 练习A ①已知向量a,b的坐标，分别求a·b,|a|,|b|和cos〈a,b〉 (1) a=(4,-3),b=(-4,3); (2) a=(3,5). b=(-5,3); (3) a=(12,5),b=(1,2); (4) a=(-11,2),b=(3,9). 解 （1）a·b=(4,-3)·(-4,3)=4×(-4)+(-3)×3=-25 |a|= =5 |b|= cos〈a,b〉===-1 练习A ②已知A(1,2),B(-5,8)，C(-2,-1)，求证：  证明 因为 =(-5,8)-(1,2)=（-6,6）， =(-2,-1)-(1,2)=（-3,-3）， 所以 ·=（-6,6）·（-3,-3）=(-6)×(-3)+6×(-3)=0 因此 练习A ③ 求证：对任意实数k，向量k(-y,x)与向量（x,y）垂直. 证明 因为 k(-y,x)·(x,y）=k(-yx+xy)=0 所以对任意实数k，向量k(-y,x)与向量（x,y）垂直 练习A ④若|a|=，b=(-2,3)，且a⊥b，求向量a的坐标. 解 设a=(x,y),则 |a|==,即 =52 由a⊥b，得 -2x+3y=0 解得 x=6 或 x=-6 y=4 y=-4 所以a=(6,4)或a=(-6,-4) 练习A ⑤ 已知点A(3,1),向量逆时针旋转后等于，求点B的坐标. 解 由已知可得 ||=||，||·||=0. 又因为=(3,1),设B=(x,y),则 =(x,y),从而有 x2+y2=32+12 3x+y=0 解得 x=1 或 x=-1 y=-3 y=3 又因为由A在第一象限可知x<0，所以B(-1,3) 练习B ① 已知向量a=(1,-2),b=(1,λ)，若a与b的夹角为锐角，求λ的取值范围. 解 向量夹角为锐角的条件a·b>0，且a与b不共线。 点积条件： a·b = 1×1 + (-2)×λ = 1 - 2λ> 0，λ< 。 共线条件： 若a与b共线，则1×λ= (-2)×1，即λ= -2（此时夹角为0o，不是锐角），需排除。 所以λ的取值范围是(-∞, -2)∪(-2, ) 练习B ② 已知A(1,1),B(-3,4),C(0,8)，试求ΔABC三个内角的大小. 解 由已知，得 =(-3-1,4-1)=(-4,3)，=(0-1,8-1)=(-1,7)，=(0−(−3),8−4)=(3,4). 故||= ||= ||=5 因为||= ||，且||2+||2=||2 ∴∠B=90o,∠A=∠C=45o 练习B ③ 求与下列向量垂直的单位向量. (1) a=(3,4); (2) b=(-1,1); (3) c=(12,-5); (4) d=(8,-15) 解 （1）设所求单位向量为(x,y)，则满足 （x，y)·(3,4）=0 x2+y2=1 解得（，-）或（-，） 练习B ④ 已知向量a=(3,3),b=(-2,5)，求a在b上的投影的数量. 解 投影数量公式： ab=3×(−2)+3×5=−6+15=9 == ∴== 练习B ⑤已知点A(1,1),B(5,3），将向量绕点A逆时针旋转得到，求点C 的坐标. 解 由已知可得 ||=||，||·||=0. 又因为=(4,2),设C=(x,y),则 =(x-1,y-1),从而有 (x-1)2+(y-1)2=42+22 (4,2)·(x-1,y-1)=0 解得 x=-1 或 x=3 y=5 y=-1 又因为绕点A逆时针旋转得到，所以C(-1,5) 练习B ⑥已知点H在ΔABC所在的平面内， 且满足== 求证：点H是ΔABC的垂心（即三条高的交点）. 证明 由= ∵ = ∴⊥AC 同理：AH⊥BC,CH⊥AB ∴点H是ΔABC的垂心 巩固提升 1.对基底的理解 （多选题）设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列选项中的向量组可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 规律总结：两个向量能否作为平面的一个基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底. AC 巩固提升 2.平面向量基底定理及其应用 如图所示，在▱ABCD中，点E,F分别为BC,DC的中点，DE与BF交于 点G，若=a，=b，试用向量a，b表示①;②;③. 注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但是在同一基底下的分解都是唯一的. A B C D E F G a b 解析 ①+ ②+ ③在△BDC中可知，=,故= 巩固提升 3.平面向量共线的坐标表示 （1）已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A（1,1），C（2,3），|则向量的坐标是 . 解析 由点C是线段AB 上一点，|则（2-2=-2, 解得 x=4, y=-4, y=7, 所以向量的坐标是（4，7） （4，7） 巩固提升 3.平面向量共线的坐标表示 （2）已知向量a=（1,2），b=（-3,2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？ 解析 方法一：由题意得ka+b=k（1,2）+（-3,2）=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为 ka+b与a-3b平行，所以（k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-这时 ka+b=-=-所以当k=-时，ka+b与a-3b平行，并且相反. 解析 方法二：由题意得ka+b=k（1,2）+（-3,2）=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),当 ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，使ka+b=λ(a-3b),所以 k-3=10λ, 解得k=λ=-,其他同上可知，ka+b与a-3b平行，并且相反. 2k+2=-4λ, 巩固提升 5.平面向量数量积的坐标表示 已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= . 解析 ∵a=(1,-1),b=(-1,2), ∴2a+b=(1,0), ∴(2a+b)·a=1×1+0×(-1)=1 1 $