8.1.3 向量数量积的坐标运算（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，通过回顾数量积几何意义及向量坐标运算，以“能否用坐标表示数量积”设问搭建学习支架，衔接旧知与新知，系统涵盖坐标公式、模、夹角、垂直关系及几何应用。 其亮点在于以问题驱动探究（如用单位向量i,j推导数量积公式）培养数学思维，结合矩形、正方形几何实例发展数学眼光，知识梳理表格化呈现数学语言。例题与跟踪训练层次分明，小结强调转化与数形结合，助力学生提升运算与推理能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

8．1.3　向量数量积的坐标运算 1 新课导入 学习目标 　　同学们，前面我们学习了平面向量数量积及其几何意义，我们也学会了用“坐标语言”来描述向量的加、减法、数乘运算，那么，我们能否用坐标来表示两向量的数量积呢？ 1.会用坐标表示平面向量的数量积． 2．能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角． 3．能够利用坐标判断向量的垂直关系． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　向量数量积的坐标运算 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能用a，b的坐标表示出a·b的值吗？ 提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0. 因为a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， 所以a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2. 又因为i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0， 所以a·b＝x1x2＋y1y2. 返回导航 [知识梳理] 条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 坐标表示 a·b＝_____________ 文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 x1x2＋y1y2 返回导航 [例1] (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 【解析】a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)， 所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. √ 返回导航 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 【解析】由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4. √ 返回导航 向量数量积运算的途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算． 返回导航 [跟踪训练1] (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11 解析：依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3. √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 条件 结论 a＝(x，y) |a|＝___________________ 表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝ _________________________ [知识梳理] 返回导航 [例2] (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ [跟踪训练2] (1)已知A，B，C是平面直角坐标系上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 返回导航 √ (2)(2025·抚顺月考)已知向量a＝(2，3)，b＝(1，0)，|a＋tb|＝3，则t＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 返回导航 三　向量夹角与垂直问题 思考　在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用坐标表示两非零向量垂直的充要条件？ 提示：a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2＝0. 返回导航 x1x2＋y1y2＝0 返回导航 返回导航 返回导航 (1，1) 返回导航 返回导航 返回导航 √ [跟踪训练3] (1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 返回导航 (2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________． 解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)， 因为a⊥(2a－b)， 所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0， 解得m＝－3，则b＝(－3，1). 返回导航 [例5] (对接教材例5)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； 四　向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用 返回导航 (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值． 返回导航 返回导航 用向量方法解决平面几何问题的步骤 返回导航 [跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1). 返回导航 (2)AP＝AB. 返回导航 平面向量的概念与坐标运算，给我们解决数学问题带来了全新的视角．用向量的视角来解读和诠释平面几何问题能给我们带来不一样的精彩．下面简单地介绍三角形面积的向量坐标公式及其在解题中的应用． 拓视野 向量的数量积与三角形的面积 返回导航 返回导航 返回导航 [典例] 已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).求平行四边形ABCD的面积． 因为平行四边形ABCD的面积是△ABC面积的2倍，所以平行四边形ABCD的面积是16. 返回导航 [练习] 在x轴上求一点P，使以A(1，2)，B(3，4)和P为顶点的三角形的面积为10. 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 39 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0. √ 返回导航 2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝(　　) A．23 B．57 C．63 D．83 解析：3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D. √ 返回导航 √ 返回导航 解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)， 所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y). 因为(a＋b)⊥(b－c)， 所以(a＋b)·(b－c)＝0， 即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4. 返回导航 5．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________． 解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)， 所以2a－b＝(－3，6－m). 由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7. 7 返回导航 1．已学习：平面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题． 2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、夹角及模长等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式； (2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况． 返回导航 $