第18章 矩形、菱形与正方形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材华东师大版八年级下册

第18章 矩形、菱形与正方形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 2．将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形的四条边长相等， ∴四边形是菱形， 如图①，连接， ∵在图①中，， ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得（负值舍去）， 如图②，连接， ∵在图②中，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 3．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据勾股定理求解，即可得答案． 【详解】解：由对折可得：， 矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 4．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 5．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴四边形的周长为， ∵， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 8．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，根据正方形性质证明为等腰直角三角形，得到，再利用角平分线的性质及全等三角形证明，从而求出的长，即可得到点的坐标 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 9．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 10．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点N恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长度是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设交于点H，交于点L，可证明，得到；再证明B，C，E三点共线，则可证明，得到，，根据，，得到，进而求得的长，再利用勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：如图，设交于点H，交于点L， ∵，四边形、四边形、四边形都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴B，C，E三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点，若点是的中点，下列结论中①；②；③是等腰直角三角形；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定、性质直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．根据已知证明是等腰直角三角形，则，通过角的转换进而证明和，即可利用证明；得到，，推出是等腰直角三角形；过点作于，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，再根据题意可知，进而利用证明，则，可得，进而即可证明；得到，设，则可得，，证明可得，再根据等底同高可知，则可求出，进而即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 又∵， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； ∴，， ∴是等腰直角三角形，故③正确； 过点作于，如图， 则， ∵是等腰直角三角形， ∵， ∴， 点是的中点， ， 在与中，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ， ∴， ∴， 设， ， ， 在和中，， ， ， 点是的中点， ， ， ，即，故④正确． 综上，正确的结论有①②③④共4个． 故选：D． 12． 如图，在边长为6的正方形中，E是边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接、，、分别与交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】通过正方形的对称性证明三角形全等，结合折叠性质推导出角度和线段的等量关系；再利用旋转构造全等三角形，结合勾股定理与三角形三边关系判断线段和差结论的正误；最后通过确定动点轨迹，依据 “两点之间线段最短” 求出线段的最小值，从而逐一验证所有结论的正确性． 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∴（）， ∴，故①正确； ∵沿翻折得， ∴，，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∵四边形内角和为，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； 将 绕点 逆时针旋转 得 ，则， ∴ ，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ （）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 、 能构成三角形， ∴ ，故结论③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，故④正确； 如图，连接、， ∵四边形是正方形，边长为， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心、为半径的圆上， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确； 综上，①②④⑤均正确，共4个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定及动点轨迹求最值，熟练掌握正方形的性质、折叠前后对应边与角相等的性质，以及利用两点之间线段最短求最值是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为______________． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：∵是高，，， ∴， ∴， ∵，是中线， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点落在直线上，若正方形的面积为20，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】连接交于点，作轴于点，轴于点，求出，设，求出，，得到，证明，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接交于点，作轴于点，轴于点， 四边形是正方形， ，，，， ， ， ， 正方形的顶点落在直线上，设， ， ， ， 的坐标为，即， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 是的中点， ， 解得， ． 15．如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则_____，线段的最小值为_____． 【答案】 90 / 【分析】求出，由三角形内角和定理得到，取的中点，连接、，由直角三角形斜边中线的性质得到，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得，即可得到的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接、， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由三角形三边关系定理得到：， ∴线段的最小值为． 16．如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 【答案】或 【分析】本题已知，需要分两种情况讨论：当四边形为平行四边形时，对边相等可得；当四边形为等腰梯形时，两腰相等也可得，分别根据线段关系列方程求解，验证时间的合理性即可得到结果． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， 且，解得． ， ， 又，，分两种情况讨论： ①当时，四边形是平行四边形，此时， 列方程得：， 解得，符合动点运动范围要求． ②当四边形是等腰梯形时，，此时， 如图，过作于，过作于，则． ，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 同理，四边形是矩形， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，符合动点运动范围要求． 综上，经过秒或秒时，． 17．如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 18．如图，正方形中，，分别交、于、，连、，下列结论：①；②；③且；④若为中点，则为三等分点．其中正确的是________ 【答案】①②③④ 【分析】①过B作的垂线，截取，连接，如图，易证，得，最后根据勾股定理可作判断；②延长，截取，连接，如图，易证，得，即，成立．③作辅助线，则可证为等腰直角三角形，，证明，推出四边形为平行四边形，所以，可证，则M为的中点，又，故且，成立．④延长，截取，连接，可设，则，由勾股定理可知：，则，成立． 【详解】解：①过B作的垂线，截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中，∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中，∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，成立． ②延长，在延长线上截取，连接，如图， 在和中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，∵， 同理得， ∴，即， ∴， ∴，成立； ③如图，过F作交的延长线于J，过J作于K，连接，过J作交于G， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 在和中，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中，∵， ∴， ∴， 则M为的中点， 又， 故，且，成立． ④延长，截取，连接， 可设， 则， ∵E为中点， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 即为三等分点．成立． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识．熟练掌握上述知识并正确的作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，已知：四边形是一个正方形，对角线相交于点．求证：是全等的等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质得到，，然后根据证明三角形全等即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 且． 20．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得，再由勾股定理求出， 设，则，在中，，由此列方程求解即可； （2）先判定，即可得出，进而得到四边形是平行四边形，即可求四边形的面积． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 在中，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 21．如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据菱形的性质得到，证明，即可得到结论； （2）根据等腰三角形三线合一证明点是的中点，即可得到答案． 【详解】（1）证明：菱形， ， 是等腰三角形； （2）解：菱形， ， 是等腰三角形，， 点是的中点， ． 22．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）连接交于点O，根据正方形性质得，再根据得，由此可判定四边形是菱形； （2）先由勾股定理求出，则根据得，则，然后根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接交于点O，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 23．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)①；②点M的坐标为；的周长的最小值为 (2) 【分析】（1）①根据矩形的性质和平行线的性质可证明，则可证明，得到，故，据此可证明是等腰直角三角形，得到，则，可推出，再利用待定系数法求解即可；②可证明是等腰直角三角形，则，可求出；作点E关于直线的对称点T，连接，则，可证明当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值；证明点P为的中点，求出点T的坐标为，据此可得答案； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得到，证明，得到，，则可求出，，则，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当为等腰直角三角形时，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由题意得，，则， ∴， ∴直线的解析式为； ②由（1）①可知是等腰直角三角形，则， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，作点E关于直线的对称点T，连接，则， ∴的周长， ∴当T、M、G三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值； 由（1）①得， 由轴对称的性质可得， ∴E、P、T三点共线，即点P为的中点， ∴点T的坐标为，即， ∴， ∴的周长的最小值为； ∵轴， ∴点M的横坐标为4， 在中，当时，， ∴此时点M的坐标为 （2）解：如图，作于点H， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证明， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ，   ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式， ∴， ∴， ∴直线的解析式． 24．情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1，发现点在对角线的中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究： (1)如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)如图3，取中点，连接、、，在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，得到，再证明，则可证明四边形是正方形； （2）连接，由正方形的性质得到O是的中点，，，，由直角三角形的性质得到，，证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理得到，据此可得； （3）过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，则可证明，由勾股定理得，则，求出，则． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ∴， ， ， ， 又∵， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． （2）解：，理由如下： 如图所示，连接， 四边形是正方形，O是的中点， O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， G是的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∴， 由正方形的性质可得， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 25．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)1；2 (3) (4)或或 【分析】（1）根据，，直接求出； （2）根据，证明四边形为矩形，得出，说明此时；根据，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案即可； （3）过点N作于点P，根据折叠得出，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，，最后求出结果即可； （4）分三种情况：当所在直线经过矩形的顶点D时，当顶点C在的延长线上时，当顶点C在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即此时； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即此时； （3）解：过点N作于点P，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； （4）解：当所在直线经过矩形的顶点D时，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，如图所示： 根据折叠可知：，，，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，过点M作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， 根据折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 26．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 矩形、菱形与正方形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（    ） A． B．3 C．6 D． 3．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 5．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A．B． C． D． 7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 8．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点O为原点，点，对角线的交点为M，作以下操作：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线，交于点D，交于点H．则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．中，，以的每条边为边按如图方向作三个正方形，分别是正方形，正方形，正方形，且点N恰好是的中点．若图中阴影部分面积为3，则的长度是（　 ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点，与相交于点，若点是的中点，下列结论中①；②；③是等腰直角三角形；④正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在边长为6的正方形中，E是边上一动点（不与端点重合），将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接、，、分别与交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．如图，在中，，，分别是边上的中线和高，若，，则的长为______________． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点落在直线上，若正方形的面积为20，则点的坐标为________． 15．如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则_____，线段的最小值为_____． 16．如图，在四边形中，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．则从运动开始，需经过________秒，能使． 17．如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 18．如图，正方形中，，分别交、于、，连、，下列结论：①；②；③且；④若为中点，则为三等分点．其中正确的是________ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．如图，已知：四边形是一个正方形，对角线相交于点．求证：是全等的等腰直角三角形． 20．如图，在矩形中，E是上一点，垂直平分，分别交、、于点P、O、Q，连接、，，； (1)求的长； (2)求四边形的面积． 21．如图，在菱形中，已知点为边上的一点，与对角线交于点，过点作于点，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，则______． 22．如图，在正方形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，则四边形的面积为____________． 23．如图1矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点、重合，过点作交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形． ①直线的函数解析式为：_____， ②在轴上另有一点的坐标为．请在直线上找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和的周长的最小值． (2)如图2，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出直线的解析式． 24．情境：如图2，在正方形内取一点，使，将点绕点逆时针旋转得到点，射线，交于点． 特例：在探究过程中遵循由特殊到一般的规律：如图1，发现点在对角线的中点处时，点与点重合，此时四边形的形状为正方形． 探究： (1)如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明； (2)如图3，取中点，连接、、，在点运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，已知，直接写出的长度． 25．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 26．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $